7/30/2019 07 Placi Plane

http://slidepdf.com/reader/full/07-placi-plane 1/8

PLACI PLANE (DALE)

Placa este elementul de construcţie la care două dimensiuni sunt mari (lungimea şi lăţimea) inraport cu cea de-a treia dimensiune (grosimea), iar încărcarea este întotdeauna perpendiculara pesuprafaţa mediană.

Plăcile sunt de mai multe tipuri si pot fi clasificate astfel:  după forma suprafeţei mediane: plăci plane, placi curbe;  după forma conturului suprafeţei mediane: dreptunghiulare, circulare, inelare, eliptice;  după modul de rezemare: articulate, simple rezemate, încastrate.

Ipoteze simplificatoare la calculul plăcilor :  materialul este omogen, izotrop si continuu si satisface legea generalizata a lui Hooke;  săgeata  plăcii este foarte mica in raport cu grosimea, ceea ce permite ca ecuaţiile de

echilibru să se scrie pe forma nedeformată a plăcii;  punctele situate pe o normala la suprafaţa mediană înainte de deformare rămân tot pe

normala la suprafaţa mediană si după deformaţie (ipoteză echivalentă cu ipoteza secţiunilor  plane a lui Bernoulli, adoptata in cazul barelor);

  se neglijeză tensiunile normale la suprafaţa mediană ( 0 y  ), in consecinţă şi deformaţia 

specifică după direcţie verticala 0 y  .

Starea de eforturi din placi plane dreptunghiulare

Se izolează un element infinit mic de dimensiuni dx  şi dz care se exteriorizează din placadreptunghiulară. Starea de tensiune se caracterizează prin apariţia a cinci tensiuni

 xz zx zy xy z x       ,,,,

 

FIG. 3  FIG. 4 

Prin însumarea celor cinci tensiuni in raport cu centrul de greutate al secţiunii transversale seobţin eforturile rezultante. Însumarea se face pe toata grosimea h a  plăcii de lăţime egală cuunitatea (figura 5). Eforturile astfel rezultante poartă denumirea de eforturi pe unitatea de lăţime.

7/30/2019 07 Placi Plane

http://slidepdf.com/reader/full/07-placi-plane 2/8

 FIG.5

Prin însumarea eforturilor unitare normale  z x   , pe toata grosimea plăcii h si pe lăţime unitară 

rezultă momentele încovoietoare m x, respectiv m z.

2

2

)1(

h

h

 x x ydym    

2

2

)1(

h

h

 z z ydym    

Prin însumarea eforturilor tangenţiale   zy xy   , rezulta forţele tăietoare t  x, respectiv t  z.

2

2

)1(

h

h

 xy x dyt     

2

2

)1(

h

h

 zy z dyt     

Prin însumarea eforturilor tangenţiale   zx xz    , rezulta momentele de răsucire m xz, respectiv m zx. 

2

2

)1(

h

h

 xz xz ydym    

2

2

)1(

h

h

 zx zx ydym    

7/30/2019 07 Placi Plane

http://slidepdf.com/reader/full/07-placi-plane 3/8

Deoarece zx xz

   , rezulta ca şi zx xz mm .

Deci, starea de eforturi dintr-o placa este caracterizata prin apariţia a cinci mărimi rezultante:-  două momente încovoietoare unitare (mx, mz);-  două forţe tăietoare unitare (tx, tz);-  două momente de răsucire unitare (mxz = mzx).

Determinarea celor cinci eforturi rezultante se efectuează din ecuaţiile de echilibru static.

Scrierea ecuaţiilor de echilibru static 

Pentru scrierea ecuaţiilor de echilibru se reprezintă eforturile rezultante pe toate feţeleelementului infinitezimal de dimensiuni hdzdx .

FIG. 6

Se pot scrie şase ecuaţii de echilibru, dintre acestea însă trei sunt identităţi 0 X  (1)0 Z  (2)

00  

  

 

 

  

 

pdxdzdzdx

 x

t dxdz

 z

t Y  x z (3)

Se împarte cu produsul dxdz şi se obţine: 

7/30/2019 07 Placi Plane

http://slidepdf.com/reader/full/07-placi-plane 4/8

 p z

t 

 x

t   z x

(3`)

0 y M  (4)

z

 xz z

 xt 

 x

m

 z

m M 

0 (5)

x

 zx x

 zt 

 z

m

 x

m M 

0 (6)

Relaţiile (3`), (5) şi (6) reprezintă un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale, care nu sunt suficientepentru determinarea celor cinci necunoscute.

Rezultă că problema calculului eforturilor într -o placă este de două ori static nedeterminată.Pentru rezolvarea problemei sunt necesare două ecuaţii suplimentare, care se vor scrie dincondiţiile de deformabilitate. 

Scrierea ecuaţiilor suplimentare de echilibru static 

Se consideră o secţiune prin placă şi două puncte: unul pe linia mediană  B şi unul C  la distanţa  y  pe linia mediană (figura 7.a). După încărcare (figura 7.b) placa se deformează, punctul  B rămânetot pe linia mediană, B`, şi tot la distanţa  y, punctul C   nu mai rămâne la distanţa  x, ci sedeplasează C`.

