Inceputurile teoriei probabilitatilor sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal (1623-1662) si Pierre Fermat (1601-1665). Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita jocurilor de noroc. Doi jucatori vor sa joace un numar un numar de partide pana ce castigatorul castiga m partide.Jocul, insa se intrerupe la n<m partide si celalalt la p<m partide. Pascal si-a dat seama care este raspunsul la provocare si I l-a comunicat lui Fermat, amandoi reusind sa rezolve enigma .

La noi, teoria probabilitatii are vechi traditii si a fost ilustrat de matematicienii Octav Onicescu, Gheorghe Mihoc, C.T. Ionescu Tulcea, George Ciucu, Ioan Cuculescu, Marius Iosifescu , etc.

Blaise Pascal

Pierre Fermat

Multimi.Operatii cu multimi

Multimi = multime finita

O multime nevida = 1, 2,......,n

Un element 1, i=1,n se afla in ,il notam i ( ii apartine multimii )

Daca (n+1) nu se afla in , atunci notam (n+1)

A este o submultime a daca ( ) x A implica x

A ( A este inclusa in )

P( ) reprezinta toate submultimile lui , adica

P()=A A

Pentru P(), card (P())= 2 (card())

Daca A P() , atunci A=C A= -A (fig. 5)

Daca A,B P() , atunci AB=A si B

(intersectia multimilor) (fig 6)

Daca A,B P() , atunci AB=A sau B

(reuniunea multimilor) (fig 7)

Daca A,B P() , atunci AB=

( multimi disjuncte)

AxB=(a,b)a A si b B

Ex:

Pentru A=1,2,3,4 si B a,b,c

AxB= (1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)

Diagrama (fig8)

Arbore(fig 9)

Clasificarea evenimentelor:

a) sigur - evenimentul apariţiei una din feţele 1,2,3,4,5,6 la un zar;

b) imposibil- evenimentul apariţiei feţei 7 la un zar;c) aleator - evenimentul apariţiei feţei 3 la un zar.

Frecvenţa unui eveniment

=

, unde m reprezintă numărul de apariţii E în cazul a n încercări.

Probabilitatea unor evenimente aleatoareÎn cazul unui număr n suficient de mare de experimente în care evenimentul

E apare de m ori, frecvenţa relativă m/n poate fi socotită ca valoarea probabilităţilor. Această valoare se numeşte probabilitatea (statistică a)

evenimentului E şi se notează P(E); P(E) = m

n

Evenimente incompatibile, contrare

Evenimente incompatibile - evenimentele nu se produc simultan.

Evenimente contrare - producerea unuia înseamnă nerealizarea celorlalte.

Regula de adunare şi cea de înmulţire

Regula de adunare

Probabilitatea reuniunii unui număr de evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităţilor acestor evenimente

Regula de înmulţirepentru evenimente independente

pentru evenimente condiţionate

Multimea vidã se noteazã cu simbolul si reprezintã multimea fãrã

nici un element.

O multime poate fi reprezentata:

enumerându-se elementele sale, între acolade:

Ex: A = 0, 2, 4, 6, 8

cu ajutorul unei proprietãti caracteristice, comune tuturor

elementelor multimii:

Ex: B = x: xN si x este par

print-o diagramã Venn-Euler:

ReuniuneaExistă mai multe moduri de a construi o mulţime nouă din alta sau altele deja existente. Două mulţimi pot fi "adunate". Operaţia, numită "reuniunea" lui A cu B şi notată A U B, este muţimea tuturor entităţilor care sunt membri fie ai lui A, fie ai lui B.Exemple:

Unele proprietăţi de bază ale reuniunii:

Reuniunea lui A si B

IntersectiaO nouă mulţime poate fi construită şi prin determinarea membrilor pe care două

mulţimi date îi au în comun. "Intersecţia" dintre A şi B, notată A ∩ B, este mulţimea tuturor entităţilor (membrilor) care aparţin atât mulţimii A cât şi

mulţimii B. Dacă A ∩ B = ø, atunci A şi B se numesc mulţimi disjuncte (fără membri comuni).

