Post on 01-Mar-2018
transcript
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
1/48
DUMITRU DELEANU
MECANICATeme de casa si teste recapitulative
E d i t u r a
N A U T I C A
Elaborat n conformitate cu manualele autorizate de Ministerul Educaiei i Cercetrii din anii 1999,2000, 2001, 2002, 2003 i 2004
Referent tiinific!
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
2/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
"""""""""""""
Culegere i tehnoredactare!#n$ Elena %o$dan
Editura NAUTICA, 200&'tr Mircea cel %tr(n nr104
)*00 Constana, +om(niatel! 40-241-..4*40fa/!40-241-.1*2.0
e-mail! nauticalimcro
Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei!
Carp DoinaElemente de algebr, geometrie i calcul tensorialoina Car, asilica Mneanu 5 Constanta! 6autica, 200&
ISBN
2
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
3/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Introducere
3
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
4/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
CuprinsPRE!"#"$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ %
C&PRINS$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '
($ #E)E DE C"S"$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *
7ema nr 1! +educerea sistemelor de fore &7ema nr 2! Centre de mas 107ema nr 3! Ec8ilibrul sistemelor de solide ri$ide 1&7ema nr 4! Cinematica micrii absolute a unctului material 19
7ema nr &! Cinematica micrii relatie a unctului material 247ema nr .! inamica micrii absolute a unctului material 2)
+$ #ES#E DE E")EN $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ %%
7estul nr 1 337estul nr 2 337estul nr 3 3&7estul nr 4 3&7estul nr & 3.7estul nr . 3*7estul nr * 3)7estul nr ) 397estul nr 9 407estul nr 10 417estul nr 11 417estul nr 12 427estul nr 13 437estul nr 14 447estul nr 1& 4&7estul nr 1. 4.
BIB-I./R"!IE $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '0
4
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
5/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
#eme de cas
Tema r. 1
Reducerea sistemelor de fore
I (1:sura unui araleliied dretun$8ic ;:%CE ' se determine ecuaiile a/ei centrale?d> ' se determine torsorul de reducere ntr-un unct al a/ei centrale
;bseraie! @unctele c> i d> or fi arcurse doar dac cazul de reducere o imune
Bre2iar teoretic3
B ($ #orsorul unui sistem de 4ore 5n raport cu un punct$#orsor minimal$ "6 central$
Aiind dat sistemul de fore niF i ,1, =
, care acioneaz n unctele niA i ,1, = , de ectori de
oziie nir i ,1, =
, n raort cu unctul ;, elementele torsorului de reduceresunt!
- fora rezultant =
=n
iiFR
1
?
- momentul rezultant =
=
n
iiiO FrM
1
om folosi notaia!
O
O
M
R
Momentul rezultant are aloarea minim e$al cu roiecia ectorului moment rezultant e direciaforei rezultante!
== R
R
MRMM OR 2min
7orsorul alctuit din rezultanta R i momentul minim minM se numete torsorminimal!
min
min
M
R
&
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
6/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
====== ""FF##FFiiFF ),.,4 332211 ,
== ""MM 10
Ai$ura # 11 Ai$ura # 12
.
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
7/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
+=
==
#"
#"i
FO$FMO 120)0
004
2030.011 ?
===
"
#"i
FOAFMO 3.0
.00
00.022 ?
=
==
#
#"i
FO%FMO 4)0
0)0
030.033
=
+
+
+=
+=++=
#"FMFMFMMM
#"iFFFR
OOOO
O
3.0430
.)4
321
321
+erezentarea torsorului O este dat n fi$ura # 12
b>
0,0 OMR , ( ) ( ) ( ) ( ) 012)03.0.430)04 =++=
OMR
'istemul de fore este ec8ialent cu torsorul minimal Dezi unctul d>
c> Ecuaiile a/ei centrale se articularizeaz du cum urmeaz!
.
4)3.0
)
.4430
4
).0 yxxzzy +=
++
=
@relucr(nd aceste ecuaii se obine a/a central ca intersecie de dou lane!
=
=++03.01213)
021&10.3
zyx
zyx
d> 7orsorul ntr-un unct al a/ei centrale coincide cu torsorul minimal!
+==
=
+=
#"iRRR
MRM
#"iR
O
29
1920
29
2&.0
29
12)0
29
320
.)4
2min
min
I +1:sura rismei triun$8iulare drete din fi$ura # 21 acioneaz un sistem de atru fore, mrimea,direcia i sensul lor fiind date n tabelul 7 12 'e cere!
a> 7orsorul de reducere n unctul ;?b> Cu ce este ec8ialent sistemul de forec> Ecuaiile a/ei centrale?d> 7orsorul minimal
;bseraii ! i> @unctele c> i d> or fi arcurse doar dac cazul de reducere o imune?ii> @unctele A, F, G sunt alese astfel nc(t &A&'(O()F%FE === ,,
*
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
8/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Ai$ura # 21 Ai$ura # 22
Re7ol2are3
8arianta nr$ 9 :4igura I +$+1
a>( )
+=+=
+
+== #i#i
#i
A(
A(FF 44),3494,11
109
3.
109
120
1&&0
1&&012
2211
?
==== ##FF""FF 2&,1. 3322 ?
( ) ( ) ==++ ==
#"i#"i
EAEAFF
&02*
&03.
&04&
3040&03040&09
22244
= #"i )1),3091,&3.4,. ?
=
==
""
#"i
FOAFMO 409,1*2109
1)00
109
3.0
109
12000&011 ?
===
i
#"i
FO)FMO 4)0
01.0
300022 ?
=
==
"
#"i
FO'FMO 12&0
2&00
300&033 ?
=
==
#"#"
#"i
FOEFMO &&),2&4919,19021)0213&
&0
2*
&0
3.
&0
4&3040044
b> ( ) ( ) ++=
&1,12.)909,104)0130,&,0,0 OO MRMR
( ) ( ) 0*12,22*&)&&),2&43*0,2& =+'istemul de fore este ec8ialent cu torsorul minimal Dezi unctul d>?
)
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
9/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
c> @rin nlocuirea elementelor torsorului de reducere n ecuaiile a/ei centrale se obine!
3*0,2&
13,&909,10&&),2&4
909,10
3*,2&13,&&1,12.)
130,&
909,103*,2&4)0
=+
=
++ yxxzzy
sau, du relucrare!
=++=
0*1*,10)*1*.1,2*.9&4,..99.3,&&013.,14.3323,14&*.1,2*.14),130
zyxzyx
d>
+==
=
+=
#"iRRR
MRM
#"iR
O***,*32091,31&1*3,14)))3,2)
3*0,2&909,10130,&
2min
min
Tabelul T 1.1
6rariant
imensiunilearaleliieduluidretun$8icDcm>
1F 2F 3F M
a b c ModulD6>
ireciei sens
ModulD6>
ireciei sens
ModulD6>
ireciei sens
ModulD6 >
ireciei sens
0 .0 30 20 4
ireciei sens
0 &0 40 30 12 :G 1. CE 2& : 9 E:1 40 1& 20 10 C; 1) % 20 C 1& %:2 *0 30 10 1& ; 10 %E 14 E; 1) :%3 2& 40 .0 14 F% 2& EC 10 :; . AC4 .0 .0 10 12 ;A ) : 2* G% 11 %;& )0 .0 100 4 %E 22 C: 1) AG 1* ;:. 2& 1& 40 2& G% 10 CE 1. %: 4 ;E* 20 30 40 10 C% 12 ;F 10 EC 9 :) 30 4& 20 11 A: 10 %E 30 ;C 14 C9 &0 20 )0 ) EC . :G 2& :E 10 A
10 30 40 &0 14 ;C 9 C 11 % 2) :%11 .0 &0 &0 10 C: 10 %E 1* ;: . GA12 3& 4& 2& 10 GF & F% 3& : 12 C%13 10 )0 4& 9 %G 1. A; 20 %; 14 C
9
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
10/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
14 40 1& .0 1) CE 20 %: 4 % 1& :1& 90 3& 20 4 F; ) %E . C% 30 ;A
Tema nr. 2
Centre de mas
II (1'e consider laca omo$en din fi$ura ## 11 entru care se dau!
+==+=+=
101,02,0?*,0?
