6 CAPITOLUL I NUMERE NATURALE I.1. I.1. I.1. I.1. Compararea şi ordonarea numerelor naturale Compararea şi ordonarea numerelor naturale Compararea şi ordonarea numerelor naturale Compararea şi ordonarea numerelor naturale Proprietăţile inegalităţii între numere naturale Reţineţi! Numărul natural a este mai mare sau cel mult egal cu numărul natural b dacă există un număr natural c astfel încât să avem a = b + c. 1. a ≤ a, oricare ar fi a număr natural (reflexivitatea); 2. a ≤ b şi b ≤ a ⇒ a = b (antisimetria); 3. a ≤ b şi b ≤ c ⇒ a ≤ c (tranzitivitatea); 4. a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c şi a – d ≤ b – d (oricare ar fi c şi d numere naturale cu a ≥ d şi b ≥ d); 5. a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c (oricare ar fi c număr natural); 6. a ≤ b ⇒ a : c ≤ b : c (oricare ar fi c număr natural nenul, iar a: c şi b: c sunt numere naturale); 7. Oricare ar fi numerele naturale a şi b are loc una şi numai una din relaţiile: a > b sau a = b sau a < b. Probleme rezolvate: 1. Pe o tablă sunt scrise numerele 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 23, 48. Dan și Ana au șters fiecare câte patru numere și au observat că suma numerelor șterse de Dan este de patru ori mai mare decât suma numerelor șterse de Ana. a) Ce număr a rămas pe tablă? b) Ce numere a șters fiecare copil? (Concursul „Florica T.Câmpan“, etapa județeană, Iași, 2012) Rezolvare: a) Notăm cu a, b, c, d numerele șterse de Dan și cu e, f, g, h, e < f < g < h cele șterse de Ana și cu p numărul care a rămas pe tablă. Avem: a + b + c + d = 4 · (e + f + g + h) și 5 · (e + f + g + h) + + p = 109, (1). Prin încercări se obține p = 9, soluție unică. b) Dacă p = 9, din (1) rezultă e + f + g + h = 20. Se observă că e ≥ 3 conduce la situații imposibile. Dacă e = 1, atunci f + g + h = 19, de unde f = 2, g = 7 și h = 10 sau f = 3, g = 6, h = 10. e = 2, conduce la f + g + h = 18, imposibil. Prin urmare, Ana a șters numerele 1, 2, 7, 10, iar Dan numerele 3, 6, 23 și 48 sau Ana a șters numerele 1, 3, 6, 10 iar Dan numerele 2, 7, 23 și 48. 2. Se numește număr „împerecheat“ un număr natural scris în baza zece care are patru cifre și este format din două perechi de cifre egale (exemple: 5577, 7755, 5555, 5757 etc.). a) Găsiți toate numerele „împerecheate“ care au suma 2011. b) Dacă se așază într-un șir toate numerele „împerecheate“ în ordine crescătoare, aflați primii patru și ultimii patru termeni ai șirului. c) Câte numere „împerecheate“ există? Justificați răspunsul! (Concursul „Matematica de drag“, Bistrița, 2013, Cătălin Budeanu) Rezolvare: a) 1001 + 1010 = 2011. b) 1001, 1010, 1100, 1111, ..., 9966, 9977, 9988, 9999. c) Numerele sunt formate cu cifrele a și b, unde a și b sunt numere nenule distincte. Avem 6 numere împerecheate formate cu cifrele a și b: aabb , abab , abba , bbaa , baba , baab . Dacă a = 1 și b ∈ {2, 3, ..., 9} avem 8 · 6 = 48 numere împerecheate. Dacă a = 2 și b ∈ {3, 4, ..., 9} avem 7 · 6 = 42 numere împerecheate. Dacă a = 3 și b ∈ {4, 5, ..., 9} avem 6 · 6 = 36 numere împerecheate. Dacă a = 4 și b ∈ {5, 6, 7, 8, 9} avem 6 · 5 = 30 numere împerecheate. Dacă a = 5
Transcript
6
CAPITOLUL I
NUMERE NATURALE
I1I1I1I1 Compararea şi ordonarea numerelor naturaleCompararea şi ordonarea numerelor naturaleCompararea şi ordonarea numerelor naturaleCompararea şi ordonarea numerelor naturale
Proprietăţile inegalităţii icircntre numere naturale
Reţineţi Numărul natural a este mai mare sau cel mult egal cu numărul natural b dacă există un număr natural c astfel icircncacirct să avem a = b + c 1 a le a oricare ar fi a număr natural (reflexivitatea) 2 a le b şi b le a rArr a = b (antisimetria) 3 a le b şi b le c rArr a le c (tranzitivitatea) 4 a le b rArr a + c le b + c şi a ndash d le b ndash d (oricare ar fi c şi d numere naturale cu a ge d şi b ge d) 5 a le b rArr a c le b c (oricare ar fi c număr natural) 6 a le b rArr a c le b c (oricare ar fi c număr natural nenul iar a c şi b c sunt numere naturale) 7 Oricare ar fi numerele naturale a şi b are loc una şi numai una din relaţiile a gt b sau a = b
sau a lt b
Probleme rezolvate 1 Pe o tablă sunt scrise numerele 1 2 3 6 7 9 10 23 48 Dan și Ana au șters fiecare cacircte patru numere și au observat că suma numerelor șterse de Dan este de patru ori mai mare decacirct suma numerelor șterse de Ana a) Ce număr a rămas pe tablă b) Ce numere a șters fiecare copil
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012) Rezolvare a) Notăm cu a b c d numerele șterse de Dan și cu e f g h e lt f lt g lt h cele șterse de Ana și cu p numărul care a rămas pe tablă Avem a + b + c + d = 4 middot (e + f + g + h) și 5 middot (e + f + g + h) + + p = 109 (1) Prin icircncercări se obține p = 9 soluție unică b) Dacă p = 9 din (1) rezultă e + f + g + h = 20 Se observă că e ge 3 conduce la situații imposibile Dacă e = 1 atunci f + g + h = 19 de unde f = 2 g = 7 și h = 10 sau f = 3 g = 6 h = 10 e = 2 conduce la f + g + h = 18 imposibil Prin urmare Ana a șters numerele 1 2 7 10 iar Dan numerele 3 6 23 și 48 sau Ana a șters numerele 1 3 6 10 iar Dan numerele 2 7 23 și 48 2 Se numește număr bdquoicircmperecheatldquo un număr natural scris icircn baza zece care are patru cifre și este format din două perechi de cifre egale (exemple 5577 7755 5555 5757 etc) a) Găsiți toate numerele bdquoicircmperecheateldquo care au suma 2011 b) Dacă se așază icircntr-un șir toate numerele bdquoicircmperecheateldquo icircn ordine crescătoare aflați primii patru și ultimii patru termeni ai șirului c) Cacircte numere bdquoicircmperecheateldquo există Justificați răspunsul
(Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 Cătălin Budeanu) Rezolvare a) 1001 + 1010 = 2011 b) 1001 1010 1100 1111 9966 9977 9988 9999 c) Numerele sunt formate cu cifrele a și b unde a și b sunt numere nenule distincte Avem 6
numere icircmperecheate formate cu cifrele a și b aabb abab abba bbaa baba baab Dacă a = 1 și b isin 2 3 9 avem 8 middot 6 = 48 numere icircmperecheate Dacă a = 2 și b isin 3 4 9 avem 7 middot 6 = 42 numere icircmperecheate Dacă a = 3 și b isin 4 5 9 avem 6 middot 6 = 36 numere icircmperecheate Dacă a = 4 și b isin 5 6 7 8 9 avem 6 middot 5 = 30 numere icircmperecheate Dacă a = 5
7
și b isin 6 7 8 9 avem 6 middot 4 = 24 numere icircmperecheate Dacă a = 6 și b isin 7 8 9 avem 6 middot 3 = 18 numere icircmperecheate Dacă a = 7 și b isin 8 9 avem 6 middot 2 = 12 numere icircmperecheate Dacă a = 5 și b = 9 avem 6 middot 1 = 6 numere icircmperecheate Icircn total avem 6 middot (1 + 2 + hellip + 8) = 6 middot 8 middot 9 2 = 216 numere icircmperecheate Icircn total avem 6 middot (1 + 2 + hellip + 8) = 6 middot 8 middot 9 2 = 216 numere icircmperecheate
Dacă a = b atunci numerele sunt de forma aaaa unde a isin 1 2 9 și atunci vor fi 9 numere
icircmperecheate Dacă b = 0 atunci numere icircmperecheate vor fi de forma 00aa 0 0a a și 00a a unde a isin 1 2 3 9 și vor mai fi 3 middot 9 = 27 numere icircmperecheate Icircn total 216 + 9 + 27 = 252 numere icircmperecheate 3 Se dă mulțimea A = a1 a2 a3 a2012 a2013 unde a1 = 1 a2 = 7 a3 = 17 a4 = 717 a5 = 17717 a6 = 71717717 hellip (fiecare element al mulțimii A este un număr format prin bdquolipirealdquo celor două numere din fața sa Aflați a) Cacircte cifre are a11 b) a 16-a cifră a lui a2013 c) a 20-a cifră a lui a2012 Justificați răspunsul
(Concursul bdquoUnirealdquo Focșani 2013 Artur Bălăucă) Rezolvare a) a7 are 5 + 8 = 13 cifre a8 are 8 + 13 = 21 cifre a9 are 13 + 21 = 34 cifre a10 are 21 + 34 = 55 cifre a11 are 34 + 55 = 89 cifre b) Se observă că a9 are mai mult de 16 cifre iar primele 16 cifre ale numerelor a11 a13 a2013 sunt aceleași cu primele 16 cifre a lui a2013 Deci a 16-a cifră a lui a2013 este 7 c) a8 are mai mult de 20 cifre iar primele 20 cifre ale numerelor a10 a12 a2012 sunt aceleași cu primele 20 cifre a lui a2012 A 20-a cifră a lui a2012 este 1 4 Pe o tablă sunt scrise numerele 1 3 4 6 8 9 11 12 16 Gigel și amicul său Ionel au șters fiecare cacircte patru numere și au observat că suma numerelor șterse de unul dintre copii este de trei ori mai mare decacirct suma numerelor șterse de celălalt i) Ce număr a rămas pe tablă ii) Ce numere a șters fiecare copil Justificați răspunsurile
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2014) Rezolvare a) i) Notăm cu s suma tuturor numerelor șterse de cei doi copii cu r numărul care rămacircne pe tablă și cu A = 1 3 4 6 8 9 11 12 16 Avem 4s și s lt 70 Dacă s = 68 atunci r = 2 imposibil 2 notin A Dacă s = 64 atunci r = 6 soluție 6 isin A Dacă s isin 60 56 atunci r isin 10 14 imposibil 10 14 notin A Dacă s le 52 atunci r ge 18 imposibil r notin A Prin urmare r = 6 ii) Gigel șterge numerele 1 3 4 și 8 iar Ionel șterge numerele 9 11 12 și 16 sau invers 5 Numerele naturale sunt așezate ca icircn tabelul de mai jos Să se afle numărul liniei și a coloanei pe care este scris numărul 2014 (Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2014 Artur Bălăucă)
2016 se află pe linia 1 coloana a 63-a Deci 2014 se află pe linia a 3-a coloana 61 6 Există numere naturale astfel icircncacirct suma şi diferenţa lor să conţină toate cifrele din sistemul zecimal de numeraţie o singură dată Justificaţi răspunsul
1 Suma dintre cel mai mare şi cel mai mic număr de patru cifre distincte este A) 10890 B) 10899 C) 10898 D) 10900
2 Reconstituiţi icircnmulţirea a) 3 x b) 46 x
7 0
37 178 unde steluţele reprezintă cifre scrise icircn baza 10
3 Scrieţi icircn ordine crescătoare toate numerele naturale de două cifre care se pot forma cu cifrele 0 1 2 3 4 5 6 7 şi care se icircmpart exact la 3
4 Icircn expresia 8 middot30 + 48 8 + 4 puneţi paranteze astfel icircncacirct să se obţină a) cel mai mic număr posibil b) cel mai mare număr posibil
5 Ştiind că a gt 3b + 7 comparaţi a) 7a cu 21b + 49 b) a + 2b + 5 cu 5b + 12 unde a b isin
6 Ştiind că numerele a b c satisfac condiţiile a ge 2 b ge 7 c ge 10 să se arate că a) 2a + 3b + 4c ge 65 b) 2ab + 3ac + 4bc ge 368
7 Cacircte numere naturale de patru cifre distincte două cacircte două pot fi scrise cu cifrele 1 2 3 şi 4 Dar cu cifrele 1 2 3 4 şi 5
8 Aflaţi toate numerele naturale de patru cifre icircn baza 10 ştiind că fiecare dintre ele are cifrele distincte scrise icircn ordine crescătoare iar suma cifrelor este 18
9 Găsiţi cinci numere naturale care să se bucure de proprietatea că suma cifrelor este egală cu produsul cifrelor Sunt multe asemenea numere
10 a) Cacircte numere naturale de trei cifre icircn baza 10 au cifra unităţilor egală cu 5 b) Dar care au cifrele distincte
11 Numărul numerelor pare de trei cifre icircn baza 10 care au suma cifrelor fiecăruia dintre ele mai mică decacirct 5 este egală cu A) 10 B) 9 C) 11 D) 12
12Cacircte numere cuprinse icircntre 1 şi 1 000 000 au suma cifrelor 3 A) 60 B) 58 C) 54 D) 55 E) 56
13 Să se găsească cel mai mic număr natural care are suma cifrelor egală cu 2001 (Concursul bdquoAlexandru Cojocarurdquo Roman 2002)
14 Suma a 10 numere naturale consecutive de forma 5n + 1 n isin este egală cu
1235 Aflaţi numerele
La problemele 1 11 şi 12 numai un răspuns este corect La problemele 11 şi 12 numai un răspuns este corect
10
15 Un tehnoredactor numerotează paginile unei cărţi ultima pagină fiind 1001 De cacircte ori a folosit cifra 8
16 Un elev numerotează paginile unui dicţionar ultima pagină numerotată fiind 985 De cacircte ori a scris cifra 8
17 Cacircte pagini are o carte dacă pentru numerotarea paginilor sale au fost folosite 3889 cifre
18 De cacircte ori utilizaţi cifra 0 şi de cacircte ori utilizaţi cifra 8 pentru a scrie toate numerele naturale de trei cifre icircn baza 10
19 Fie numărul n = 51015202520002005 a) Cacircte cifre are numărul n b) Care este a 1000-a cifră a lui n (Revista bdquoSinusldquo Artur Bălăucă 2005)
20 Fie numărul a = 122333444455555202020 a) Cacircte cifre are numărul a b) Precizaţi cifra de pe locul 50 (etapa judeţeană Botoşani 1996)
21 Fie numărul a = 1234567891011121320002001 a) Cacircte cifre are acest număr b) Determinaţi cifra de pe locul 2001 şi stabiliţi dacă a se divide cu 3
(Artur Bălăucă)
22 Cacircte numere de 9 cifre icircn baza 10 sunt egale cu răsturnatele lor
23 Numărul n este scris cu 666 cifre de 3 iar numărul m este scris cu 333 de cifre de 6 Determinaţi cifrele numărului m n
24 Se consideră numărul 123456789101112hellip99100 Să se suprime 100 de cifre astfel icircncacirct numărul rămas să fie cel mai mare posibil
25 Determinaţi toate numerele naturale care icircncep cu 6 şi se micşorează de 25 de ori atunci cacircnd această cifră este ştearsă
26 Un şir de numere naturale pare consecutive are suma dintre primul şi ultimul termen 204 iar suma dintre ultimii doi termeni 398 a) Găsiţi termenii şirului b) Cacircţi termeni are şirul c) Calculaţi suma termenilor şirului
(etapa locală Botoşani 1995)
27 Se dă numărul a = n2 ndash 6n + 7 (n isin ) a) Să se determine n isin astfel ca a isin b) Să se determine n isin astfel ca a să fie număr natural impar
(Artur Bălăucă)
28 Fie numerele naturale a şi b astfel icircncacirct a lt b Să se arate că an + 1 + bn le an + bn + 1 oricare ar fi n isin (Concursul bdquoDimitrie Pompeiurdquo Botoşani 2001)
29 Determinaţi cel mai mic număr natural (scris icircn baza 10) cu cifre nenule pentru care suma cifrelor sale este 1999 (etapa locală Cluj 1999)
30 Scriem şirul numerelor naturale nenule pare fără să le separăm 24681012hellip Să se determine a 2003-a cifră a numărului astfel obţinut
(etapa locală Botoşani 2003)
31 Fie numărul n = 1234567891011hellip9899100 1 Precizaţi cacircte cifre are n 2 Aflaţi suma cifrelor numărului n (etapa judeţeană Hunedoara 2003)
11
32 Se consideră şirul de numere 2 7 12 17 22 hellip a) Aflaţi al 501-lea termen al şirului b) Stabiliţi dacă numărul 2007 este termen al şirului c) Calculaţi suma primilor 100 de termeni ai şirului (Etapa locală Argeş 2007)
33 Demonstraţi că există x1 x2 xp p numere naturale astfel icircncacirct x1 + x2 + + xp = = x1 middot x2 middot middot xp = 2005 (Concursul bdquoDimitrie PompeiuldquoBotoşani GM 2007)
34 Se dă şirul de numere naturale a1 a2 a3 astfel icircncacirct a1 = 1 middot 2 a2 = 2 middot 3 middot 4 middot 5 a3 = 5 middot 6 middot 7 middot 8 middot 9 middot 10 a4 = 10 middot 11 middot 12 middot 13 middot 14 middot 15 middot 16 middot 17 a) Scrieţi a5 b) Scrieţi a20 (Concursul bdquoSinusldquo 2005)
35 Fie şirul de numere naturale 85 92 99 106 2003 a) Determinaţi cacircte numere conţine şirul b) Aflaţi cacircte cifre s-au utilizat pentru scrierea numerelor din şir c) Precizaţi care este cifra de pe locul 365 din numărul 8592991061132003 (Concursul bdquoSinusldquo Gabriela Bedrulea 2006)
36 Stabiliţi dacă există numere naturale a b c care verifică relaţia ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = 2003 (etapa locală Argeş 2001)
I2I2I2I2 Factor comun Factor comun Factor comun Factor comun
Rețineți a middot b + a middot c = a middot (b + c) pentru orice a b c numere naturale (1) a middot b ndash a middot c = a middot (b ndash c) pentru orice a b c numere naturale cu b ge c (2)
Relațiile (1) și (2) exprimă faptul că icircnmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunare și scădere
Icircn ambele cazuri spunem că l-am scos icircn factor comun pe a Relațiile (1) și (2) se pot extinde pentru un număr finit de termeni Avem ab1 + ab2 + ab3 + + abn = a(b1 + b2 + b3 + + bn)
Probleme rezolvate
1 Să se arate că a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Am notat a2 = a middot a) b) (a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2 oricare ar fi a și b numere naturale
Rezolvare a) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 b) (a + b)(a ndash b) = a(a ndash b) + b(a ndash b) = a2 ndash ab + ab ndash b2 = a2 ndash b2 Observație Rețineți relațiile din problema 1 ele sunt foarte mult utilizate din acest moment 2 Știind că a = 20 și ab + ac + 10b + 10c = 90 aflați numerele naturale b și c
Rezolvare ab + ac + 10b + 10c = a(b + c) + 10(b + c) = (b + c)(a + 10) = (b + c) middot (20 + 10) = 30 middot (b + c) = 90 de unde b + c = 3 Avem b = 0 c = 3 sau b = 1 c = 2 sau b = 2 c = 1 sau b = 3 și c = 0 3 Suma unor numere naturale impare consecutive este egală cu 144 Aflați numerele
Rezolvare Mai icircntacirci observăm că numărul numerelor este par deoarece suma lor este pară Dacă notăm primul număr cu 2p + 1 avem relația (2p + 1) + (2p + 3) + (2p + 5) + + [2p + (2k ndash 1)] + [2p + (2k + 1)] = 144 unde k este număr natural impar
118
CAPITOLUL II
