06._Operatori_liniari_1 (exercitii)

7/27/2019 06._Operatori_liniari_1 (exercitii)

http://slidepdf.com/reader/full/06operatoriliniari1-exercitii 1/86

Fie operatorii liniari , , , .

1. Să se calculeze operatorul .

2. Dacă , , sunt matricile lui , , corespunzătoare bazelor canonice, ce legătur ă există între , şi ?

3. Să se calculeze operatorul şi să se stabilească legătura dintre matricile lui , şi .

Soluţie: 1.

2. Observăm că .

3. Fie matricea operatorului :

Pe de altă parte avem :

Operatorul are matricea corespunz ătoare bazelor unitare, . Să se calculeze , .

Soluţie: Din Rezultă că

Fie transformarea liniar ă definit ă într--o baz ă prin matricea . Să se arate c ă exist ă o baz ă în faţă de

care matricea transformării are formă diagonal ă.

Rezolvare: Aratam ca transformarea admite trei vectori proprii liniar independenti. Determinam mai intai valorile proprii. Ecuatia caracteristica

sau

are radacinile Vectorii proprii sunt solutii ale sistemului

Pt. ; rangul sistemului este 2, astfel ca un sistem fundamental de solutii este Deci vectorul

propriu corespunzator lui este

Pt. sistemul devine Rangul sistemului este ; un sistem fundamental de solutii este format din si

Exercise

Exercise

Exercise

Page 1 of 86031OpLin.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/031OpLin/031OpLin.htm



Vectorii proprii sunt liniar independenti si deci formeaza o baza in . Fata de aceaste baza matricea transformarii liniare este

Fie operatorii liniari , defini ţ i prin , .

1. Să se calculeze operatorul .

2. Dacă , , sunt matricile lui , , corespunzătoare bazelor canonice, ce legătur ă există între , şi ?

3. Să se calculeze operatorul şi să se stabilească legătura dintre matricea lui , şi .

Soluţie: 1.

2.

Observăm că .

3.

Fie matricea operatorului :

Pe de altă parte avem :

Exercise





Operatorul are matricea corespunz ătoare bazelor unitare, unde . Să se calculeze , unde .

Soluţie: Din

Rezultă că

Fie , , . Să se arate c ă este izomorfism şi să se calculeze inversa sa.

Soluţie: -injectivitatea

operatorul este injectiv

dim surjectivitatea

Fie operatorul liniar , . Să se cerceteze dependenţ a liniar ă a vectorilor ,

, în şi a vectorilor imagine , , în .

Exercise

Exercise

Exercise





Soluţie: matricea sistemului de vectori este

fie

matricea sistemului de vectori este

avem

relatia de dependenta este :

2.Se dă operatorul liniar: Să se scrie maricea ataşată operatorului în raport cu bazele canonice ale lui şi

şi în raport cu bazele: a lui şi a lui

Soluţie:

Fie , şi , atunci:

deci matricea ataşată operatorului în raport cu baza canonica a lui este: , iar matricea de trecere de la baza la baza va fi:





.

Elementele bazei mai pot fi scrise:

, de unde putem scrie:

.

Matricea de trecere de la baza la baza este:

atunci marticea ataşata operatorului în raport cu baza va fi: .

deci iar şi .

ex 1.31 Fie , doua endomorfisme definite prin

si

Sa se determine matricele transformarilor si respectiv in raport cu baza canonica a lui , unde este compunerea celor doua morfisme.

ex 1.32

Fie : , functia definita prin egalitatea )= , fixat.1) Sa se arate ca f este o transformare liniara.

2) Sa se calculeze Ker si Im si sa se arate ca Ker Im = .

3) Sa se determine o baza in fata de care matricea lui sa fie de forma:

T =

4) Sa se determine subspatiile invariante ale lui , fiind spatiul vectorial al tuturor vectorilor liberi.





Rezolvare (1)

Daca f - transformare liniara

f( ) = , f( ) = f( ) + f( )=( )

- transformare liniara.

Rezolvare (2)

a) - orice element din Ker = , Im = {0} Ker Im =

b) Ker - multimea vectorilor colineari cu

Im - multimea tuturor vectorilor perpendiculari pe

Im Ker = {0}

poate fi exprimat ca suma de doi vectori coliniar cu , Ker , Im Ker Im

Rezolvare (3)

Consideram baza formata din vectorii , Im , . Notam ,

maticea lu i in raport cu baza { } are forma:

T =

Rezolvare (4)

Subspatiile invariante ale transformarii sunt

{0} - deoarece ,

- deoarece ,

Ker - deoarece Ker coliniar cu , este la fel coliniar cu .

ex 1.33 Fie A =

1) Sa se determine aplicatia liniara care are matricea asociata in raport cu baza canonica chiar matricea A.

2) Sa se determine Ker , Im , rangul si defectul lui .

3) Sa se determine pentru ce valori ale lui , este un izomorfism.

4) Fie o apl icat ie l in iara asa inci t ; s i Ker =L . Sa se determine Im si Im Im si baze in acestesubspatii.

5) Sa se arate ca satisface o ecuatie algebrica de grad 9 cu coeficienti reali in .

Rezolvare (1) Forma generala a functiei este:

Daca are asociat in raport cu baza canonica matricea A , analogic obtinem .





Rezolvare (2)

Discutie : I : Ker , Im II : Ker O baza in Ker este

dim Ker =1 defectul lui este 1. O baza in Im este dim = 2 care este rangul lui .

Rezolvare (3) este un izomorfism daca matricea atasata este inversabila sistemul (1) are o singura solutie

Rezolvare (4) Forma generala a functiei este:

Din Ker =L

Din (2) Din (2)

Rezolvare (5) Cum este izomorf cu ca dim = 9, atunci vectorii 1, , , ..., , in numar de zece sunt liniar dependenti, deci

, , unde - aplicatia liniara, - aplicatia nula.

ex 1.34

Fie V un K-spatiu -dimensional si o aplicatie liniara:

1) Sa se arate ca exista un in asa incit .

2) Pentru K = R sa se arate ca daca atunci f este un automorfism ( - aplicatie identica).

3) Sa se determine toate endomorfismele cu proprietatea .

Rezolvare (1)

Din faptul ca Im =

dim dim dim ... dim dim ... . Aceasta impreuna cu

= .

Rezolvare (2)

Fie matricea asociata lui in baza canonica . - inversabi la ( ) -automorfism.

Rezolvare (3)





Fie , = =

ex 1.35

Fie aplicatiile liniare definite respectiv prin

1) Sa se determine Ker si Im .

2) Sa se gaseasca matricea transformarii in raport cu baza canonica a lui .

3) Sa se afle matricea transformarii in aceeasi baza.

4) Sa se expliciteze matricele transformarilor si in raport cu baza determinata de vectorii: , , ,

.

Rezolvare (1)

Fie

Ker = {(0,0,0,0)}

Im Im

Rezolvare (2)

Rezolvare (3)

Fie

Rezolvare (4)

Fie

- o baza determinata de vectorii . Fie matricea asociata lui in baza

det





(1)

Fie matricea asociata lui in baza

ex 1.36

Fie o proiectie. Sa se determine valorile parametrului astfel ca transformarea liniara sa fie inversabila si in acest caz sa sedetermine inversa.

Rezolvare

Discutie :

I :

II: (deoarece proiectie) .

Cautam de forma .

ex 1.37

Fie doua proiectii. Sa se arate ca :

1) este tot o proiectie

2) Im Im Im

3) Ker Ker Ker

Rezolvare (1)

Fie

Pentru ca sa fie proiectie e necesar ca .

doar atunci cind

Rezolvare (2)

Im Im = = Im

Rezolvare (3)





Ker =

ex 1.38

Fie spatiul vectorial real al segmentelor orientate cu originea 0, identificat cu mutimea punctelor din plan si fie aplicatia liniara definita prin

si unde si sunt doua puncte fixe necoliniare cu , iar un punct din plan. Sa se determine asa incit :

1) sa fie o proiectie

2) sa fie o involutie.

Rezolvare (1)

Daca nu e coliniar cu putem alege o baza

- proiectie

Rezolvare (2)

- involutie

ex 1.39

Fie un spatiu vectorial peste cimpul si un endomorfism pe . Sa se arate ca daca este o proiectie, atunci endomorfismul este o

involutie si reciproc, daca este o involutie atunci este o proiectie.

Rezolvare (1)

Daca - proiectie .

= = = = - involutie.

Rezolvare (2)

Daca - involutie

= = - proiectie.

ex 1.40

Fie un endomorfism s doua subspatii invariante ale lui , iar . Sa se arate ca exista o baza in fata de care matriceaare forma :

unde si sunt doua matrici patratice, iar si sunt doua matrici dreptunghiulare nule.

Rezolvare

Deoarece dim + dim = dim .

Fie dim dim = . Alegem o baza in de forma :

unde si .

- subspatii invariante





poate fi scris in baza sub forma :

ex 2.1

Sa se arate ca polinomul caracteristic al matricei cu este egal cu produsul polinoamelor caracteristice ale matricelor si

Rezolvare

Polinomul caracteristic unei matrici A are forma :

Pentru matricea , conform formulei (1) = det =

det = det =

det = =

det - det =

=

ex 2.2

a) Fie . Sa se determine toate matricele asemenea cu A.

b) Fie doua matrice ce au acelasi polinom caracteristic. Sunt matricele si asemenea sau nu?

Rezolvare (a)

Fie C = , det , astfel incit

Rezolvare (b)

Exemplu : Matricele , au acelasi polinom caracteristic :





det = det = det =

dar nu sunt asemenea.

Problema 1 (24/183)

Fie un spatiu vectorial de dimensiune si un operator liniar de rang p. Determinati operatori liniari de rang 1 astfel incat .

Rezolvare:

Intrucat si

Fie o baza in si o baza in .

Atunci este o baza in (sunt vectori liniar independent deoarece este liniar).

Pentru fie , si

Vectorul este o baza in si deci rang

Problema 2 (25/184)

Fie un spatiu vectorial de dimensiune si un operator liniar cu proprietatea ca . Sa se arate ca:

a) ℑ .

b) un operator liniar, sunt invariante in raport cu .

Rezolvare:

a) Deoarece in baza teoremei dimensiunii , este suficient de verificat ca .

Fie . Atunci si astfel incat . Atunci si deci . Intrucat .

Asadar .

b) Presupunem ca un operator liniar, avem . Fie . Atunci

Cum adica , deci este invariant in raport cu .

Fie . Atunci astfel incat si prin urmare .

Cum , deci este invariant in raport cu .

Presupun sunt invariante in raport cu . Orice se scrie sub forma: , unde si .

Deci: , deoarece . De asemenea, , deoarece

si .

Asadar si invariante in raport cu V.