FIG. 7 FIG. 8

Unghiul    cu care se roteşte punctul C se poate calcula geometric (figura 8). 

 yu

 xvtg

    

7/30/2019 07 Placi Plane

http://slidepdf.com/reader/full/07-placi-plane 5/8

 x

v yu

(pentru planul xOy) (7)

Fenomenul este similar şi pentru planul yOz 

 z

v yw

(8)

Semnul “-“ apare de la faptul că deplasările u şi w se produc în sens invers axelor x şi z. 

 x

u x

  (9)

 z

w z

  (10)

 x

w

 z

u xz

   (11)

Prin introducere în relaţiile (7) şi (8) rezultă: 

2

2

 x

v y x

  (12)

2

2

 z

v y z

  (13)

 z x

v y xz

2

2   (14)

Din relaţiile (12  –   14), respectiv (3`, 5, 6) se pot determina eforturile rezultante şi ecuaţiafundamentală a plăcii. 

Determinarea expresiei eforturilor rezultante şi a ecuaţiei fundamentale a plăcii 

În relaţiile eforturilor  

2

2

)1(

h

h x x ydym   (15)

2

2

)1(

h

h z z ydym   (16)

2

2

)1(

h

h xz xz ydym   (17)

se introduc expresiile tensiunilor în funcţie de deformaţii din legea lui Hooke generalizată pentrustarea plană. 

 z x x E 

    1 (18)

7/30/2019 07 Placi Plane

http://slidepdf.com/reader/full/07-placi-plane 6/8

 x z z E 

    1

(19)

 xz

 xz

 xz E G

   

  

12

(20)

sau

 z x x

 E   

  

21

(21)

 x z z

 E   

  

21

(22)

 xz xz

 E   

 

 

)1(2

(23)

sau în termeni de deformaţii specifice: 

 y z

v

 x

v E  x

 

  

 

2

2

2

2

21

  

  (24)

 y x

v

 z

v E  z

 

  

 

2

2

2

2

21

  

  (25)

 y z x

v E  xz

2

1    (26)

Expresiile (24), (25) şi (26) exprimă variaţia tensiunilor în funcţie de săgeata plăcii. Se observăcă cele trei tensiuni au o variaţie liniară pe grosimea h a plăcii. 

Aceste expresii se introduc în relaţiile de definire a eforturilor rezultante, rezultând: 

 

 

 

 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)1(

1

)1(

h

h

h

h x x dy y

 z

v

 x

v E  ydym

 

  (27)

 Notăm: 

2

2

2)1(

h

h dy y I 

cm

cm4

 

I –  momentul de inerţie al unei secţiuni dreptunghiulare de placă având lăţimea unitară

21  

EI 

 D  

D –  rigiditatea cilindrică a plăcii la încovoiere 

7/30/2019 07 Placi Plane

http://slidepdf.com/reader/full/07-placi-plane 7/8

Rezultă: 

 

  

 

2

2

2

2

 z

v

 x

v Dm x   (28)

 

 

 

 

2

2

2

2

 x

v

 z

v Dm

 z

  (29)

 z x

v Dmm  zx xz

2

)1(   (30)

 

  

 

 z x

v D

 x x

v

 z

v D

 z x

m

 z

mt  xz z

 z

2

2

2

2

2

)1(    (31)

 Notăm: 

2

2

2

22

 z

v

 x

vv

(32)

v z

 Dt  z2

(33)

v x

 Dt  x2

(34)

Se cunoaşte că: 

 p z

t 

 x

t   z x

(35)

 pv z

 Dv x

 D

2

2

2

2

2

2

(36)

 D

 p

 z

v

 x

v

 z x

 

  

 

 

  

 

2

2

2

2

2

2

2

2

(37)

sau D pv

22 (38)

sau D

 p

 z

v

 z x

v

 x

v

4

4

22

4

4

4

2 (39)

Relaţia (39) reprezintă ecuaţia fundamentală a plăcii. Prin integrare rezultă săgeata “v”. 

Metode pentru calculul plăcilor  -  metoda seriilor duble infinite (metoda Navier)-  metoda seriilor simple infinite (metoda Maurice Lévy)

- 

metode numerice: - metoda diferenţelor finite - metoda elementelor finite.

7/30/2019 07 Placi Plane

http://slidepdf.com/reader/full/07-placi-plane 8/8

  Se determina săgeata “v” din ecuaţia fundamentală   Se calculează eforturile rezultante prin derivarea săgeţii   Se determină tensiunile 

Determinarea relaţiilor de calcul ale tensiunilor

Din relaţiile: 

 y z

v

 x

v E  x

 

  

 

2

2

2

2

21

  

   

 

  

 

2

2

2

2

 z

v

 x

v Dm x      y

 I 

m x

 x    

21  

EI 

 D  

Relaţia Navier unde m x şi  I  se calculează pe unitatea de lăţime de placă. 

6

12maxmax

h

m

w

m y

 I 

m  x x x

 x

   

2max

6

h

m x   

Similar

 y I 

m z z    

2max

6

h

m z z    

 y I 

m xz xz    

2max

6

h

m xz xz    

h

t  x xy

15.1

max   

ht  z

 zy

1

5.1max