PROBLEME DE NUMĂRARE ŞI DE COLORARE PROBLEME DE PERSPICACITATE PROBLEME DISTRACTIVE PROBLEME RECREATIVE
Probleme de numărare (probleme de combinatorică)
Combinatorica reprezintă una din ramurile moderne ale matematicii Ea reuşeşte să icircnglobeze noţiuni din toate domeniile şi face apel la forma cea mai bdquopurăldquo a inteligenţei intuiţia Combinatorica este domeniul cel mai degajat de suveranitatea axiomatizării şi icircn care libertatea de expunere a ideilor este nelimitată O gamă diversă de probleme icircntrebuinţează icircn enunţul lor un limbaj colocvial accesibil şi fără vaste cunoştinţe teoretice Combinatorica nu dispune de un aparat complex de teoreme care să-i rezolve icircntrebările icircn prim plan situacircndu-se aportul personal al elevului
Probleme rezolvate
1 Trei băieţi Ion Ionel şi Ionuţ afirmă următoarele Ion Ionel şi Ionuţ nici nu se cunosc dar Ionel e cel mai bun prieten al meu Ionel Ion şi Ionuţ sunt cei mai buni prieteni iar eu pe Ion nici nu-l cunosc Ionuţ Ion şi Ionel sunt cei mai buni prieteni dar ei nu mă cunosc pe mine Ştiind că doi dintre băieţi spun adevărul şi unul minte să se găsească cine cu cine este prieten Rezolvare
Rezolvarea problemei include şi icircnţelegerea unor situaţii aparent evidente doi băieţi care nu se cunosc nu pot fi prieteni şi dacă un băiat să zicem Ion este prieten cu Ionel atunci vom avea şi reciproc Ionel este prieten cu Ion Rezolvarea bdquoclasicăldquo este următoarea Icircn figura alăturată vom uni doi prieteni cu o linie dreaptă şi doi băieţi care nu se cunosc cu o linie icircn bdquozig-zagldquo
Dacă Ion minte atunci Ionel şi Ionuţ spun adevărul şi vom obţine următoarea diagramă Observăm Ion şi Ionel respectiv Ion şi Ionuţ sunt simultan şi prieteni şi nu se cunosc Deci Ion spune adevărul
Dacă Ionuţ minte vom avea diagrama Observăm că Ion şi Ionel vor fi prieteni şi necunoscuţi simultan Deci şi Ionuţ spune adevărul Deci bdquomincinosulldquo este Ionel iar diagrama va fi Ion şi Ionel sunt prieteni iar Ionuţ nu-i cunoaşte pe ceilalţi doi Evident o asemenea rezolvare este corectă şi completă Icircnsă ea necesită un anumit timp pentru analizarea tuturor cazurilor şi redactarea lor Problemele de combinatorică
au icircnsă o rezolvare bdquoascunsăldquo icircn enunţul problemei o idee pe care rezolvitorul dacă o găseşte termină problema Icircn cazul nostru ne vom focaliza atenţia asupra afirmaţiilor a doi băieţi Ion şi Ionuţ Ambii afirmă că Ion şi Ionel sunt prieteni Deci dacă unul din ei minte şi celălalt va minţi şi cum din cei trei băieţi doar unul minte acesta va fi Ionel
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
119
2 Icircntr-o reţea de aeroporturi avioanele zboară de pe un aeroport numai spre cel mai apropiat aeroport de acesta Pot ateriza simultan şapte sau mai multe avioane pe un aeroport
Rezolvare Răspunsul este negativ iar argumentul este de natură geometrică Presupunacircnd că există şapte sau mai multe avioane care aterizează simultan pe un aeroport obţinem că există două aeroporturi A şi B
de pe care pleacă simultan două avioane spre un aeroport astfel icircncacirct m(ACB) lt 60deg Dar icircn
triunghiul ABC m(ACB) lt 60degrArr AB lt AC sau AB lt BC ceea ce contrazice modul de zbor al
avioanelor (AB lt AC implică că avionul din A va zbura spre aeroportul B şi nu C)
3 Icircntr-o cameră se află 6 persoane La un moment dat din iniţiativa gazdei cele 6 persoane vor face schimb de numere de telefon Să se arate că icircn orice moment sau există 3 persoane care au schimbat numerele de telefon icircntre ele sau 3 persoane astfel icircncacirct nici una nu cunoaşte numărul de telefon al celorlalte două
Rezolvare Pentru redactarea unor probleme de combinatorică se poate face apel la metode de simplificare a enunţului transformacircndu-l icircntr-o sinteză de informaţii matematice Astfel vom considera persoanele ca fiind 6 puncte Dacă două persoane vor schimba numărul de telefon le vom uni cu o linie roşie Dacă nu au făcut schimbul le vom uni cu o linie neagră Concluzia problemei revine astfel la a demonstra că după ce am unit fiecare cu fiecare din cel 6 puncte cu una din cele două linii (roşie sau neagră) va exista un triunghi monocolor Vom considera una din cele 6 persoane Ea este bdquounităldquo cu celelalte prin 5 linii Indiferent de colorarea lor vor exista 3 linii (cel puţin) cu aceeaşi culoare Fără a restracircnge generalitatea vom considera culoarea roşie ce uneşte persoana 1 de persoanele 2 3 şi 4 Dacă segmentul 2 - 3 este roşu atunci triunghiul 1 2 3 este monocolor Deci considerăm cazul icircn care 2 şi 3 sunt unite printr-un segment negru Dacă 3 ndash 4 este roşu 1 3 4 este monocolor dacă 2 ndash 4 este roşu 1 2 4 este monocolor Dacă nici unul din segmentele 2 ndash 3 3 ndash 4 2 ndash 4 nu este roşu atunci toate vor fi negre şi triunghiul 2 3 4 va fi monocolor Deci va exista totdeauna un triunghi monocolor cu vacircrfurile icircn cele 6 puncte
4 Se consideră mulțimea A = x isin 1 le x le 51 Cacircte submulțimi are A știind că au cardinalul 3 iar suma a două elemente ale fiecărei submulțimi este egală cu al treilea element Rezolvare Putem realiza următorul tabel de triplete de numere naturale
Observăm că icircn tabel avem O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decacirct 25 3 submulțimi care conțin pe 24 și nu conțin numere mai mici decacirct 24 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere mai mici decacirct 23 hellip 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1 Icircn sfacircrșit 49 de submulțimi care icircl conțin pe 1 Icircn total avem 1 + 3 + 5 + hellip + 47 + 49 = (24 + 1)2 = 625 de submulțimi 5 Icircntr-o cutie se află 2013 jetoane Gigel și sora sa Gicuța iau pe racircnd din cutie cel puțin un jeton și cel mult 19 jetoane Primul icircncepe jocul Gigel iar cacircștigător este declarat cel care ia ultimele jetoane din cutie a) Arătați că Gigel poate cacircștiga jocul indiferent de strategia sorei sale b) Dacă icircn cutie sunt inițial 2000 de jetoane arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de strategia fratelui său
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2013 Artur Bălăucă)
Rezolvare a) Gigel aplică următoarea strategie Icircncepe jocul luacircnd 13 jetoane din cutie Dacă Gicuța icircncepe jocul luacircnd n jetoane unde 1 n 19 atunci Gigel ia icircn etapa a II-a a jocului (20 ndash n) jetoane șamd Icircn ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decacirct (20 ndash m) jetoane unde 1 m 19 Deci icircn cutie rămacircne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și cacircștigă jocul b) Prima dată Gigel nu poate lua decacirct k jetoane unde 1 le k le 19 iar sora lui aplică strategia căștigătoare luacircnd (20 ndash k) jetoane Cum 20 2000 la ultima etapă a jocului Gicuța va fi cea care ia la urmă cel puțin un jeton
6 La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată icircn mod egal la cele trei secții ale fabricii Icircn momentul acela magazionerul nu avea la icircndemacircnă decacirct trei bidoane goale unul de 50 litri unul de 110 litri și altul de 130 litri Voi icircl puteți ajuta pe magazioner să repartizeze substanța Cum
(Monica Sas)
Rezolvare Putem realiza tabelul
Operația Cantitatea de substanță din vasul de
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ ndash ndash ndash
I 80 ℓ ndash 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ ndash 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ ndash 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ ndash
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ ndash
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Din şirul de numere 123 32 321 112 222 312 3 12 43 233 unul trebuie eliminat Care
2 Exact cinci numere din şirul 73 28 56 19 46 55 respectă regula de alcătuire a şirului Care este bdquointrusulldquo
3 Se poate icircmpărţi numărul 18 888 icircn aşa fel icircncacirct fiecare jumătate să fie 10 000
4 Cum poate fi icircmpărţit numărul 12 icircn două astfel icircncacirct fiecare parte să fie 7
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
7
și b isin 6 7 8 9 avem 6 middot 4 = 24 numere icircmperecheate Dacă a = 6 și b isin 7 8 9 avem 6 middot 3 = 18 numere icircmperecheate Dacă a = 7 și b isin 8 9 avem 6 middot 2 = 12 numere icircmperecheate Dacă a = 5 și b = 9 avem 6 middot 1 = 6 numere icircmperecheate Icircn total avem 6 middot (1 + 2 + hellip + 8) = 6 middot 8 middot 9 2 = 216 numere icircmperecheate Icircn total avem 6 middot (1 + 2 + hellip + 8) = 6 middot 8 middot 9 2 = 216 numere icircmperecheate
Dacă a = b atunci numerele sunt de forma aaaa unde a isin 1 2 9 și atunci vor fi 9 numere
icircmperecheate Dacă b = 0 atunci numere icircmperecheate vor fi de forma 00aa 0 0a a și 00a a unde a isin 1 2 3 9 și vor mai fi 3 middot 9 = 27 numere icircmperecheate Icircn total 216 + 9 + 27 = 252 numere icircmperecheate 3 Se dă mulțimea A = a1 a2 a3 a2012 a2013 unde a1 = 1 a2 = 7 a3 = 17 a4 = 717 a5 = 17717 a6 = 71717717 hellip (fiecare element al mulțimii A este un număr format prin bdquolipirealdquo celor două numere din fața sa Aflați a) Cacircte cifre are a11 b) a 16-a cifră a lui a2013 c) a 20-a cifră a lui a2012 Justificați răspunsul
(Concursul bdquoUnirealdquo Focșani 2013 Artur Bălăucă) Rezolvare a) a7 are 5 + 8 = 13 cifre a8 are 8 + 13 = 21 cifre a9 are 13 + 21 = 34 cifre a10 are 21 + 34 = 55 cifre a11 are 34 + 55 = 89 cifre b) Se observă că a9 are mai mult de 16 cifre iar primele 16 cifre ale numerelor a11 a13 a2013 sunt aceleași cu primele 16 cifre a lui a2013 Deci a 16-a cifră a lui a2013 este 7 c) a8 are mai mult de 20 cifre iar primele 20 cifre ale numerelor a10 a12 a2012 sunt aceleași cu primele 20 cifre a lui a2012 A 20-a cifră a lui a2012 este 1 4 Pe o tablă sunt scrise numerele 1 3 4 6 8 9 11 12 16 Gigel și amicul său Ionel au șters fiecare cacircte patru numere și au observat că suma numerelor șterse de unul dintre copii este de trei ori mai mare decacirct suma numerelor șterse de celălalt i) Ce număr a rămas pe tablă ii) Ce numere a șters fiecare copil Justificați răspunsurile
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2014) Rezolvare a) i) Notăm cu s suma tuturor numerelor șterse de cei doi copii cu r numărul care rămacircne pe tablă și cu A = 1 3 4 6 8 9 11 12 16 Avem 4s și s lt 70 Dacă s = 68 atunci r = 2 imposibil 2 notin A Dacă s = 64 atunci r = 6 soluție 6 isin A Dacă s isin 60 56 atunci r isin 10 14 imposibil 10 14 notin A Dacă s le 52 atunci r ge 18 imposibil r notin A Prin urmare r = 6 ii) Gigel șterge numerele 1 3 4 și 8 iar Ionel șterge numerele 9 11 12 și 16 sau invers 5 Numerele naturale sunt așezate ca icircn tabelul de mai jos Să se afle numărul liniei și a coloanei pe care este scris numărul 2014 (Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2014 Artur Bălăucă)
2016 se află pe linia 1 coloana a 63-a Deci 2014 se află pe linia a 3-a coloana 61 6 Există numere naturale astfel icircncacirct suma şi diferenţa lor să conţină toate cifrele din sistemul zecimal de numeraţie o singură dată Justificaţi răspunsul
1 Suma dintre cel mai mare şi cel mai mic număr de patru cifre distincte este A) 10890 B) 10899 C) 10898 D) 10900
2 Reconstituiţi icircnmulţirea a) 3 x b) 46 x
7 0
37 178 unde steluţele reprezintă cifre scrise icircn baza 10
3 Scrieţi icircn ordine crescătoare toate numerele naturale de două cifre care se pot forma cu cifrele 0 1 2 3 4 5 6 7 şi care se icircmpart exact la 3
4 Icircn expresia 8 middot30 + 48 8 + 4 puneţi paranteze astfel icircncacirct să se obţină a) cel mai mic număr posibil b) cel mai mare număr posibil
5 Ştiind că a gt 3b + 7 comparaţi a) 7a cu 21b + 49 b) a + 2b + 5 cu 5b + 12 unde a b isin
6 Ştiind că numerele a b c satisfac condiţiile a ge 2 b ge 7 c ge 10 să se arate că a) 2a + 3b + 4c ge 65 b) 2ab + 3ac + 4bc ge 368
7 Cacircte numere naturale de patru cifre distincte două cacircte două pot fi scrise cu cifrele 1 2 3 şi 4 Dar cu cifrele 1 2 3 4 şi 5
8 Aflaţi toate numerele naturale de patru cifre icircn baza 10 ştiind că fiecare dintre ele are cifrele distincte scrise icircn ordine crescătoare iar suma cifrelor este 18
9 Găsiţi cinci numere naturale care să se bucure de proprietatea că suma cifrelor este egală cu produsul cifrelor Sunt multe asemenea numere
10 a) Cacircte numere naturale de trei cifre icircn baza 10 au cifra unităţilor egală cu 5 b) Dar care au cifrele distincte
11 Numărul numerelor pare de trei cifre icircn baza 10 care au suma cifrelor fiecăruia dintre ele mai mică decacirct 5 este egală cu A) 10 B) 9 C) 11 D) 12
12Cacircte numere cuprinse icircntre 1 şi 1 000 000 au suma cifrelor 3 A) 60 B) 58 C) 54 D) 55 E) 56
13 Să se găsească cel mai mic număr natural care are suma cifrelor egală cu 2001 (Concursul bdquoAlexandru Cojocarurdquo Roman 2002)
14 Suma a 10 numere naturale consecutive de forma 5n + 1 n isin este egală cu
1235 Aflaţi numerele
La problemele 1 11 şi 12 numai un răspuns este corect La problemele 11 şi 12 numai un răspuns este corect
10
15 Un tehnoredactor numerotează paginile unei cărţi ultima pagină fiind 1001 De cacircte ori a folosit cifra 8
16 Un elev numerotează paginile unui dicţionar ultima pagină numerotată fiind 985 De cacircte ori a scris cifra 8
17 Cacircte pagini are o carte dacă pentru numerotarea paginilor sale au fost folosite 3889 cifre
18 De cacircte ori utilizaţi cifra 0 şi de cacircte ori utilizaţi cifra 8 pentru a scrie toate numerele naturale de trei cifre icircn baza 10
19 Fie numărul n = 51015202520002005 a) Cacircte cifre are numărul n b) Care este a 1000-a cifră a lui n (Revista bdquoSinusldquo Artur Bălăucă 2005)
20 Fie numărul a = 122333444455555202020 a) Cacircte cifre are numărul a b) Precizaţi cifra de pe locul 50 (etapa judeţeană Botoşani 1996)
21 Fie numărul a = 1234567891011121320002001 a) Cacircte cifre are acest număr b) Determinaţi cifra de pe locul 2001 şi stabiliţi dacă a se divide cu 3
(Artur Bălăucă)
22 Cacircte numere de 9 cifre icircn baza 10 sunt egale cu răsturnatele lor
23 Numărul n este scris cu 666 cifre de 3 iar numărul m este scris cu 333 de cifre de 6 Determinaţi cifrele numărului m n
24 Se consideră numărul 123456789101112hellip99100 Să se suprime 100 de cifre astfel icircncacirct numărul rămas să fie cel mai mare posibil
25 Determinaţi toate numerele naturale care icircncep cu 6 şi se micşorează de 25 de ori atunci cacircnd această cifră este ştearsă
26 Un şir de numere naturale pare consecutive are suma dintre primul şi ultimul termen 204 iar suma dintre ultimii doi termeni 398 a) Găsiţi termenii şirului b) Cacircţi termeni are şirul c) Calculaţi suma termenilor şirului
(etapa locală Botoşani 1995)
27 Se dă numărul a = n2 ndash 6n + 7 (n isin ) a) Să se determine n isin astfel ca a isin b) Să se determine n isin astfel ca a să fie număr natural impar
(Artur Bălăucă)
28 Fie numerele naturale a şi b astfel icircncacirct a lt b Să se arate că an + 1 + bn le an + bn + 1 oricare ar fi n isin (Concursul bdquoDimitrie Pompeiurdquo Botoşani 2001)
29 Determinaţi cel mai mic număr natural (scris icircn baza 10) cu cifre nenule pentru care suma cifrelor sale este 1999 (etapa locală Cluj 1999)
30 Scriem şirul numerelor naturale nenule pare fără să le separăm 24681012hellip Să se determine a 2003-a cifră a numărului astfel obţinut
(etapa locală Botoşani 2003)
31 Fie numărul n = 1234567891011hellip9899100 1 Precizaţi cacircte cifre are n 2 Aflaţi suma cifrelor numărului n (etapa judeţeană Hunedoara 2003)
11
32 Se consideră şirul de numere 2 7 12 17 22 hellip a) Aflaţi al 501-lea termen al şirului b) Stabiliţi dacă numărul 2007 este termen al şirului c) Calculaţi suma primilor 100 de termeni ai şirului (Etapa locală Argeş 2007)
33 Demonstraţi că există x1 x2 xp p numere naturale astfel icircncacirct x1 + x2 + + xp = = x1 middot x2 middot middot xp = 2005 (Concursul bdquoDimitrie PompeiuldquoBotoşani GM 2007)
34 Se dă şirul de numere naturale a1 a2 a3 astfel icircncacirct a1 = 1 middot 2 a2 = 2 middot 3 middot 4 middot 5 a3 = 5 middot 6 middot 7 middot 8 middot 9 middot 10 a4 = 10 middot 11 middot 12 middot 13 middot 14 middot 15 middot 16 middot 17 a) Scrieţi a5 b) Scrieţi a20 (Concursul bdquoSinusldquo 2005)
35 Fie şirul de numere naturale 85 92 99 106 2003 a) Determinaţi cacircte numere conţine şirul b) Aflaţi cacircte cifre s-au utilizat pentru scrierea numerelor din şir c) Precizaţi care este cifra de pe locul 365 din numărul 8592991061132003 (Concursul bdquoSinusldquo Gabriela Bedrulea 2006)