Exemple:

Proprietăţi de bază ale intersecţiilor:

Intersectia lui A si B

ComplementareaDouă mulţimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit şi diferenţa dintre mulţimile B şi A), notat B − A (sau şi B \ A), este mulţimea

tuturor elementelor care fac parte din B, dar nu şi din A. De notat că nu este greşit să se "scoată" dintr-o mulţime elemente care nu îi aparţin, cum ar fi

eliminarea elementului verde din mulţimea 1,2,3; doar că această operaţie nu are nici un efect.

În anumite cazuri, toate mulţimile despre care se discută sunt considerate submulţimi ale unei mulţimi universale U. În astfel de cazuri U − A se numeşte complementul absolut (faţă de U), sau pur şi simplu complementul lui A, şi este

notat cu A′.

Exemple:

Dacă U este mulţimea numerelor întregi, E este multimea întregilor pari, şi O este mulţimea întregilor impari, atunci complementul lui E faţă de U este O:

Proprietăţi de bază ale complementelor:

Complementul relativ al lui A fata de B

Teorema probabilitatii totale

Definiţie: Mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile două câte două, care pot avea loc în cazul unei probe a unui experiment aleatoriu se

numeşte universul probelor (sau spaţiul probelor).Exemplu. La aruncarea unei monede omogene avem Ω=b,s, unde b este

banul, iar s este stema.

Definiţie: Fie Ω un univers. Se numeşte eveniment orice submulţime a lui Ω.Exemplu: La aruncarea monedei Ω=s,b si P(Ω=Ø,s,b,s,b.

Deci în acest caz avem patru evenimente:

Ø numit eveniment imposibil (care nu se realizează în nici o probă),

A=s (constă în apariţia stemei într-o probă),

B=b (constă în apariţia banului într-o probă),

C=s,b=Ω numit evenimentul sigur (constă în apariţia banului sau a stemei într-o aruncare) care se realizează întotdeauna

b=banul; s=stema

Camp de probabilitate

Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective formeaya un câmp de probabilitate.

Probabilităţile calculate se referă la evenimente legate de experienţe având un număr finit de cazuri posibile(evenimente elementare).

Formule pentru calcularea unor probabilităţi

1. P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

2. P(AB)=P(A)

+P(B)P(AB)

Scheme clasice de probabilitate

1.Schema lui PoissonSe dau n urne U1, U2, U3, ..., Un care contin bile albe si negre in proportii date. Cunoastem, deci, probabilităţile pi (i=1, 2, ..., n) cu care este extrasa o bila albă din urna Ui. Se cere probabilitatea de a extrage k bile albe si n-k bile negre, atunci cand din fiecare urna se extrage cate o bilă.

Probabilitatea căutată va fi coeficientul lui xk in polinomul

P(x)=(p1x+q1)(p2x+q2)…(pnx+qn).

2. Schema lui BernoulliIn schema lui Poisson peresupunem ca avem urnele identice. Atunci putem lua

p1 = p2 = ... pn = p si q1 = q2 = ... qn = q = 1 - p . In acest caz, probabilitatea extragerii a k bile albe, va fi coeficientul lui xk din

polinomul

adica va fi egala cu :

P(x)=(px+q)n

Operatii cu probabilitati

Evenimente elementare echiprobabile

Definitie: Fie Ω=ω1, ω2,…, ωn.

Evenimentele elementare ω1, ω2,…, ωn se numesc echiprobabile daca au aceeasi probabilitate.

Teorema: Daca Ω este un univers format din n evenimente elementare

echiprobabile, iar A este un eveniment format din reuniunea a k

evenimente elementare, atunci:

PA=kn=n(A)n(Ω).

Probleme rezolvate1.

2.