Problema 3 (26/185)

Fie spatiul vectorial al polinoamelor cu coeficienti din si fie un operator liniar definit prin

. Determinati si

Rezolvare:

Folosind formula lui Taylor, se poate scrie: si

Deci

Atunci , si deci

Apoi, este divizibil cu





Se mai poate scrie

Daca atunci astfel incat

Problema 4 (1/187)

Fie matricea asociata unui operator liniar, , in baza canonica.

a) Sa se calculeze valorile proprii ale lui .

b) Este diagonalizabila?

c) Sa se determine vectorii proprii ai lui .

d) Sa se diagonalizeze matricea si sa se calculeze , .

Rezolvare:

a) Polinomul caracteristic al operatorului se scrie , unde =matricea unitate.

Se stie ca valorile proprii ale operatorului sunt solutiile ecuatiei .

Dar

Deoarece , se obtine:

Deci valorile proprii ale lui U sunt: .

b) Se stie ca vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte sunt liniar independenti. Asadar, putem forma o baza cu vectori proprii corespunzatoari

valorilor proprii si atunci putem afirma ca matricea este diagonalizabila.

c) Determinam mai intai vectorii proprii corespunzatori valorii proprii Acestia sunt vectori nenuli, solutii pentru sistemul

Fie subspatiul vectorial propriu asociat valorii proprii .

se scrie: .

Determinam o baza in .

Daca , atunci , unde este baza canonica in . Atunci

este generat de vectorul . In plus, acest vector este liniar independent, deci formeaza o baza in si

Deci .

Determinam acum vectorii proprii corespunzatori valorii proprii .

Acestia sunt vectorii nenuli, u= solutii pentru sistemul

Fie subspatiul vectorial propriu asociat valorii proprii .





se scrie: .

Determinam o baza in . Daca , atunci , unde , este baza canonica in . Atunci: .

este generat de vectorul . Acest vector este si liniar independent, deci formeaza o baza in si .

Deci .

d) Stim ca este diagonalizabila. Atunci, , cu: unde este vectorul propriu

corespunzator valorii proprii , obtinut pentru , iar = este vectorul propriu corespunzator valorii proprii =3, obtinut pentru .

Deci P= . Atunci = .

.

Deci

Dar . Deducem ca .

Problema 5 (2/191)

Fie matricea asociata unui operator in baza canonica.


b) Sa se determine vectorii proprii ai operatorului .

c) Este diagonizabila?

Rezolvare:

a) Polinomul caracteristic al operatorului se scrie .

Se stie ca valorile proprii ale lui sunt astfel incat .

Deci =0.

Obtinem astfel o valoare proprie dubla: .

b) Determinam in continuare vectorii proprii ai lui . Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii sunt vectori nenuli, solutii ale





sistemului: .

Fie subspatiul vectorial propriu asociat lui . se scrie: .

Determinam o baza in .

Daca , atunci , unde , este baza canonica in . Deci si prin urmare vectorul genereaza . In plus,

este liniar independent, el formeaza deci o baza in si .

Deci vectorii proprii asociati lui sunt vectori de forma , cu .

c) Deoarece (2 este ordinul de multiplicitate al valorii proprii) deducem ca nu este diagonalizabila.

Problema 6 (3/192)

Fie matricea asociata unui operator liniar , in baza canonica. Fie si valorile proprii ale lui si ,

vectori proprii corespunzatori respectiv valorilor proprii si . Aratati ca:

a) Daca este par, atunci .

b) Daca este impar, atunci , .

Rezolvare:

a) Vectorii proprii corespunzatori valorilor proprii distincte sunt liniar independenti; cei doi vectori proprii dati, corespunzatori respectiv la

formeaza deci o baza de vectori proprii si deci putem afirma ca matricea este diagonalizabila.

In aceste conditii, putem scrie (intrucat este simetrica), cu si

.

Deci .

.

par

impar .

Problema 7 (4/194)

F ie M= matricea asociata unui operator l in iar in baza canonica.






b) Sa se determine vectorii proprii ai lui .

c) Este diagonalizabila?

Rezolvare:

a) Polinomul caracteristic al operatorului se scrie:

Valorile proprii ale lui sunt astfel incat

si

Deci valorile proprii ale lui sunt si

b) 1. Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii

Acestia sunt vectori nenuli, obtinuti cu ajutorul solutiilor sistemului:

Fie subspatiul vectorial propriu asociat valorii proprii ,

Determinam o baza in

Daca atunci sau , unde este baza canonica in

Vectorul genereaza In plus el este liniar independent si deci formeaza o baza in si

Deci vectorii proprii asociati valorii proprii sunt vectori de forma cu

Luand , obtinem vectorul propriu

2. Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii
















Daca atunci adica , unde este baza canonica in




Problema 8 (5/198)





Fie matricea asociata operatorului liniar in baza canonica.


b) Este matricea diagonalizabila?

Rezolvare:

a) Polinomul caracteristic al operatorului se scrie .

Valorile proprii ale lui sunt astfel incat

In concluzie, valorile proprii ale operatorului U sunt si

b) Pentru ca M sa fie diagonalizabila, trebuie ca spatiul vectorial propriu asociat valorii proprii sa fei de dimensiune 2.

Vom determina dimensiunea subspatiului vectorial asociat valorii proprii

Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii sunt vectori nenuli, obtinuti cu ajutorul solutiilor sistemului:


Determinam o baza in E

Daca , atunci

Vectorii si genereaza In plus, ei sunt liniari independenti deoarece

Deci si foremeaza o baza in si Cum dimensiunea subspatiului coincide cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii

corespunzatoare, se poate afirma ca este diagonalizabila.

Problema 9 (6/200)

Pentru se considera matricea

Determinati valorile lui pentru care operatorul cu matricea are trei valori proprii disticte.

Rezolvare:





Fie Atunci

Deci valorile proprii ale operatorului sunt

Deci

Problema 10 (7/200)

Pentru ce valori ale lui , matricea este diagonalizabila?

Rezolvare:

Determinam valorile proprii ale operatorului cu matricea .

Deci singura valoare proprie a lui este avand ordinul de multiplicitate

Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii sunt vectori nenuli, obtinuti cu ajutorul solutiilor sistemului:

Daca atunci subspatiul propriu corespunzator valorii proprii este

Cum in acest caz matricea este diagonalizabila.

Daca atunci subspatiul propriu corespunzator valorii proprii este

Cum in acest caz nu este diagonalizabila.

Deci doar pentru matricea este diagonalizabila.

Problema 11 (8/201)

Fie M= matricea asociata operatorului liniar in baza canonica.






b) Se se determine vectorii proprii ai operatorului si sa se calculeze

Rezolvare:

a) Polinomul caracteristic al operatorului se scrie

Deci valorile proprii ale operatorului sunt:

b) 1. Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii
















Daca atunci , unde este baza canonica in

Vectorii si genereaza In plus acesti vectori sunt liniar independenti deoarece deci formeaza o baza in

si

Intrucat dimesiunea subspatiului propriu coincide cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii deducem ca este diagonalizabila. Atunci

cu

.

Asadar

Cum obtinem ca

Problema 12 (9/205)

Sa se determine vectorii si valorile proprii pentru operatorul liniar dat prin matricea

Este diagonalizabila?

Rezolvare:

Polinomul caracteristic al operatorului se scrie

Valorile proprii ale operatorului sunt solutiile ecuatiei

Notam





Deci

unde

Asadar,

si deci cu ordinul de multiplicitate si cu ordinul de multiplicitate .

1. Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii sunt vectori nenuli solutie pentru sistemul:

Fie subspatiul vectorial propriu asociat valorii proprii

Vectorii formeaza o baza in si deci

2. Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii sunt vectori nenuli solutie pentru sistemul:

Fie subspatiul vectorial propriu asociat valorii proprii

Vectorii formeaza o baza in si deci

Intrucat ordinul de multiplicitate al valorii proprii coincid e cu si ordinul de multiplicitate al valorii proprii coincide cu rezulta

ca matricea este diagonalizabila.

Problema 13 (10/208)

Fie E un spatiu vectorial complex si U:E un operator liniar. Sa se arate ca daca F este un subspatiu vectorial al lui E invariant in raport cu U atunci exista

un vector nenul w s i astfel incat U(w)=

Rezolvare:

Fie restrictia lui U la F. Cum F este un subspatiu invariant in raport cu U, obtinem ca este un operator liniar, deci exista cel putin o valoare

proprie a lui si deci astfel incat


Fie un spatiu vectorial complex de dimensiune si doi operatori liniari cu proprietatea ca ( o constanta nenula). Daca

este un vector propriu al lui corespunzator valorii proprii , sa se arate ca:

a)

b) Exista astfel incat

c) nu este injectiv.

Rezolvare:

a) Folosind relatia din ipoteza, obtinem:





Atunci sau este un vector propriu al lui corespunzator

valorii proprii

In cel de al doilea caz, avem: deci sau este un vector propriu al lui

corespunzator valorii proprii

Presupun (unde sau este un vector propriu al lui corespunzator valorii proprii )

unde sau este un vector propriu al lui corespunzator valoriiproprii

b) Intrucat are un numar finit de valori proprii distincte se deduce (folosind punctul a)) ca astfel incat:

si

c) cu

Deci v si implica faptul ca nu este operator liniar injectiv.


Fie Sa se arate ca operatorii cu matricele , respectiv au acelasi polinom caracteristic.

Rezolvare:

Fie o valoare proprie a operatorului cu matricea . Atunci,

1.Care dintre operatorii de mai jos sunt liniari?

a)

b)

c)

d)

Rezolvare:

a) rezultã:

(1);

(2);

Din 1 si 2 este operator liniar;

b) si rezultã

(1);

(1);

din 1 si 2 e operator liniar;

c) si

Functia nu este aditivã.Într-adevar:

Dacã de exemplu pentru si nu este operator liniar.

d) deci nu aplicã vectorul nul din în el însusi.Atunci nu este liniar.





2.Se dã operatorul: Sã se demonstreze cã este un operator liniar si injectiv.

Rezolvare:

ca functie vectorialã are componentele: unde

Avem: pentru de unde se observã usor cã este liniar dacã si

numai dacã toate componentele sale sunt functii liniare.Definim functiile proiectii prin sunt operatori liniari.Atunci putem scrie

Rezultã cã sunt combinatii liniare de functiile

deci apartin spatiului vectorial adicã sunt operatori liniari .Obtinem cã este operator liniar.Pentru a proba injectivitatea este

necesar si suficient sã demonstrãm cã

3.Fie operatorul liniar definit prin :

Sã se determine rangul si defectul lui .

Rezolvare:

Sistemul obtinut este compatibil nedeterminat,ultina relatie obtinându-se ca diferentã a primelor douã

.Deducem Punând , putem scrie: de unde dim

Pentru ca sã apartinã lui e necesar si suficient ca sistemul : sã fie compatibil.