36 Stabiliţi dacă există numere naturale a b c care verifică relaţia ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = 2003 (etapa locală Argeş 2001)
I2I2I2I2 Factor comun Factor comun Factor comun Factor comun
Rețineți a middot b + a middot c = a middot (b + c) pentru orice a b c numere naturale (1) a middot b ndash a middot c = a middot (b ndash c) pentru orice a b c numere naturale cu b ge c (2)
Relațiile (1) și (2) exprimă faptul că icircnmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunare și scădere
Icircn ambele cazuri spunem că l-am scos icircn factor comun pe a Relațiile (1) și (2) se pot extinde pentru un număr finit de termeni Avem ab1 + ab2 + ab3 + + abn = a(b1 + b2 + b3 + + bn)
Probleme rezolvate
1 Să se arate că a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Am notat a2 = a middot a) b) (a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2 oricare ar fi a și b numere naturale
Rezolvare a) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 b) (a + b)(a ndash b) = a(a ndash b) + b(a ndash b) = a2 ndash ab + ab ndash b2 = a2 ndash b2 Observație Rețineți relațiile din problema 1 ele sunt foarte mult utilizate din acest moment 2 Știind că a = 20 și ab + ac + 10b + 10c = 90 aflați numerele naturale b și c
Rezolvare ab + ac + 10b + 10c = a(b + c) + 10(b + c) = (b + c)(a + 10) = (b + c) middot (20 + 10) = 30 middot (b + c) = 90 de unde b + c = 3 Avem b = 0 c = 3 sau b = 1 c = 2 sau b = 2 c = 1 sau b = 3 și c = 0 3 Suma unor numere naturale impare consecutive este egală cu 144 Aflați numerele
Rezolvare Mai icircntacirci observăm că numărul numerelor este par deoarece suma lor este pară Dacă notăm primul număr cu 2p + 1 avem relația (2p + 1) + (2p + 3) + (2p + 5) + + [2p + (2k ndash 1)] + [2p + (2k + 1)] = 144 unde k este număr natural impar
118
CAPITOLUL II
PROBLEME DE NUMĂRARE ŞI DE COLORARE PROBLEME DE PERSPICACITATE PROBLEME DISTRACTIVE PROBLEME RECREATIVE
Probleme de numărare (probleme de combinatorică)
Combinatorica reprezintă una din ramurile moderne ale matematicii Ea reuşeşte să icircnglobeze noţiuni din toate domeniile şi face apel la forma cea mai bdquopurăldquo a inteligenţei intuiţia Combinatorica este domeniul cel mai degajat de suveranitatea axiomatizării şi icircn care libertatea de expunere a ideilor este nelimitată O gamă diversă de probleme icircntrebuinţează icircn enunţul lor un limbaj colocvial accesibil şi fără vaste cunoştinţe teoretice Combinatorica nu dispune de un aparat complex de teoreme care să-i rezolve icircntrebările icircn prim plan situacircndu-se aportul personal al elevului
Probleme rezolvate
1 Trei băieţi Ion Ionel şi Ionuţ afirmă următoarele Ion Ionel şi Ionuţ nici nu se cunosc dar Ionel e cel mai bun prieten al meu Ionel Ion şi Ionuţ sunt cei mai buni prieteni iar eu pe Ion nici nu-l cunosc Ionuţ Ion şi Ionel sunt cei mai buni prieteni dar ei nu mă cunosc pe mine Ştiind că doi dintre băieţi spun adevărul şi unul minte să se găsească cine cu cine este prieten Rezolvare
Rezolvarea problemei include şi icircnţelegerea unor situaţii aparent evidente doi băieţi care nu se cunosc nu pot fi prieteni şi dacă un băiat să zicem Ion este prieten cu Ionel atunci vom avea şi reciproc Ionel este prieten cu Ion Rezolvarea bdquoclasicăldquo este următoarea Icircn figura alăturată vom uni doi prieteni cu o linie dreaptă şi doi băieţi care nu se cunosc cu o linie icircn bdquozig-zagldquo
Dacă Ion minte atunci Ionel şi Ionuţ spun adevărul şi vom obţine următoarea diagramă Observăm Ion şi Ionel respectiv Ion şi Ionuţ sunt simultan şi prieteni şi nu se cunosc Deci Ion spune adevărul
Dacă Ionuţ minte vom avea diagrama Observăm că Ion şi Ionel vor fi prieteni şi necunoscuţi simultan Deci şi Ionuţ spune adevărul Deci bdquomincinosulldquo este Ionel iar diagrama va fi Ion şi Ionel sunt prieteni iar Ionuţ nu-i cunoaşte pe ceilalţi doi Evident o asemenea rezolvare este corectă şi completă Icircnsă ea necesită un anumit timp pentru analizarea tuturor cazurilor şi redactarea lor Problemele de combinatorică
au icircnsă o rezolvare bdquoascunsăldquo icircn enunţul problemei o idee pe care rezolvitorul dacă o găseşte termină problema Icircn cazul nostru ne vom focaliza atenţia asupra afirmaţiilor a doi băieţi Ion şi Ionuţ Ambii afirmă că Ion şi Ionel sunt prieteni Deci dacă unul din ei minte şi celălalt va minţi şi cum din cei trei băieţi doar unul minte acesta va fi Ionel
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
119
2 Icircntr-o reţea de aeroporturi avioanele zboară de pe un aeroport numai spre cel mai apropiat aeroport de acesta Pot ateriza simultan şapte sau mai multe avioane pe un aeroport
Rezolvare Răspunsul este negativ iar argumentul este de natură geometrică Presupunacircnd că există şapte sau mai multe avioane care aterizează simultan pe un aeroport obţinem că există două aeroporturi A şi B
de pe care pleacă simultan două avioane spre un aeroport astfel icircncacirct m(ACB) lt 60deg Dar icircn
triunghiul ABC m(ACB) lt 60degrArr AB lt AC sau AB lt BC ceea ce contrazice modul de zbor al
avioanelor (AB lt AC implică că avionul din A va zbura spre aeroportul B şi nu C)
3 Icircntr-o cameră se află 6 persoane La un moment dat din iniţiativa gazdei cele 6 persoane vor face schimb de numere de telefon Să se arate că icircn orice moment sau există 3 persoane care au schimbat numerele de telefon icircntre ele sau 3 persoane astfel icircncacirct nici una nu cunoaşte numărul de telefon al celorlalte două
Rezolvare Pentru redactarea unor probleme de combinatorică se poate face apel la metode de simplificare a enunţului transformacircndu-l icircntr-o sinteză de informaţii matematice Astfel vom considera persoanele ca fiind 6 puncte Dacă două persoane vor schimba numărul de telefon le vom uni cu o linie roşie Dacă nu au făcut schimbul le vom uni cu o linie neagră Concluzia problemei revine astfel la a demonstra că după ce am unit fiecare cu fiecare din cel 6 puncte cu una din cele două linii (roşie sau neagră) va exista un triunghi monocolor Vom considera una din cele 6 persoane Ea este bdquounităldquo cu celelalte prin 5 linii Indiferent de colorarea lor vor exista 3 linii (cel puţin) cu aceeaşi culoare Fără a restracircnge generalitatea vom considera culoarea roşie ce uneşte persoana 1 de persoanele 2 3 şi 4 Dacă segmentul 2 - 3 este roşu atunci triunghiul 1 2 3 este monocolor Deci considerăm cazul icircn care 2 şi 3 sunt unite printr-un segment negru Dacă 3 ndash 4 este roşu 1 3 4 este monocolor dacă 2 ndash 4 este roşu 1 2 4 este monocolor Dacă nici unul din segmentele 2 ndash 3 3 ndash 4 2 ndash 4 nu este roşu atunci toate vor fi negre şi triunghiul 2 3 4 va fi monocolor Deci va exista totdeauna un triunghi monocolor cu vacircrfurile icircn cele 6 puncte
4 Se consideră mulțimea A = x isin 1 le x le 51 Cacircte submulțimi are A știind că au cardinalul 3 iar suma a două elemente ale fiecărei submulțimi este egală cu al treilea element Rezolvare Putem realiza următorul tabel de triplete de numere naturale
Observăm că icircn tabel avem O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decacirct 25 3 submulțimi care conțin pe 24 și nu conțin numere mai mici decacirct 24 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere mai mici decacirct 23 hellip 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1 Icircn sfacircrșit 49 de submulțimi care icircl conțin pe 1 Icircn total avem 1 + 3 + 5 + hellip + 47 + 49 = (24 + 1)2 = 625 de submulțimi 5 Icircntr-o cutie se află 2013 jetoane Gigel și sora sa Gicuța iau pe racircnd din cutie cel puțin un jeton și cel mult 19 jetoane Primul icircncepe jocul Gigel iar cacircștigător este declarat cel care ia ultimele jetoane din cutie a) Arătați că Gigel poate cacircștiga jocul indiferent de strategia sorei sale b) Dacă icircn cutie sunt inițial 2000 de jetoane arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de strategia fratelui său
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2013 Artur Bălăucă)
Rezolvare a) Gigel aplică următoarea strategie Icircncepe jocul luacircnd 13 jetoane din cutie Dacă Gicuța icircncepe jocul luacircnd n jetoane unde 1 n 19 atunci Gigel ia icircn etapa a II-a a jocului (20 ndash n) jetoane șamd Icircn ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decacirct (20 ndash m) jetoane unde 1 m 19 Deci icircn cutie rămacircne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și cacircștigă jocul b) Prima dată Gigel nu poate lua decacirct k jetoane unde 1 le k le 19 iar sora lui aplică strategia căștigătoare luacircnd (20 ndash k) jetoane Cum 20 2000 la ultima etapă a jocului Gicuța va fi cea care ia la urmă cel puțin un jeton
6 La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată icircn mod egal la cele trei secții ale fabricii Icircn momentul acela magazionerul nu avea la icircndemacircnă decacirct trei bidoane goale unul de 50 litri unul de 110 litri și altul de 130 litri Voi icircl puteți ajuta pe magazioner să repartizeze substanța Cum
(Monica Sas)
Rezolvare Putem realiza tabelul
Operația Cantitatea de substanță din vasul de
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ ndash ndash ndash
I 80 ℓ ndash 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ ndash 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ ndash 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ ndash
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ ndash
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Din şirul de numere 123 32 321 112 222 312 3 12 43 233 unul trebuie eliminat Care
2 Exact cinci numere din şirul 73 28 56 19 46 55 respectă regula de alcătuire a şirului Care este bdquointrusulldquo
3 Se poate icircmpărţi numărul 18 888 icircn aşa fel icircncacirct fiecare jumătate să fie 10 000
4 Cum poate fi icircmpărţit numărul 12 icircn două astfel icircncacirct fiecare parte să fie 7
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
2016 se află pe linia 1 coloana a 63-a Deci 2014 se află pe linia a 3-a coloana 61 6 Există numere naturale astfel icircncacirct suma şi diferenţa lor să conţină toate cifrele din sistemul zecimal de numeraţie o singură dată Justificaţi răspunsul
1 Suma dintre cel mai mare şi cel mai mic număr de patru cifre distincte este A) 10890 B) 10899 C) 10898 D) 10900
2 Reconstituiţi icircnmulţirea a) 3 x b) 46 x
7 0
37 178 unde steluţele reprezintă cifre scrise icircn baza 10
3 Scrieţi icircn ordine crescătoare toate numerele naturale de două cifre care se pot forma cu cifrele 0 1 2 3 4 5 6 7 şi care se icircmpart exact la 3
4 Icircn expresia 8 middot30 + 48 8 + 4 puneţi paranteze astfel icircncacirct să se obţină a) cel mai mic număr posibil b) cel mai mare număr posibil
5 Ştiind că a gt 3b + 7 comparaţi a) 7a cu 21b + 49 b) a + 2b + 5 cu 5b + 12 unde a b isin
6 Ştiind că numerele a b c satisfac condiţiile a ge 2 b ge 7 c ge 10 să se arate că a) 2a + 3b + 4c ge 65 b) 2ab + 3ac + 4bc ge 368
7 Cacircte numere naturale de patru cifre distincte două cacircte două pot fi scrise cu cifrele 1 2 3 şi 4 Dar cu cifrele 1 2 3 4 şi 5
8 Aflaţi toate numerele naturale de patru cifre icircn baza 10 ştiind că fiecare dintre ele are cifrele distincte scrise icircn ordine crescătoare iar suma cifrelor este 18
9 Găsiţi cinci numere naturale care să se bucure de proprietatea că suma cifrelor este egală cu produsul cifrelor Sunt multe asemenea numere
10 a) Cacircte numere naturale de trei cifre icircn baza 10 au cifra unităţilor egală cu 5 b) Dar care au cifrele distincte
11 Numărul numerelor pare de trei cifre icircn baza 10 care au suma cifrelor fiecăruia dintre ele mai mică decacirct 5 este egală cu A) 10 B) 9 C) 11 D) 12
12Cacircte numere cuprinse icircntre 1 şi 1 000 000 au suma cifrelor 3 A) 60 B) 58 C) 54 D) 55 E) 56
13 Să se găsească cel mai mic număr natural care are suma cifrelor egală cu 2001 (Concursul bdquoAlexandru Cojocarurdquo Roman 2002)
14 Suma a 10 numere naturale consecutive de forma 5n + 1 n isin este egală cu
1235 Aflaţi numerele
La problemele 1 11 şi 12 numai un răspuns este corect La problemele 11 şi 12 numai un răspuns este corect
10
15 Un tehnoredactor numerotează paginile unei cărţi ultima pagină fiind 1001 De cacircte ori a folosit cifra 8
16 Un elev numerotează paginile unui dicţionar ultima pagină numerotată fiind 985 De cacircte ori a scris cifra 8
17 Cacircte pagini are o carte dacă pentru numerotarea paginilor sale au fost folosite 3889 cifre
18 De cacircte ori utilizaţi cifra 0 şi de cacircte ori utilizaţi cifra 8 pentru a scrie toate numerele naturale de trei cifre icircn baza 10
19 Fie numărul n = 51015202520002005 a) Cacircte cifre are numărul n b) Care este a 1000-a cifră a lui n (Revista bdquoSinusldquo Artur Bălăucă 2005)
20 Fie numărul a = 122333444455555202020 a) Cacircte cifre are numărul a b) Precizaţi cifra de pe locul 50 (etapa judeţeană Botoşani 1996)
21 Fie numărul a = 1234567891011121320002001 a) Cacircte cifre are acest număr b) Determinaţi cifra de pe locul 2001 şi stabiliţi dacă a se divide cu 3
(Artur Bălăucă)
22 Cacircte numere de 9 cifre icircn baza 10 sunt egale cu răsturnatele lor
23 Numărul n este scris cu 666 cifre de 3 iar numărul m este scris cu 333 de cifre de 6 Determinaţi cifrele numărului m n
24 Se consideră numărul 123456789101112hellip99100 Să se suprime 100 de cifre astfel icircncacirct numărul rămas să fie cel mai mare posibil
25 Determinaţi toate numerele naturale care icircncep cu 6 şi se micşorează de 25 de ori atunci cacircnd această cifră este ştearsă
26 Un şir de numere naturale pare consecutive are suma dintre primul şi ultimul termen 204 iar suma dintre ultimii doi termeni 398 a) Găsiţi termenii şirului b) Cacircţi termeni are şirul c) Calculaţi suma termenilor şirului
(etapa locală Botoşani 1995)
27 Se dă numărul a = n2 ndash 6n + 7 (n isin ) a) Să se determine n isin astfel ca a isin b) Să se determine n isin astfel ca a să fie număr natural impar
(Artur Bălăucă)
28 Fie numerele naturale a şi b astfel icircncacirct a lt b Să se arate că an + 1 + bn le an + bn + 1 oricare ar fi n isin (Concursul bdquoDimitrie Pompeiurdquo Botoşani 2001)
29 Determinaţi cel mai mic număr natural (scris icircn baza 10) cu cifre nenule pentru care suma cifrelor sale este 1999 (etapa locală Cluj 1999)
30 Scriem şirul numerelor naturale nenule pare fără să le separăm 24681012hellip Să se determine a 2003-a cifră a numărului astfel obţinut
(etapa locală Botoşani 2003)
31 Fie numărul n = 1234567891011hellip9899100 1 Precizaţi cacircte cifre are n 2 Aflaţi suma cifrelor numărului n (etapa judeţeană Hunedoara 2003)
11
32 Se consideră şirul de numere 2 7 12 17 22 hellip a) Aflaţi al 501-lea termen al şirului b) Stabiliţi dacă numărul 2007 este termen al şirului c) Calculaţi suma primilor 100 de termeni ai şirului (Etapa locală Argeş 2007)
33 Demonstraţi că există x1 x2 xp p numere naturale astfel icircncacirct x1 + x2 + + xp = = x1 middot x2 middot middot xp = 2005 (Concursul bdquoDimitrie PompeiuldquoBotoşani GM 2007)
34 Se dă şirul de numere naturale a1 a2 a3 astfel icircncacirct a1 = 1 middot 2 a2 = 2 middot 3 middot 4 middot 5 a3 = 5 middot 6 middot 7 middot 8 middot 9 middot 10 a4 = 10 middot 11 middot 12 middot 13 middot 14 middot 15 middot 16 middot 17 a) Scrieţi a5 b) Scrieţi a20 (Concursul bdquoSinusldquo 2005)
35 Fie şirul de numere naturale 85 92 99 106 2003 a) Determinaţi cacircte numere conţine şirul b) Aflaţi cacircte cifre s-au utilizat pentru scrierea numerelor din şir c) Precizaţi care este cifra de pe locul 365 din numărul 8592991061132003 (Concursul bdquoSinusldquo Gabriela Bedrulea 2006)
36 Stabiliţi dacă există numere naturale a b c care verifică relaţia ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = 2003 (etapa locală Argeş 2001)
I2I2I2I2 Factor comun Factor comun Factor comun Factor comun
Rețineți a middot b + a middot c = a middot (b + c) pentru orice a b c numere naturale (1) a middot b ndash a middot c = a middot (b ndash c) pentru orice a b c numere naturale cu b ge c (2)
Relațiile (1) și (2) exprimă faptul că icircnmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunare și scădere
Icircn ambele cazuri spunem că l-am scos icircn factor comun pe a Relațiile (1) și (2) se pot extinde pentru un număr finit de termeni Avem ab1 + ab2 + ab3 + + abn = a(b1 + b2 + b3 + + bn)
Probleme rezolvate
1 Să se arate că a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Am notat a2 = a middot a) b) (a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2 oricare ar fi a și b numere naturale
