Post on 16-Apr-2017
transcript
LECŢII PE CALCULATOR
MATEMATICĂClasa a VII-a
ALGEBRĂSemestrul I
MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE
MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALEUn numar rational se poate exprima fie printr-un cat neefectuat, m:n, fie printr-o fractie ordinara, ,
nm
fie printr-o fractie zecimala finita sau periodica (catul efectuat al numerelor naturale sau intregi m si n, n0).
AMPLIFICAREA
0,)
aanam
nma
SIMPLIFICAREA
0,::(
aanam
nm a
Multimea numerelor rationale o notam cu Q.
*ZnşiZmnmQ
Q+ = multimea numerelor rationale pozitive.
Unde a = c.m.m.d.c. a lui m si n..
SCRIEREA NUMERELOR RAŢIONALE SUB FORMA ZECIMALĂ SAU FRACŢIONARĂ
TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ORDINARE IN FRACTIE ZECIMALA
Se face prin efectuarea catului dintre numaratorul si numitorul fractiei:
EXEMPLE:
)3(1,21532);3(,3
311;4,1
57
TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ZECIMALE IN FRACTIE ORDINARA:
EXEMPLE:
37
921
9223)3(,2
3(
59
10188,1
2(
1532
90192
9021213)3(1,2
6(
110467
9904203
990424245)45(2,4
9(
.
REPREZENTAREA PE AXĂ A NUMERELOR RAŢIONALE
Pentru a reprezenta pe o axa mai multe numere rationale, este indicat ca numerele rationale sa fie ordonate crescator. Pentru ordonarea acestora, aceste numere este necesar sa aiba aceeasi forma de prezentare – sub forma de fractii ordinare cu acelasi numitor. EXEMPLU: Fie multimea A = {-1,5; 3,(3); 0; -2,2; 3,3; -2,(2); 1,5}Transform numerele date in fractii ordinare:
235,1;
920)2(,2;
10333,3;
5112,2;
310)3(,3;
235,1
Aducem fractiile la acelasi numitor (in cazul nostru acesta este 90):
90135
23;
90200
920;
90297
1033;
90198
511;
90300
310;
90135
23
Acuma, dupa comparatia numerelor , le putem reprezenta pe o axa:
0 -1,5-1,5 3,3 3,(3)-2,2-2,(2)Se poate aborda si o alta strategie.
.
OPUSUL, INVERSUL, MODULUL UNUI NUMĂR RAŢIONAL
OPUSUL UNUI NUMAR RATIONAL
Opusul lui a este –a, astfel incat a + (-a) = 0Exemple: opusul lui 2,5 este -2,5; opusul lui -4,8 este 4,8.
INVERSUL UNUI NUMAR RATIONAL
Inversul lui a este a1 astfel incat 11
a
a
Exemple:;25
52 esteluiInversul ;
313 esteluiInversul
MODULUL UNUI NUMAR RATIONAL
0,0,
adacăaadacăa
aEXEMPLE:
5 = 5; -2 = 2
.
ADUNAREA/SCĂDEREA NUMERELOR RAŢIONALE
Adunarea/scaderea fractiilor ordinare:
-Se afla numitorul comun al fractiilor date; -Se amplifica corespunzator fractiile date; -Numaratorii amplificati se aduna/scad deasupra aceleasi linii de fractie.EXEMPLU:
1217
126815
21
32
45 )6)4)3
Adunarea/scaderea fractiilor zecimale finite:-Se aseaza numerele unul dedesubtul celuilalt, astfel incat virgulele sa fie una dedesubtul celeilalte; -Se face adunarea/scaderea conform algoritmului cunoscut; -Virgula se pune la rezulta, ,,coborand-o’’ pe verticala.
2,15+ 49,30
51,45
EXEMPLU:
.
PROPRIETATILE ADUNARII IN MULTIMEA Q•Adunarea este
asociativa:•Adunarea este comutativa:•Elementul neutru al adunarii este 0:
•Pentru orice a exista –a, opusul lui a, astfel incat:
(a + b) + c = a + (b + c)
a + b = b + a
a + 0 = 0 + a = a
a + (–a) = (–a) + a = 0
.
INMULŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE
Prin inmultirea a doua numere rationale reprezentate prin fractii ordinare se obtine o fractie ordinara unde numaratorul este produsul numaratorilor si numitorul este produsul numitorilor.
4514
9572
97
52
Inmultirea semnelor:
factor factor produs+ + ++ - -- + -- - +
Proprietatile
inmultirii
Este comutativa
Este asociativa
Elementul neutru este 1
Este distributiva fata de adunare/scadere
a b = b a
a (b c) = (a b) c
a 1 = 1 a = a
a (b+c)=a b+a c
.
IMPĂRŢIREA NUMERELOR RAŢIONALEPentru a imparti doua fractii ordinare, se inmulteste prima fractie cu a doua fractie inversata.
38
171456
938
1912
389:
1912 57(
Impartirea semnelor este la fel ca la inmultirea semnelor.
TEOREMA IMPARTIRII CU REST:
d = i c + rUnde:d = deimpartitul i = impartitorul c = catul r = restul
r < i.
PUTEREA UNUI NUMĂR RAŢIONAL
Daca ba
este un numar rational, atunci m
mm
ba
ba
Atunci cand exponentul este un numar negativ, avem: m
mmm
ab
ab
ba
Reguli de calcul cu puteri:
aman=am+n
am:an=am-n
(am)n=amn
(ab)m=ambm
1275
32
32
32
8715
32
32:
32
4276
32
32
888
32
54
32
54
(–a)n =
imparestedacaaparestendacaa
n
n
,,
.
ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILOR ŞI FOLOSIREA PARANTEZELOR
•Intr-un exercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu numererationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirilesi impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile siscaderile in ordinea in care sunt scrise.•In exercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din parantezele mari (drepte) si apoi cele din acolade.
•Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau osuma de numere rationale se afla simbolul ,,–”, atunci se poateelimina acesta si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semnschimbat.
941012941012 .
ECUAŢII DE FORMA ax + b = 0•Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere rationale.
•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.
•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.
EXEMPLU:5
425
3
xxxRezolvati ecuatia
12542
53
)12)3)6)4
xxx
6033064 xxx
3060364 xxx
305 x
Stabilim cmmmc al numitorilor si amplificam fractiile:
Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara numitori:
Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat:
Efectuam operatiile de adunare/scadere:
Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei:
)5(:305 xIn final, aflam radacina ecuatiei: 6x
.
REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUAŢIILOR
Etape de rezolvare a unei probleme:1) Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.2) Notarea unei date necunoscute cu x si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de x.3) Scrierea unei ecuatii cu necunoscuta x, folosind datele problemei.4) Rezolvarea ecuatiei.5) Verificarea solutiei.6) Formularea concluziei (raspunsului problemei).
EXEMPLUIntr-un triunghi ABC, masura unghiului B este de doua ori mai mare decat masura unghiului A iar masura unghiului C este 75% din masura unghiului B. Aflati masura unghiului A.
REZOLVARE1) Notam masura unghiului A cu x.
2) Din datele problemei rezulta ca masura unghiului B este egala cu 2x.
La fel din datele problemei rezulta ca masura unghiului C este 75% din 2x, adica este egala cu 1,5x .
3) Daca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este egala cu 1800, atunci obtinem ecuatia:4) x + 2x + 1,5x = 180In urma rezolvarii ecuatiei, obtinem x = 400.5) Verificam solutia: 40 + 80 + 60 = 180.
.
RAPOARTE ŞI PROPORŢIIRaportul numerelor rationale a si b, b0 este a:b si se scrie b
aa si b se
numesc termenii raportului.Exercitiul 1. Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16.
Rezolvare: 43
1612 4(
ba
sau 75,01612
ba
PROPORTIA este egalitatea a doua rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat:
dc
ba
este o proportie, cu extremii a si d si mezii b si c.
