Post on 11-Jan-2020
transcript
CCăălliinn SSOOAARREE SSeerrggiiuu SStteelliiaann IILLIIEESSCCUU IIooaannaa FFĂĂGGĂĂRRĂĂŞŞAANN,, NNiiccoolleettaa AARRGGHHIIRRAA IIuulliiaa DDUUMMIITTRRUU
Îndrumar de laborator
EDITURA CONSPRESS
2013
Copyright © 2013, Editura Conspress
EDITURA CONSPRESS este recunoscută de
Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice din Învăţământul Superior
Lucrare elaborată în cadrul proiectului: "Reţea naţională de centre pentru dezvoltarea programelor de studii cu rute flexibile şi a unor instrumente didactice la specializarea de licenţă şi masterat, din domeniul Ingineria Sistemelor"
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Sisteme neliniare şi eşantionate : îndrumar de laborator / Călin Soare, Sergiu Stelian Iliescu, Ioana Făgărăşan, .... – Bucureşti : Conspress, 2013 Bibliogr. ISBN 978-973-100-281-1
I. SOARE, CĂLIN II. ILIESCU, SERGIU STELIAN III. FĂGĂRĂŞAN, IOANA IV. ARGHIRA, NICOLETA V. DUMITRU, IULIA
004
Colecţia Carte universitară
CONSPRESS B-dul Lacul Tei nr 124, sector 2
cod 020396, Bucureşti Tel: (021) 242 2719 / 300; Fax: (021) 242 0781
1
Prefață
Un rol deosebit în convergența și dezvoltarea Societății Informaționale și a celei bazate
pe Cunostințe îl are domeniul Ingineriei Sistemelor.
Acest domeniu vizează dezvoltarea și implementarea într-o concepție sistemică a
echipamentelor, sistemelor de comunicații și proceselor din diferite domenii de activitate.
O componentă importantă a Ingineriei Sistemelor constă în analiza și proiectarea
sistemelor numerice. Intelegerea problematicii sistemelor numerice este posibila doar pornind
de la reprezentarea sistemelor continue si particularitatile sistemelor discrete.
Lucrarea de față, în viziunea autorilor, se constituie într-o colecție minimal de notiuni teoretice
si aplicative in domeniul sistemelor neliniare si esantionate necesare studenților la orele de
aplicații. Aplicatiile au ca obiectiv aprofundarea cunostintelor prin efectuarea de modelari si
simulari. Se urmareste intelegerea avantajelor si dezavantajelor modelarii sistemelor dinamice
cu esantionare, discrete si neliniare, cunoasterea proprietatilor structurilor de reglare
automata, intelegerea metodelor de proiectare si acordare a regulatoarelor de diferite tipuri,
analiza in timp si frecventa a sistemelor dinamice, aspecte din practica inginereasca la punerea
in functiune a unui SRA..
Lucrarea nu ar fi fost posibil de editat fără sprijinul sustinut al doamnei Maricica Dinu,
autorii multumindu-i pe această cale pentru profesionalismul de care a dat dovadă in
tehnoredactarea materialului.
Autorii
2
Cuprins
1. Elemente de teoria reglarii automate ................................................................................................... 5
1.1 Proces. Sistem. Comanda si reglare. Sistem de reglare automata ............................................... 5
1.1.1 Procese si sisteme ................................................................................................................. 5
1.1.2 Descrierea sistemelor liniare continue în domeniul frecvenţei. Funcţia de transfer. .......... 8
1.1.3 Sistem in circuit deschis si inchis. Comanda si reglare........................................................ 10
1.2 Structuri de sisteme de reglare automată .................................................................................. 11
1.2.1 Tipologia caracteristica sistemelor ..................................................................................... 13
1.3 Aplicatii practice .......................................................................................................................... 13
1.3.1 Reprezentarea unui sistem în Matlab ................................................................................. 13
1.3.2 Analiza răspunsului în timp al sistemelor dinamice ............................................................ 14
1.3.3 Performanţele regimului dinamic şi staţionar .................................................................... 15
1.3.4 Reprezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. .......................................................... 18
1.3.5 Criterii de stabilitate ........................................................................................................... 20
1.3.6 Chestiuni de studiat ............................................................................................................ 24
2. Sisteme cu esantionare. ...................................................................................................................... 27
2.1 Discretizarea marimilor analogice. Reglarea numerica .............................................................. 27
2.2 Comportarea unui sistem intre intervalele de esantionare........................................................ 30
2.3 Metode de descriere. Reprezentari ale buclei de reglare digitala .............................................. 34
2.3.1 Ecuatii cu diferente finite .................................................................................................... 36
2.3.2 In spatiul starilor. ................................................................................................................ 37
3. Metode de evaluare a transformatelor Z ........................................................................................... 39
3.1 Breviar teoretic ........................................................................................................................... 39
3.1.1 Transformata Z . Discretizarea functiilor definite pe R cu un suport pe R+ ....................... 39
3.1.2 Sisteme discrete .................................................................................................................. 42
3.2 Scopul lucrarii .............................................................................................................................. 43
3
3.3 Breviar al procedurilor de calcul ................................................................................................. 43
3.4 Chestiuni de studiat .................................................................................................................... 46
4. Calculul transformatelor Z inverse ...................................................................................................... 48
4.1 Scopul lucrarii .............................................................................................................................. 48
4.2 Breviar al procedurilor de calcul ................................................................................................. 48
4.2.1 Metoda seriilor de puteri .................................................................................................... 48
4.2.2 Metoda fractiilor simple ..................................................................................................... 48