Matricea asociatã sistemului este: . Rangul matricei este 2.Fie Avem un singur

minor caracteristic : care trebuie sã fie nul.Deci de unde Notãm si obtinem

deci Cum vectorii (1,1,0) si (1,0,1) sunt liniar independenti avem

Se verificã astfel relatia

4.Se dã operatorul liniar Sã se scrie matricea atasatã operatorului în raport cu :

a)bazele canonice ale lui si

b)bazele a lui si a lui Sa se verifice formula de transformare a matricei atasatela schimbarea bazelor

Rezolvare:

a)Fie si baze canonice în respectiv Avem

Rezultã cã matricea atasatã lui în cele douã baze va fi:

b)Fie matricea de trecere de la baza de mai sus la baza si matr icea de trecere de la baza la baza .Putem scrie : deci

Analog de unde avem vectori exprimati în

baza canonicã Le vom gasi reprezentarea in baza folosind formula





Calculam

e inversabila.

Deci

deci Matricea lui în

perechea de baze si va fi atunci Pentru a verifica relatia de transformare a matricei asociate lui ,calculam:

5.Sã se studieze inversabilitatea operatorilor liniari de mai jos si ,în caz afirmativ ,sa se studieze inversele:

a) ,unde

b)

c)

d

Rezolvare:

a)Matricea atasatã lui în baza canonicã din este pentru care avem : Fie

de unde deci adicã nu e injectiv.Nefiind

bijectiv , nu este inversabil.

b)Matricea asociata lui este A = Deoarece matricea este inversabila si odatã cu ea si operatorul Ne folosim de relatia

Calculam

Deci

c)Matricea asociata lui este: ,unde

d) nu este inversabil pentru ca în caz contrar din bijectiv si liniar ar rezulta ceea ce este fals.

6.Se dau operatorii liniari:

si





Sa se scrie produsul si matricea asociata lui in bazele canonice,probând legatura cu matricele

atasate lui ,respectiv in bazele canonice corespunzatoare.

b)Sã se calculeze si pentru operatorii:

Rezolvare:

a)Avem:

Matricea produsului în bazele canonice din si este Pentru operatorul obtinem

matricea iar pentru ,matricea

b)

Se constatã cã ,ceea ce corespunde la necomutatvitatea în general a produsului

matricelor asociate.

7.Fie operatorii Sa se er e matricele lor în bazele canonice, suma lorsi legatura dintre matricea sumei si matricele celor 2 operatori.

Rezolvare:

formeazã baza canonica în deci

deci

si are matricea

8.Sa se determine vectorii si valorile proprii ale operatorului dat prin matricea sa în baza canonicã

Rezolvare:

a)Ecuatia caracteristicã este valorile proprii sunt

Vectorii proprii sunt solutiile ecuatiei maticiale unde Pentru obtinem:

arbitrar din Vectorii proprii sunt





Pentru avem si vectorii proprii sunt : si

Pentru avem: vectorii proprii corespunzatori vor fi:

b)Ecuatia caracteristica este :

Pentru avem: Vectorii proprii sunt

Pentru avem Vectorii proprii sunt:

Pentru avem: Vectorii proprii sunt:

c) Ecuatia caracteristica este

Pentru avem: Vectorii proprii sunt :

Pentru avem: Vectorii proprii sunt:

9.Sa se stabileasca daca matricea a operatorului în baza poate fi adusa sau nu la forma diagonala;in caz afirmativ sa se scrie acesta matrice si sa se

detemine o baza in care operatorul are matricea diagonalã:a) b) c) d) e)

Rezolvare:

a)Ecuatia caracteristicã este: valorile proprii ale vectorului .Pentru avem:

si deci vectorii proprii sunt sau cu

Pentru sistemul devine: iar vectorii proprii sunt sau

Valorile proprii si fiind distincte ,vectorii proprii sunt independenti si formeaza o baza în deci vectorii formeaza o bazã în

iar matricea de trecere de la aceastã bazã canonica la aceastã bazã este Cum matricea atasatã lui

este: si verificã relatia





b)Ecuatia caracteristicã este:

Pentru avem: vectorii proprii sunt

Pentru avem vectorii proprii sunt

Valorile proprii si fiind distincte ,vectorii proprii sunt independenti si formeaza o baza în Deci vectorii formeaza o bazã în

iar matricea de trecere de la aceastã bazã canonica la aceastã bazã este

Cum matricea atasata lui este:

c)Ecuatia caracteristica este:

Pentru avem: Deci vectorii proprii sunt Deci nu putem gasi o baza formata

din vectorii proprii si deci nici matricea nu poate fi adusa la forma diagonala.

d)Ecuatia caracteristicã este:

Pentru avem: Deci vectorii proprii

sunt:

Pentru avem Deci vectorii proprii sunt:

Pentru avem Deci vectorii proprii sunt

Valorile proprii fiind distincte ,vectorii proprii sunt independenti si formeaza o baza în deci vectorii

formeaza o bazã în iar matricea de trecere de la aceastã bazã canonica la aceastã bazã este Deci

e)Ecuatia caracteristica este:

Pentru avem: Deci vectorii proprii sunt:

care nu pot forma o baza,deci matricea nu se poate diagonaliza.





10.Sa se calculeze unde

Rezolvare:

Vom determina o matrice astfel încât matricea sa fie diagonalã.În exercitiul precedent ,punctul a),am gãsit : si deci

Folosind relatiile si cum e matrice diagonalã avem si deci

1)Sa se stabileasca daca operatorul este liniar sau nu iar daca este sa se determine matricea operatorului in bazele canonice. a) ,

, unde ; b) , , unde ; c) , , unde

; d) , unde . Rezolvare: Fie un vector din si a un scalar real. a) Avem

relatiile: = + =

= = , si deci este un operator liniar. Se stie ca: ; prin urmare: = si

deci = b) Deoarece: = = + + = -

acest operator nu este liniar. c) Deoarece: = , = + + = +

cand , operatorul nu este liniar. d) Se verifica cu usurinta ca este un operator liniar. Matricea operatorului va fi:

2)Sa se arate ca este un operator liniar si sa se calculeze matricea operatorului in baza : a) b)

Rezolvare: a) este evident un operator liniar. Deoarece pentru k 1 si , matricea operatorului va fi:

b)Liniaritatea operatorului este evidenta.Avem relatia: = = , prin

urmare matricea operatorului va fi:

3)Fie un operator linear; sa se arate ca daca vectorii din sunt linia dependenti atunci si vectorii , din sunt tot

liniar dependenti. Rezolvare: Vectorii fiind liniar depepndenti rezulta ca exista scalarii nu toti nuli astfel incat:

Deoarece obtinem , relatie din care rezulta liniar depepndenta vectorilor .

4) Fie un spatiu vectorial si doua subspatii ale lui X astfel incat X= ; sa se arate ca operatorul , , unde ,

, este un operator liniar ( se numeste operator de proiectie). Rezolvare:Cm scrierea unui vector din X ca suma unui vector din si unul din

este unica operatorul fiind bine definit. Fie , , , avem = si deci

0 1 1

2 0 1-1 0 0

0 2 -1

1 0 0

1 1 0





este aditiv. Fie si ; avem = (a fost utilizat faptul ca si sunt subspatii ale lui X si unicitatea scrierii in

.

5)Se considera operatorii , i=1,2,3 , ,

unde ; sa se calculeze operatorii , , si sa se puna in evidenta relatiile ce exista intre , ,

, unde cu am notat matricea operatorului in baza canonica. Rezolvare: a) Prin definitie avem: =

= Matricile acestor operatori sunt: ,

Se vede ca . b)Prin definitie avem: = = si

matricea operatorului este: si c) Pentru ca sa existe trebuie sa verificam ca nucleul lui este format numai din

vectorul nul: ker = sistemul omogen ce rezulta din relatia : este compatibil determinat deoarece

determinantul sistemului: =8+2-4-2=4 este nenul si deci are numai solutia banala , prin urmare ker . Sistemul ce rezulta

din relatia unde :

este compatibil determinat pentru orice y si are solutia , , ; deci operatorul

exista si ; matricea operatorului este: , unde

11) Sa se determine o baza in care operatorul , unde , are matricea diagonala. Rezolvare: Vom cauta sagasim o baza formata din vectori proprii. Ecuatia caracteristica:

= (1- ) are radacinile =0 si =1. Pentru =0 obtinem sistemul: si deci vectorii proprii

. Pentru din sistemul: obtinem vectorii proprii: . Vectorii

formeaza o baza in si , , astfel ca matricea lui in baza

este:

12) Fiind data matricea operatorului in baza sa se stabileasca daca aceasta matrice poate fi adusa sau nu la forma diagonala; in

caz afirmativ sa se scrie aceasta matrice si baza in care matricea operatorului are aceasta forma: a) b) Rezolvare: a) Ecuatia

caracteristica este =0 ( -1)( -2) valorile proprii ale operatorului sunt , = Pentru =1, rezolvand sistemul:

2 1 1

0 2 1

2 1 2





obtinem vectorii proprii , Pentru =2, rezolvand sistemul:

obtinem: vectorii proprii , vectorii proprii

, formeaza o baza si deoarece , , matricea lui in baza este b) Ecuatia

caracteristica: ( -1) ( -2)=0 are radacinile = =1, . Pentru valoarea proprie obtinem vectorii proprii , nu

vom putea gasi o baza formata din vectorii proprii si e radacina dubla) si deci matricea data nu poate fi adusa la formadiagonala.

13) Sa se determine o matrice astfel incat matricea sa fie diagonala, unde Rezolvare: Vom utiliza formula de calcul a

matricei unui operator cand se schimba baza. Fie operatorul a carei matrice in baza canaonica este . Vom determina vectorii proprii ai acestui operator.

= = = pentru =1 obtinem: adica vectorii proprii:

pentru =-1 obtinem: adica vectorii proprii: . Vectorii proprii

, formeaza o baza in si matricea operatorului in aceasta baza

este: matricea este de fapt , unde este matricea de trecere de la baza canonica la baza si deci ea indeplineste cerintele

din enuntul problemei: se vede cu usurinta ca: ]

14) Sa se calculeze , , unde: Rezolvare: Vom determina o matrice astfel incat matricea sa fie diagonala: =

; pentru =1 obtinem vectorii proprii a(1,-1), pentru =3 obtinem vectorii proprii a(0,1), . vom avea atunci ca in problema

anterioara : Folosind relatiile: , obtinem =

.