PROPRIETATEA FUNDAMENTALA A PROPORTIILOR:
dc
ba
daca si numai daca ad=bc
extremcelalaltmezilorprodusulextremun
Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie:
EXEMPLU
Aflati x din: 35
9
x
.15345
359
x
..
DERIVAREA PROPORŢIILORDerivarea unei proportii cu aceiasi termeni a) Schimband extremii intre ei
b) Schimband mezii intre ei
c) Inversand rapoartele
28
312
123
82
812
23
128
32
128
32
128
32
Derivarea unei proportii cu alti termeni-se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul:
-se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul:
-se aduna/scad la numaratori numitorii:
-se aduna/scad la numitori numaratorii:
-se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea numaratorilor si respectiv a numitorilor:
dc
ba
dkc
bka
dc
ba
dc
kbka
ddc
bba
dc
ba
dc
ba
dc
ba
cdc
aba
dbca
dc
ba
.
ŞIRUL DE RAPOARTE EGALEDaca avem:
pc
nb
ma
1.
2.
5.
4.
3.
pc
nb
ma
pc
nb
ma
pc
nb
ma
pc
nb
ma
atunci:
atunci:
atunci:
atunci:
atunci:
pnmcba
pc
nb
ma
ptnsmrctbsar
pc
nb
ma tsr
)))
tpsnrmtcsbra
pc
nb
ma tsr
::::::(((
kkk
kkkkkk
pnmcba
pc
nb
ma
.;;; pkcnkbmkakpc
nb
ma
.
Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi !
DIRECTA ŞI INVERSA PROPORŢIONALITATE
Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} si B = {l, m, n, p} atunci:
1. 2.Multimile A si B sunt in relatie de directa proportionalitate, si:
Multimile A si B sunt in relatie de inversa proportionalitate, si:
pd
nc
mb
la
p
d
n
c
m
b
l
a1111
EXEMPLU:Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu: .
34
21;3 si
RE
ZO
LV
AR
E: Daca cele trei parti sunt invers proportionale cu numerele date,
atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date:
.363712111
1237111
43
12
31
43
12
31
cbacba
Atunci: ;123631
a ;723612
b .273643
c.
P R O C E N T ERapoartele de forma 100
p se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale.
EXEMPLE:
41
10025%25
52
10040%40
20(
45
100125%125
25(
Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme:
1. Daca se cunosc p si a atunci b = p% a 33100330055
1006055%60 din
2. Daca se cunosc p si b, atunci a este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18?
;18%30 adin ;1810030
a .60301800
3010018
30(
a
3. Daca se cunosc a si b, atunci p este:
Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ? ;1664100
p
.25641600
6410016
64(
p
.
O PROBLEMA CU PROCENTEPretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua
oara scade cu 25% din noul pret. a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial. b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final? c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret?
REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare:1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente:
Putem folosi formula:100babap
unde a si b sunt valorile procentuale.
Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative.
.51015100
)25(402540
p Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%.2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b).
Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%.
.601056300
10510063;63
100105 105(
leixx
3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial:
Daca pretul creste cu 40%, atunci el devine 140%
.84100840060
10014060%140 leidin
.
MEDIA ARITMETICĂ
MEDIA PONDERATĂ
Media aritmetica a doua sau mai multe numere rationale este numarul rational obtinut prin impartirea sumei numerelor respective la numarul lor.Daca avem: a1, a2, a3, …., an, atunci:
naaaam n
a
...321
Exemplu: aflati media aritmetica a numerelor: 3; 14; 20; 23.
.15460
42320143
am
Daca se dau numerele a1, a2, a3, …,an iar fiecare numar are respectiv ponderea p1, p2, p3, ….,pn atunci mediaaritmetica ponderata va fi:
n
nnp ppp
papapam
......
21
2211
Exemplu: aflati media ponderata a numerelor 5, 12, 15 fiecare cu ponderile 20, 12 si 8.
.1,940364
812208151212205
pm
.