210?320
nn*na ,
unde H+n este un numr fi/at iar I/J rerezint artea ntrea$ a numrului realx@oriunea %C face arte dintr-o elis cu centrul n ;K i de semia/e ;K% i ;KC @entru aloarea
imus a numrului n, s se determine coordonatele centrului de mas al lcii imensiunile lcii sunt daten cm
Ai$ura ## 11
Bre2iar teoretic3
@entru o lac omo$en de seciune constant centrul de mas este dat rin ectorul su de oziie
( )
( )
=A
A)
dA
dArr
unde inte$ralele se calculeaz e ariaAa corului ac se realizeaz o mrire a lcii n lci elementare
i se noteaz cu !ir i ,1, =
, ectorul de oziie al centrului de mas nr Li i cu !iA i ,1, = , aria sa, atunci
ectorul de oziie al centrului de mas al lcii se determin cu relaia!
=
=
=!
i
i
!
i
ii
)
A
rA
r
1
1
iar coordonatele centrului de mas rezult rin roiecie e a/ele reerului cartezian ;/Nz!
10
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
11/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
=
==!
ii
!
iii
)
A
xA
x
1
1 ,
=
==!
ii
!
iii
)
A
yA
y
1
1 ,
=
==!
ii
!
iii
)
A
zA
z
1
1 DH>
unde
++= #z"yixr iiii On cele ce urmeaz se rezint modul de calcul al ariei i oziiei centrului de mas entru lcileelementare care comun laca din fi$ura ## 11
Placa dreptung;iular Placa triung;iular
Ai$ura ## 12 Ai$ura ## 13
2
,2
,*
ya
x*aA )) === 2
=A , unde
1
1
1
33
22
11
yx
yx
yx
=
3
321 xxxx )
++= ,
3
321 yyyy )
++=
Placa form! de sector de cerc
Ai$ura ## 14
sin
3
2,2 RO)xRA ) === D in radiani>
Placa form! de sfert de eli"s!
Coordonatele centrului de mas al lcii lane omo$ene, mr$init de curbele yf-x.i y /-x.idretele erticale 21, xxxx == Dfi$ura ## 1&> sunt date de relaiile!
11
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
12/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
( )
( )
=2
1
2
1
>D>D
>D>D
x
x
x
x
)
dxx/xf
dxx/xfx
x ,
( )
( )
=2
1
2
1
>D>D
>D>D
2
1
22
x
x
x
x
)
dxx/xf
dxx/xf
y
iar aria sa de relaia ( ) =2
1
>D>Dx
x
dxx/xfA On cazul sfertului de elis din fi$ura ## 1., roenind din
elisa de ecuaie 12
2
2
2
=+*
y
a
x, aem 0>D,>D 22 == x/xa
a
*xf , axx == 21 ,0 , astfel nc(t
3
4,
3
4,
4
*y
ax
*aA )) ===
Ai$ura ## 1& Ai$ura ## 1.
Re7ol2are3
@laca omo$en dat se marte n & elemente, dintre care elementele 3, 4 i & se scad din elementele1 i 2 @entru elementele care se scad Dne8aurate> aria se consider cu semnul L-L iar entru cele 8aurate cusemnul L
Elementul nr$ ( 3 Placa dreptung;iular .".1
12
1C
;
a
b: ;
/
N
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
13/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
*R
RF) === 2232
.
.sin
3
2 , 22223 24.
*RA
== ,
====
2
3,
2,0 3333 *F)zz
*yx F
Elementul nr$ ' 3 Placa 5n 4orm de semicerc cu centrul 5n E :4igura II ($(91
1&
4
3
4
2
2sin
3
2 114
*RRE) === , 22214 &02
*RA
== ,
1&
4,,0 4444
*E)z*yyx E =====
Ai$ura ## 110 Ai$ura ## 111
Elementul nr$ * 3 Placa 5n 4orm de s4ert de elips
0,3
41,
3
41,
4 &&&& =
=
== z*yax
*aA
Coordonatele centrului de mas entru laca lan omo$en din fi$ura ## 11 sunt date de relaiile!
=
==&
1
&
1
ii
iii
)
A
xA
x ,
=
==&
1
&
1
ii
iii
)
A
yA
y ,
=
==&
1
&
1
ii
iii
)
A
zA
z
#a$ "articular % & 2'
4,0,3,0?*,0?20?)0 ===== cm*cma ?
cmzcmycmxcmA 0?10?40?1.00 1112
1 ==== ?
cmzcmycmxcmA **3,&?10?0?20&,1*3 1222
2 ==== ?
cmzcmycmxcmA **2,14?10?0?3**,) 3332
3 ==== ?
cmzcmycmxcmA .*9,0?)?0?021,4 4442
4 ==== ?
cmzcmycmxcmA 0?0&),14?)14,.9?)94,2.3 &&&2
& ==== ?
cmzcmycmx ))) &)3,0?2)9,9?44*,30 ===
13
4C
A
E
b2,0+1
=
z
;N
&)%
Ca
bb
a
;
;
/
N
:
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
14/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
II +1'e consider laca din fi$ura ## 2, alctuit din trei lci de densiti diferite Dsituate n cele trei lane
de coordonate> entru care se dau! na &2&+= ? n* 4100= ?
+=
&3,01,0
n ?
=
=
+=10
&,0?2&
4,0?100
1,0nnn
, unde H+n este un numr fi/at, I/J rerezint artea
ntrea$ a numrului realx iar P/Q artea sa fracionar { }( )JIxxx = @oriunea C face arte dintr-oelis cu centrul n F i de semia/e FC i F @entru aloarea imus a numrului n, s se determinecoordonatele centrului de mas
;bseraii? i> imensiunile sunt date n cmii> : se arcur$e breiarul teoretic rezentat la rezolarea roblemei recedente ensitile celor trei lcifiind diferite, relaiile DH> se nlocuiesc rin!
=
==!
i
ii
!
iiii
)
A
xA
x
1
1
,
=
==!
i
ii
!
iiii
)
A
yA
y
1
1
,
=
==!
i
ii
!
iiii
)
A
zA
z
1
1
Ai$ura ## 2
14
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
15/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Tema nr. 3
Ec;ilibrul sistemelor de solide rigide
III$(1'e consider sistemul de bare articulate din fi$ura ### 11, acionat de un sistem de fore concentrate i
distribuite Cunosc(nd lun$imile nl += 1,021 , nl += 0&,0&,32 ,
+=
102,0&,23
nl , un$8iul
+=204
n
, forele concentrate
=4
10001n
0 ,
=3
30002n
0 , fora uniform distribuit e
lun$ime
=&
2000n
1 i culul
=.
.000n
M , s se determine reaciunile din reazemele simle : i %,
articulaiile C i i ncastrarea E
;bseraii ! i> H+n este o aloare imus fiecrui student, I/J rerezint artea ntrea$ a numrului real
xiar P/Q artea sa fracionarii> 'e or folosi urmtoarele uniti de msur! m5 entru lun$ime, da+entru fore concentrate, da+ 2 m
entru fora distribuit i mda+ entru culu
Ai$ura ### 11
Bre2iar teoretic3
@entru rezolarea unei robleme de ec8ilibru a unui sistem de solide ri$ide se oate folosi metodaizolrii cor!urilor3Ea resuune arcur$erea urmtoarelor etae!
a> 'e elibereaz fiecare cor al sistemului de le$turile sale De/terioare sau interioare>, nlocuindfiecare le$tur cu reaciunile coresunztoare ei?
b> 'e scriu ecuaiile de ec8ilibru i, eentual, condiiile de ec8ilibru entru fiecare ri$id n arte?
c> 'e rezol sistemul de ecuaii i inecuaii obinut 6ecunoscutele acestui sistem ot fi arametri cedefinesc oziia de ec8ilibru Dun$8iuri, distane> i sau reaciuni e/terioare i interioare sistemului de solideri$ide
@entru le$turile Dfr frecare> e/istente n alicaia rous forele de le$tur cu care acestea senlocuiesc sunt!
Rea7emul simplu :4igura III ($+1
+eazemul simlu obli$ un unct ; al solidului ri$id D C > s rm(n n ermanen e o surafasau e o curb datAceast le/tur su!rim solidului ri/id un /rad deli*ertate i !oate fi 4nlocuit cu o
reaciune normal+ diri"at du! normala comun 4n !unctul de contact3 'imbolul folosit entru
reazemul simlu este!