15) Fie un spatiu vectorial si n operator liniar cu proprietatea ca ; sa se arate ca unde ,

Rezolvare: Multimile si sunt nevide dearece ; se constata ca si sunt subspatii ale lui . Demonstram ca +





= ; pentru x din notam cu si ; evident x= si deoarece = , adica , iar

= , adica , rezulta ca ; cum incluziunea este evidenta am demonstrat ca .

Aratam ca este o suma directa; fie x din , rezulta ca si adica 2x=0 si deci x=0, prin urmare .

Sa se determine pentru operatorul liniar nucleul, imaginea si

, :

a)

b)

c)

unde .

Solutie

a) Conform definitiei avem:

;

vectorii: formeaza o baza a nucleului si deci .

Se vede cu usurinta ca

b) Pentru a determina pe rezolvam sistemul:

Obtinem solutiile si deci:

si .

Vectorul apartine imaginii lui daca si numai daca exista in astfel incat:

Deci sistemul de mai sus trebuie sa fie compatibil; matricea sistemului are rangul 2 si ;

pentru ca sistemul sa fie compatibil trebuie ca determinantul caracteristic sa fie nul

adica a-b-c=0; prin urmare

si .

c) Vom avea:





si .

Deoarece sistemul:

este compatibil pentru orice a,b,c reali, si .

Fie un spatiu vectorial de dimensiune si un operator liniar ; se se demonstreze ca .

Solutie

Fie , , dimensiunea nucleului.

Daca atunci si si deci afirmatia din enunt e verificata.

Daca atunci fie o baza a lui sistemul de vectori poate fi completat pana la o baza a lui , fie aceasta . Vom

demonstra ca vectorii formeaza o baza a imaginii si deci .

a) Consideram relatia:

, , ;

relatia de mai sus este echivalenta cu:

si deci apartine nucleului; rezulta deci ca exista scalarii astfel incat:

sau:

;

vectorii fiind liniar independenti rezulta ca si deci vectorii sunt liniar independenti.

b) Demonstram ca constituie un sistem de generatori pentru ; fie din , deci exista in astfel incat ; deoarece

e o baza in rezulta ca exista scalarii astfel incat si deci

; deoarece vectorii sunt egali cu zero si deci.

???Fie un spatiu vectorial normat si un operator liniar injectiv; sa se arate ca functia definita prin relatia este o norma pe

.

Solutie

Verificam ca satisface proprietatile normei:

1) relatia este evidenta;

deoarece operatorul este injectiv ultima relatie e echivalenta cu ;

2) unde este un scalar;

3) .

6/49. Matricea operatorului U in baza este

A= ; sa se gaseasca matricea operatorului in baza .





\underlineRezolvare:

Matricea de trecere de la baza E la F este:

C= Daca notam cu B matricea operatorului considerat in baza F putem scrie relat ia: s i deoarece obt inem:

7/49. Se da operatorul , , unde .

Se cere matricea operatorului in bzaele canonice si in bazele si

.


a) Matricea A a operatorului in bazele canonice este: .

b) Matricea B a operatorului U in bazele E si F este , unde C este matricea de trecere de la baza canonica la baza E, adica

C= ,

iar D este matricea de trecere de la baza canonica la baza F, adica

D=

B= .

8/51. In spatiul se considera bazele , unde =(2,3,5), =(0,1,2), =(1,0,0), =(1,1,1), =(1,1,-1), =(2,1,2); sa se

determine operatorul lui astfel incat , i=1,2,3.


Matricea operatorului in bazele E si F va fi A= ; matricea operatorului U in baza canonica va fi , unde C este matricea de

trecere de la baza E la baza canonica iar D matricea de trecere de la baza F la baza canonica. Deci vom avea:





C=

adica , unde .

9/52. Sa se arate ca in spatiul al tuturor operatorilor liniari de la in operatorii ,

unde , formeaza o baza.


Se demonstreaza ca operatorii considerati sunt liniar independenti. Fie relatia:

; deci pentru orice din avem:

; pentru x=(1,0) din relatia anterioara rezulta ca , iar pentru x=(0,1)

obtinem si deci operatorii sunt liniar independenti.

Vom arata ca operatorii considerati constituie un sistem de generatori pentru . Fie U un operator liniar, el este determinat de:

datorita aditivitatii si omogenitatii, adica: .

Vom avea deci: ;

cum egalitatea precedenta are loc pentru orice x din rezulta ca .

10/53. Sa se determine vactorii si valorile proprii ale operatorului U dat prin matricea sa:

a) b) c) .


a) Ecuatia caracterisitca este: ; deci singura valoare proprie este . Pentru a determina vectorii proprii

rezolvam ecuatia U(x)=x, care conduce la sistemul:

ale carei solutii sunt si deci vectorii proprii sunt .

b) Ecuatia caracterisitica este: ; deci valorile proprii sunt 0 si 1. Pentru obtinem sistemul:

ale carei solutii si deci vectorii proprii corespunzatori lui sunt .





Pentru obtinem sistemul:

ale carei solutii si deci vectorii proprii corespunzatori lui sunt . c) Ecuatia caracteristica

are radacinile i si -i; pentru obtinem vectorii proprii iar pentru obtinem .

7. a) Sa se determine transformarea liniara care transforma in in si in

b) Sa se determine imaginile lui si

c) Sa se arate ca si sunt liniar independente si de asemenea si imaginile lor.

d) Sa se arate ca sunt liniar dependente si de asemenea si imaginile lor.

Rezolvare:

a) , iar ecuatia transformarii este

b) Imaginea lui este

Imaginile lui si sunt respectiv si

c) Rangul matricelor si este 2/

Atunci si sunt liniar independente si de asemenea si imaginile lor.

d) Avem si , deci si imaginile lor sunt liniar dependente.

8. Daca este o transformare liniara relativ la baza Z formata din sa se determine

transformarea relativ la baza

Rezolvare:

Rezulta si

12. Data fiind matricea sa se determine radacinlie caracteristice si vectorii invarianti asociati.

Rezolvare:

Ecuatia caracteristica este

iar radacinile caracteristice sunt

Daca , avem pentru (





sau , deoarece matricele sunt echivalente.

O solutie este data de deci radacinii caracteristice ii corespunde vectorul care genereaza un spatiu vectorial unidimensional.

Orice vector al acestui spatiu este un vector invariant al lui A.

Daca , avem

sau

Avem doua solutii liniar independente si Deci radacinii caracteristice i se asociaza spatiul vectorial cu doua dimensiuni generat de

Orice vector este un vector invariant al lui A.

13. Daca este o matrice patratica de ordinul n, sa se arate ca unde este

inmultit cu suma tuturor minorilor principali patratici de ordinul m ai lui A.

Pentru sa se determine radacinile caracteristice si spatiile vectoriale invariante.

Rezolvare

Scriem sub forma si fiecare element fiind un binom, presupunem ca determinantul se poate exprima ca suma a 2

determinanti. Unul din acesti determinanti are pe ca element diagonal si zero in rest; valoarea lui este Altul este fara ; valoarea lui este (-1)

Determinantii ramasi au m coloane, m=1,2,...,n - 1), din -A si coloane fiecare continand un element

Consideram unul din acesti determinanti si presupunem ca coloanele lor numerotate sunt coloanele lui -A.

Dupa transformari elementare acest determinant se scrie:

unde este minorul patratic de ordinul m, principal al lui A.

Deci , cu

Pentru A dat in cazul particular avem:

, deci

Radacinile caracteristice sunt 1, 1, 1, 2.





Pentru , avem:

Aceasta matrice are rangul 3. Spatiul vectorial invariant asociat este generat de

Pentru rezulta matricea

si are rangul 3, deci spatiul vectorial asociat este generat de

14. Fie radacinile caracteristice distincte si vectorii invarianti asociati matricei A. Sa se arate ca sunt liniar independenti.

Rezolvare

Presupunem ca acesti vectori nu sunt liniar independenti, deic exista scalari nu toti nuli astfel ca

Inmultind cu A si tinand seama de faptul ca , avem:

Inmultind cu A, obtinem

Scriem egalitatile sub forma: , deci exista Inmultind cu , avem de unde rezulta , ceea

ce contrazice ipoteza. Rezulta ca sunt liniar independenti.

15. Sa se arate ca doua matrice similare au aceleasi radacini caracteristice.

Rezolvare

si , deci A si B au aceleasi ecuatii caracteristice, deci au aceleasiradacini caracteristice.

16. Sa se arate ca daca o matrice patrata de ordinul n are n vectori invarianti liniar independenti, atunci este similara cu o matrice diagonala.

Rezolvare

Fie vectorii liniar independenti asociati cu radacinile caracteristice corespunzatoare astfel incat si fie

Atunci

Rezulta

17. Sa se determine o matrice nesingulara astfel ca sa fie triunghiulara, daca

Rezolvare

Avem si radacinile caracteristice sunt 1,-1,2,-2. Obtinem un vector invariant corespunzator radacinii caracteristice 1 ca

prima coloane a unei matrice nesingulare iar celelalte coloane vectori elementari, adica





Avem si

O radacina caracteristica a lui este -1 si vectorul invariant asociat este Luam Avem

O radacina caracteristica a lui este 2 si un vector invariant asociat . Luam si obtinem

Rezulta si

18. Sa se determine o matrice unitara astfel ca sa fie triunghiulara si avand ca elemente diagonale radacinile caracteristice ale matricei

Rezolvare

Ecuatia caracteristica a lui A este si are radacinile caracteristice 0,1,-i,3+2i.

Pentru , avem ca vector invariant asociat si formam Prin procedeul Gram-Schmidt obtinem matricea unitara

Rezulta , astfel ca, pentru aceasta alegere a lui am obtinut matricea

4.1.Care din următorii operatori sunt liniari ?

a. , unde

b. , unde

c. , unde





d. , unde

REZOLVARE:

Dacă X,Y sunt două spaţii vectoriale definite pe acelaşi corp de scalari K, aplicaţia

este operator liniar dacă:

sau:

.

a. Fie , .

Avem:

, , .

Rezultă că este operator liniar.

b.

Deoarece : nu este operator liniar.

c.

U este operator liniar.

d.





Deoarece nu este operator liniar.

4.2.Fie operatorul liniar :

.

a.Scrieţi matricea operatorului corespunzătoare bazelor canonice .

b.Calculaţi pentru

c.Calculaţi pentru .

REZOLVARE:

a. Fie , bazele canonice (unitare ) din respectiv .

b. Avem :

c. nu are sens deoarece : .

4.3. Operatorul are matricea corespunzătoare bazelor unitare

. Să se calculeze unde .

REZOLVARE:

.

4.4 Fie operatorii liniari ,

,

a.Care este operatorul





b. Dacă sunt matricile corespunzătoare bazelor unitare din respectiv , stabiliţi

legătura dintre .

REZOLVARE:

a. Prin definiţie : .

Deci:

b.

Observăm că : .