Rezolvare a) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 b) (a + b)(a ndash b) = a(a ndash b) + b(a ndash b) = a2 ndash ab + ab ndash b2 = a2 ndash b2 Observație Rețineți relațiile din problema 1 ele sunt foarte mult utilizate din acest moment 2 Știind că a = 20 și ab + ac + 10b + 10c = 90 aflați numerele naturale b și c
Rezolvare ab + ac + 10b + 10c = a(b + c) + 10(b + c) = (b + c)(a + 10) = (b + c) middot (20 + 10) = 30 middot (b + c) = 90 de unde b + c = 3 Avem b = 0 c = 3 sau b = 1 c = 2 sau b = 2 c = 1 sau b = 3 și c = 0 3 Suma unor numere naturale impare consecutive este egală cu 144 Aflați numerele
Rezolvare Mai icircntacirci observăm că numărul numerelor este par deoarece suma lor este pară Dacă notăm primul număr cu 2p + 1 avem relația (2p + 1) + (2p + 3) + (2p + 5) + + [2p + (2k ndash 1)] + [2p + (2k + 1)] = 144 unde k este număr natural impar
118
CAPITOLUL II
PROBLEME DE NUMĂRARE ŞI DE COLORARE PROBLEME DE PERSPICACITATE PROBLEME DISTRACTIVE PROBLEME RECREATIVE
Probleme de numărare (probleme de combinatorică)
Combinatorica reprezintă una din ramurile moderne ale matematicii Ea reuşeşte să icircnglobeze noţiuni din toate domeniile şi face apel la forma cea mai bdquopurăldquo a inteligenţei intuiţia Combinatorica este domeniul cel mai degajat de suveranitatea axiomatizării şi icircn care libertatea de expunere a ideilor este nelimitată O gamă diversă de probleme icircntrebuinţează icircn enunţul lor un limbaj colocvial accesibil şi fără vaste cunoştinţe teoretice Combinatorica nu dispune de un aparat complex de teoreme care să-i rezolve icircntrebările icircn prim plan situacircndu-se aportul personal al elevului
Probleme rezolvate
1 Trei băieţi Ion Ionel şi Ionuţ afirmă următoarele Ion Ionel şi Ionuţ nici nu se cunosc dar Ionel e cel mai bun prieten al meu Ionel Ion şi Ionuţ sunt cei mai buni prieteni iar eu pe Ion nici nu-l cunosc Ionuţ Ion şi Ionel sunt cei mai buni prieteni dar ei nu mă cunosc pe mine Ştiind că doi dintre băieţi spun adevărul şi unul minte să se găsească cine cu cine este prieten Rezolvare
Rezolvarea problemei include şi icircnţelegerea unor situaţii aparent evidente doi băieţi care nu se cunosc nu pot fi prieteni şi dacă un băiat să zicem Ion este prieten cu Ionel atunci vom avea şi reciproc Ionel este prieten cu Ion Rezolvarea bdquoclasicăldquo este următoarea Icircn figura alăturată vom uni doi prieteni cu o linie dreaptă şi doi băieţi care nu se cunosc cu o linie icircn bdquozig-zagldquo
Dacă Ion minte atunci Ionel şi Ionuţ spun adevărul şi vom obţine următoarea diagramă Observăm Ion şi Ionel respectiv Ion şi Ionuţ sunt simultan şi prieteni şi nu se cunosc Deci Ion spune adevărul
Dacă Ionuţ minte vom avea diagrama Observăm că Ion şi Ionel vor fi prieteni şi necunoscuţi simultan Deci şi Ionuţ spune adevărul Deci bdquomincinosulldquo este Ionel iar diagrama va fi Ion şi Ionel sunt prieteni iar Ionuţ nu-i cunoaşte pe ceilalţi doi Evident o asemenea rezolvare este corectă şi completă Icircnsă ea necesită un anumit timp pentru analizarea tuturor cazurilor şi redactarea lor Problemele de combinatorică
au icircnsă o rezolvare bdquoascunsăldquo icircn enunţul problemei o idee pe care rezolvitorul dacă o găseşte termină problema Icircn cazul nostru ne vom focaliza atenţia asupra afirmaţiilor a doi băieţi Ion şi Ionuţ Ambii afirmă că Ion şi Ionel sunt prieteni Deci dacă unul din ei minte şi celălalt va minţi şi cum din cei trei băieţi doar unul minte acesta va fi Ionel
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
119
2 Icircntr-o reţea de aeroporturi avioanele zboară de pe un aeroport numai spre cel mai apropiat aeroport de acesta Pot ateriza simultan şapte sau mai multe avioane pe un aeroport
Rezolvare Răspunsul este negativ iar argumentul este de natură geometrică Presupunacircnd că există şapte sau mai multe avioane care aterizează simultan pe un aeroport obţinem că există două aeroporturi A şi B
de pe care pleacă simultan două avioane spre un aeroport astfel icircncacirct m(ACB) lt 60deg Dar icircn
triunghiul ABC m(ACB) lt 60degrArr AB lt AC sau AB lt BC ceea ce contrazice modul de zbor al
avioanelor (AB lt AC implică că avionul din A va zbura spre aeroportul B şi nu C)
3 Icircntr-o cameră se află 6 persoane La un moment dat din iniţiativa gazdei cele 6 persoane vor face schimb de numere de telefon Să se arate că icircn orice moment sau există 3 persoane care au schimbat numerele de telefon icircntre ele sau 3 persoane astfel icircncacirct nici una nu cunoaşte numărul de telefon al celorlalte două
Rezolvare Pentru redactarea unor probleme de combinatorică se poate face apel la metode de simplificare a enunţului transformacircndu-l icircntr-o sinteză de informaţii matematice Astfel vom considera persoanele ca fiind 6 puncte Dacă două persoane vor schimba numărul de telefon le vom uni cu o linie roşie Dacă nu au făcut schimbul le vom uni cu o linie neagră Concluzia problemei revine astfel la a demonstra că după ce am unit fiecare cu fiecare din cel 6 puncte cu una din cele două linii (roşie sau neagră) va exista un triunghi monocolor Vom considera una din cele 6 persoane Ea este bdquounităldquo cu celelalte prin 5 linii Indiferent de colorarea lor vor exista 3 linii (cel puţin) cu aceeaşi culoare Fără a restracircnge generalitatea vom considera culoarea roşie ce uneşte persoana 1 de persoanele 2 3 şi 4 Dacă segmentul 2 - 3 este roşu atunci triunghiul 1 2 3 este monocolor Deci considerăm cazul icircn care 2 şi 3 sunt unite printr-un segment negru Dacă 3 ndash 4 este roşu 1 3 4 este monocolor dacă 2 ndash 4 este roşu 1 2 4 este monocolor Dacă nici unul din segmentele 2 ndash 3 3 ndash 4 2 ndash 4 nu este roşu atunci toate vor fi negre şi triunghiul 2 3 4 va fi monocolor Deci va exista totdeauna un triunghi monocolor cu vacircrfurile icircn cele 6 puncte
4 Se consideră mulțimea A = x isin 1 le x le 51 Cacircte submulțimi are A știind că au cardinalul 3 iar suma a două elemente ale fiecărei submulțimi este egală cu al treilea element Rezolvare Putem realiza următorul tabel de triplete de numere naturale
Observăm că icircn tabel avem O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decacirct 25 3 submulțimi care conțin pe 24 și nu conțin numere mai mici decacirct 24 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere mai mici decacirct 23 hellip 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1 Icircn sfacircrșit 49 de submulțimi care icircl conțin pe 1 Icircn total avem 1 + 3 + 5 + hellip + 47 + 49 = (24 + 1)2 = 625 de submulțimi 5 Icircntr-o cutie se află 2013 jetoane Gigel și sora sa Gicuța iau pe racircnd din cutie cel puțin un jeton și cel mult 19 jetoane Primul icircncepe jocul Gigel iar cacircștigător este declarat cel care ia ultimele jetoane din cutie a) Arătați că Gigel poate cacircștiga jocul indiferent de strategia sorei sale b) Dacă icircn cutie sunt inițial 2000 de jetoane arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de strategia fratelui său
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2013 Artur Bălăucă)
Rezolvare a) Gigel aplică următoarea strategie Icircncepe jocul luacircnd 13 jetoane din cutie Dacă Gicuța icircncepe jocul luacircnd n jetoane unde 1 n 19 atunci Gigel ia icircn etapa a II-a a jocului (20 ndash n) jetoane șamd Icircn ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decacirct (20 ndash m) jetoane unde 1 m 19 Deci icircn cutie rămacircne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și cacircștigă jocul b) Prima dată Gigel nu poate lua decacirct k jetoane unde 1 le k le 19 iar sora lui aplică strategia căștigătoare luacircnd (20 ndash k) jetoane Cum 20 2000 la ultima etapă a jocului Gicuța va fi cea care ia la urmă cel puțin un jeton
6 La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată icircn mod egal la cele trei secții ale fabricii Icircn momentul acela magazionerul nu avea la icircndemacircnă decacirct trei bidoane goale unul de 50 litri unul de 110 litri și altul de 130 litri Voi icircl puteți ajuta pe magazioner să repartizeze substanța Cum
(Monica Sas)
Rezolvare Putem realiza tabelul
Operația Cantitatea de substanță din vasul de
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ ndash ndash ndash
I 80 ℓ ndash 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ ndash 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ ndash 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ ndash
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ ndash
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Din şirul de numere 123 32 321 112 222 312 3 12 43 233 unul trebuie eliminat Care
2 Exact cinci numere din şirul 73 28 56 19 46 55 respectă regula de alcătuire a şirului Care este bdquointrusulldquo
3 Se poate icircmpărţi numărul 18 888 icircn aşa fel icircncacirct fiecare jumătate să fie 10 000
4 Cum poate fi icircmpărţit numărul 12 icircn două astfel icircncacirct fiecare parte să fie 7
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
9
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Suma dintre cel mai mare şi cel mai mic număr de patru cifre distincte este A) 10890 B) 10899 C) 10898 D) 10900
2 Reconstituiţi icircnmulţirea a) 3 x b) 46 x
7 0
37 178 unde steluţele reprezintă cifre scrise icircn baza 10
3 Scrieţi icircn ordine crescătoare toate numerele naturale de două cifre care se pot forma cu cifrele 0 1 2 3 4 5 6 7 şi care se icircmpart exact la 3
4 Icircn expresia 8 middot30 + 48 8 + 4 puneţi paranteze astfel icircncacirct să se obţină a) cel mai mic număr posibil b) cel mai mare număr posibil
5 Ştiind că a gt 3b + 7 comparaţi a) 7a cu 21b + 49 b) a + 2b + 5 cu 5b + 12 unde a b isin
6 Ştiind că numerele a b c satisfac condiţiile a ge 2 b ge 7 c ge 10 să se arate că a) 2a + 3b + 4c ge 65 b) 2ab + 3ac + 4bc ge 368
7 Cacircte numere naturale de patru cifre distincte două cacircte două pot fi scrise cu cifrele 1 2 3 şi 4 Dar cu cifrele 1 2 3 4 şi 5
8 Aflaţi toate numerele naturale de patru cifre icircn baza 10 ştiind că fiecare dintre ele are cifrele distincte scrise icircn ordine crescătoare iar suma cifrelor este 18
9 Găsiţi cinci numere naturale care să se bucure de proprietatea că suma cifrelor este egală cu produsul cifrelor Sunt multe asemenea numere
10 a) Cacircte numere naturale de trei cifre icircn baza 10 au cifra unităţilor egală cu 5 b) Dar care au cifrele distincte
11 Numărul numerelor pare de trei cifre icircn baza 10 care au suma cifrelor fiecăruia dintre ele mai mică decacirct 5 este egală cu A) 10 B) 9 C) 11 D) 12
12Cacircte numere cuprinse icircntre 1 şi 1 000 000 au suma cifrelor 3 A) 60 B) 58 C) 54 D) 55 E) 56
13 Să se găsească cel mai mic număr natural care are suma cifrelor egală cu 2001 (Concursul bdquoAlexandru Cojocarurdquo Roman 2002)
14 Suma a 10 numere naturale consecutive de forma 5n + 1 n isin este egală cu
1235 Aflaţi numerele
La problemele 1 11 şi 12 numai un răspuns este corect La problemele 11 şi 12 numai un răspuns este corect
10
15 Un tehnoredactor numerotează paginile unei cărţi ultima pagină fiind 1001 De cacircte ori a folosit cifra 8
16 Un elev numerotează paginile unui dicţionar ultima pagină numerotată fiind 985 De cacircte ori a scris cifra 8
17 Cacircte pagini are o carte dacă pentru numerotarea paginilor sale au fost folosite 3889 cifre
18 De cacircte ori utilizaţi cifra 0 şi de cacircte ori utilizaţi cifra 8 pentru a scrie toate numerele naturale de trei cifre icircn baza 10
19 Fie numărul n = 51015202520002005 a) Cacircte cifre are numărul n b) Care este a 1000-a cifră a lui n (Revista bdquoSinusldquo Artur Bălăucă 2005)
20 Fie numărul a = 122333444455555202020 a) Cacircte cifre are numărul a b) Precizaţi cifra de pe locul 50 (etapa judeţeană Botoşani 1996)
21 Fie numărul a = 1234567891011121320002001 a) Cacircte cifre are acest număr b) Determinaţi cifra de pe locul 2001 şi stabiliţi dacă a se divide cu 3
(Artur Bălăucă)
22 Cacircte numere de 9 cifre icircn baza 10 sunt egale cu răsturnatele lor
23 Numărul n este scris cu 666 cifre de 3 iar numărul m este scris cu 333 de cifre de 6 Determinaţi cifrele numărului m n
24 Se consideră numărul 123456789101112hellip99100 Să se suprime 100 de cifre astfel icircncacirct numărul rămas să fie cel mai mare posibil
25 Determinaţi toate numerele naturale care icircncep cu 6 şi se micşorează de 25 de ori atunci cacircnd această cifră este ştearsă
26 Un şir de numere naturale pare consecutive are suma dintre primul şi ultimul termen 204 iar suma dintre ultimii doi termeni 398 a) Găsiţi termenii şirului b) Cacircţi termeni are şirul c) Calculaţi suma termenilor şirului
(etapa locală Botoşani 1995)
27 Se dă numărul a = n2 ndash 6n + 7 (n isin ) a) Să se determine n isin astfel ca a isin b) Să se determine n isin astfel ca a să fie număr natural impar
(Artur Bălăucă)
28 Fie numerele naturale a şi b astfel icircncacirct a lt b Să se arate că an + 1 + bn le an + bn + 1 oricare ar fi n isin (Concursul bdquoDimitrie Pompeiurdquo Botoşani 2001)
29 Determinaţi cel mai mic număr natural (scris icircn baza 10) cu cifre nenule pentru care suma cifrelor sale este 1999 (etapa locală Cluj 1999)
30 Scriem şirul numerelor naturale nenule pare fără să le separăm 24681012hellip Să se determine a 2003-a cifră a numărului astfel obţinut
(etapa locală Botoşani 2003)
31 Fie numărul n = 1234567891011hellip9899100 1 Precizaţi cacircte cifre are n 2 Aflaţi suma cifrelor numărului n (etapa judeţeană Hunedoara 2003)
11
32 Se consideră şirul de numere 2 7 12 17 22 hellip a) Aflaţi al 501-lea termen al şirului b) Stabiliţi dacă numărul 2007 este termen al şirului c) Calculaţi suma primilor 100 de termeni ai şirului (Etapa locală Argeş 2007)
33 Demonstraţi că există x1 x2 xp p numere naturale astfel icircncacirct x1 + x2 + + xp = = x1 middot x2 middot middot xp = 2005 (Concursul bdquoDimitrie PompeiuldquoBotoşani GM 2007)
34 Se dă şirul de numere naturale a1 a2 a3 astfel icircncacirct a1 = 1 middot 2 a2 = 2 middot 3 middot 4 middot 5 a3 = 5 middot 6 middot 7 middot 8 middot 9 middot 10 a4 = 10 middot 11 middot 12 middot 13 middot 14 middot 15 middot 16 middot 17 a) Scrieţi a5 b) Scrieţi a20 (Concursul bdquoSinusldquo 2005)
35 Fie şirul de numere naturale 85 92 99 106 2003 a) Determinaţi cacircte numere conţine şirul b) Aflaţi cacircte cifre s-au utilizat pentru scrierea numerelor din şir c) Precizaţi care este cifra de pe locul 365 din numărul 8592991061132003 (Concursul bdquoSinusldquo Gabriela Bedrulea 2006)
36 Stabiliţi dacă există numere naturale a b c care verifică relaţia ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = 2003 (etapa locală Argeş 2001)
I2I2I2I2 Factor comun Factor comun Factor comun Factor comun
Rețineți a middot b + a middot c = a middot (b + c) pentru orice a b c numere naturale (1) a middot b ndash a middot c = a middot (b ndash c) pentru orice a b c numere naturale cu b ge c (2)
Relațiile (1) și (2) exprimă faptul că icircnmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunare și scădere
Icircn ambele cazuri spunem că l-am scos icircn factor comun pe a Relațiile (1) și (2) se pot extinde pentru un număr finit de termeni Avem ab1 + ab2 + ab3 + + abn = a(b1 + b2 + b3 + + bn)
Probleme rezolvate
1 Să se arate că a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Am notat a2 = a middot a) b) (a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2 oricare ar fi a și b numere naturale
Rezolvare a) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 b) (a + b)(a ndash b) = a(a ndash b) + b(a ndash b) = a2 ndash ab + ab ndash b2 = a2 ndash b2 Observație Rețineți relațiile din problema 1 ele sunt foarte mult utilizate din acest moment 2 Știind că a = 20 și ab + ac + 10b + 10c = 90 aflați numerele naturale b și c
Rezolvare ab + ac + 10b + 10c = a(b + c) + 10(b + c) = (b + c)(a + 10) = (b + c) middot (20 + 10) = 30 middot (b + c) = 90 de unde b + c = 3 Avem b = 0 c = 3 sau b = 1 c = 2 sau b = 2 c = 1 sau b = 3 și c = 0 3 Suma unor numere naturale impare consecutive este egală cu 144 Aflați numerele
Rezolvare Mai icircntacirci observăm că numărul numerelor este par deoarece suma lor este pară Dacă notăm primul număr cu 2p + 1 avem relația (2p + 1) + (2p + 3) + (2p + 5) + + [2p + (2k ndash 1)] + [2p + (2k + 1)] = 144 unde k este număr natural impar
118
CAPITOLUL II
PROBLEME DE NUMĂRARE ŞI DE COLORARE PROBLEME DE PERSPICACITATE PROBLEME DISTRACTIVE PROBLEME RECREATIVE
Probleme de numărare (probleme de combinatorică)