1&
sau
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
16/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Ai$ura ### 12 Ai$ura ### 13
"rticulaia plan :4igura III ($%1
#mobilizeaz un unct al ri$iduluiAceast le/tur su!rim solidului ri/id dou /rade de li*ertatei !oate fi 4nlocuit cu o reaciune de direcie necunoscut al crui su!ort este situat 4n !lanul forelor3
Comonentele reaciunii e a/ele reerului ;/N D RxR iRyR > se noteaz uneori cu O( , resecti O5
?ncastrarea plan :4igura III ($'1
Este le$tura rin care solidul ri$id D C > este fi/at Dneenit> n alt cor astfel nc(t nu i se maiermite acestuia nici o delasare6n cazul forelor !lane 4ncastrarea se 4nlocuiete cu o reaciune 4n !lanul
forelor i cu un moment diri"at du! normala !e !lanul forelor :t(t reaciunea R c(t i momentul ROM
ot fi date rin roieciile lor D RRR ,, Oyx MRR sau R,, OOO M5( > e a/ele unui sistem de coordonate
cartezian
Ai$ura ### 14 Ai$ura ### 1&
Re7ol2are3
'e izoleaz barele :C, C i E i se scriu ecuaiile de ec8ilibru!
Bara "C :4igura III ($*1
== 0)i (7 D1> =++= 01 )%Ai 5+0+8 D2> =++++= 01321321 Ml+ll0lll+M %A)i D3>
Bara CD:4igura III ($@1
1.
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
17/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
=+= 0cos2 )'i (0(7 D4> == 0sin2 )'i 5058 D&>
0sin2 121 == l0l5M )'i D.>
Ai$ura ### 1. Ai$ura ### 1*
Bara DE :4igura III ($01
== 0'Ei ((7 D*> =+= 03 E'i 5l158 D)>
02
333 =+= E'Ei Ml
l1l5M D9>
+ezol(nd sistemul format din ecuaiile D1- 9> obinem!
On : !21
3221 sin&,0
ll
l0Ml0+A +
=
?
On % !
21
321211 sin&,0
ll
Mlll0l0+%
+
++++=
?
On C ! sin2
?0 20
5( )) == ?
On ! sin2
,cos 2
2
050( '' == ?
On E ! sin22
,sin2
,cos 32
232
32
l0l1M
0l150( EEE +=+==
Ca7 particular 3 n A ((
4,*,2,0&,4,1,3 321 ==== mlmlml ?
mda+Mmda+1da+0da+0 ==== &000?400,2000,*&0 21
+ezult!
da+5da+(da++da++ ))%A 10.,*0*,0,&13,2000?49&,&41 ====da+5da+( '' 10.,*0*,212,1414 == ?
mda+Mda+5da+( EEE === 1)),33.*,10.,1*)*,212,1414
III$+1'e consider sistemul de bare articulate din fi$ura ### 2, acionat de un sistem de fore concentrate i
distribuite Cunosc(nd lun$imile
+=&
2,0&,11n
l ,
+=3
1,022n
l ,
+=1&
3,0&,23n
l , un$8iurile
1*
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
18/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
+=
)124
n ,
+=2032.
n , forele concentrate
=
=.
3000,&
2000 21n
0n
0 ,
=*
*0003n
0 , fora uniform distribuit e lun$ime
=10
2&00n
1 i culul
=&
10000n
M , s se
determine reaciunile din reazemele simle :, C i i articulaiile %, E i A
;bseraie! : se arcur$e breiarul teoretic rezentat la rezolarea roblemei recedente ;bseraiile dinenunul roblemei ###1 rm(n alabile i n acest caz
Ai$ura ###2
1)
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
19/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Tema nr. 4
Cinematica micrii absolute a punctului material
I8$(1On tabelul 7 3 se dau ecuaiile arametrice ale micrii unui unct material n coordonate carteziene!( ) ( )tyytxx == ,
'e cere!a> ' se determine i s se rerezinte traiectoria unctului?
b> ' se determine comonentele itezei i acceleraiei unctului la un moment de tim arbitrarrecum i modulele lor?
c> ' se determine raza de curbur a traiectoriei i comonentele acceleraiei n coordonateintrinseci la momentul de tim 0t indicat
Tabelul T(
Nr$2ar$ ( ) >Dmtxx= ( ) ( )mtyy= >D0 st
0 t4cos2
34
sin& +t
1 ? 2
132 2+ t t&
0,& ? 1
2 3cos4 2 +t
t
3sin4 2 1 ? 3
3 t3
+
3sin2
t
.
4 22 t 12
+ t 3 ? .& tt + 233 tt &&4 2+ 1 ? 2
. ( )tch . t3 0 ? 1*
.sin.
2t
3.
cos. 2+t
0 ? 2
) 14 + t 44 +t 0 ? 2
9
2.32 tt 23
2
33 tt 1 ? 4
10 3cos4 t
t
3sin4
1 ? 3
11 3* 2t & t 0,2 ? 2
12 &.sin* 2 t
t
.cos* 2 1 ? 2
13 t4 232 +t 2 ? 4
14 23 +t 3t . 1 ? 31& 14 2+ t - 3 t 0 ? 2
Bre2iar teoretic3
B ($ Noiuni 4undamentaleMicarea unui unct material M este cunoscut dac n orice moment de tim se oate reciza
oziia lui n raort cu un sistem de referin fi/ @oziia unctului material oate fi dat!
19
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
20/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
1> rin ectorul de oziie ( )trr
= Dezi fi$ura % 41> ?
2> rin curba D C > e care se mic unctul material i le$ea orar a micrii >Dtss= Dezi fi$ura% 42> ?
Ai$ura % 41 Ai$ura % 42
Ecuaia ectorial ( )trr
= se roiecteaz e a/ele unui sistem de coordonate conenabil ales fiind
ec8ialent cu trei ecuaii scalare ce se e/rim de obicei sub form arametric Dezi % 2> @arametrul celmai utilizat entru descrierea micrii este timul t
9raiectoriaeste, rin definiie, locul /eometric al !oziiilor succesive ocu!ate de!unctul material 4nmicarea sa3Ea se obine elimin(nd arametrul ntre ecuaiile arametriceiteza instantanee Dla un moment dat> se definete rin!
==
= rtd
rd
t
rv
not
t
def
0lim D41>
iteza v este un ector tan$ent la traiectorie i are sensul micrii e traiectorie 'e e/rim n
m 2s:cceleraia instantanee Dla un moment dat> se definete rin!
===
= rrtd
vd
t
va
not
t
def
0lim D42>
:cceleraia a este un ector ndretat sre interiorul Dconcaitatea> curbei ce rerezint traiectoria
'e e/rim n 2sm
B +$ Studiul micrii punctului material diferite sisteme de coordoate
B +$($ Sistemul de coordonate carte7ieneDfi$ura % 43>ectorul de oziie are e/resia
++= #z"yixr , astfel nc(t ecuaiile arametrice ale traiectoriei
sunt! ( ) ( ) ( )tzztyytxx === ,, D43>
@roieciile itezei e a/ele acestui sistem de coordonate sunt!
=== zvyvxv zyx ,, D44>
iar modulul su!
222
+
+
=zyxv D4&>
@entru acceleraie aceleai mrimi sunt!
20
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
21/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
222,,, ++==== zyxazayaxa
zyx
D4.>
Ai$ura % 43 Ai$ura % 44
B +$+$ Sistemul de coordonate !renetDfi$ura % 44>
'istemul de coordonate Arenet Dnaturale, intrinseci> este un sistem de referin mobil a(nd ori$inean unctul M Dcare efectueaz micarea> i a/ele!
- tan$enta la traiectorie Dde ersor > ?
- normala rincial Dde ersor > ?
- binormala D de ersor >
Micarea unctului este cunoscuta cu autorul le/ii orare s s-t.3
Comonentele itezei i acceleraiei e a/ele triedrului Arenet sunt!
0,0, ===
vvsv D4*>
0,,
2
===
a
sasa D4)>
iar modulele lor!
21
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
22/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
2
22
,
+
==
ssasv D49>
Re7ol2are 3 8arianta nr$ 9
( ) ( ) ststttyttx 2,1,34
sin&,4
cos2 RR0R0 ==+==
a> Elimin(nd timul ntre cele dou ecuaii arametrice obinem ecuaia traiectoriei!
( )1
2&
3
4
22
=+ yx
care este ecuaia unei elise cu a/ele aralele cu ;/ i ;N, centrul n :D0, 3> i de semia/e 2 i & Dfi$ura #11> Mobilul leac din unctul %D2, 3> i arcur$e elisa n sens tri$onometric
Ai$ura # 11 Ai$ura # 12 Ai$ura # 13
b> Comonentele itezei i acceleraiei n sistemul de coordonate carteziene sunt!
txv x 4sin
2
==
, tyv y
4cos
4
& ==
txax
4
cos
)
2 ==
, tyay
4
sin
1.