4.5 Fie operatorii liniari ,

,

a. Calculaţi operatrul

b. Fie matricile lui corespunzătoare bazelor canonice. Ce relaţie există între

?

c. Există ? Dacă da , care sunt ?

d. Dacă sunt matricile lui , corespunzătoare bazelor canonice , ce

relaţie există între ?

REZOLVARE:

a.

b.





Avem:

Rezultă : .

Verificare: .

c. Un operator liniar se poate inversa dacă şi numai dacă nucleul sau :

conţine doar vectorul 0.

Pentru avem : .

Deoarece sistemul este omogen : are determinantul are

doar soluţia banală , deci .

Fie unde .

Rezultă: adică :

, unde A este matricea operatorului

U corespunzătoare bazelor canonice .

Avem :

Deci .

Pentru operatorul avem:

.

Fie .

.

Dar .





Rezultă .

d. Dacă matricea lui ,atunci

=matricea lui .

Dacă matricea lui .atunci

matricea lui .

Avem:

=

şi are matricea .

Dacă operatorul are matricea atunci are matricea

.

4.6 Fie operatorul , .Să se

afle matricea operatorului corespunzătoare bazelor , , din

şi , unde: ,

.

REZOLVARE;

Avem .

.

.

Rezultă : matricea lui corespunzătoare celor două baze .





4.7 Fie un operator liniar care are matricea corespunzătoare

bazelor canonice .Să se determine spectrul şi vectorii proprii ai lui

. Există o bază în în care matricea operatorului să fie diagonală ?

REZOLVARE:

Prin spectrul unui operator înţelegem mulţimea vectorilor proprii ale lui .

Valorile proprii sunt r ădăcinile ecuatiei unde este matricea

unitate. Avem :

, .

Vectorii proprii se găsesc rezolvând ecuaţia .

CAZ I: .

Ştiind că rezultă:

Dacă atunci vectorii proprii sunt .

CAZ II:

Vectorii proprii sunt: .

Deoarece spectrul lui este format din două valori distincte

rezultă că vectorii proprii sunt liniar independenţi şi formează o bază în .

De exemplu pentru vectorii : formează o bază în .

Matricea diagonală a lui este .

2.17 Fie un spaţiu vectorial peste corpul şi . Ar ătaţi că este inversabil dacă si numai dacă , dacă si numai dacă matricea asociată inorice bază dată este nesingular ă.

Dacă inversabil, atunci injectiv

şi implica , deci . Reciproc, dac

ă , atunci, pentru va rezulta

, deci , şi este injectiv.

Dacă este o bază a spaţiului , atunci injectiv implica sistem liniar independent, deoarece

deci si . Prin urmare Im si operatorul este

surjectiv. Dacă este inversabil si este matricea sa intr-o bază a spaţiului , atunci implică, pentru matricea asociată operatorului

.

deci şi este matricea nesingulara, iar

Reciproc, dacă este matricea nesingular ă şi este matricea asociată unui operator , atunci, din condiţia va rezulta

, deci operatorul este inversabil.





13. Fie matricea asociata unui operator liniar . Sa se arate ca:

a) este inversabila daca si numai daca nu este o valoare proprie a lui .

b) Daca este o valoare proprie a lui atunci este o valoare proprie a operatorului cu matricea

c) Daca este o valoare proprie nenula a lui atunci este nesingulara si este o valoare proprie a operatorului cu matricea A

d) Daca este o valoare proprie a operatorului cu matricea atunci exista astfel incat este o valoare proprie a

operatorului cu matricea .

Rezolvare:

a) Polinomul caracteristic al operatorului cu matricea se scrie

. Asadar

A este inversabila daca si numai daca nu este o valoare proprie a operatorului cu matricea

b) Fie o valoare proprie a operatorului cu matricea . Atunci exista astfel incat .

Atunci

Inductiv, obtinem ca si deci este valoare proprie a lui

c) Fie o valoare proprie a lui . Atunci exista astfel incat

Rezulta ca si deci

Cum obtinem ca si deci este o valoare proprie a lui

d) Mai intai se arata ca

Daca atunci

si deci astfel incat

14.Fie si unde . Sa se arate ca este diagonalizabila si sa se gaseasca polinomul

caracteristic al operatorului asociat.

Rezolvare:

fie o valoare proprie a operatorului cu matricea si un vector propriu corespunzator valorii proprii Atunci, implica faptul ca

Daca atunci din egalitatile de mai sus, obtinem

deci

Subspatiul propriu corespunzator valorii proprii este generat de . In plus, este liniar independent, deci el formeaza o baza in subspatiul

propriu si

Valoarea proprie asociata:

Daca atunci si deci subspatiul propriu este de dimensiune n-1.

si deci

Determinam acum o baza si dimensiunea lui





Daca , atunci

unde este baza canonica in

Deci

Vectorii genereaza deci ei formeaza un sistem de generatori in

In plus ei sunt liniar independenti deoarece

Deci vectorii formeaza o baza in si

In concluzie si deci este diagonizabila.

Cunoscand valorile proprii, polinomul caracteristic se scrie P

15. Fie o matrice neinversabila. Sa se gaseasca astfel incat A sa fie inversabila cu proprietatea

Rezolvare:

Matricea A fiind inversabila 0 este o valoare proprie a operatorului cu matricea A. Fie valorile proprii nenule ale operatorului A si Observam

ca este o valoare proprie a lui

Acest lucru este posibil daca

Deci daca atunci si deci este inversabila.

16. Fie A si B . Sa se arate ca operatorii cu matricele AB, respectiv, BA au acelasi polinom caracteristic.

Rezolvare:

Cazul 1. Matricea B este inversabila. Avem:

si

si deci

Cazul 2. Matricea este neinversabila.

In acest caz, exista astfel incat de indata ce , matricea este inversabila.

Conform cazului 1, operatorii liniari care au respectiv matricele si au acelasi polinom caracteristic:

Pentru fixat, fiecare determinant este un polinom in de grad cel mult n, deci pentru obtinem

17. Se considera matricele si Sa se arate ca valorile nenule ale operatorilor liniari care au matricele , respectiv coincid.

Rezolvare:

Bordam inferior matricea cu o linie avand toate elementele nule, iar matricea la dreapta cu o coloana avand toate elementele nule. Obtinem deci doua

matrici patratice de ordinul 3 pe care le notam si :





, , si .

Operatorii liniari care au respectiv matricile si B au acelasi polinom caracteristic. Prin urmare,

si deci valorile proprii nenule ale operatorilor care au matricele respectiv , coincid.

18.Fie cu proprietatea ca . Sa se arate ca toate valorile proprii ale operatorului cu matricea verifica ecuatia . Sa

se deduca apoi ca nu poate exista o matrice , avand elementele numere reale, care sa verifice relatia indicata.

Rezolvare:

Fie o valoare proprie a operatorului cu matricea si un vector propriu corespunzator valorii proprii . Deoarece , obtinem:

Cum , obtinem .

Presupunem ca exista o matrice cu elemente numere reale care verifica ecuatia .

Polinomul caracteristic al operatorului cu matricea , este un polinom de gradul 3 cu coeficienti numere reale, deci ecuatia are cel

putin o radacina reala. Deducem deci ca are cel putin o valoare proprie reala, ceea ce este in contradictie cu egalitatea verificata de orice

valoare proprie a operatorului cu matricea .

In concluzie, putem afirma ca nu exista matrice astfel incat .

6. Fie transformarea liniar ā : definitā într-o bazā prin matricea Sā se arate cā nu existā nici o bazā in faţā de care

matricea transformārii T sā aibā formā diagonalā.

Rezolvare: Ecuaţia caracteristicā este . Valorile proprii sunt . Sā determinām acum vectorii proprii. Pentru

coordonatele vectorului propriu satisfac sistemul Prin urmare, vectorul propriu corespunzātoresteu Pentru obţinem sistemul - Rangul acestui sistem este doi, astfel cā sistemul fundamental

de soluţii este format numai dintr-un vector, anume Vectorii proprii u şi u sunt liniar independenţi, dar nu formeazā bazā ī n . Din aceastā cauzā rezultā cā nu existā o bazā faţā de care matricea trasformārii sā aibā forma diagonalā.

7. Se consider ā transformarea liniar ā , definitā prin matricea A = , ī ntr-o bazā datā B. Sā se verifice cā transformarea T este

ortogonalā.

Rezolvare: Fie şi , astfel ca , Verificām

cā . Avem

- Prin urmare şi deci este o transformare ortogonalā.

8. Sā se determine care din urmātoarele aplicaţii sunt operatori liniari:

a)

b)

c)

d)

e)

9. Sā se arate cā urmātoarele aplica ii sunt operatori linari. Care dintre acestea sunt izomorfisme?





a)

b)

c)

d)

e)

f)

10. Sā se determine şi (sau) şi sā verifice cā acestea sunt operatori liniari, dacā:

a)

b)

c)

11. Fie transformarea liniar ā Sā se arate cā fiind aplicaţia identitate.

Rezolvare:

12. Sā se cerceteze dacā operatorul liniar:

a)

b)

c)

d)

e)

este inversabil şi sā se determine inversul sāu. Sā se verifice cā inversul este tot un operator liniar.

13. O translaţie în plan este datā de Este translaţia un izomorfism?

14. Sā se arate cā aplicaţia este un operator liniar . În se dau vectorii liniar

independenţi. Cum sunt imaginile lor, ?

Rezolvare: .

15. Fie operatorul liniar Sā se cerceteze dependenţa liniar ā a vectorilor

în şi a vectorilor imagine în ?

16. Se consider ā transformarea liniar ā definitā într-o bazā prin matricea . Sā se verifice cā este o transformare ortogonalā şi cā (

este transpusa matricei ):

a) ; b)

17. Sā se determine care din urmātoarele transformāri liniare sunt ortogonale:

a)





b)

c)

d)

e)

18. FIe transformarea liniar ā , definitā într-o bazā prin matricea . Sā se arate cā existā o bazā în faţā de care matricea transformāriiliniare are forma diagonalā. Sā se scrie matricea trecerii de la baza iniţialā la baza . Matricea transformārii este datā de:

a) ; b) ; c) ; d)

1. Fie operatorul liniar ,

a) Sa se determine valorile si vectorii proprii ai lui U

b) Sa se gaseasca o baza in R in care matricea operatorului sa fie diagonala

Rezolvare:

a) Avem: A=

valorile proprii.