Combinatorica reprezintă una din ramurile moderne ale matematicii Ea reuşeşte să icircnglobeze noţiuni din toate domeniile şi face apel la forma cea mai bdquopurăldquo a inteligenţei intuiţia Combinatorica este domeniul cel mai degajat de suveranitatea axiomatizării şi icircn care libertatea de expunere a ideilor este nelimitată O gamă diversă de probleme icircntrebuinţează icircn enunţul lor un limbaj colocvial accesibil şi fără vaste cunoştinţe teoretice Combinatorica nu dispune de un aparat complex de teoreme care să-i rezolve icircntrebările icircn prim plan situacircndu-se aportul personal al elevului
Probleme rezolvate
1 Trei băieţi Ion Ionel şi Ionuţ afirmă următoarele Ion Ionel şi Ionuţ nici nu se cunosc dar Ionel e cel mai bun prieten al meu Ionel Ion şi Ionuţ sunt cei mai buni prieteni iar eu pe Ion nici nu-l cunosc Ionuţ Ion şi Ionel sunt cei mai buni prieteni dar ei nu mă cunosc pe mine Ştiind că doi dintre băieţi spun adevărul şi unul minte să se găsească cine cu cine este prieten Rezolvare
Rezolvarea problemei include şi icircnţelegerea unor situaţii aparent evidente doi băieţi care nu se cunosc nu pot fi prieteni şi dacă un băiat să zicem Ion este prieten cu Ionel atunci vom avea şi reciproc Ionel este prieten cu Ion Rezolvarea bdquoclasicăldquo este următoarea Icircn figura alăturată vom uni doi prieteni cu o linie dreaptă şi doi băieţi care nu se cunosc cu o linie icircn bdquozig-zagldquo
Dacă Ion minte atunci Ionel şi Ionuţ spun adevărul şi vom obţine următoarea diagramă Observăm Ion şi Ionel respectiv Ion şi Ionuţ sunt simultan şi prieteni şi nu se cunosc Deci Ion spune adevărul
Dacă Ionuţ minte vom avea diagrama Observăm că Ion şi Ionel vor fi prieteni şi necunoscuţi simultan Deci şi Ionuţ spune adevărul Deci bdquomincinosulldquo este Ionel iar diagrama va fi Ion şi Ionel sunt prieteni iar Ionuţ nu-i cunoaşte pe ceilalţi doi Evident o asemenea rezolvare este corectă şi completă Icircnsă ea necesită un anumit timp pentru analizarea tuturor cazurilor şi redactarea lor Problemele de combinatorică
au icircnsă o rezolvare bdquoascunsăldquo icircn enunţul problemei o idee pe care rezolvitorul dacă o găseşte termină problema Icircn cazul nostru ne vom focaliza atenţia asupra afirmaţiilor a doi băieţi Ion şi Ionuţ Ambii afirmă că Ion şi Ionel sunt prieteni Deci dacă unul din ei minte şi celălalt va minţi şi cum din cei trei băieţi doar unul minte acesta va fi Ionel
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
119
2 Icircntr-o reţea de aeroporturi avioanele zboară de pe un aeroport numai spre cel mai apropiat aeroport de acesta Pot ateriza simultan şapte sau mai multe avioane pe un aeroport
Rezolvare Răspunsul este negativ iar argumentul este de natură geometrică Presupunacircnd că există şapte sau mai multe avioane care aterizează simultan pe un aeroport obţinem că există două aeroporturi A şi B
de pe care pleacă simultan două avioane spre un aeroport astfel icircncacirct m(ACB) lt 60deg Dar icircn
triunghiul ABC m(ACB) lt 60degrArr AB lt AC sau AB lt BC ceea ce contrazice modul de zbor al
avioanelor (AB lt AC implică că avionul din A va zbura spre aeroportul B şi nu C)
3 Icircntr-o cameră se află 6 persoane La un moment dat din iniţiativa gazdei cele 6 persoane vor face schimb de numere de telefon Să se arate că icircn orice moment sau există 3 persoane care au schimbat numerele de telefon icircntre ele sau 3 persoane astfel icircncacirct nici una nu cunoaşte numărul de telefon al celorlalte două
Rezolvare Pentru redactarea unor probleme de combinatorică se poate face apel la metode de simplificare a enunţului transformacircndu-l icircntr-o sinteză de informaţii matematice Astfel vom considera persoanele ca fiind 6 puncte Dacă două persoane vor schimba numărul de telefon le vom uni cu o linie roşie Dacă nu au făcut schimbul le vom uni cu o linie neagră Concluzia problemei revine astfel la a demonstra că după ce am unit fiecare cu fiecare din cel 6 puncte cu una din cele două linii (roşie sau neagră) va exista un triunghi monocolor Vom considera una din cele 6 persoane Ea este bdquounităldquo cu celelalte prin 5 linii Indiferent de colorarea lor vor exista 3 linii (cel puţin) cu aceeaşi culoare Fără a restracircnge generalitatea vom considera culoarea roşie ce uneşte persoana 1 de persoanele 2 3 şi 4 Dacă segmentul 2 - 3 este roşu atunci triunghiul 1 2 3 este monocolor Deci considerăm cazul icircn care 2 şi 3 sunt unite printr-un segment negru Dacă 3 ndash 4 este roşu 1 3 4 este monocolor dacă 2 ndash 4 este roşu 1 2 4 este monocolor Dacă nici unul din segmentele 2 ndash 3 3 ndash 4 2 ndash 4 nu este roşu atunci toate vor fi negre şi triunghiul 2 3 4 va fi monocolor Deci va exista totdeauna un triunghi monocolor cu vacircrfurile icircn cele 6 puncte
4 Se consideră mulțimea A = x isin 1 le x le 51 Cacircte submulțimi are A știind că au cardinalul 3 iar suma a două elemente ale fiecărei submulțimi este egală cu al treilea element Rezolvare Putem realiza următorul tabel de triplete de numere naturale
Observăm că icircn tabel avem O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decacirct 25 3 submulțimi care conțin pe 24 și nu conțin numere mai mici decacirct 24 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere mai mici decacirct 23 hellip 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1 Icircn sfacircrșit 49 de submulțimi care icircl conțin pe 1 Icircn total avem 1 + 3 + 5 + hellip + 47 + 49 = (24 + 1)2 = 625 de submulțimi 5 Icircntr-o cutie se află 2013 jetoane Gigel și sora sa Gicuța iau pe racircnd din cutie cel puțin un jeton și cel mult 19 jetoane Primul icircncepe jocul Gigel iar cacircștigător este declarat cel care ia ultimele jetoane din cutie a) Arătați că Gigel poate cacircștiga jocul indiferent de strategia sorei sale b) Dacă icircn cutie sunt inițial 2000 de jetoane arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de strategia fratelui său
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2013 Artur Bălăucă)
Rezolvare a) Gigel aplică următoarea strategie Icircncepe jocul luacircnd 13 jetoane din cutie Dacă Gicuța icircncepe jocul luacircnd n jetoane unde 1 n 19 atunci Gigel ia icircn etapa a II-a a jocului (20 ndash n) jetoane șamd Icircn ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decacirct (20 ndash m) jetoane unde 1 m 19 Deci icircn cutie rămacircne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și cacircștigă jocul b) Prima dată Gigel nu poate lua decacirct k jetoane unde 1 le k le 19 iar sora lui aplică strategia căștigătoare luacircnd (20 ndash k) jetoane Cum 20 2000 la ultima etapă a jocului Gicuța va fi cea care ia la urmă cel puțin un jeton
6 La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată icircn mod egal la cele trei secții ale fabricii Icircn momentul acela magazionerul nu avea la icircndemacircnă decacirct trei bidoane goale unul de 50 litri unul de 110 litri și altul de 130 litri Voi icircl puteți ajuta pe magazioner să repartizeze substanța Cum
(Monica Sas)
Rezolvare Putem realiza tabelul
Operația Cantitatea de substanță din vasul de
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ ndash ndash ndash
I 80 ℓ ndash 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ ndash 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ ndash 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ ndash
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ ndash
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Din şirul de numere 123 32 321 112 222 312 3 12 43 233 unul trebuie eliminat Care
2 Exact cinci numere din şirul 73 28 56 19 46 55 respectă regula de alcătuire a şirului Care este bdquointrusulldquo
3 Se poate icircmpărţi numărul 18 888 icircn aşa fel icircncacirct fiecare jumătate să fie 10 000
4 Cum poate fi icircmpărţit numărul 12 icircn două astfel icircncacirct fiecare parte să fie 7
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
10
15 Un tehnoredactor numerotează paginile unei cărţi ultima pagină fiind 1001 De cacircte ori a folosit cifra 8
16 Un elev numerotează paginile unui dicţionar ultima pagină numerotată fiind 985 De cacircte ori a scris cifra 8
17 Cacircte pagini are o carte dacă pentru numerotarea paginilor sale au fost folosite 3889 cifre
18 De cacircte ori utilizaţi cifra 0 şi de cacircte ori utilizaţi cifra 8 pentru a scrie toate numerele naturale de trei cifre icircn baza 10
19 Fie numărul n = 51015202520002005 a) Cacircte cifre are numărul n b) Care este a 1000-a cifră a lui n (Revista bdquoSinusldquo Artur Bălăucă 2005)
20 Fie numărul a = 122333444455555202020 a) Cacircte cifre are numărul a b) Precizaţi cifra de pe locul 50 (etapa judeţeană Botoşani 1996)
21 Fie numărul a = 1234567891011121320002001 a) Cacircte cifre are acest număr b) Determinaţi cifra de pe locul 2001 şi stabiliţi dacă a se divide cu 3
(Artur Bălăucă)
22 Cacircte numere de 9 cifre icircn baza 10 sunt egale cu răsturnatele lor
23 Numărul n este scris cu 666 cifre de 3 iar numărul m este scris cu 333 de cifre de 6 Determinaţi cifrele numărului m n
24 Se consideră numărul 123456789101112hellip99100 Să se suprime 100 de cifre astfel icircncacirct numărul rămas să fie cel mai mare posibil
25 Determinaţi toate numerele naturale care icircncep cu 6 şi se micşorează de 25 de ori atunci cacircnd această cifră este ştearsă
26 Un şir de numere naturale pare consecutive are suma dintre primul şi ultimul termen 204 iar suma dintre ultimii doi termeni 398 a) Găsiţi termenii şirului b) Cacircţi termeni are şirul c) Calculaţi suma termenilor şirului
(etapa locală Botoşani 1995)
27 Se dă numărul a = n2 ndash 6n + 7 (n isin ) a) Să se determine n isin astfel ca a isin b) Să se determine n isin astfel ca a să fie număr natural impar
(Artur Bălăucă)
28 Fie numerele naturale a şi b astfel icircncacirct a lt b Să se arate că an + 1 + bn le an + bn + 1 oricare ar fi n isin (Concursul bdquoDimitrie Pompeiurdquo Botoşani 2001)
29 Determinaţi cel mai mic număr natural (scris icircn baza 10) cu cifre nenule pentru care suma cifrelor sale este 1999 (etapa locală Cluj 1999)
30 Scriem şirul numerelor naturale nenule pare fără să le separăm 24681012hellip Să se determine a 2003-a cifră a numărului astfel obţinut
(etapa locală Botoşani 2003)
31 Fie numărul n = 1234567891011hellip9899100 1 Precizaţi cacircte cifre are n 2 Aflaţi suma cifrelor numărului n (etapa judeţeană Hunedoara 2003)
11
32 Se consideră şirul de numere 2 7 12 17 22 hellip a) Aflaţi al 501-lea termen al şirului b) Stabiliţi dacă numărul 2007 este termen al şirului c) Calculaţi suma primilor 100 de termeni ai şirului (Etapa locală Argeş 2007)
33 Demonstraţi că există x1 x2 xp p numere naturale astfel icircncacirct x1 + x2 + + xp = = x1 middot x2 middot middot xp = 2005 (Concursul bdquoDimitrie PompeiuldquoBotoşani GM 2007)
34 Se dă şirul de numere naturale a1 a2 a3 astfel icircncacirct a1 = 1 middot 2 a2 = 2 middot 3 middot 4 middot 5 a3 = 5 middot 6 middot 7 middot 8 middot 9 middot 10 a4 = 10 middot 11 middot 12 middot 13 middot 14 middot 15 middot 16 middot 17 a) Scrieţi a5 b) Scrieţi a20 (Concursul bdquoSinusldquo 2005)
35 Fie şirul de numere naturale 85 92 99 106 2003 a) Determinaţi cacircte numere conţine şirul b) Aflaţi cacircte cifre s-au utilizat pentru scrierea numerelor din şir c) Precizaţi care este cifra de pe locul 365 din numărul 8592991061132003 (Concursul bdquoSinusldquo Gabriela Bedrulea 2006)
36 Stabiliţi dacă există numere naturale a b c care verifică relaţia ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = 2003 (etapa locală Argeş 2001)
I2I2I2I2 Factor comun Factor comun Factor comun Factor comun
Rețineți a middot b + a middot c = a middot (b + c) pentru orice a b c numere naturale (1) a middot b ndash a middot c = a middot (b ndash c) pentru orice a b c numere naturale cu b ge c (2)
Relațiile (1) și (2) exprimă faptul că icircnmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunare și scădere
Icircn ambele cazuri spunem că l-am scos icircn factor comun pe a Relațiile (1) și (2) se pot extinde pentru un număr finit de termeni Avem ab1 + ab2 + ab3 + + abn = a(b1 + b2 + b3 + + bn)
Probleme rezolvate
1 Să se arate că a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Am notat a2 = a middot a) b) (a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2 oricare ar fi a și b numere naturale
Rezolvare a) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 b) (a + b)(a ndash b) = a(a ndash b) + b(a ndash b) = a2 ndash ab + ab ndash b2 = a2 ndash b2 Observație Rețineți relațiile din problema 1 ele sunt foarte mult utilizate din acest moment 2 Știind că a = 20 și ab + ac + 10b + 10c = 90 aflați numerele naturale b și c
Rezolvare ab + ac + 10b + 10c = a(b + c) + 10(b + c) = (b + c)(a + 10) = (b + c) middot (20 + 10) = 30 middot (b + c) = 90 de unde b + c = 3 Avem b = 0 c = 3 sau b = 1 c = 2 sau b = 2 c = 1 sau b = 3 și c = 0 3 Suma unor numere naturale impare consecutive este egală cu 144 Aflați numerele
Rezolvare Mai icircntacirci observăm că numărul numerelor este par deoarece suma lor este pară Dacă notăm primul număr cu 2p + 1 avem relația (2p + 1) + (2p + 3) + (2p + 5) + + [2p + (2k ndash 1)] + [2p + (2k + 1)] = 144 unde k este număr natural impar
118
CAPITOLUL II
PROBLEME DE NUMĂRARE ŞI DE COLORARE PROBLEME DE PERSPICACITATE PROBLEME DISTRACTIVE PROBLEME RECREATIVE
Probleme de numărare (probleme de combinatorică)
Combinatorica reprezintă una din ramurile moderne ale matematicii Ea reuşeşte să icircnglobeze noţiuni din toate domeniile şi face apel la forma cea mai bdquopurăldquo a inteligenţei intuiţia Combinatorica este domeniul cel mai degajat de suveranitatea axiomatizării şi icircn care libertatea de expunere a ideilor este nelimitată O gamă diversă de probleme icircntrebuinţează icircn enunţul lor un limbaj colocvial accesibil şi fără vaste cunoştinţe teoretice Combinatorica nu dispune de un aparat complex de teoreme care să-i rezolve icircntrebările icircn prim plan situacircndu-se aportul personal al elevului
Probleme rezolvate
1 Trei băieţi Ion Ionel şi Ionuţ afirmă următoarele Ion Ionel şi Ionuţ nici nu se cunosc dar Ionel e cel mai bun prieten al meu Ionel Ion şi Ionuţ sunt cei mai buni prieteni iar eu pe Ion nici nu-l cunosc Ionuţ Ion şi Ionel sunt cei mai buni prieteni dar ei nu mă cunosc pe mine Ştiind că doi dintre băieţi spun adevărul şi unul minte să se găsească cine cu cine este prieten Rezolvare
Rezolvarea problemei include şi icircnţelegerea unor situaţii aparent evidente doi băieţi care nu se cunosc nu pot fi prieteni şi dacă un băiat să zicem Ion este prieten cu Ionel atunci vom avea şi reciproc Ionel este prieten cu Ion Rezolvarea bdquoclasicăldquo este următoarea Icircn figura alăturată vom uni doi prieteni cu o linie dreaptă şi doi băieţi care nu se cunosc cu o linie icircn bdquozig-zagldquo
Dacă Ion minte atunci Ionel şi Ionuţ spun adevărul şi vom obţine următoarea diagramă Observăm Ion şi Ionel respectiv Ion şi Ionuţ sunt simultan şi prieteni şi nu se cunosc Deci Ion spune adevărul
Dacă Ionuţ minte vom avea diagrama Observăm că Ion şi Ionel vor fi prieteni şi necunoscuţi simultan Deci şi Ionuţ spune adevărul Deci bdquomincinosulldquo este Ionel iar diagrama va fi Ion şi Ionel sunt prieteni iar Ionuţ nu-i cunoaşte pe ceilalţi doi Evident o asemenea rezolvare este corectă şi completă Icircnsă ea necesită un anumit timp pentru analizarea tuturor cazurilor şi redactarea lor Problemele de combinatorică
au icircnsă o rezolvare bdquoascunsăldquo icircn enunţul problemei o idee pe care rezolvitorul dacă o găseşte termină problema Icircn cazul nostru ne vom focaliza atenţia asupra afirmaţiilor a doi băieţi Ion şi Ionuţ Ambii afirmă că Ion şi Ionel sunt prieteni Deci dacă unul din ei minte şi celălalt va minţi şi cum din cei trei băieţi doar unul minte acesta va fi Ionel
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
119
2 Icircntr-o reţea de aeroporturi avioanele zboară de pe un aeroport numai spre cel mai apropiat aeroport de acesta Pot ateriza simultan şapte sau mai multe avioane pe un aeroport
Rezolvare Răspunsul este negativ iar argumentul este de natură geometrică Presupunacircnd că există şapte sau mai multe avioane care aterizează simultan pe un aeroport obţinem că există două aeroporturi A şi B
de pe care pleacă simultan două avioane spre un aeroport astfel icircncacirct m(ACB) lt 60deg Dar icircn
triunghiul ABC m(ACB) lt 60degrArr AB lt AC sau AB lt BC ceea ce contrazice modul de zbor al
avioanelor (AB lt AC implică că avionul din A va zbura spre aeroportul B şi nu C)