& 2
==
iar modulele lor!
tv4
cos2144
2 += , ta4
sin2141.
22
+=
c>
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
23/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
On fine, comonenta normal a acceleraiei este dat de relaia!
2va =
)omente particulare de timp!
st 1R0= Dfi$ura # 12>
= 2x 1,414 m , += 32
2&y .,&3& m , =
4
2xv
1,111 ms ,
=)
2&yv
2,*.. ms , =2
29
4
v 2,990 ms, 2
2
)*2,01.
2smax =
,
22
22
349,22
29
1.,1)1,2
32
2&smasma y ==
, m&&4,&= ,
222
.2,1,*01,129
2
32
21smasma ==
st 2RR0= Dfi$ura # 13>
20,&*1,1,0,&*1,1
2,),0 smasmvsmvsmvmymx xyx ======
,
22222
0)4,3,),0,0,0)4,3,0)4,31.
&smamsmasmasma y =====
I8$+1'e consider mecanismul din fi$ura # 2, format din culisele : i % le$ate rin tia :%M 7ia esteantrenat rin maniela ;C Stiind c!
1)010.&,
42,010,
31,020
2
+=
+=
+=== t
nt
nAM
n%)A)O) ,
s se determine itezele i acceleraiile unctelor :, % i M entru momentul de tim 20=t
;bseraii! #> 'e or folosi urmtoarele uniti de msur! cm5 entru lun$ime, radiani5 entru un$8iuri isecunde5 entru timii> I/J simbolizeaz artea ntrea$ a numrului realx
Ai$ura # 2
23
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
24/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Re7ol2are!
Mecanismul se raorteaz la sistemul de coordonate carteziene ;/N Coordonatele unctelor :, % iM sunt!
0,cos2,sin2,0 ==== %%AA yO)xO)yx
( ) sin2,cos AMO)yAMx MM +==
eri(nd succesi de dou ori n raort cu timul obinem itezele, resecti acceleraiile unctelor:, % i M e a/ele reerului ;/N!
== cos2,0 O)vv yAxA ,
= sin2O)v x% , 0=y%v ,
( )
+== cos2,sin AMO)vAMv yMxM ,
+==
cossin2,0
2
O)aa yAxA,
0,sincos2 2 =
=
y%x% aO)a ,
+=
sincos
2AMa
xM
,
++=
cossin>2D
2
AMO)a yM
#a$ "articular % & )'
cm%)A)O) 3,21=== , ( ) radttcmAM1)0
24&,12 2 +== ,
( ) sradt 90
12&
+=
, 21)
srad
=
@entru st 20= se obine!
:/ B 0 cms, :N B 12,2& cms, 2&,122:/2:/: =+= cms1..,1&
%/ = cms, 0%N = cms, 1..,1&2%N
2%/% =+= cms
&44,)M/
= cms, *0*,1&MN = cms, ))0,1*2MN2M/M =+= cms
:/a B 0 2scm , :/a B-20,&09 2scm , :a B
2:N
2:/
aa + B 20,&09 2scm
%/a B-1.,30& 2scm , %Na B 0 2scm , %a B
2%N
2%/
aa + B1.,30& 2scm
M/a B4,&93 2scm , MNa B -1*,*93 2scm , 3**,1)aaa 2MN
2M/M =+= 2scm
Tema r. 5
24
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
25/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
#iematica mi*c!rii relati+e a "uctului material
8I (1@laca triun$8iular ;:% se rotete n urul laturii ;% du le$ea ( ) 32 99,0 ttt = Drad> @e latura;: se delaseaz un mobil M du le$ea ( ) >3cosD)1. tOMts == Dcm>
' se determine iteza i acceleraia absolut a unctului M du st
9
21= Dfi$ura 11>
Ai$ura 11 Ai$ura % &1
Bre2iar teoretic3
'e consider un sistem de referin fi/ 1111 zyxO , un sistem de referin mobil Oxyzcare e/ecuto micare oarecare fa de sistemul fi/ i un unct M care se afl, la r(ndul su, n micare fa de cele dousisteme de referin considerate Dfi$ura % &1>
Micarea unctului material M n raort cu sistemul fi/ se numete micare a*solut itezaDresecti acceleraia> unctului n aceast micare se numete vitez a*solut Dresecti acceleraie
a*solut> i se noteaz cuav
Dresecti
aa
>
Micarea unctului material M n raort cu sistemul mobil se numete micare relativ itezaDresecti acceleraia> unctului n aceast micare se numete vitez relativDresecti acceleraie relativ>
i se noteaz curv
Dresecti
ra
>
'e numete micare de trans!ortmicarea n raort cu sistemul fi/ a unctului solidar cu reerulmobil i care n momentul considerat coincide cu unctul a crei micare se studiaz iteza Dresectiacceleraia> unctului M n aceast micare se numete vitez de trans!ort Dresecti acceleraie de
trans!ort> i se noteaz cutv
Dresecti
ta
>
Compunerea 2ite7elorse face n conformitate cu relaia ectorial !
tra vvv
+= D&1>
unde iteza relati este dat de formula !
t
rv r
=
D&2>
iar iteza de transort se obine cu relaia lui Euler !
+= rvv Ot D&3>
Modulul itezei absolute este !
2&
030
s
M
% A
O
1z
1N
1/
NM
r
1r
0r
z
;
1;
/
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
26/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
++=
trtrtra vvvvvvv ,cos222 D&4>
Compunerea acceleraiilorse face n conformitate cu relaia ectorial !
)tra aaaa
++= D&&>
unde !
2
2
t
r
t
va
rr
=
=
D&.>
++=
rraa Ot D&*>
r) va
= 2 D&)>
Comonenta)a
a acceleraiei absolute
aa
se numete acceleraie )oriolis sau acceleraie
com!lementar
Re7ol2are3
Micarea relati a mobilului M este o micare rectilinie, e ;%, n conformitate cu le$ea( ) tts 3cos)1. = Micarea de transort se obine solidariz(nd mobilul cu laca Dadic fc(nd s
nceteze micarea relati> Mobilul M a e/ecuta n acest caz o micare circular, e cercul cu centru n M T
Dfi$ura 12>, de raz2
30sinR 0 s
sMM == , aflat ntr-un lan erendicular e ;%, du le$ea
( ) 32 99,0 ttt =
Studiul 2ite7elor Dfi$ura 12>
iteza absolutav
a mobilului M se obine din relaia ectorial!
tra vvv
+=
ectorul itez relati,rv
, este diriat n lun$ul dretei ;:, de la ; sre :, i are modulul
tsv r 3sin24==
ectorul itez de transort,tv
, este erendicular e Lraza MKM, sensul su
este determinat de ectorul itez un$8iular Dadic sensul de rotaie al lcii> iar modulul se obine cu
relaia = RMMv t ar 22*),1,2
R tts
MM === , astfel nc(t
( ) ( )22*),13cos)1.
21 tttv t =
ectorul itez absolut,av
, rezult rin comunerea itezelor relati i de transort i are
modulul 22 tra vvv += @entru st9
2= se obine!
sradcms 1&
4,20 == , 2,.&312 = rv cms, scmvscmv at 9,.&,3,9 ==
2.
A
030
O
M
%
M
s
rv
tv
tv
rv
av
030
O
M
% A
M
ra
ta
ta
ca
aa
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
27/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Ai$ura 12 Ai$ura 13
Studiul acceleraiilorDfi$ura 13>
:cceleraia absolut,a
a
, se obine din relaia!
)tra aaaa
++=
ectorul acceleraie relati,ra
, este diriat n lun$ul dretei ;:, de la : sre ; i are scalarul
223cos*2 scmtsa r ==
Micarea de transort fiind o micare circular caracterizat rin ectorul itez
un$8iular i acceleraie un$8iular nenuli, rezult c ectorul acceleraie de transort, ta
, se obine
din relaia!ttt aaa
+=
:cceleraia de transort normal, ta
, are direcia MM T, sensul de la M la M T i modulul
( ) 2222 2*),12
R scmtts
MMa t == eoarece 0&4),1
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
28/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
8 +1 Mobilul M se delaseaz la eriferia semidiscului ' de raz R du le$ea
( ) 210
1 tn
AMts
+== Dfi$ura 2> iscul este articulat n : i % cu manielele AO 1 i %O 2 care
se rotesc n urul unctelor 1O , resecti 2O , du le$ea ( )
+=&
1
4)
& nt
' se determine iteza i
acceleraia absolut a unctului M la momentul de tim 21=t 'e mai dau!