Cazul I:

Deci vectorii proprii corespunzatori lui sunt

Cazul II:

multimea vectorilor proprii este

CazulII:

Multimea vectorilor proprii este:

Avand vectorii proprii sunt liniar independenti si formeaza baza in Rezulta ca vectorii:





formeaza baza in si matricea lui U corespunzatoare acestei baze e matricea diagonala:

2. Sa se determine o baza in care operatorul are matricea diagonala

Rezolvare: Vom cauta sa gasim o baza formata din vectorii proprii. Ecuatia caracteristica este:

Pentru din obtinem:

Vectorii proprii sunt:

Pentru

Vectorii proprii sunt

Vectorii: e formeaza o baza in si

si matricea corespunzatoare acestei baze este:

Problema 1

a ). Sa se determine toate aplicatiile liniare f : .

b ). Sa se precizeze apoi automorfismele spatiului R

Rezolvare

a ). Fixam in baza baza canonica B={(1,0),(0,1)} in raport cu care oricare ar fi , se scrie Pentru orice aplicatie

care este liniara avem: unde notam . Rezulta deci





b ). Deoarece injectivitatea sa este echivalenta cu bijectivitatea. Ori, iar .

Multimea a automorfismelor lui R formeaza un grup in raport cu operatia de compunere, izomorf cu grupul multiplicativ GL(2,R) al matricelor reale de

ordinul doi, inversabile. Izomorfismul este dat de functia unde B este baza canunica in R .

Problema 2

Fie aplicatia liniara f

a ). Determinati nucleul, imaginea si matricea aplicatiei in baza canonica (discutie dupa ).

b ). Sa se determine astfel ca

Rezolvare

Matricea sistemului este: A= cu . Daca atunci iar intrucat injectivitatea este echivalenta

cu surjectivitatea. Daca atunci o baza in este determinata de vectorii { } iar o baza in o extragem din sistemul de generatori f

(1,0,0)= f(0,1,0)= f(0,0,1)= adica {(1,1,1)}. Daca , din sistemul corespunzator obtinem solutia ( ) , . Deci o baza in

este {(1,1,1)} iar o baza in o extragem din familia de generatori {f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1)} adica {(-2,1,0)(1,-2,1)}. Matricea aplicatiei f in bazacanonica este A.

b ). In cazul avem {0} . In celelalte cazuri suma este directa si coincide cu R deoareca reuniunea bazelor din si este o

baza in R .

Problema 3

a ). Sa se afle sistemul liniar omogen care caracterizeza subspatiul , generat de polinoamele

.

b ). Sa se completeze o baza din S pana la o baza din R

Rezolvare

a ). A=

Un sistem liniar independent in S este { }.

b ). Modificam P

astfel si obtinem baza { }.

Problema 4

a ). Sa se determine aplicatia liniara f cu proprietatea ca: f(1,1,0)=(1,-1,1); f(0,1,0)=(1,2,3); f(0,1,1)=(2,1,4).

b ). Precizati si

Rezolvare

a ). Analog ca in problema 1, se arata ca orice aplicatie liniara f este de forma

. Se obtine sistemul liniar: a b c

a b c cu solutiile a a a b b b c c c . Deci

f(x x x )=(x x x x x x x x ).

b ). este spatiul solutiilor sistemului Ax unde A= , x=(x x x )' si . Se stie ca . O baza in este

{(1,1,-1)} . Rezulta ca . O baza in o extragem din familia de generatori f(1,1,0)=(1,-1,1),f(0,1,0)=(1,2,3),f(0,1,1)=(2,1,4), adicafamilia {(1,-1,1),(1,2,3)}.





Problema 5

Fie V un spatiu vectorial nenul peste corpul comutativ K, iar .

a ). Calculati si numarul tuturor bazelor lui V.

b ). Aflati numarul tuturor familiilor liniar independente formate cu vectorii din spatiul V.

c ). Determinati numarul subspatiilor de dimensiune din V.

d ). Exemplificati cazurile a), b), c) pentru , p-prim, , si .

Rezolvare

a ).

Problema 6

Fie E un spatiu vectorial de dimensiune finita peste corpul K si un operator liniar. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a ).

b ).

c ).

d ).

Rezolvare

a ) b ) . Cum si au dimensiuni egale rezulta

b ) c ) oricare ar fi . Deci exista , astfel ca si

. Deci , . Dar . Deci , de unde

.

c ) d )(evidenta)

d ) a ) implica . Deci . Pe de alta parte oricare ar fi

. Deci ceea ce conduce la (in baza dubleiincluziuni).

Problema 7

Fie un spatiu vectorial nenul peste corpul si operatorii .

a ). In cazul cand (sau ), iar spatiul este finit dimensional atunci egalitatea nu poate avea loc.

b ). In cazul cand si spatiul este finit dimensional atunci egalitatea este posibila.

c ). In cazul si , egalitatea poate avea loc.

Rezolvare

a ). Fie matricele operatorilor respectiv in raport cu o baza fixa in , . Egalitatea data se scrie sub forma echivalenta

in baza izomorfismului intre si . Luand urma matricelor in ambii membrii ai egalitatii obtinem:(absurd).

b ). Fie spatiul peste corpul si operatorii liniari avand in raport cu o baza fixa matricele: respectiv . Atunci

.

c ). Fie spatiul vectorial al functiilor reale derivabile definite pe . Atunci operatorii liniari definiti pe astfel: , , oricare ar fi





conduc la , oricare ar fi .

Problema 8

Fie aplicatia liniara , care in raport cu o baza fixata arbitrar, are matricea , numita matrice Frobenius.

a ). Aratati ca f este automorfism daca si numai daca . Determinati f si matricea acesteia in baza B.

b ). Sa se afle cate o baza in respectiv , in cazul cand .

c ). Daca , sa se arate ca .

Rezolvare

a ). Aplicatia f este inversabila daca si numai daca matricea A este inversabila . Fie o baza in . Atunci

. Rezulta iar

.

b ). Daca rezulta si .

c ). Matricea formata cu coordonatele vectorilor care apartin reuniunii celor doua baze di nucleu si imagine este: unde

. Deoarece rezulta ca reuniunea celor doua baze din nucleu respectiv imagine este o baza in .

Problema 9

Fie E un spatiu vectorial peste corpul K, , n si un operator liniar.

a ). Aratati ca afirmatiile urmatoare sunt echivalente:

1).

2).

b ). Sa se construiasca un operator liniar care satisface relatiile 1) si 2).

Rezolvare

1 ) 2 ) oricare ar fi pentru orice . Avem caci altfel si (absurd).

si . Rezulta 2 .

2 ) 1 ) oricare ar fi , pentru orice , pentru orice . Deci . Insa, si

. Rezulta de unde .

b ). Fie si . Aplicatia , are (prima bisectoare), si .

Problema 10

Fie un spatiu vectorial finit dimensional, peste K iar doua subspatii vectoriale.

a ). Sa se arate ca aplicatia , , pentru orice si este liniara.

b ).Precizati si ;deduceti apoi relatia .

c ). Daca atunci spatiile si sunt izomorfe.





Rezolvare

a ). oricare ar fi si oricare ar fi avem

.

b ). . (prin constructie f este surjectie). Am

vazut ca = . Reciproc oricare ar fi implica . Asadar aplicatia ; x

este bijectiva. Ea este liniara deoarece oricare ar fi si , de unde

. Rezulta ca spatiile si au aceeasi dimensiune. Subspatiile

sunt de dimensiune finita si deci . Din relatia si in baza rezultateloranterioare rezulta afirmatia.

c ). Daca atunci si au aceeasi dimensiune peste corpul K si deci sunt izomorfe.

Problema 11

Sa se determine o baza in subspatiul solutiilor sistemului liniar omogen:

, (discutie dupa ).

Rezolvare

sistem compatibil nedeterminat.

Se observa ca

Daca altfel

Rezulta pentru sistemul are solutia:

S={( )/ } o baza e {( ) si (0,2,1,0)}

Pentru se rezolva sistemul:

Problema 12

Fie E un spatiu vectorial peste corpul K comutativ, . Daca si sunt functionale liniare nenule din spatiul E (dualul lui E) si

exista scalari c astfel ca .

Rezolvare

Presupunem ca , sunt functionale liniar independente unde . In raport cu o baza din E avem: oricare ar fi ,

si , unde . Rezulta { } legata .

Problema 13

Functiile sunt liniar independente peste corpul real. Sa se arate ca exista scalarii astfel ca vectorii

sa fie liniar independenti.





Rezolvare

(inductie). Pentru n=1, evident deci , . Presupunand ca astfel ca rezulta ca functia

este diferita de zero vectori liniar independenti.

Problema 14

Fie K un corp comutativ si . Sa se arate ca in spatiul vectorial K , polinoamele alcatuiesc o familie libera.

Rezolvare

P

Prin inductie rezulta ca toti determinantii sunt diferiti de zero iar polinoamele alcatuiesc o familie libera.

Problema 15

Fie aplicatiile liniare , unde

si

1 ). Determinati nucleele si imaginile aplicatiilor date.

2 ). Scrieti matricele aplicatiilor in baza { }.

3 ). Pentru care aplicatie suma directa dintre nucleu si imagine coincide cu V ?

Rezolvare

1 ).

Deci iar , unde si . de unde g

injectiva g bijectiva, si (deoarece si sunt independenti) si . Deci

iar . .Daca atunci oricare ar fi . Daca atunci

rezulta ca . Inlocuind pe in ecuatia rezulta, in baza independentei vectorilor si , sistemul:

cu determinantul . Deci .

2 ). Fie baza B={ } . Atunci M M

M M

3 ). Porprietatea are loc pentru toate aplicatiile.

1.16 Fie f:R R , f (x ,x ,x ,x ) = ( x +x +x , x -x , x -x ). Sa se determine

Rezolvare:

Nucleul unui operator liniar se defineste: ={ x X





x +x +x = 0 x +x +x = 0 x = -2a

x - x = 0 x = x = a x = a , a R

x - x = 0 x = x = a x = a

f(x) = {(-2a,a,a,a) a R}

f(x) = 1.

1.17 Sa se scrie matricele transformarii liniare f:R R , f(x,y,z) = ( x-y+z, y+z, x-z ) relativ la baza canonica si relativ la baza B ={ f = (1,1,1); f =

(0,1,1); f = (0,0,1)}.

Rezolvare:

Matricea asociata lui f in baza canonica este A =

formula de trecere in baza B este B = C AC, unde C = este matricea de trecere din baza canonica in baza B.

Pentru calcularea lui C se aplica Regula Pivotului matricei C.

Astfel se obtine C =

B = C AC = = =

1.18 a)Fie f:R R , f(x,y,z) = ( x-y+z, y, y). Sa se arate ca f = f si ca R = f (1-f).

b) Fie g:R R o aplicatie R-liniara, astfel ca g - g + 1 = 0. Sa se arate ca g este un izomorfism.

Rezolvare:

a) Fie B = { e ,e , e ,} o baza canonica in R . Matricea asociata lui f in baza canonica este

A = Cum A = A rezulta si f = f.