3 Icircntr-o cameră se află 6 persoane La un moment dat din iniţiativa gazdei cele 6 persoane vor face schimb de numere de telefon Să se arate că icircn orice moment sau există 3 persoane care au schimbat numerele de telefon icircntre ele sau 3 persoane astfel icircncacirct nici una nu cunoaşte numărul de telefon al celorlalte două
Rezolvare Pentru redactarea unor probleme de combinatorică se poate face apel la metode de simplificare a enunţului transformacircndu-l icircntr-o sinteză de informaţii matematice Astfel vom considera persoanele ca fiind 6 puncte Dacă două persoane vor schimba numărul de telefon le vom uni cu o linie roşie Dacă nu au făcut schimbul le vom uni cu o linie neagră Concluzia problemei revine astfel la a demonstra că după ce am unit fiecare cu fiecare din cel 6 puncte cu una din cele două linii (roşie sau neagră) va exista un triunghi monocolor Vom considera una din cele 6 persoane Ea este bdquounităldquo cu celelalte prin 5 linii Indiferent de colorarea lor vor exista 3 linii (cel puţin) cu aceeaşi culoare Fără a restracircnge generalitatea vom considera culoarea roşie ce uneşte persoana 1 de persoanele 2 3 şi 4 Dacă segmentul 2 - 3 este roşu atunci triunghiul 1 2 3 este monocolor Deci considerăm cazul icircn care 2 şi 3 sunt unite printr-un segment negru Dacă 3 ndash 4 este roşu 1 3 4 este monocolor dacă 2 ndash 4 este roşu 1 2 4 este monocolor Dacă nici unul din segmentele 2 ndash 3 3 ndash 4 2 ndash 4 nu este roşu atunci toate vor fi negre şi triunghiul 2 3 4 va fi monocolor Deci va exista totdeauna un triunghi monocolor cu vacircrfurile icircn cele 6 puncte
4 Se consideră mulțimea A = x isin 1 le x le 51 Cacircte submulțimi are A știind că au cardinalul 3 iar suma a două elemente ale fiecărei submulțimi este egală cu al treilea element Rezolvare Putem realiza următorul tabel de triplete de numere naturale
Observăm că icircn tabel avem O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decacirct 25 3 submulțimi care conțin pe 24 și nu conțin numere mai mici decacirct 24 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere mai mici decacirct 23 hellip 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1 Icircn sfacircrșit 49 de submulțimi care icircl conțin pe 1 Icircn total avem 1 + 3 + 5 + hellip + 47 + 49 = (24 + 1)2 = 625 de submulțimi 5 Icircntr-o cutie se află 2013 jetoane Gigel și sora sa Gicuța iau pe racircnd din cutie cel puțin un jeton și cel mult 19 jetoane Primul icircncepe jocul Gigel iar cacircștigător este declarat cel care ia ultimele jetoane din cutie a) Arătați că Gigel poate cacircștiga jocul indiferent de strategia sorei sale b) Dacă icircn cutie sunt inițial 2000 de jetoane arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de strategia fratelui său
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2013 Artur Bălăucă)
Rezolvare a) Gigel aplică următoarea strategie Icircncepe jocul luacircnd 13 jetoane din cutie Dacă Gicuța icircncepe jocul luacircnd n jetoane unde 1 n 19 atunci Gigel ia icircn etapa a II-a a jocului (20 ndash n) jetoane șamd Icircn ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decacirct (20 ndash m) jetoane unde 1 m 19 Deci icircn cutie rămacircne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și cacircștigă jocul b) Prima dată Gigel nu poate lua decacirct k jetoane unde 1 le k le 19 iar sora lui aplică strategia căștigătoare luacircnd (20 ndash k) jetoane Cum 20 2000 la ultima etapă a jocului Gicuța va fi cea care ia la urmă cel puțin un jeton
6 La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată icircn mod egal la cele trei secții ale fabricii Icircn momentul acela magazionerul nu avea la icircndemacircnă decacirct trei bidoane goale unul de 50 litri unul de 110 litri și altul de 130 litri Voi icircl puteți ajuta pe magazioner să repartizeze substanța Cum
(Monica Sas)
Rezolvare Putem realiza tabelul
Operația Cantitatea de substanță din vasul de
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ ndash ndash ndash
I 80 ℓ ndash 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ ndash 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ ndash 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ ndash
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ ndash
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Din şirul de numere 123 32 321 112 222 312 3 12 43 233 unul trebuie eliminat Care
2 Exact cinci numere din şirul 73 28 56 19 46 55 respectă regula de alcătuire a şirului Care este bdquointrusulldquo
3 Se poate icircmpărţi numărul 18 888 icircn aşa fel icircncacirct fiecare jumătate să fie 10 000
4 Cum poate fi icircmpărţit numărul 12 icircn două astfel icircncacirct fiecare parte să fie 7
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
11
32 Se consideră şirul de numere 2 7 12 17 22 hellip a) Aflaţi al 501-lea termen al şirului b) Stabiliţi dacă numărul 2007 este termen al şirului c) Calculaţi suma primilor 100 de termeni ai şirului (Etapa locală Argeş 2007)
33 Demonstraţi că există x1 x2 xp p numere naturale astfel icircncacirct x1 + x2 + + xp = = x1 middot x2 middot middot xp = 2005 (Concursul bdquoDimitrie PompeiuldquoBotoşani GM 2007)
34 Se dă şirul de numere naturale a1 a2 a3 astfel icircncacirct a1 = 1 middot 2 a2 = 2 middot 3 middot 4 middot 5 a3 = 5 middot 6 middot 7 middot 8 middot 9 middot 10 a4 = 10 middot 11 middot 12 middot 13 middot 14 middot 15 middot 16 middot 17 a) Scrieţi a5 b) Scrieţi a20 (Concursul bdquoSinusldquo 2005)
35 Fie şirul de numere naturale 85 92 99 106 2003 a) Determinaţi cacircte numere conţine şirul b) Aflaţi cacircte cifre s-au utilizat pentru scrierea numerelor din şir c) Precizaţi care este cifra de pe locul 365 din numărul 8592991061132003 (Concursul bdquoSinusldquo Gabriela Bedrulea 2006)
36 Stabiliţi dacă există numere naturale a b c care verifică relaţia ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = 2003 (etapa locală Argeş 2001)
I2I2I2I2 Factor comun Factor comun Factor comun Factor comun
Rețineți a middot b + a middot c = a middot (b + c) pentru orice a b c numere naturale (1) a middot b ndash a middot c = a middot (b ndash c) pentru orice a b c numere naturale cu b ge c (2)
Relațiile (1) și (2) exprimă faptul că icircnmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunare și scădere
Icircn ambele cazuri spunem că l-am scos icircn factor comun pe a Relațiile (1) și (2) se pot extinde pentru un număr finit de termeni Avem ab1 + ab2 + ab3 + + abn = a(b1 + b2 + b3 + + bn)
Probleme rezolvate
1 Să se arate că a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Am notat a2 = a middot a) b) (a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2 oricare ar fi a și b numere naturale
Rezolvare a) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 b) (a + b)(a ndash b) = a(a ndash b) + b(a ndash b) = a2 ndash ab + ab ndash b2 = a2 ndash b2 Observație Rețineți relațiile din problema 1 ele sunt foarte mult utilizate din acest moment 2 Știind că a = 20 și ab + ac + 10b + 10c = 90 aflați numerele naturale b și c
Rezolvare ab + ac + 10b + 10c = a(b + c) + 10(b + c) = (b + c)(a + 10) = (b + c) middot (20 + 10) = 30 middot (b + c) = 90 de unde b + c = 3 Avem b = 0 c = 3 sau b = 1 c = 2 sau b = 2 c = 1 sau b = 3 și c = 0 3 Suma unor numere naturale impare consecutive este egală cu 144 Aflați numerele
Rezolvare Mai icircntacirci observăm că numărul numerelor este par deoarece suma lor este pară Dacă notăm primul număr cu 2p + 1 avem relația (2p + 1) + (2p + 3) + (2p + 5) + + [2p + (2k ndash 1)] + [2p + (2k + 1)] = 144 unde k este număr natural impar
118
CAPITOLUL II
PROBLEME DE NUMĂRARE ŞI DE COLORARE PROBLEME DE PERSPICACITATE PROBLEME DISTRACTIVE PROBLEME RECREATIVE
Probleme de numărare (probleme de combinatorică)
Combinatorica reprezintă una din ramurile moderne ale matematicii Ea reuşeşte să icircnglobeze noţiuni din toate domeniile şi face apel la forma cea mai bdquopurăldquo a inteligenţei intuiţia Combinatorica este domeniul cel mai degajat de suveranitatea axiomatizării şi icircn care libertatea de expunere a ideilor este nelimitată O gamă diversă de probleme icircntrebuinţează icircn enunţul lor un limbaj colocvial accesibil şi fără vaste cunoştinţe teoretice Combinatorica nu dispune de un aparat complex de teoreme care să-i rezolve icircntrebările icircn prim plan situacircndu-se aportul personal al elevului
Probleme rezolvate
1 Trei băieţi Ion Ionel şi Ionuţ afirmă următoarele Ion Ionel şi Ionuţ nici nu se cunosc dar Ionel e cel mai bun prieten al meu Ionel Ion şi Ionuţ sunt cei mai buni prieteni iar eu pe Ion nici nu-l cunosc Ionuţ Ion şi Ionel sunt cei mai buni prieteni dar ei nu mă cunosc pe mine Ştiind că doi dintre băieţi spun adevărul şi unul minte să se găsească cine cu cine este prieten Rezolvare
Rezolvarea problemei include şi icircnţelegerea unor situaţii aparent evidente doi băieţi care nu se cunosc nu pot fi prieteni şi dacă un băiat să zicem Ion este prieten cu Ionel atunci vom avea şi reciproc Ionel este prieten cu Ion Rezolvarea bdquoclasicăldquo este următoarea Icircn figura alăturată vom uni doi prieteni cu o linie dreaptă şi doi băieţi care nu se cunosc cu o linie icircn bdquozig-zagldquo
Dacă Ion minte atunci Ionel şi Ionuţ spun adevărul şi vom obţine următoarea diagramă Observăm Ion şi Ionel respectiv Ion şi Ionuţ sunt simultan şi prieteni şi nu se cunosc Deci Ion spune adevărul
Dacă Ionuţ minte vom avea diagrama Observăm că Ion şi Ionel vor fi prieteni şi necunoscuţi simultan Deci şi Ionuţ spune adevărul Deci bdquomincinosulldquo este Ionel iar diagrama va fi Ion şi Ionel sunt prieteni iar Ionuţ nu-i cunoaşte pe ceilalţi doi Evident o asemenea rezolvare este corectă şi completă Icircnsă ea necesită un anumit timp pentru analizarea tuturor cazurilor şi redactarea lor Problemele de combinatorică
au icircnsă o rezolvare bdquoascunsăldquo icircn enunţul problemei o idee pe care rezolvitorul dacă o găseşte termină problema Icircn cazul nostru ne vom focaliza atenţia asupra afirmaţiilor a doi băieţi Ion şi Ionuţ Ambii afirmă că Ion şi Ionel sunt prieteni Deci dacă unul din ei minte şi celălalt va minţi şi cum din cei trei băieţi doar unul minte acesta va fi Ionel
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
119
2 Icircntr-o reţea de aeroporturi avioanele zboară de pe un aeroport numai spre cel mai apropiat aeroport de acesta Pot ateriza simultan şapte sau mai multe avioane pe un aeroport
Rezolvare Răspunsul este negativ iar argumentul este de natură geometrică Presupunacircnd că există şapte sau mai multe avioane care aterizează simultan pe un aeroport obţinem că există două aeroporturi A şi B
de pe care pleacă simultan două avioane spre un aeroport astfel icircncacirct m(ACB) lt 60deg Dar icircn
triunghiul ABC m(ACB) lt 60degrArr AB lt AC sau AB lt BC ceea ce contrazice modul de zbor al
avioanelor (AB lt AC implică că avionul din A va zbura spre aeroportul B şi nu C)
3 Icircntr-o cameră se află 6 persoane La un moment dat din iniţiativa gazdei cele 6 persoane vor face schimb de numere de telefon Să se arate că icircn orice moment sau există 3 persoane care au schimbat numerele de telefon icircntre ele sau 3 persoane astfel icircncacirct nici una nu cunoaşte numărul de telefon al celorlalte două
Rezolvare Pentru redactarea unor probleme de combinatorică se poate face apel la metode de simplificare a enunţului transformacircndu-l icircntr-o sinteză de informaţii matematice Astfel vom considera persoanele ca fiind 6 puncte Dacă două persoane vor schimba numărul de telefon le vom uni cu o linie roşie Dacă nu au făcut schimbul le vom uni cu o linie neagră Concluzia problemei revine astfel la a demonstra că după ce am unit fiecare cu fiecare din cel 6 puncte cu una din cele două linii (roşie sau neagră) va exista un triunghi monocolor Vom considera una din cele 6 persoane Ea este bdquounităldquo cu celelalte prin 5 linii Indiferent de colorarea lor vor exista 3 linii (cel puţin) cu aceeaşi culoare Fără a restracircnge generalitatea vom considera culoarea roşie ce uneşte persoana 1 de persoanele 2 3 şi 4 Dacă segmentul 2 - 3 este roşu atunci triunghiul 1 2 3 este monocolor Deci considerăm cazul icircn care 2 şi 3 sunt unite printr-un segment negru Dacă 3 ndash 4 este roşu 1 3 4 este monocolor dacă 2 ndash 4 este roşu 1 2 4 este monocolor Dacă nici unul din segmentele 2 ndash 3 3 ndash 4 2 ndash 4 nu este roşu atunci toate vor fi negre şi triunghiul 2 3 4 va fi monocolor Deci va exista totdeauna un triunghi monocolor cu vacircrfurile icircn cele 6 puncte
4 Se consideră mulțimea A = x isin 1 le x le 51 Cacircte submulțimi are A știind că au cardinalul 3 iar suma a două elemente ale fiecărei submulțimi este egală cu al treilea element Rezolvare Putem realiza următorul tabel de triplete de numere naturale
Observăm că icircn tabel avem O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decacirct 25 3 submulțimi care conțin pe 24 și nu conțin numere mai mici decacirct 24 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere mai mici decacirct 23 hellip 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1 Icircn sfacircrșit 49 de submulțimi care icircl conțin pe 1 Icircn total avem 1 + 3 + 5 + hellip + 47 + 49 = (24 + 1)2 = 625 de submulțimi 5 Icircntr-o cutie se află 2013 jetoane Gigel și sora sa Gicuța iau pe racircnd din cutie cel puțin un jeton și cel mult 19 jetoane Primul icircncepe jocul Gigel iar cacircștigător este declarat cel care ia ultimele jetoane din cutie a) Arătați că Gigel poate cacircștiga jocul indiferent de strategia sorei sale b) Dacă icircn cutie sunt inițial 2000 de jetoane arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de strategia fratelui său
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2013 Artur Bălăucă)
Rezolvare a) Gigel aplică următoarea strategie Icircncepe jocul luacircnd 13 jetoane din cutie Dacă Gicuța icircncepe jocul luacircnd n jetoane unde 1 n 19 atunci Gigel ia icircn etapa a II-a a jocului (20 ndash n) jetoane șamd Icircn ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decacirct (20 ndash m) jetoane unde 1 m 19 Deci icircn cutie rămacircne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și cacircștigă jocul b) Prima dată Gigel nu poate lua decacirct k jetoane unde 1 le k le 19 iar sora lui aplică strategia căștigătoare luacircnd (20 ndash k) jetoane Cum 20 2000 la ultima etapă a jocului Gicuța va fi cea care ia la urmă cel puțin un jeton
6 La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată icircn mod egal la cele trei secții ale fabricii Icircn momentul acela magazionerul nu avea la icircndemacircnă decacirct trei bidoane goale unul de 50 litri unul de 110 litri și altul de 130 litri Voi icircl puteți ajuta pe magazioner să repartizeze substanța Cum
(Monica Sas)
Rezolvare Putem realiza tabelul
Operația Cantitatea de substanță din vasul de
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ ndash ndash ndash
I 80 ℓ ndash 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ ndash 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ ndash 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ ndash
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ ndash
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Din şirul de numere 123 32 321 112 222 312 3 12 43 233 unul trebuie eliminat Care
2 Exact cinci numere din şirul 73 28 56 19 46 55 respectă regula de alcătuire a şirului Care este bdquointrusulldquo
3 Se poate icircmpărţi numărul 18 888 icircn aşa fel icircncacirct fiecare jumătate să fie 10 000
4 Cum poate fi icircmpărţit numărul 12 icircn două astfel icircncacirct fiecare parte să fie 7
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
118
CAPITOLUL II
PROBLEME DE NUMĂRARE ŞI DE COLORARE PROBLEME DE PERSPICACITATE PROBLEME DISTRACTIVE PROBLEME RECREATIVE
Probleme de numărare (probleme de combinatorică)
Combinatorica reprezintă una din ramurile moderne ale matematicii Ea reuşeşte să icircnglobeze noţiuni din toate domeniile şi face apel la forma cea mai bdquopurăldquo a inteligenţei intuiţia Combinatorica este domeniul cel mai degajat de suveranitatea axiomatizării şi icircn care libertatea de expunere a ideilor este nelimitată O gamă diversă de probleme icircntrebuinţează icircn enunţul lor un limbaj colocvial accesibil şi fără vaste cunoştinţe teoretice Combinatorica nu dispune de un aparat complex de teoreme care să-i rezolve icircntrebările icircn prim plan situacircndu-se aportul personal al elevului