+=
+==)
20,12
3021n
Rn
%OAO
;bseraii! i> I/J simbolizeaz artea ntrea$ a numrului realxiar P/Q artea sa fracionarii> 'e or folosi urmtoarele uniti de msur! cm5 entru lun$ime, radiani5 entru un$8iuri,secunde5
entru tim
Ai$ura 2
Tema r. 6
Diamica mi*c!rii absolute a "uctului material
8I (1 On interiorul unui tub de sticl subire Dfi$ura # 11>, a(nd forma unei arabole de ecuaie
=
!
xxy
21 , se arunc o bil de mas m cu iteza iniial
0
v Dtan$ent la a/a tubului n ;>
Consider(nd datele fixe!
0002
,!0,2*,93*,0,)1,9
===== vvOMtsmv#/msm/ ,
i datele varia*ile!
+=
+= nn
!xn
! cos3
1,)
.2,1 1 Dm>
2)
O
%
A s
R
M
( )'
1O
2O
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
29/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
i resuun(nd c micarea are loc fr frecare, se cer!
a> @roieciile itezei1
v i acceleraiei 1
a n unctul de abscis 1x e a/ele reerului cartezian
;/N i e a/ele triedrului Arenet?b> +eaciunea normal n unctul de abscis 1x
Ai$ura # 11 Ai$ura # 12
Bre2iar teoretic3
B 1. Legea fundamental a dinamicii micrii asolute a punctului material
:ceast le$e e/rim le$tura dintre fora care solicit unctul aflat n micare i acceleraia micriiacestuia, i anume!
= Fam D.1>
unde meste masa unctului materialOn cazul unui unct material liber, acionat de mai multe fore actie niF i ,1, =
, ecuaia
fundamental a dinamicii D*1> cat forma!
=
=
n
iiFam
1
D.2>
ac e l(n$ sistemul forelor actie niF i ,1, =
, asura unctului mai acioneaz i un sistem de
fore de le$tur !"F " ,1,R =
, atunci le$ea fundamental a dinamicii unctului material se e/rim rin
relaia ectorial!
=
=
+=
!
""
n
ii FFam
1
R
1 D.3>
6ot(nd cu ( )tr
ectorul de oziie al unctului aflat n micare fa de un unct fi/ ; i obser(nd
c forele care acioneaz asura unctului material deind, n $eneral, de tim, oziia i iteza acestuia, seobine urmtoarea form a ecuaiei fundamentale!
=
rrtRrm ,, D.4>
unde R rerezint rezultanta tuturor forelor care acioneaz asura unctului material
B 2. !rolemele generale ale dinamicii punctului material
On dinamica unctului material se studiaz dou cate$orii de robleme!
29
( )yxM ,
=
!
xxy
21
v
a
0v
0
MO
/m
+
a
0 x
yy
0
MO
x0
0v
!x =1( )0,2!% %
( )11,yxA
11 aa y=
11 vv x=
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
30/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
a. 0ro*lema direct
'e cunosc forele care acioneaz asura unctului material ca natur, direcie, sens i mrime i secere s se stabileasc micarea unctului material
@roblema se rezol rin inte$rarea ecuaiei D*4> i $sirea soluiei $enerale sub forma!
=
21,, ))trr D.&>
unde21,
)) sunt constante ectoriale de inte$rare care se determin cu autorul condiiilor iniiale!
=
=
=
210
210
,,0
,,0
!0
))rv
))rr
t D..>
adic e baza oziiei i itezei unctului material din momentul nceerii micrii
*. 0ro*lema invers
Cunosc(ndu-se micarea unctului material dat rin relaia!
( )trr
= D.*>
i masa ma acestuia, se cere s se determine fora sau rezultanta forelor care acioneaz asura unctului'oluia acestei robleme, de forma
( )trmF
= D.)>
este unic din unct de edere matematic, dar n $eneral roblema nu este unioc determinat n sensul c sedetermin direcia, sensul i modulul forei nu ns i natura ei
B 3. "cua#iile diferen#iale scalare ale micrii punctului material
$n diferite sisteme de coordonate
@roiect(nd ecuaia ectorial D*4> e a/ele unui sistem de referin conenabil ales se obin ecuaiiledifereniale scalare ale micrii unctului material du cum urmeaz!
a> On coordonate carteziene
=
zyxzyxtFxm x ,,,,,,
=
zyxzyxtFym y ,,,,,, D.9>
=
zyxzyxtFzm z ,,,,,,
b> On coordonate cilindrice
30
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
31/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
zr FzmFrrmFrrm ==
+=
,2,
2
D.10>
On sistemul de coordonate olare ( ),r se utilizeaz rimele dou relaii D.10>
c> On coordonate Arenet
FF
vmFvm ===
0,,
2
D.11>
Re7ol2are3
a> 'e a considera, entru nceut, un studiu $eneral al roblemei i aoi rezultatele se orarticulariza entru nB 3
On unctul de abscis 1x ordonata este
=!
xxy
21
111 iar iteza Dtan$ent la a/a tubului> fc(nd
un$8iul ( )
==
!
xarct/xyarct/ 1
11 1R cu orizontala
@entru determinarea scalarului itezei se alic teorema ener$iei cinetice i a lucrului mecanic ntre
oziiile ( )00 =tM i 11 ttM = !
1
20
21
22 y/m
vmvm= D1>
+ezult 1201 2 y/vv = eoarece 11, =
Oxvmas , se obin roieciile!
111111 sin,cos vvvv yx == D2>
@e a/ele triedrului Arenet! 0, 111 == vvv D3>
Ecuaia fundamental a dinamicii,
+= +/mam , roiectat e a/ele triedrului Arenet conduce la
ecuaiile scalare! 11 sin /mam = , 111 cos /m+am += D4>
in rima ecuaie D4> se determin comonenta tan$enial a acceleraiei mobilului!
11 sin /a = D&>
Comonenta normal a acceleraiei este dat de formula( )11
21
1 x
va
= , unde raza de curbur are
e/resia ( ) ( )[ ]{ }
( )!
!
x
xy
xyx
1
2321
1
2321
11
11
RR
R1
+
=+
= ;bser(nd c 1111
+=+= aaaaa yx i
roiect(nd aceast relaie e a/ele reerului ;/N $sim comonentele carteziene ale acceleraiei!
11111 sincos aaa x += , 11111 cossin aaa y = D.>
31
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
32/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
b> +eaciunea normal1
+ se determin din a doua relaie D2> !
111 cos /am+ = D*>
Ca7 particular 3 n A %Dfi$ura # 12>
0,)1,0,.2,1,.2,1 111 ==== mymxm! ,2
12
111 121,43,0,0,3&),) smasmasmvsmv yxyx ==== ,2
12
111 121,43,0,0,3&),) smasmasmvsmv ==== , ++ 32&,121=
8I +1@e un cilindru fi/ de razRse delaseaz fr frecare un unct material de mas mDfi$ura # 2> D&
100 smn
v
+= ,
+=
41,0&,0
nR Dm>, se
cere!
a> ' se determine le$ile de ariaie( ) ( )
aavv == , i( ) aa = entru interalul de tim ncare mobilul se afl n contact cu cilindrul?
b> Un$8iul not
= la care se roduce desrinderea mobilului de e surafaa cilindrului?