A = A A = =

Imaginea unui operator liniar se defineste ca: = { v R

f f f b e e e

1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 1

f 1 0 0 0 1 0 0

e 0 1 0 0 -1 1 0

f 1 1 1 0 0 0 1

e 1 0 0 0 1 0 0

e 0 1 0 0 -1 1 0

e 0 0 1 0 -1 -1 1





v = f(u) v = v = , u = ( x, y, z)

f = { v = ( v , , ) = v (1, 0, 0) + (0,1,1)

Pentru u = (x,y,z) (1 - f)(u) = u - f(u) = (x,y,z) - (x-y+z, y, y) = ( y-z, 0, z-y).

(1 - f) = { w R

w = f(u) w = 0 si w = - w = , R

(1 - f ) = { w = ( ,0, ) = (1,0,-1)

Cum B = { g = (1,0,0); g = ( 0,1,1) } este o baza in f si B = { h = (1,0,-1)} e o baza in (1 - f) f (1-f) = {0}.

Pentru orice x = (x ,x ,x ) R avem x = m g + m g + m h.

b) g - g + 1 = 0 (g - g + 1)(x) = 0 x R ,

g(g(x)) - g(x) + x = 0 (g (1-g))(x) = ((1-g) g)(x) =x x R g = 1-g.

1.19 Pentru p R fixat, definim aplicatia f:R R , f(q) = pq, q R si g:R R , g(q) = p + q q R :

a) Sa se arate ca f este un endomorfism.

b) In ce caz f este un izomorfism?

c) Pentru ce p, aplicatia g este liniara?

Rezolvare:

a) Fie a,b R si , R f(ar + bp) = p(a + b ) = af( ) + bf( ).

b) f = { 0 } pq = 0 p = 0.

c) Pentru ca g sa fie operator liniar trebuie ca g sa verifice relatia: f( x + y) = f(x) + f(x)

g( + ) = g( ) + g( ) = 2p + + = p + + p = 0

1.20 Fie V = (C) si A V o matrice fixata.Se considera aplicatiile f:V V, f(X) = AX - XA si g:V V, g(X) = AX - XA.Sa se arate ca f si g sunt C-liniare iar incazul n = 2, sa se scrie matricile asociate lui f si g, relativ la baza canonica a lui V.

Rezolvare:

Pentru ca f si g sa fie operatori C-liniari trebuie sa indeplineasca urmatoarea conditie:

f( x + y) = f(x) + f (x) , V

f:V V, f(X) = AX -XA

f( X + Y) = A( X + Y) - ( X + Y)A = AX + AY - XA - YA = (AX - XA) + (AY - YA) = f(X) + f(Y) , , V si X,Y V

g:V V, g(X) = AX - XA

g( x + y) = A( X + Y) - ( X + Y)A = AX + AY - XA - YA = ( AX - XA) +

( AY - YA) = g(X) + g(Y).

Se considera A =





Matricea asociata lui f in baza canonica este: M (f) = si matricea asociata lui g in baza canonica este: M (g) =

.

1.21 Fie V = R , a R si B = { 1, X - a, (X - a) , ... ,(X - a) }.

a) Sa se arate ca B e o baza a lui V;

b) sa se scrie matricea asociata aplicatiei liniare f:V V, f(p) = q, q(x) = x p (x) + xp (x), x R , relativ la baza B .

Rezolvare:

a) Fie o combinatie liniara nula a vectorilor multimii B + (X - a) + (X - a) + ... + (X - a) = 0 = = ... = = 0

1,(X -a), (X - a) , ... , (X -a) liniar independenti.

Fie f = + X + ... + X , f V f(a) = 0 ,deci :

+ (X - a) + ... + (X - a) = + X + ... + X si identificand coeficientii puterilor asemenea din cei doi membrii obtinem:

Matricea de trecere in baza B este M (f) = , unde formula de schimbare a bazei este M (f) = C M (f) C , si C =

.

1.22 Fie V = R si a,b R arbitrari. Definim aplicatia f:V V, f(p)(x) = p(ax + b), x R.

a) sa se arate ca f este un operator liniar si sa se determine matricea lui in baza canonica;

b) sa se determine conditia pe care o satisfac constantele a si b, astfel incat f sa fie un izomorfism.

Rezolvare:

a) Pentru ca f sa fie operator liniar trebuie sa satisfaca urmatoarea conditie:

f( x + y) = f(x) + f(y) , , R si x,y V

f(p + p ) (x) = (p + p )(ax + b) = p (ax + b) + p (ax + b) = f(p ) (x) + f(p ) (x), p ,p V

Matricea operatorului liniar in baza canonica este: M (f) =

b) f(p ) = f(p ) p (ax+b) = p (ax + b) sau, a (ax +b) + a (ax + b) + ... + a (ax + b) + a = b (ax + b) + ... + b (ax + b ) +b





p = p a 0 si b R f injectiva. Din definitie f este surjectiva f

izomorfism.

1.23 Pe spatiul vectorial real al functiilor polinomiale de grad cel mult n, notat cu R se definesc functiile:

p(x) (p(x)) = xp(x)

p(x) (p(x)) = x tp(t) dt, x R.

1) Sa se arate ca si sunt transformari liniare,

2) sa se verifice ca este injectiva, dar nu este surjectiva.

Rezolvare:

1) Pentru a demonstra ca sunt transformari liniare trebuie sa verifice urmatoarea conditie:

f( x + y) = f(x) + f(y) , V

(p (x) + p (x)) = x(p (x) + p (x)) = xp (x) + xp (x) = (p (x)) + (p (x)), p ,p R

(p (x) + p (x)) = x( tp (t)dt + tp (t)dt) = x tp (t)dt + x tp (t) = (p (x)) + (p (x)), p ,p R

2) Deoarece (p(x)) = xp(x) = 0, x R, implica p(x) = 0, x R, adica p(x) = 0, transformarea liniara este injectiva.Ea nu este surjectiva intrucat nu oricepolinom real de grad n+1 este divizibil cu x.

1.24 Fie V un spatiu vectorial real finit dimensional.Sa se determine operatorii liniari f:V V ale caror matrice asociate in orice baza a lui V sunt egale.

Rezolvare:

Fie M (f) si M (f) matricile asociate lui f in cele doua baze. Conform legii de schimbare a bazelor avem: M (f) = C M (f) C.

Daca M (f) = M (f) = M CM = MC .Cum C este arbitrara, inversabila M = I cu R, iar I matricea unitate de ordin n.

1.25 Fie p, numere reale si V = R , n 2. Notam cu U = {p V q( ) = 0 si q( ) = 0}:

a) sa se arate ca U si U sunt subspatii vectoriale ale lui V:

b) sa se arate ca B = { X - ,X(X - ), ... ,X (X - )} formeaza o baza pentru U , iar B = {(X - )(X - ),X(X - )(X - ), ... ,X (X - )(X - )}, constituie o

baza pentru U

c) sa se determine matricea asociata lui f in raport cu baza canonica a lui V in cazul n = 3.

Rezolvare:

a) Se aplica criteriu de subspatiu

Se aplica criteriu de subspatiu pentru U

p,q V (p + q)( ) = p( ) + q( ) = 0 p + q U

R ( p)( ) = p( ) = 0 p U

U este subspatiu al lui R .

Se aplica criteriu de sibspatiu pentru U

(p + q)( ) = p( ) + q( ) = 0 p + q U

R ( q)( ) = q( ) = 0 q U





U este subspatiu vectorial al lui V

b) Fie o combinatie l iniara nula a vectorilor multimii B : a (X - ) + a X(X - ) + ... + a X (X - ) = 0 (X - )(a + a X + ... + a X ) = 0

1, X, X , . .. ,X l iniar independent i a = a = .. . = a = 0

(X - ), X(X - ), ... , X (X - ) - liniar independenti

Fie p = b + b X + . .. + b X , p U . Rezulta ca p( ) = 0 , deci

p = (X - )(a + a X + ... + a X ) = a (X - ) + a X(X - ) + ... + a X (X ), unde a ,a , ... ,a R

Rezulta ca a (X - ) + a X(X - ) + ... + a X (X - ) = b + b X + ... + b X si identificam coeficientii puterilor asemenea din cei doi membrii obtinem:

Deci p U , a ,a , ... , a R astfel incat p = a (X - ) + a X(X - ) + ... + a X (X - ) adica B este sistem de generatori .

Fie o combinatie liniara a vectorilor multimii B : a (X - )(X - ) + a X(X - )(X - ) + ... + a X (X - )(X - ) = 0

a = a = ... = a = 0

(X - )(X - ); X(X - )(X - ); ... ;X (X - )(X - ) - liniar independenti

Fie q = b + b X + ... + b X , q U . Din rezulta ca

q = (X - )(X - )(a + a X + ... + a X ) = a (X - )(X - ) + a X(X - )(X - ) + ... +a X (X - )(X - ) , unde a , a , ... , a R

Rezulta ca a (X - )(X - ) + a X(X - )(X - ) + ... + a X (X - )(X - ) = b + b X + ... + b X si identificam coeficientii puterilor asemenea din cei doimembrii obtinem:

Rezulta ca B este baza in U

c) Matricea asociata lui f in raport cu baza canonica este: M (f) =

1.26 Fie f:R , f(p) = .

a) sa se arate ca f este o transformare liniara si sa se determine matricea asociata reletiv la bazele canonice din cele doua spatii.

b) sa se determine f, f construind efectiv bazele in cele doua subpatii.

c) sa se determine un subspatiu U asa incat U = M (R).

Rezolvare:

a)Pentru ca f sa fie o transformare liniara trebuie sa indeplineasca urmatoarea conditie:





f( p + q) = f(p) + f(q) , R

f( p + q) = = = +

= + = f(p) + f(q).

b) Fie p = a X + a X + a ; p'(x) = 2a X + a p (x) = 2a

f(p) = f(p) = 0 rezul ta a = a = 0 , a ,k R

= {kX k R} = 1, pentru ca o baza a lui e multimea {X }.

Fie A = M (R) pentru care exista p = x + x + astfel incat f(p) = A = =

In concluzie = {A = 2a + a + a = 0} s i exista p = X + a X + a astfel incat f (p) = A . Avand in vedere ca 2a + a + a = 0 a

= -2a - a

Atunci A implica A = = a + a + a

In concluzie multimea constituie o baza a lui .Deci = 3.

c) De exemplu U =

1.27 Fie V un spatiu vectorial real tridimensional si B = {e , e , e } o baza a lui V. Fie aplicatia liniara f:V V asa incat, f(e ) = e , f(e ) = e , f(e ) = e .Sa se

determine R si vectorii x V asa incat f(x) = x.