Probleme rezolvate
1 Trei băieţi Ion Ionel şi Ionuţ afirmă următoarele Ion Ionel şi Ionuţ nici nu se cunosc dar Ionel e cel mai bun prieten al meu Ionel Ion şi Ionuţ sunt cei mai buni prieteni iar eu pe Ion nici nu-l cunosc Ionuţ Ion şi Ionel sunt cei mai buni prieteni dar ei nu mă cunosc pe mine Ştiind că doi dintre băieţi spun adevărul şi unul minte să se găsească cine cu cine este prieten Rezolvare
Rezolvarea problemei include şi icircnţelegerea unor situaţii aparent evidente doi băieţi care nu se cunosc nu pot fi prieteni şi dacă un băiat să zicem Ion este prieten cu Ionel atunci vom avea şi reciproc Ionel este prieten cu Ion Rezolvarea bdquoclasicăldquo este următoarea Icircn figura alăturată vom uni doi prieteni cu o linie dreaptă şi doi băieţi care nu se cunosc cu o linie icircn bdquozig-zagldquo
Dacă Ion minte atunci Ionel şi Ionuţ spun adevărul şi vom obţine următoarea diagramă Observăm Ion şi Ionel respectiv Ion şi Ionuţ sunt simultan şi prieteni şi nu se cunosc Deci Ion spune adevărul
Dacă Ionuţ minte vom avea diagrama Observăm că Ion şi Ionel vor fi prieteni şi necunoscuţi simultan Deci şi Ionuţ spune adevărul Deci bdquomincinosulldquo este Ionel iar diagrama va fi Ion şi Ionel sunt prieteni iar Ionuţ nu-i cunoaşte pe ceilalţi doi Evident o asemenea rezolvare este corectă şi completă Icircnsă ea necesită un anumit timp pentru analizarea tuturor cazurilor şi redactarea lor Problemele de combinatorică
au icircnsă o rezolvare bdquoascunsăldquo icircn enunţul problemei o idee pe care rezolvitorul dacă o găseşte termină problema Icircn cazul nostru ne vom focaliza atenţia asupra afirmaţiilor a doi băieţi Ion şi Ionuţ Ambii afirmă că Ion şi Ionel sunt prieteni Deci dacă unul din ei minte şi celălalt va minţi şi cum din cei trei băieţi doar unul minte acesta va fi Ionel
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
119
2 Icircntr-o reţea de aeroporturi avioanele zboară de pe un aeroport numai spre cel mai apropiat aeroport de acesta Pot ateriza simultan şapte sau mai multe avioane pe un aeroport
Rezolvare Răspunsul este negativ iar argumentul este de natură geometrică Presupunacircnd că există şapte sau mai multe avioane care aterizează simultan pe un aeroport obţinem că există două aeroporturi A şi B
de pe care pleacă simultan două avioane spre un aeroport astfel icircncacirct m(ACB) lt 60deg Dar icircn
triunghiul ABC m(ACB) lt 60degrArr AB lt AC sau AB lt BC ceea ce contrazice modul de zbor al
avioanelor (AB lt AC implică că avionul din A va zbura spre aeroportul B şi nu C)
3 Icircntr-o cameră se află 6 persoane La un moment dat din iniţiativa gazdei cele 6 persoane vor face schimb de numere de telefon Să se arate că icircn orice moment sau există 3 persoane care au schimbat numerele de telefon icircntre ele sau 3 persoane astfel icircncacirct nici una nu cunoaşte numărul de telefon al celorlalte două
Rezolvare Pentru redactarea unor probleme de combinatorică se poate face apel la metode de simplificare a enunţului transformacircndu-l icircntr-o sinteză de informaţii matematice Astfel vom considera persoanele ca fiind 6 puncte Dacă două persoane vor schimba numărul de telefon le vom uni cu o linie roşie Dacă nu au făcut schimbul le vom uni cu o linie neagră Concluzia problemei revine astfel la a demonstra că după ce am unit fiecare cu fiecare din cel 6 puncte cu una din cele două linii (roşie sau neagră) va exista un triunghi monocolor Vom considera una din cele 6 persoane Ea este bdquounităldquo cu celelalte prin 5 linii Indiferent de colorarea lor vor exista 3 linii (cel puţin) cu aceeaşi culoare Fără a restracircnge generalitatea vom considera culoarea roşie ce uneşte persoana 1 de persoanele 2 3 şi 4 Dacă segmentul 2 - 3 este roşu atunci triunghiul 1 2 3 este monocolor Deci considerăm cazul icircn care 2 şi 3 sunt unite printr-un segment negru Dacă 3 ndash 4 este roşu 1 3 4 este monocolor dacă 2 ndash 4 este roşu 1 2 4 este monocolor Dacă nici unul din segmentele 2 ndash 3 3 ndash 4 2 ndash 4 nu este roşu atunci toate vor fi negre şi triunghiul 2 3 4 va fi monocolor Deci va exista totdeauna un triunghi monocolor cu vacircrfurile icircn cele 6 puncte
4 Se consideră mulțimea A = x isin 1 le x le 51 Cacircte submulțimi are A știind că au cardinalul 3 iar suma a două elemente ale fiecărei submulțimi este egală cu al treilea element Rezolvare Putem realiza următorul tabel de triplete de numere naturale
Observăm că icircn tabel avem O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decacirct 25 3 submulțimi care conțin pe 24 și nu conțin numere mai mici decacirct 24 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere mai mici decacirct 23 hellip 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1 Icircn sfacircrșit 49 de submulțimi care icircl conțin pe 1 Icircn total avem 1 + 3 + 5 + hellip + 47 + 49 = (24 + 1)2 = 625 de submulțimi 5 Icircntr-o cutie se află 2013 jetoane Gigel și sora sa Gicuța iau pe racircnd din cutie cel puțin un jeton și cel mult 19 jetoane Primul icircncepe jocul Gigel iar cacircștigător este declarat cel care ia ultimele jetoane din cutie a) Arătați că Gigel poate cacircștiga jocul indiferent de strategia sorei sale b) Dacă icircn cutie sunt inițial 2000 de jetoane arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de strategia fratelui său
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2013 Artur Bălăucă)
Rezolvare a) Gigel aplică următoarea strategie Icircncepe jocul luacircnd 13 jetoane din cutie Dacă Gicuța icircncepe jocul luacircnd n jetoane unde 1 n 19 atunci Gigel ia icircn etapa a II-a a jocului (20 ndash n) jetoane șamd Icircn ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decacirct (20 ndash m) jetoane unde 1 m 19 Deci icircn cutie rămacircne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și cacircștigă jocul b) Prima dată Gigel nu poate lua decacirct k jetoane unde 1 le k le 19 iar sora lui aplică strategia căștigătoare luacircnd (20 ndash k) jetoane Cum 20 2000 la ultima etapă a jocului Gicuța va fi cea care ia la urmă cel puțin un jeton
6 La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată icircn mod egal la cele trei secții ale fabricii Icircn momentul acela magazionerul nu avea la icircndemacircnă decacirct trei bidoane goale unul de 50 litri unul de 110 litri și altul de 130 litri Voi icircl puteți ajuta pe magazioner să repartizeze substanța Cum
(Monica Sas)
Rezolvare Putem realiza tabelul
Operația Cantitatea de substanță din vasul de
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ ndash ndash ndash
I 80 ℓ ndash 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ ndash 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ ndash 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ ndash
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ ndash
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Din şirul de numere 123 32 321 112 222 312 3 12 43 233 unul trebuie eliminat Care
2 Exact cinci numere din şirul 73 28 56 19 46 55 respectă regula de alcătuire a şirului Care este bdquointrusulldquo
3 Se poate icircmpărţi numărul 18 888 icircn aşa fel icircncacirct fiecare jumătate să fie 10 000
4 Cum poate fi icircmpărţit numărul 12 icircn două astfel icircncacirct fiecare parte să fie 7
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
119
2 Icircntr-o reţea de aeroporturi avioanele zboară de pe un aeroport numai spre cel mai apropiat aeroport de acesta Pot ateriza simultan şapte sau mai multe avioane pe un aeroport
Rezolvare Răspunsul este negativ iar argumentul este de natură geometrică Presupunacircnd că există şapte sau mai multe avioane care aterizează simultan pe un aeroport obţinem că există două aeroporturi A şi B
de pe care pleacă simultan două avioane spre un aeroport astfel icircncacirct m(ACB) lt 60deg Dar icircn
triunghiul ABC m(ACB) lt 60degrArr AB lt AC sau AB lt BC ceea ce contrazice modul de zbor al
avioanelor (AB lt AC implică că avionul din A va zbura spre aeroportul B şi nu C)
3 Icircntr-o cameră se află 6 persoane La un moment dat din iniţiativa gazdei cele 6 persoane vor face schimb de numere de telefon Să se arate că icircn orice moment sau există 3 persoane care au schimbat numerele de telefon icircntre ele sau 3 persoane astfel icircncacirct nici una nu cunoaşte numărul de telefon al celorlalte două
Rezolvare Pentru redactarea unor probleme de combinatorică se poate face apel la metode de simplificare a enunţului transformacircndu-l icircntr-o sinteză de informaţii matematice Astfel vom considera persoanele ca fiind 6 puncte Dacă două persoane vor schimba numărul de telefon le vom uni cu o linie roşie Dacă nu au făcut schimbul le vom uni cu o linie neagră Concluzia problemei revine astfel la a demonstra că după ce am unit fiecare cu fiecare din cel 6 puncte cu una din cele două linii (roşie sau neagră) va exista un triunghi monocolor Vom considera una din cele 6 persoane Ea este bdquounităldquo cu celelalte prin 5 linii Indiferent de colorarea lor vor exista 3 linii (cel puţin) cu aceeaşi culoare Fără a restracircnge generalitatea vom considera culoarea roşie ce uneşte persoana 1 de persoanele 2 3 şi 4 Dacă segmentul 2 - 3 este roşu atunci triunghiul 1 2 3 este monocolor Deci considerăm cazul icircn care 2 şi 3 sunt unite printr-un segment negru Dacă 3 ndash 4 este roşu 1 3 4 este monocolor dacă 2 ndash 4 este roşu 1 2 4 este monocolor Dacă nici unul din segmentele 2 ndash 3 3 ndash 4 2 ndash 4 nu este roşu atunci toate vor fi negre şi triunghiul 2 3 4 va fi monocolor Deci va exista totdeauna un triunghi monocolor cu vacircrfurile icircn cele 6 puncte
4 Se consideră mulțimea A = x isin 1 le x le 51 Cacircte submulțimi are A știind că au cardinalul 3 iar suma a două elemente ale fiecărei submulțimi este egală cu al treilea element Rezolvare Putem realiza următorul tabel de triplete de numere naturale
Observăm că icircn tabel avem O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decacirct 25 3 submulțimi care conțin pe 24 și nu conțin numere mai mici decacirct 24 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere mai mici decacirct 23 hellip 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1 Icircn sfacircrșit 49 de submulțimi care icircl conțin pe 1 Icircn total avem 1 + 3 + 5 + hellip + 47 + 49 = (24 + 1)2 = 625 de submulțimi 5 Icircntr-o cutie se află 2013 jetoane Gigel și sora sa Gicuța iau pe racircnd din cutie cel puțin un jeton și cel mult 19 jetoane Primul icircncepe jocul Gigel iar cacircștigător este declarat cel care ia ultimele jetoane din cutie a) Arătați că Gigel poate cacircștiga jocul indiferent de strategia sorei sale b) Dacă icircn cutie sunt inițial 2000 de jetoane arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de strategia fratelui său
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2013 Artur Bălăucă)
Rezolvare a) Gigel aplică următoarea strategie Icircncepe jocul luacircnd 13 jetoane din cutie Dacă Gicuța icircncepe jocul luacircnd n jetoane unde 1 n 19 atunci Gigel ia icircn etapa a II-a a jocului (20 ndash n) jetoane șamd Icircn ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decacirct (20 ndash m) jetoane unde 1 m 19 Deci icircn cutie rămacircne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și cacircștigă jocul b) Prima dată Gigel nu poate lua decacirct k jetoane unde 1 le k le 19 iar sora lui aplică strategia căștigătoare luacircnd (20 ndash k) jetoane Cum 20 2000 la ultima etapă a jocului Gicuța va fi cea care ia la urmă cel puțin un jeton
6 La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată icircn mod egal la cele trei secții ale fabricii Icircn momentul acela magazionerul nu avea la icircndemacircnă decacirct trei bidoane goale unul de 50 litri unul de 110 litri și altul de 130 litri Voi icircl puteți ajuta pe magazioner să repartizeze substanța Cum
(Monica Sas)
Rezolvare Putem realiza tabelul
Operația Cantitatea de substanță din vasul de
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ ndash ndash ndash
I 80 ℓ ndash 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ ndash 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ ndash 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ ndash
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ ndash
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Din şirul de numere 123 32 321 112 222 312 3 12 43 233 unul trebuie eliminat Care
2 Exact cinci numere din şirul 73 28 56 19 46 55 respectă regula de alcătuire a şirului Care este bdquointrusulldquo
3 Se poate icircmpărţi numărul 18 888 icircn aşa fel icircncacirct fiecare jumătate să fie 10 000
4 Cum poate fi icircmpărţit numărul 12 icircn două astfel icircncacirct fiecare parte să fie 7
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
120
Observăm că icircn tabel avem O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decacirct 25 3 submulțimi care conțin pe 24 și nu conțin numere mai mici decacirct 24 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere mai mici decacirct 23 hellip 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1 Icircn sfacircrșit 49 de submulțimi care icircl conțin pe 1 Icircn total avem 1 + 3 + 5 + hellip + 47 + 49 = (24 + 1)2 = 625 de submulțimi 5 Icircntr-o cutie se află 2013 jetoane Gigel și sora sa Gicuța iau pe racircnd din cutie cel puțin un jeton și cel mult 19 jetoane Primul icircncepe jocul Gigel iar cacircștigător este declarat cel care ia ultimele jetoane din cutie a) Arătați că Gigel poate cacircștiga jocul indiferent de strategia sorei sale b) Dacă icircn cutie sunt inițial 2000 de jetoane arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de strategia fratelui său
(Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo Botoșani 2013 Artur Bălăucă)
Rezolvare a) Gigel aplică următoarea strategie Icircncepe jocul luacircnd 13 jetoane din cutie Dacă Gicuța icircncepe jocul luacircnd n jetoane unde 1 n 19 atunci Gigel ia icircn etapa a II-a a jocului (20 ndash n) jetoane șamd Icircn ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decacirct (20 ndash m) jetoane unde 1 m 19 Deci icircn cutie rămacircne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și cacircștigă jocul b) Prima dată Gigel nu poate lua decacirct k jetoane unde 1 le k le 19 iar sora lui aplică strategia căștigătoare luacircnd (20 ndash k) jetoane Cum 20 2000 la ultima etapă a jocului Gicuța va fi cea care ia la urmă cel puțin un jeton
6 La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată icircn mod egal la cele trei secții ale fabricii Icircn momentul acela magazionerul nu avea la icircndemacircnă decacirct trei bidoane goale unul de 50 litri unul de 110 litri și altul de 130 litri Voi icircl puteți ajuta pe magazioner să repartizeze substanța Cum
(Monica Sas)
Rezolvare Putem realiza tabelul
Operația Cantitatea de substanță din vasul de
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ ndash ndash ndash
I 80 ℓ ndash 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ ndash 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ ndash 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ ndash
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ ndash
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Din şirul de numere 123 32 321 112 222 312 3 12 43 233 unul trebuie eliminat Care
2 Exact cinci numere din şirul 73 28 56 19 46 55 respectă regula de alcătuire a şirului Care este bdquointrusulldquo
3 Se poate icircmpărţi numărul 18 888 icircn aşa fel icircncacirct fiecare jumătate să fie 10 000
4 Cum poate fi icircmpărţit numărul 12 icircn două astfel icircncacirct fiecare parte să fie 7
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
121
5 Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4 3 2 1 scrise icircn ordine descrescătoare semne de operaţii aritmetice şi eventual parateze alcătuiţi exerciţii prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 42 f) 33 Exemplu 4 middot 3 (2 + 1) = 4
6 Ce cifre trebuie puse icircn 8 cerculeţe legate prin operaţii aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12
7 Produsul vacircrstelor a 4 fraţi este 18 iar suma vacircrstelor lor este mai mică decacirct 10 (Vacircrstele sunt exprimate icircn ani icircntregi) Ce vacircrste au cei patru fraţi
8 Se dau următoarele egalităţi a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 Fără a schimba ordinea cifrelor puneţi icircntre ele semne aritmetice (+ ndash middot ) şi eventual paranteze pentru a obţine egalităţi matematice