c> ' se determine distana not
O) = , unctul C fiind unctul n care mobilul loete solul
;bseraie ! I/J simbolizeaz artea ntrea$ a numrului realx
Ai$ura # 2
32
( )0t: = 0 6
>tDM
F
;
; C /
N
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
33/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
#este de e6amen
#estul nr$ (
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Momentul unei fore n raort cu un unct efiniie i rorieti+$ :( pct$1Ce se nele$e rintr-o le$tur i c(te tiuri de le$turi Dfr frecare> cunoatei la un ri$id
%$ :( pct$1efinii micarea de rotaie a solidului ri$id'$ :( pct$1Enunai teorema ener$iei cinetice i a lucrului mecanic n micarea unui sistem de unctemateriale sau solid ri$id fa de un unct fi/
II$ :@ pct$1
*$ :( pct$1' se determine coordonatele centrului de mas entru laca lan i omo$en din fi$ura 11Dn funcie de a>
33
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
34/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
N
/
a2
a4 a2
030
aa@
a2
a
:
%
C
M
;
Ai$ura 11 Ai$ura 12 Ai$ura 13
@$ :+ pct$1'e consider bara din fi$ura 12, articulat n : i simlu rezemat n % Ea este acionat elatura :C de fora liniar distribuit de intensitate ma/im ! -+2m.i de fora concentrat0 -+.n unctul E
imensiunile barei fiind cele din fi$ur, s se determine reaciunile din articulaia : i reazemul %0$ :( pct$1Un mobil lec(nd din reaus se delaseaz e o dreat ntr-o micare uniform acceleratStiind c du st 101= el atin$e iteza smv &1= , ce saiu strbtuse el du st 10=
=$ :+ pct$1Un unct M ornete din (rful ; al unui con cu un$8iul la (rf 2 i se mic e o
$eneratoare a conului cu iteza u constant On acelai tim, conul se rotete n urul a/ei sale de simetrie cu
iteza un$8iular constant Dfi$ura 13> Care este iteza absolut a unctului M du tsecunde de la
nceutul micrii
#estul nr$ +
I$ :@ pct$1
($ :% pct$17orsorul unui sistem de fore oarecare efiniie i rorieti+$ :( pct$1Ce se nele$e rin reazem simlu C(te $rade de libertate are un ri$id cu un reazem
simlu Cu ce se nlocuiete un reazem simlu Dn cazul fr frecare> %$ :( pct$1efinii micarea de translaie a solidului ri$id'$ :( pct$1Enunai teorema imulsului n micarea unui sistem de uncte materiale sau a unui solid
ri$id
II$ :@ pct$1
*$ :( pct$1' se determine coordonatele centrului de mas entru laca lan i omo$en din fi$ura 21Ddimensiunile sunt date n cm>
@$ :+ pct$1:sura unei bare cotite :%C acioneaz fora F , de modul 100 6 ' se determine
momentul forei F fa de unctul : Dfi$ura 22> imensiunile sunt date n cm
34
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
35/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
/
%C
44
4
)A
10
8
:
N
z
E
Ai$ura 21 Ai$ura 22
0$:( pct$1:cul unui ceas care indic minutele este de 1,& ori mai lun$ dec(t acul care indic orele ' secalculeze raortul dintre iteza liniar a (rfului acului care indic minutele i iteza liniar a (rfului aculuicare indic orele
=$ :+ pct$1Un crucior se delaseaz e un drum rectiliniu cu iteza constant uv =
1 @e crucior este
montat un tub ;: a(nd forma unei arabole de ecuaie 221 xy= Dfi$ura 23> On interiorul tubului se
mic cu iteza constant uv 22 =
un unct material M ' se determine iteza absolut a unctului M la
momentul de tim la care acesta trece rin unctul de abscisx :
M
2
/
N
1
2/.
1N=
;
:
Ai$ura 23 Ai$ura 31
#estul nr$ %
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1+educerea unui sistem de fore oarecare! 7orsor minimal, a/ central+$ :( pct$1Ce nele$ei rin ncastrare C(te $rade de libertate are un solid ri$id ncastrat Cu ce se
nlocuiete o ncastrare%$ :( pct$1efinii micarea rectilinie a unctului material'$ :( pct$1Enunai teorema momentului cinetic n micarea unui sistem de uncte materiale sau solid
ri$id n raort cu un reer fi/
II$ :@ pct$1
3&
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
36/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
*$ :( pct$1' se determine oziia centrului de mas entru bara omo$en din fi$ura 31 imensiunilesunt date n cm @$ :+ pct$1:sura lcii lane i omo$ene din fi$ura 32 , de $reutate F B 2000 da6, acioneaz foraconcentrat @ B &00 da6 i fora uniform distribuit V B 2&0 danm imensiunile sunt date n metri ' sedetermine reaciunile n articulaia : i reazemul %
Ai$ura 32 Ai$ura 41
0$ :( pct$1'e dau ecuaiile arametrice ale micrii unui unct material n coordonate carteziene!
14,*33 2 +=+= tyttx
unde timul teste dat n secunde iar coordonatelexiyn metri ' se determine iteza unctului material lamomentul de tim tB 1s =$ :+ pct$1; iatr este aruncat e ertical, de la nielul solului, cu iteza smv 100= u c(ttim a atin$e din nou m(ntul
#estul nr$ '
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Cazuri de reducere ale unui sistem de fore oarecare+$ :( pct$1Ce nele$ei rin articulaie sferic C(te $rade de libertate are un solid ri$id ce are ca
le$tur o articulaie sferic Cu ce se nlocuiete o astfel de le$tur%$ :( pct$1efinii micarea circular a unctului material'$ :( pct$1efinii noiunea de imuls n cazul unui unct material, al unui sistem de uncte materiale
i al unuisolid ri$id @recizai i unitatea de msur entru imuls Din '#>
II$ :@ pct$1
*$ :+ pct$1' se determine coordonatele centrului de mas entru laca lan i omo$en din fi$ura 41imensiunile sunt date n cm @$ :( pct$1Aorele care alctuiesc culul ( )FF , au modululF ;< da+ i se $sesc la distana
dmd 3= una de alta ' se determine momentul acestui culu Dn m+ > 0$D( pct$1 Un cilindru, a(nd dimensiunile din fi$ura 42 i $reutatea F B &000 6, este aezat e un lanorizontal ' se determine lucrul mecanic necesar rsturnarii cilindrului n urul unctului : de intersecie aunei $eneratoare cu lanul orizontal
3.
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
37/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
:
;
F18
C %
m21
1.6m
s
;
M
Ai$ura 42 Ai$ura 43
=$ :+ pct$1Un disc de razRse rotete cu iteza un$8iular constant n urul unei a/e care trece rincentrul su i este erendicular e lanul discului Dfi$ura 43> @e un diametru al discului se mic, lec(nddin centrul su, un unct M du le$ea tRs sin= 'a se determine iteza absolut a unctului M la
momentul de tim
2=t
#estul nr$ *
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Centrul de mas al unui sistem de uncte materiale i al unui solid ri$id+$ :( pct$1efinii noiunea de moment al unei fore n raort cu un unct%$ :( pct$1Ce comonente are iteza i acceleraia unui unct material ntr-un sistem de coordonate
carteziene ;/Nz'$ :( pct$1Enunai teorema de conserare a momentului cinetic a unui sistem de uncte materiale sau a
unui solid ri$id
Ai$ura &1 Ai$ura &2 Ai$ura &3
II$ :@ pct$1
*$ :+ pct$1:sura cubului ;:%CEAF de latur a B 10 cm din fi$ura &1 acioneaz un sistem de doufore, a(nd unctele de alicaie, direciile i sensurile din fi$ur i modulele +F &1= , +F 2102= ' se determine momentul rezultant al sistemului celor dou fore n raort cu unctul ;
@$ :+ pct$1 :sura barei :%, de lun$ime ml 3= i $reutate da+& .00= , acioneaz forada+F 400= , alicat n % erendicular e bar, i momentul mda+M =&00 %ara este ncastrat n
: Dfi$ura &2> 'tiind c 0.0= , s se determine reaciunile ( )AA MR , n ncastrarea : 0$ :( pct$1Un mobil, lec(nd din reaus, se delaseaz e o dreat i n .0 s atin$e iteza de 1) ms ntr-o micare uniform accelerat Ce saiu a strbtut n acest tim
3*
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
38/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
=$ :( pct$1@laca dretun$8iular ;:%C D;: B 3 dm, ;C B 4 dm> se rotete n lanul su, n urulunctului ; cu iteza un$8iular constant srad2= Dfi$ura &3> Care este iteza unctului %
#estul nr$ @
I$ :@ pct$1($ :% pct$1Ec8ilibrul solidului ri$id liber Decuaii de ec8ilibru, numr de $rade de libertate>
Ec8ilibrul solidului ri$id suus la le$turi D$eneraliti>+$ :( pct$1Enunai rinciiile mecanicii clasice Drinciiul ineriei, rinciiul aciunii forei, rinciiul
aciunii i reaciunii>%$ :( pct$1Ce comonente are iteza i acceleraia unui unct material ntr-un sistem de coordonate
Arenet Dnaturale> '$ :( pct$1efinii noiunea de moment cinetic n cazul unui unct material, al unui sistem de uncte
materiale i al unui solid ri$id @recizai i unitatea de msur entru moment cinetic Dn '#>
II$ :@ pct$1
*$ :+ pct$1; sfer de $reutate0este rezemat e o surafa cilindric de raz r, fiind susendat rintr-un fir de unctul fi/ : Dfi$ura .1> Cunosc(nd lun$imea la firului i un$8iurile i , s se determinetensiunea din fir i reaciunea surafeei cilindrice @$ :+ pct$17rei fore de module 0FFF === 321 sunt alicate asura (rfurilor , ; i E ale unui
araleliied dretun$8ic Dfi$ura .2> ' se reduc sistemul de fore n raort cu unctul ; dacaOAaA'A% 2, ===
Ai$ura .1 Ai$ura .2
0$ :( pct$1Ecuaiile arametrice ale micrii unui unct material n coordonate carteziene sunt!