Rezolvare:

Fie f(x) = { a x + a x + a x ; b x + b x + b x ; c x + c x + c x }

f(x) = (x ,x ,x )

Pentru ca f(x) = x = 1 x = (x ,x ,x ) = (a,a,a) , a R\ {0}

1.28 Fie f End (V ).Aplicatie liniara f: V V care coincide punctual cu f se numeste reprezentare reala a endomorfismului f.

1) Stiind ca M (f) este matricea atasata lui f in baza B = {e , ... , e } a lui V sa se determine matricea asociata lui f in baza B = {e ,e , ... , e ,ie , ... ,ie }

corespunzator in V

2) Daca V = C si f(x) =(x + ix , x + x , ix ), x = (x ,x ,x ) C sa se determine matricea lui f in baza C , corespunzatoare bazei T = {f = (0,i,1); f =

(0,0,i); f = (i,-2,0)} din C

Rezolvare:

1)Fie M (f) = (a ) M (C) f(e ) = a e ,k =1,n R (e ) = f(e ) = a e = ( + i )e = e + (ie )





f(ie ) = if(e ) = (- )e + (ie )

Notam A = ( ) M (R) B = ( ) M (R)

M ( f)= = M R

2)Trebuie sa determinam mai intai matricea asociata lui f in baza data.Fie B = {e = (1,0,0); e = (0,1,0); e = (0,0,1)} baza canonica in C .Atunci cum :

rezulta ca M (f) =

Deoarece f = ie + e ; f = ie ; f = -ie -2e + 2e , rezulta ca matricea de trecere de la baza B la baza T este C = si atunci M (f) = C M (f)

C = = + i = A + iB

M ( f) = =

1.29 Fie R = U U , unde U este generat de {e ,e , . .. , e } ,U este generat de {e , . .. , e } , iar { e ,e , . .. , e , e , . .. , e } este baza canonica a lu i

R .

Sa se arate ca proiectia lui R pe U este o transformare liniara.Sa se determine matricea acestei transformari in raport cu baza {e ,e , ... ,e }.

Rezolvare:

Descompunerea x = x + x este unica x U si x U .Notam cu P proiectia lui R pe U functia definita prin x P(x) = x .

Daca y R si k,l R avem descompunerea y = y + y - unica cu y U si y U , iar kx + ly = (kx + ly ) + (kx + ly ), unica , cu kx + ly U si kx +

ly U (deoarece prin ipoteza U si U sunt subspatii vectoriale) P este liniara deoarece P(kx + ly) = kx + ly = kP(x) + lP(y). Din faptul ca e R , i=1,n

putem scrie e = .

Matricea atasata lui P in baza {e ,e , ... , e } este P =

1.30 Daca f si f L (R ,R ) sunt date prin matricele T = T = in raport cu baza canonica a lui R , atunci:

1) sa se determine imaginea lui x = (0,1,-1) prin f ,f ,f ,f ;

2) sa se determine imaginea lui y = (1,3,-2) prin (f + f ) si (f + f ) ;





3) sa se determine imaginea lui z = (1,2,0) prin f f si f f unde f f este produsul endomorfismelor.

Rezolvare:

f = f =

1) x = (0,1,-1) f (x) = (1,1,-1)

f (x) = (2,3,-5)

Pentru a afla f se aplica lui f regula pivotului

f = f (x) =

Pentru determinarea lui f se aplica regula pivotului pentru f .

f = ; f (x) =

2) f + f T + T = (f + f ) (x) = (f + f )(y) = (13,14,-9)

3)Pentru determinarea lui f f s i a lui f f se calculeaza T T si T T

T T = (f f )(x) = (f f )(z)=(29,16,23)

v v v b e e e

3 1 0 0 1 0 0

0 2 1 0 0 1 0

1 2 3 0 0 0 1

e 0 -5 -9 0 1 0 -3

v 0 2 1 0 0 1 0

v 1 2 3 0 0 0 1

e 0 -5 -9 0 1 0 -3v 0 2 1 0 0 1 0

e 1 0 2 0 0 -1 1

v v v b e e e

e 0 -5 -9 0 1 0 -3

e 0 1 0 0 0

e 1 0 2 0 0 -1 1

0 0 0 1 -1

0 1 0 0 0

1 0 2 0 0 -1 1

0 0 1 0 -0 1 0 0 0

1 0 2 0 0 -1 1

v v v b e e e

e 0 0 1 0 - -

e 0 1 0 0 -

e 1 0 0 0 -

v v v b e e e

-1 4 2 0 1 0 0

0 4 1 0 0 1 0

0 0 5 0 0 0 1

1 -4 -2 0 -1 0 0

0 1 0 0 0

e 0 0 1 0 0 0

v v v b e e e

1 -4 -2 0 -1 0 0

e 0 1 0 0 0 -

e 0 0 1 0 0 0

e 1 0 0 0 -1 1 -

e 0 1 0 0 0 -

e 0 0 1 0 0 0





T T (f f )(x) =

(f f )(z) = (21,21,25)

2.6. Sa se arate ca daca este operatorul de derivare, atunci nu este diagonalizabil.

2.7. Fie asa incat e inversabila si Sa se arate ca daca are valorile proprii distincte si atunci

valorile proprii ale lui apartin semiplanului

cum ( si

2.8 Fie si -polinomul caracteristic al matricei .Sa se determine polinoamele caracteristice ale matricelor si intreg.

unde este valoarea proprie si vectorul propriu.

Cum si

polinomul caracteristica al lui este polinomul caracteristic al lui

polinomul caracteristic al lui este

Cum dar polinomul caracteristic al lui este

2.9 Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii in cazul endomorfismelor:

1)

Fie vector propriu unde este valoarea proprie

nu exista nici un astfel incat deci nu are vectori si valori proprii.

2.14 Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii pentru endomorfismele , cunoscand matricea endomorfismului in baza canonica a lui , incazurile:

1) A=

(x)= x

(1)

Ecuatia caracteristica:

are radacinile: care sunt valorile proprii ale lui





Determinam vectorii proprii:

pentru

pentru inlocuind in sistemul (1) se obtine:


2)B=

(x)= x

(1)


are radacinile care sunt valorile proprii ale lui

Determinam vectorii proprii :




3)C=

(x)= x

(1)


are radacinile care sunt valorile proprii ale lui

Determinam vectorii proprii pentru:



4)D=

(x)= x





(1)


are radacinile care

sunt valorile proprii ale lui

Determinam vectorii proprii :

pentru inlocuind valoarea in sistemul (1) se obtine:


5)E=

(x)= x

(1)


are radacinile care sunt valori proprii ale lui

Determinam vectorii proprii pentru inlocuind in sistemul (1) se obtine:

2.15 Fie endomorfismul : , , este un -spatiu vectorial -dimensional, definit prin matricea asociata lui intr-o baza a spatiului . Sa se

determine o baza in care are forma diagonala scriin efectiv forma diagonala in cazurile cand e posibil acest lucru:n=4

1)A=

(x)= x

(1)


are radacinile care sunt valorile proprii ale lui .

Determinam vectotii proprii pentru:

inlocuind valoare in sistemul (1) se obtin:








Pentru se verifica daca vectorii formeaza o baza, adica sunt liniar independenti si formeaza un sistem de generatori.

Vectorii sunt liniar independenti daca din

(2)

M= este matricea atasata sistemului (2)

detM= sunt liniar independenti si formeaza un sistem de generatori, deci o baza B={

}, iar in baza B are forma diagonala:

[ ]

n=2

2)A=

(x)= x

(1)



Determinam vectorii propri inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem:

pentru

pentru


Vectorii sunt liniar independenti daca pentru

sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar in baza B are forma

diagonala:





[ ] =

3)A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru




diagonala:

[ ] =

4) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru








diagonala:

[ ] =

5) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru




diagonala:

[ ] =

6) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru








diagonala:

[ ] =

7) A=

(x)= x

(1)



Determinam vectorii propri inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem pentru .Matricea asociata lui nu este

diagonalizabila deoarece ordinul de multiplicitate al valorii proprii nu este egal cu dim unde .

8) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru




diagonala:

[ ] =





9) A=

(x)= x

(1)



Determinam vectorii propri inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem pentru .Matricea asociata lui nu este

diagonalizabila deoarece ordinul de multiplicitate al valorii proprii este diferit de dim , unde (multimea vectorilor proprii).

10) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru




diagonala:

[ ] =

11) A=

(x)= x

(1)







Determinam vectorii propri inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem pentru Matricea asociata lui nu

este diagonalizabila deoarece ordinul de multiplicitate al valorilor proprii nu este egal cu dim ,

n=3

12) A=

(x)= x

(1)



Determinam vectorii proprii inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem:

pentru

pentru

pentru



sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar in baza B

are forma diagonala:

[ ] =

13) A=

(x)= x

(1)








pentru

pentru





[ ] =

14) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru

pentru









[ ] =

15) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru

pentru



sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar in baza B are

forma diagonala:

[ ] =

16) A=

(x)= x

(1)








pentru

pentru

pentru





[ ] =

17) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru









[ ] =

18) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru




forma diagonala:

[ ] =

19) A=

(x)= x

(1)








pentru

pentru

Matricea nu este diabonalizabila deoarece ordinul de multiplicitate al valorilor proprii nu corespunde cu , unde

20) A=

(x)= x

(1)



Determinam vectorii proprii inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem pentru

Matricea nu este diagonalizabila deoarece ordinul de multiplicitate al valorilor proprii nu este egal cu dim

n=4

21) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru







sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar

in baza B are forma diagonala:

[ ] =

22) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru





[ ] =





23) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru

pentru

pentru



sunt l iniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ },

iar in baza B are forma diagonala:

[ ] =

24) A=

(x)= x

(1)








pentru

pentru





[ ] =

25) A=

(x)= x

(1)



Determinam vectorii proprii inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem pentru

Matricea nu este diagonalizabila deoarece ordinul de multiplicitate al valorii proprii este diferit de

dim





26) A=

(x)= x

(1)



Determinam vectorii proprii inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem: pentru



sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza

B={ }, iar in baza B are forma diagonala:

[ ] =

2.16.Fie un endomorfism pe un spatiu vectorial -dimensional definit prin matricea asociata intr-o baza a spatiului U .Sa se determinebaza formata de vectorii proprii(cand este posibil) si sa se scrie forma diabonala in aceasta baza, in cazurile:

n=2

1) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru








diagonala:

[ ] =

2) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru




forma diagonala:

[ ] =

3) A=

(x)= x

(1)








pentru

pentru




diagonala:

[ ] =

4) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru




diagonala:

[ ] =

5) A=

(x)= x

(1)








pentru

pentru





[ ] =

n=3

6) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru

pentru



sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar in





baza B are forma diagonala:

[ ] =


Date post:	13-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	mihai
View:	220 times
Download:	1 times

06._Operatori_liniari_1 (exercitii)

Documents