9 Puneţi icircntre cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a obţine propoziţii adevărate a) 5 5 5 5 5 = 5 b) 5 5 5 5 = 6 c) 5 5 5 5 = 3
10 Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice şi eventual paranteze astfel icircncacirct să obţineţi egalităţi adevărate a) 1 9 8 4 = 19 b) 1 9 8 4 = 4 c) 1 9 8 4 = 8
11 Se consideră numerele 1 21 321 4 321 987 654 321 Icircnmulţiţi fiecare din aceste numere cu 9 şi scădeţi 1 Ce constataţi
12 Ce număr trebuie icircnscris icircn căsuţa liberă
45 62 79 96
13 Completaţi locul liber 13 24 36 63 78 94
14 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
0 3 8 15 24
15 Ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul liber
2 9 28 65 126
16 Icircntre numerele de mai jos există un bdquointrusldquo Acesta nu se icircncadrează icircn regula după care sunt formate celelalte opt numere 1925 2719 3542 4261 5762 6827 7536 8753 9572
17 Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris icircn spaţiul notat cu x
18 Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată astfel icircncacirct suma numerelor rămase să fie 19 19 Găsiţi numărul care lipseşte icircn diagrama alăturată
12
times + ndash ndash =
times =
5 13
9
x
15 17 3 7
5 4 x
8 9
5 3 3
6 4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
122
20 Ce număr credeţi că lipseşte
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
27
14
3
8
21 Ce număr credeţi că lipseşte a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7
22 Ce număr credeţi că lipseşte a)
8 6 4 9 1 7 5 3
b)
36 1
4
9
25
c)
46
1034
23 Ce număr credeţi că lipseşte
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
24 Ce număr credeţi că lipseşte
25 Icircnscrieţi icircn fiecare cerculeţ liber cacircte unul din numerele 1 2 4 5 7 8 aşa icircncacirct suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21
26 Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie icircnscris pe coşul celui de-al patrulea vaporaş
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87 3 4
2 6
29 7 2
1 1
56 1 5
3 2
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
152
IV 2 IV 2 IV 2 IV 2 Ecuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircnEcuaţii icircn şişişişi 13 Inecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii ProblemeInecuaţii Probleme
Probleme rezolvate
1 Să se arate că ecuația x5 + y5 + z5 = x4 + y4 + z4 + 2015 nu are soluție icircn mulțimea numerelor naturale Rezolvare
Ecuația este echivalentă cu (x5 ndash x4) + (y5 ndash y4) + (z5 ndash z4) = 2015 sau x4(x ndash 1) + y4(y ndash 1) + z4(z ndash 1) = 2015 sau x3 middot x(x ndash 1) + y3 middot y(y ndash 1) + z3 middot z(z ndash 1) = 2015 Icircnsă perechile de numere naturale x și x ndash 1 y și y ndash 1 z și z ndash 1 sunt numere consecutive deci produsul fiecărei perechi de numere este par Prin urmare numerele x5 ndash x4 y5 ndash y4 și z5 ndash z4 sunt pare iar ecuația din enunț nu are soluție icircn 2 Să se rezolve icircn mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x + 4y + zt = 194
3x + 4y + 7t = 194 implică t le 2 Cazul t = 0 implică 3x + 4y = 193 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 192 fals y = 1 implică 3x = 189 fals y = 2 implică 3x = 177 fals y = 3 implică 3x = 129 fals
Cazul t = 1 implică 3x + 4y = 187 de unde y le 3
y = 0 implică 3x = 186 fals y = 1 implică 3x = 183 fals y = 2 implică 3x = 171 fals y = 3 implică 3x = 123 fals
Cazul t = 2 implică 3x + 4y = 145 de unde y le 3 y = 0 implică 3x = 144 fals y = 1 implică 3x = 141 fals y = 2 implică 3x = 129 fals y = 3 implică 3x = 81 de unde x = 4
Deci x = 4 y = 3 și t = 2 3 Rezolvați icircn mulțimea numerelor naturale ecuațțile a) xy = 3 middot (x + y) b) xy + y = 1034 (Artur Bălăucă) Rezolvare
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă xy ndash 3x ndash 3y = 0 de unde xy ndash 3x ndash 3y + 9 = 9 sau x(y ndash 3) ndash 3(y ndash 3) = 9 sau (y ndash 3)(x ndash 3) = 9 = 1 middot 9 = 9 middot 1 = 3 middot 3 y ndash 3 = 1 implică y = 4 și x ndash 3 = 9 implică x = 12 x ndash 3 = 3 și y ndash 3 = 3 implică x = y = 6 Deci (x y) isin (4 12) (12 4) (6 6) b) x = 0 implică y = 1034 soluție x = 1 implică y = 1033 soluție x = 2 implică 2y + y = 1034 de unde y = 10 soluție Dacă y lt 10 atunci 2y + y lt 1034 nu convine Dacă y gt 10 atunci 2y + y = 1034 nu convine Dacă y = 10 atunci 2y + y = 1034 soluție Să mai analizăm cazul x gt 2 Dacă y = 0 atunci x = 1034 nu convine Dacă y = 1 atunci x = 1033 soluție Dacă y = 2 atunci x2 = 1032 nu convin Dacă y = 3 atunci x3 = 1031 nu convine Dacă y = 4 atunci x4 = 1030 nu convine Dacă y ge 7 atunci xy gt 1034 nu convine Dacă y = 5 atunci x5 = 1029 nu convine Dacă y = 6 atunci x6 = 1028 nu convine Prin urmare (x y) isin (0 1034) (1 1033) (2 10)
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
153
4 Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3 + 78b2 = 2013 (Concursul bdquoMatematica de dragldquo Bistrița 2013 GM 52013 Victor Săceanu)
Rezolvare
Avem 63a3 + 78b2 = 2013 3 hArr 21a3 + 26b2 = 671 (1) Cum 21 middot 33 = 567 și 21 middot 43 = 1344 din
(1) rezultă că a le 3 Tot din (1) rezultă că a este impar Deci a isin 1 3 a = 1 conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2
5 Determinați numărul natural abcd scris icircn baza zece știind că a +1 1951 311
b
cd
=+
+
Rezolvare
Avem a +1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 1 31 4 1 131 3 3 31 9 19 9 2
4 4
b
cd
= + = + = + = + = ++ + + +
+ +
Notăm cu a +111
x
b
cd
=+
+
Evident o soluție a problemei se obține pentru a = 6 b = 3 și c = 2 și
d = 4 Am finalizat problema Răspunsul este Nu Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare ar trebui să arătăm că fracția etajată 111
b
cd
++
este subunitară
Dacă b = c = 0 atunci x = a +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă b = 0 și c ne 0 atunci
1 1 1 1 11 11 1 1
cdc
d d d
cd cdc
dd
+= = = = +
+ ++
și x = a + c +1
dne 6 +
9
31 nu convine Dacă c = 0
atunci x = a+1 111
ab db
d
= +++
ne 6 +9
31 Deci b c isin și icircn acest caz mai rămacircne să observăm
că 0 lt111
b
cd
++
lt 1 Urmează a = 6 și 1 91 311
b
cd
=+
+
de unde 1 9
31
cd
bcd b d
+=
+ + sau
31 43
1 9 9
bcd b d
cd
+ += = +
+ sau
( 1) 43
1 1 9
b cd d db
cd cd
+ += + = +
+ + Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd=
+
(pentru că 1
d
cd +lt 1) Din
4
1 9
d
cd=
+ rezultă că
1 9
4
cd
d
+= sau c +
1 12
4d= + de unde c = 2 și
d = 4 Conchidem că abcd isin 6324
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
154
6 Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine Fiecare a profitat de oferta promoțională a magazinului icircncercacircnd să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou Magazinul de unde a cumpărat Ionel avea oferta bdquo2 + 1 gratisldquo (la două tricouri cumpărate primești icircncă unul gratis) Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta bdquo3 + 1 gratisldquo Cei doi copii au constatat că au cheltuit aceeași sumă totală de bani și au icircn final același număr de tricouri a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are icircn final fiecare copil este divizibil prin 12 b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou știind că la magazinul de unde a cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decacirct la magazinul de unde a cumpărat Vasile
(Concursul bdquoFlorica TCacircmpanldquo etapa județeană Iași 2012)
Rezolvare Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil a) Se observă că n 3 și n 4 deci n 12 b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare cacircte 12 tricouri Ionel plătește 8t tricouri iar Vasile 9t tricouri Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile atunci prețul afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2 Avem relația 8t(p + 2) = 9tp de unde p = 16 Prin urmare prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și respectiv 18 lei
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) 5x + 7 = 272 b) (8 + 3x) middot 14 ndash 30 = 1762
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
155
6 Numărul x din egalitatea ( )8 4 32 2 2 9 118 2x sdot + + 1 = 241 este suma a trei
numere naturale consecutive Să se afle aceste numere (etapa judeţeană Botoşani 1990)
7 Fie a b c d patru numere naturale pare consecutive crescătoare Aflaţi a + 2b +3c+ 4d ştiind că b + d =20
8 Rezolvaţi icircn ecuaţiile a) x + y = xy b) xy + xz + yz + 7z = 10 c) 3 7 21xy z+ =
(Concursul centrelor de excelenţă din Moldova Suceava 2005 Artur Bălăucă )
9 Aflaţi numerele naturale a şi b care verifică egalitatea abba =minus 34
10 a) Să se determine cifrele nenule a b c icircn baza 10 ştiind că a b clt lt şi
287a b ca b c+ + = (Concursul bdquoDimitrie Pompeiuldquo 2010 G M)
11 Rezolvaţi icircn numere naturale ecuaţia 2 2 37x y y+ + =
12 Fie x y isin astfel icircncacirct 2xy x y= + + Arătaţi că x + y = 6
17 Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 20013 =+sdotsdot aba (etapa locală Hunedoara 2002)
18 Se consideră mulţimile 3A 2 7nx x n+= = minus isin şi B = 16 1yy m m= + isin
Aflaţi mulţimea A Bcap (etapa judeţeană Hunedoara 2002)
19 Să se rezolve ecuaţia isin=+++
+
+
++
xx
x
x
xx
315
5
5
5
5
512
33
1
221
(etapa judeţeană Botoşani 1993)
20 a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea 2 3
1x y+ =
b) Determinaţi numerele naturale a b c d ştiind că 2a + 3b + 4c + 5d = 37 (Artur Bălăucă)
21 Rezolvaţi icircn ecuaţia ( ) 1 1 1t x y z
x y z+ + = + +
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
164
SOLUŢII REZULTATE INDICAŢII COMENTARII CAPITOLUL I NUMERE NATURALE
I 1 Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1 B) 2 a) 1103 29 = 31987 1003 39 = 39117 b) 46 43 = 1978 3 12 15 21 24 27 30 33 36 42 45 51 54 57 60 63 72 75 4 a) (8 30 + 48) (8 + 4) b) 8 (30 + 48 8 + 4 ) 5 a) a gt 3b +7 hArr hArr 7a gt 7 (3b + 7) etc 6 a) 2a 4 3b 21 4c 40 de unde 2a + 3b + 4c 65 7 24 şi 120 8 1269 1278 1359 1368 1458 1467 2349 2358 2457 3456 9 1111125
11133 11222 etc 10 a) Numerele sunt de forma ab5 unde 1 le a le 9 şi 0 le b le 9 Sunt
9 10 = 90 de numere de forma ab5 b) a = 1 brArr isin 0 2 3 4 6 7 8 9 deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b ane ne ne5 Rezultă că sunt 8 8 = 64 de numere care satisfac condiţiile din enunţ 11 D) 12 E) 13
cifre222
3999 9 14 (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) ++ (5n + 46) = 5n 10 + (5 0 + 1) + (5 1 + 1) ++ (5 9 + 1) = = 50n + 5(1 + 2 ++ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20 Numerele sunt 101 106 111 146 15 De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori şamd De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca cifră a sutelor de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc 16 294 ori 17 1249 pagini 18 180 de ori respectiv 280 de ori 19 a) 1 + 18 middot 2 + 180 middot 3 + 202 middot 4 = 1385 de cifre b)
1000 cifre
51015202515251530
20 a) 375 de cifre b) 1 21 a) 1 9 + 2 90 + 3 900 +
+ 4 1002 = 6897 cifre b) Numărul 1234567891011 702703 are 2001 cifre iar cea de pe locul 2001 este 3 c) Suma cifrelor lui a este egală cu 2 [(1 + 2 ++ 9 ) + 20 (1 + 2 ++ 9) + + 180 (1 + 2 ++ 9) ] + ( )
termeni
+ + +1000
1 1 1
+ (2 + 2 + 1) = M3 22 Trebuie să se afle cacircte numere
de forma abcdedcba unde a ne 0 există e b c d isin 9210 Există 90000 de numere
23 666
333 666 333 666
666 333 9999 222 (10 ndash1) ori ori oriori
sdot = sdot = sdot 333
222ori
= ori 333
222 ori666
000 ndash 333
222ori
=
332
222ori
= 333
1999ori332
7778ori
24 Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare primele cifre ale sale trebuie să fie cacirct mai mari posibile Putem face ca el să icircnceapă cu 5 de 9 aceştia provenind de la 9 19 29 39 şi 49 Pentru aceasta trebuie să ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre Următoarea cifră nu mai poate fi 9 pentru că ar trebui să mai ştergem 19 cifre 5 0 5 1 5 2 8 5 Deci am suprima icircn total 84 + 19 = 103 cifre Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimacircnd 17 cifre nu este posibil pentru că am avea 84 + 17 = 101 gt 100 Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergacircnd icircncă 15 dintre cifre Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre Mai ştergem pe 5 din 58 Numărul căutat
este 9999978596099100 25 Fie x = 1216 aaaa kk minus = 6 10k + 121 aaaa kk minus =
= 25 121 aaaa kk minus rArr 121 aaaa kk minus = 4
10
24
106 kk
=sdot
isin N rArr k ge 2 rArr 121 aaaa kk minus =
= 25 10k ndash 2 = ( )2
25000k oriminus
rArr x = 6( )k oriminus2
2500 0 unde kge 2 26 a) 4 6 8 10 200 b) 99
c) 10098 27 a) n = 0 isin=rArr 7a N n = 1 isin+minus=rArr 761a N n = 2 rArr a = 4 ndash 12 + 7 notin N
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
31 n = 500 32 a2(b + 1) = 175 = 12 sdot 175 = 25 sdot 7 rArr a = 5 b = 6 33 x = 3 34 (x y z) isin isin (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 35 x = 0 conduce la y = 128 rArr rArr (0 128) soluţie x = 1 rArr 1 + y = 128 adică y = 127 rArr (1 127) soluţie y = 1 x = 127 deci (127 1) soluţie x = 2 rArr 2y + y = 128 dar 26 + 6 lt 128 iar 27 + 7 gt 128 rArr x ne 2 y = 2 rArr rArr x2 = 126 imposibil icircn x = 3 rArr 34 + 4 lt 128 şi 35 + 5 gt 128 rArr x ne 3 y = 3 rArr x3 = 125 adică x = 5 rArr (5 3) soluţie Dacă x ge 4 şi y ge 4 atunci xy + y gt 128 Prin urmare avem (x y) isin (0 128) (1 127) (5 3) (127 1) 36 Din a|a a|2ab a|3abc a|4abcd a|abcde şi relaţia dată rezultă a|1 deci a = 1 Egalitatea devine 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde de unde rezultă b|2 adică b 1 2 şi cum a ne b şi a = 1 rezultă b = 2 Procedacircnd analog
se obţine c = 3 d = 4 şi e = 5 37 Cum 10 xy 99 100 (((( ))))2
xy 9801
110 (((( ))))2
xy + xy 9900 110 2xy 9900 xy 10 11 12 13 Deoarece
10 11 12 13 nu verifică ipoteza nu avem soluţie 38 Avem xn + 1 = yn + 1 = zn + 1 = xyz deci x = y = z Prin urmare xn = x2 şi rezultă x = y = z = 1 dacă n 2 şi x = y = z ++++
dacă n = 2 39 U(5x2 + 35x) = U(5x(x + 7)) = 0 forallx U(2001y2) 0 4 5 6 9 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 = 22000(1 + 2 + 22 + + 26) = 22000(27 ndash 1) U(22000 middot (27 ndash 1)) = U(6 middot 7) = 2 Deci ecuaţia nu are soluţii 40 Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb de unde rezultă a = 2 b = 7 x = 9 41 a) x 0 1 2 3 b) x 0 1 2 c) x 0 1 2 3 d) x 0 1 2 3 4 5 e) x 0 1 2 3 f) (x y) (00) (01) (02)
43 (331 332 333 334 335 336) şi (330 331 332 333 334 335) 44 a = (1 + 9) middot middot (53 + 312 39 middot 3 ndash 2 middot 9) = 10 middot (125 + 81 ndash 18) = 10 middot 188 = 1880 Avem ecuaţia 52y ndash 1 + 2006x ndash 1 = 126 Cum 52y ndash 1 este impar oricare ar fi y isin rezultă că 2006x ndash 1 este impar de unde x ndash 1 = 0 şi x = 1 Deci 52y ndash 1 = 125 de unde 2y minus 1 = 3 adică y = 2 şi y ndash x = 1 45 Dacă b = 0 atunci a(a + 3)(a + 15) = 1 imposibil deci b este nenul a par implică (a + 3)(a + 15) este impar contradicţie Deci a este impar şi cum a4 rezultă a = 1 Prin urmare a = 1 şi b = 3 46 Remarcăm cu uşurinţă că y2 + y = y middot (y + 1) este număr par şi urmează că 2x = 1 adică x = 0 Avem y2 + y = y middot (y + 1) = 5112 = 23 middot 9 middot 71 = 71 middot 72 de unde y = 71 47 47 48 49 50 48 30 49 120 100 180 50 Dacă notăm cu x numărul fetelor atunci se obţine ecuaţia 827 minus=+ xx care are soluţia 15 Rezolvaţi şi prin metoda grafică 51 Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei 52 25 ani 53 Prin metoda figurativă sau cu ajutorul ecuaţiei se obţine primul a primit 1050 de euro al doilea 255 de euro şi al treilea 270 de euro 54 600 şi 100 55 Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro 56 65 de pagini 57 1578 de peri şi 1570 de meri 58 Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y lungimea pasului celui de-al doilea copil deci 2x = 3y de unde rezultă 4x = 6y Dar ştiind că icircn timp ce primul face 4 paşi al doilea face numai 5 paşi icircnseamnă că la fiecare 4 paşi ai primului al doilea rămacircne icircn urmă cu un pas Apoi din 16x = 24y şi din faptul că icircn timp ce primul face 16 paşi al doilea face numai 20 nu 24 rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea copil reprezintă 2m şamd 59 Icircn timp ce ogarul face 6 sărituri vulpea face 9 lungimea a 6 sărituri de-ale ogarului fac cacirct 14 sărituri de-ale vulpii Deci la 6 sărituri de-ale
![Test numerele 0-10 - · PDF file6. Coloreaz\ [i completeaz\ pentru a compune numerele: 47 3 9 3 7. Descompune numerele: 4 510610 Acum po]i s\ te relaxezi cu un joc interesant. Numerele](https://static.documente.net/doc/80x56/5a7a7a767f8b9a2d788bcd5e/test-numerele-0-10-coloreaz-i-completeaz-pentru-a-compune-numerele-47-3.jpg)