3.
cos&,.
sin& 22
=
= tytx
' se determine traiectoria mobilului i iteza sa la momentul de tim st 21= =$ :( pct$1Un cor de mas #/m 2= este aruncat de e o cldire nalt de 2& m ' se determine
lucrul mecanic efectuat de fora de $reutate a corului (n n momentul atin$erii solului
#estul nr$ 0
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1 Ec8ilibrul solidului ri$id suus la le$turi fr frecare +eazemul simlu, articulaia,ncastrarea
3)
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
39/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
+$ :( pct$1Ce tiuri de fore acioneaz e un cor izolat dintr-un sistem de coruri i ce rinciiu almecanicii clasice trebuie resectat obli$atoriu la izolarea lui
%$ :( pct$1efinii noiunea de traiectorie a unui unct material'$ :( pct$1efinii noiunea de ener$ie cinetic n cazul unui unct material, al unui sistem de uncte
materiale i al unui solid ri$id
II$ :@ pct$1 *$ :+ pct$1:sura cubului ri$id de latur aB 20 cm din fi$ura *1 acioneaz cinci fore de module
da+FFF 1321 === i da+FF 2&4 == ' se determine momentul rezultant n raort cuunctul ;
Ai$ura *1 Ai$ura *2
@$ :( pct$1' se determine oziia centrului de mas entru laca lan i omo$en din fi$ura *2imensiunile sunt date n cm
0$ :+ pct$1@araleliiedul dretun$8ic ;:%CEAF de laturi ;: B 3 dm, ;% B 4 dm, ;C B & dm serotete uniform n urul dia$onalei sale ;A, cu iteza un$8iular constant srad2= ' se determineitezele (rfurilor A i : =$ :( pct$1'e consider un disc omo$en de mas M B 2 W$ i raz + B 10 cm ' se determine momentulde inerie fa de centrul ; i fa de un unct : de e eriferie
#estul nr$ =
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Ec8ilibrul sistemelor de uncte materiale i de solide ri$ide Condiii de ec8ilibru 7eoremei metode utilizate entru rezolarea roblemelor de statica sistemelor
+$ :( pct$1efinii noiunile de culu de fore i de moment al unui culu de fore%$ :( pct$1Ce comonente are iteza absolut i acceleraia absolut n micarea relati a unui unct
material'$ :( pct$1ai relaiile de calcul a ener$iei cinetice a unui solid ri$id n cazul micrilor de translaie i
rotaieII$ :@ pct$1
39
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
40/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
*$ :+ pct$1'e consider risma ri$id din fi$ura )1, asura creia acioneaz forele .21 ,,, FFF
orientate ca n fi$ur i e$ale n mrime, 0FFF ==== .21 ' se determine fora rezultant
=
=.
1i
iFR
Ai$ura )1 Ai$ura )2
@$ :( pct$1intr-o s(rm $roas se construiete corul din fi$ura )2 ' se determine oziia centrului demas dac r B 10 cm, + B 20 cm, a B 3 cm i b B 10 cm 0$ :+ pct$1; bar ;< se rotete n urul unui unct fi/ ; cu iteza un$8iular constant srad2= imic inelul M e o s(rm fi/ aflat la distana lB 10 cm de unctul ; Dfi$ura )3> ' se e/rime iteza iacceleraia inelului M n funcie de distana ;KM B s
Ai$ura )3 Ai$ura 91
=$ :( pct$1Cu ce itez trebuie lansat un mobil e un lan nclinat cu un$8iul 030= fa de orizontalentru a urca e lan (n la nlimea 8 B 1 m 'e consider 210 sm/= i se ne$lieaz frecrile
#estul nr$ >
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1 Cinematica micrii absolute a unctului material 6oiunile de traiectorie, itez iacceleraie
+$ :( pct$1ai relaia de calcul a ectorului de oziie al centrului de mas al unui sistem de unctemateriale i al unui solid ri$id
%$ :( pct$1'criei formulele lui Euler entru distribuia de iteze i acceleraii n micarea $eneral asolidului ri$id
'$ :( pct$1efinii noiunea de lucru mecanic elementar i lucru mecanic finit al unei fore
II$ :@ pct$1
40
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
41/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
*$ :( pct$1; lam de $reutate & este susendat ntr-un unct ; situat n acelai lan ertical cuunctele : i % e dou fire fi/e le$ate de ; i trecute este doi scriei mici Ddin : i %>, at(rn $reutile
1= i 2= @oziia unctului ; este determinat rin un$8iurile i Dfi$ura 91> ' se determinealorile $reutilor 1= i 2= astfel ca lama s rm(n n reaus n oziia din fi$ur @$ :+ pct$1 'e consider bara omo$en de $reutate ne$liabil din fi$ura 92 imensiunile sunt date nmetri 'e dau! mda+M =200 , da+0 100= , mda+1 &0= ' se determine reaciunile narticulaia : i reazemul %
Ai$ura 92 Ai$ura 93
0$ :+ pct$1ou osele se intersecteaz n unctul ; sub un un$8i dret Dfi$ura 93> @e cele dou oselese delaseaz dou autoturisme sre unctul ;, lec(nd simultan din : i %, cu itezele constante
smvsmv 20,10 21 == ' se afle momentul de tim 1t c(nd distana :K%K dintre autoturisme esteminim 'e mai cunosc :; B 20 Wm i %0 B 30 Wm
=$ :( pct$1Un cor de mas M B 10 W$ se delaseaz astfel nc(t iteza centrului su de mas rm(neconstant i e$al cu & smv)= Care este imulsul sau
#estul nr$ (9
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Cinematica micrii absolute a solidului ri$id Micarea $eneral Darametrii de oziie,formulele lui @oisson i ale lui Euler>
+$ :( pct$1Enunai trei rorieti ale centrului de mas al unui sistem de uncte materiale sau al unuisolid ri$id
%$ :( pct$1Ce tii desre iteza i acceleraia unui unct material ntr-o micare circular a acestuia'$ :( pct$1ai relaiile de calcul a momentului cinetic al unui solid ri$id n cazul micrilor de
translaie i rotaie
II$ :@ pct$1
*$ :+ pct$1'e consider sistemul de fore 321 ,, FFF i4
F concurente n : Dfi$ura 101> ' sedetermine rezultanta lor, dac!
0003241 .0,10&,4&,)0,120,100 ======= +F+F+FF
41
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
42/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Ai$ura 101 Ai$ura 102 Ai$ura 103
@$ :+ pct$1%ara omo$en din fi$ura 102, de $reutate da+& 200= , este articulat n : i simlurezemat n % :sura barei acioneaz fora da+F 100= nclinat cu un$8iul 0.0= ' se determinereaciunile din : i % dac 030=
0$ :( pct$1%ara :%, de lun$ime l, alunec cu e/tremitile sale : i % du direciile ;/ i ;N, astfelnc(t unctul : se delaseaz cu iteza constant v ' se determine iteza unctului % la momentul de tim
la care2
lOA = Dfi$ura 103>
=$ :( pct$1+oata de curea a unui electromotor se rotete cu 1&00 rotmin u 1t B 2 min curentul a
fost ntrerut i roata, rotindu-se ntr-o micare uniform ncetinit, s-a orit du =2t . s ' se determinenumrul de rotaii efectuat de roat n tot timul micrii
#estul nr$ ((
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Micarea de translaie a solidului ri$id! definiie, distribuia de iteze iacceleraii
+$ :( pct$1 Cum aare i cum se manifest Dce introduce> frecarea de alunecare%$ :( pct$1Ce e/resii au ectorii ,, OO av i n micarea de translaie a solidului ri$id'$ :( pct$1Care este ecuaia fundamental a micrii relatie a unctului material
II$ :@ pct$1
*$ :( pct$1 Un sistem de fore oarecare se reduce la o for unic, e$al cu rezultanta R , i care
acioneaz e a/a central a sistemului dac elementele torsorului de reducere
OO MR, n raort cuunctul arbitrar ; erific condiiile!
a>
= 0,0 OMR ? b> 0,0,0 =
OO MRMR? c> 0,0,0
OO MRMR
?
d>OMR
@$ :+ pct$1'e consider o bar omo$en :%, de lun$ime lB & m i $reutate F B 1)0 6, articulat n : isimlu rezemat n Dfi$ura 111> e catul %, rin intermediul unui fir, at(rn $reutatea @ B 3.0 6, firulfc(nd cu direcia barei un$8iul 030= ' se determine reaciunile din articulaia : i reazemul , dac
030= i &,10==lE' m
42
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
43/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Ai$ura 111
0$ :+ pct$1; lac trat :%C de latur lB 1 m se rotete n lanul ei n urul centrului ; ' sedetermine i s se rerezinte itezele i acceleraiile (rfurilor :, %, C i , tiind c iteza un$8iular este
constant i e$al cu srad4= =$ :( pct$1Masa unei lci lane i omo$ene de form circular este M B 1 W$ iar raza sa + B 30 cm 'se determine momentul de inerie olar fa de centrul ; al lcii
#estul nr$ (+
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Micarea de rotaie a solidului ri$id! definiie, distribuia de iteze i acceleraii, rorieti+$ :( pct$1 Ce teoreme i metode entru rezolarea roblemelor de statica sistemelor cunoatei
%$ :( pct$1efinii micarea absolut, micarea relati i micarea de transort n cazul unui unctmaterial'$ :( pct$1efinii momentele de inerie olar, a/iale, lanare i centrifu$ale n cazul unui sistem de
uncte materiale
II$ :@ pct$1
*$ :+ pct$1:sura unui araleliied dretun$8ic de laturi ;: B 30 cm, ;C B &0 cm i ;;K B 40 cm
acioneaz un sistem de trei fore ca n fi$ura 121 Cunosc(nd c da+Fda+F 34&,10 21 == ida+F 2203= , s se determine momentul rezultant n raort cu unctul ;
43
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
44/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
Ai$ura 121 Ai$ura 122
@$ :+ pct$1 'e consider bara de $reutate ne$liabil din fi$ura 122, solicitat de momentulm#+M = 1&0 , fora #+0 100= i sarcina uniform distribuit &0 m#n1= 'tiind c 0.0= i c
dimensiunile sunt date n metri, s se determine reaciunile n reazemul % i articulaia : 0$ :( pct$1 @unctul M se delaseaz n lanul ;/N du le$ile
= tx3
sin2
, 43
cos3 +
= ty
,
unde coordonatele x i y sunt date n metri iar timul t n secunde ' se determine iteza unctului lamomentul de tim st 31= =$ :( pct$1Un roiectil este lansat oblic din (rful unui turn Ce ti de traiectorie arcur$e roiectilul
#estul nr$ (%
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Cinematica micrii relatie a unctului material eterminarea distribuiei de iteze iacceleraii
+$ :( pct$1 Enunai a/ioma le$turilor%$ :( pct$1ai trei e/emle de coruri care efectueaz o micare de rotaie'$ :( pct$1Care este ecuaia fundamental a micrii absolute a unctului material
II$ :@ pct$1
*$ :( pct$1' se determine modulul forei 3F astfel nc(t sistemul de fore 321 ,, FFF din fi$ura 131
s fie n ec8ilibru 'e cunosc +FF 31021 == @$ :+ pct$1'e consider sistemul de trei bare din fi$ura 132, ncastrate n :, articulate n % i i simlurezemate n C i A 'e cunosc! m#+1M#+M#+0#+0 2,&0,12,12 21 ==== ' se determinereaciunile n :, %, C, i E imensiunile e fi$ur sunt date n metri
Ai$ura 131 Ai$ura 132
44
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
45/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
0$ :( pct$1@unctul M se delaseaz n lanul ;/N du le$ile 14,3 2 +== tytx ' se determinetraiectoria unctului, recum i comonentele ectorilor itez i acceleraie la un moment oarecare de timt =$ :+ pct$1Mobilul M se delaseaz la eriferia discului de raza Rdu le$ea 2tMAs == Dfi$ura133> iscul este articulat n : i % cu manielele AO1 i %O2 care se rotesc n urul unctelor 1O ,
resecti 2O du le$ea 4)& 3
2 t = Dradiani> 'e cunosc! cmRcm%OAO 1.,2021 === ' sedetermine iteza absolut a unctului M la momentul de tim st 2=
Ai$ura 133 Ai$ura 141
#estul nr$ ('
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Ener$ia cinetic a unui sistem de uncte materiale i a unui solid ri$id! definiii, teorema
ener$iei cinetice i a lucrului mecanic n micarea unui sistem de uncte materiale sau a unui solidri$id fa de un reer fi/+$ :( pct$1 C(te $rade de libertate are un unct material liber n saiu Care ar utea fi arametrii
scalari indeendeni care s fi/eze, la un moment dat, oziia unctului n saiu%$ :( pct$1ai trei e/emle de coruri care efectueaz o micare de translaie'$ :( pct$1C(te dintre cele 10 momente de inerie mecanice Dolar, a/iale, lanare, centrifu$ale> sunt
indeendente Ce relaii e/ist ntre ele
II$ :@ pct$1
*$ :+ pct$1' se determine coordonate centrului de mas al lcii lane omo$ene din fi$ura 141 'ecunosc! :% B 20 cm, % B 24 cm, E B 10 cm, :6 B 2 cm, 6< B 1) cm,
4&
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
46/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
0$ :( pct$1Un mobil ornete din unctul : fr itez iniial i se mic uniform accelerat e anta :%Dfi$ura 143>, aoi uniform ncetinit e lan orizontal (n la orirea n unctul C Cunosc(nd lun$imea
1xA%= , distana 2x%)= i timul tn care mobilul arcur$e tot arcursul :%C, s se afle acceleraiile
1a i 2a e oriunile :%, resecti %C =$ :( pct$1:rborele unei maini se rotete uniform la turaia nB 900 rotmin Care este iteza un$8iularn micarea de rotaie a arborelui Dn rads>
#estul nr$ (*
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1Momentul cinetic al unui sistem de uncte materiale i al unui solid ri$id! definiii, teoremamomentului cinetic n micarea unui sistem de uncte materiale sau a unui solid ri$id n raort cu unreer fi/
+$ :( pct$1 C(te $rade de libertate are un solid ri$id liber n saiu Care ar utea fi arametrii scalariindeendeni care s fi/eze, la un moment dat, oziia ri$idului n saiu
%$ :( pct$1ai e/resia acceleraiei Coriolis din micarea relati a unctului material'$ :( pct$1@recizai, e scurt, n ce constau cele dou robleme $enerale ale dinamicii i anume
roblema direct i roblema iners
II$ :@ pct$1
*$ :( pct$1Un cor de $reutate F B 100 da6 este susendat rin intermediul a dou fire ine/tensibile,orientate ca n fi$ura 1&1 ' se determine tensiunile din fire @$ :+ pct$1Un mobil se delaseaz n linie dreat du le$ea 1104 23 ++= tttx , unde coordonataxeste e/rimat n metri iar timul tn secunde ' se afle iteza i acceleraia mobilului la momentele detim st 11= i st 22= ' se construiasc dia$rama itezei D$raficul v v-t. Care este iteza minim
Ai$ura 1&1 Ai$ura 1&2
0$ :+ pct$1'a se determine coordonatele centrului de mas entru bara omo$en din fi$ura 1&2 dac
2,
a%'aA% == iar oriunea semircircular =; are razaR a3
=$ : (pct$1Un cor de reoluie, a(nd momentul de inerie fa de a/a de simetrie 22000 m#/> = ,efectueaz o micare de rotaie cu turaia constant min10rotn= n urul acestei a/e Care este aloareamomentului cinetic
#estul nr$ (@
I$ :@ pct$1
($ :% pct$1#mulsul unui sistem de uncte materiale i al unui solid ri$id! efiniii, teorema imulsului,teorema micrii centrului de mas
4.
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
47/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
+$ :( pct$1 'criei ecuaiile a/ei centrale n cazul cel mai $eneral%$ :( pct$1'criei le$ile micrii rectilinii i uniforme i rectilinii uniform ariate a unctului material
Dle$ea saiului, a itezei i a acceleraiei>'$ :( pct$1Ce nele$ei rin sistem de referin inerial
II$ :@ pct$1
*$ :( pct$1' se determine coordonatele centrului de mas entru laca lan omo$en din fi$ura 1.1imensiunile sunt date n cm @$ : + pct$1'e consider bara :% B lB 4 m de $reutate F B 0,4 W6, ncastrat n :
7/25/2019 Teme_de_casa_MECANICA.doc
48/48
Mecanic teme de cas i teste de examen
>$#acob C,Mecanic teoretic, Editura idactic i @eda$o$ic, %ucureti, 19)0(9$