4.2.3 Metoda formulei de inversiune .......................................................................................... 49
4.2.4 Exemple ............................................................................................................................... 49
5. Funcţia de transfer în Z. Algebra funcţiilor de transfer în Z ................................................................ 51
5.1 Scopul lucrării. ............................................................................................................................. 51
5.2 Breviar de calcul .......................................................................................................................... 51
5.3 Mod de lucru ............................................................................................................................... 52
5.4 Chestiuni de studiat. ................................................................................................................... 54
6. Utilizarea MATLAB în analiza sistemelor cu eşantionare. ................................................................... 55
6.1 Scopul lucrării. ............................................................................................................................. 55
6.2 Breviarul procedurilor de calcul. ................................................................................................. 55
6.3 Mod de lucru. .............................................................................................................................. 59
6.4 Chestiuni de studiat. ................................................................................................................... 60
7. Utilizarea SIMULINK pentru analiza sistemelor discrete .................................................................... 62
7.1 Scopul lucrării. ............................................................................................................................. 62
7.2 Breviar teoretic. .......................................................................................................................... 62
7.2.1 Mod de lucru. ...................................................................................................................... 63
7.2.2 Chestiuni de studiat. ........................................................................................................... 65
8. Analiza stabilitatii sistemelor liniare cu esantionare .......................................................................... 67
8.1 Scopul lucrarii .............................................................................................................................. 67
8.2 Breviarul procedurilor de calcul .................................................................................................. 67
8.2.1 Criteriul Schur – Cohn ......................................................................................................... 67
4
8.2.2 Utilizarea transformatei W ................................................................................................. 68
8.2.3 Utilizarea transformatei r .................................................................................................. 69
8.3 Chestiuni de studiat .................................................................................................................... 70
9. Metode de liniarizare pentru sisteme dinamice neliniare .................................................................. 71
9.1 Breviar de calcul .......................................................................................................................... 71
9.2 Mod de lucru ............................................................................................................................... 72
9.3 Chestiuni de studiat .................................................................................................................... 77
10. Analiza planară a sistemelor neliniare ............................................................................................ 78
10.1 Scopul lucrării. ............................................................................................................................. 78
10.2 Scurt breviar teoretic. ................................................................................................................. 78
10.3 Mod de lucru. .............................................................................................................................. 79
10.4 Chestiuni de studiat. ................................................................................................................... 82
11. Evaluarea stabilităţii regimurilor periodice în sisteme neliniare. ................................................... 83
11.1 Breviar teoretic. .......................................................................................................................... 83
11.2 Mod de lucru. .............................................................................................................................. 84
11.3 Chestiuni de studiat. ................................................................................................................... 88
12. Generarea funcţiilor Liapunov utilizând metoda Krasovski ............................................................ 89
12.1 Breviar teoretic ........................................................................................................................... 89
12.2 Mod de lucru ............................................................................................................................... 90
12.3 Chestiuni de studiat .................................................................................................................... 91
13. Generarea funcţiilor Liapunov utilizând metoda Eisermann .......................................................... 92
13.1 Breviar teoretic ........................................................................................................................... 92
13.2 Mod de lucru ............................................................................................................................... 92
13.3 Chestiuni de studiat .................................................................................................................... 95
14. Bibliografie ...................................................................................................................................... 96
5
1. Elemente de teoria reglarii automate
1.1 Proces. Sistem. Comanda si reglare. Sistem de reglare automata
1.1.1 Procese si sisteme
Procesul şi sistemul, noţiuni fundamentale în fizică, îşi găsesc o explicaţie şi încadrare
riguroasă la nivelul termodinamicii, disciplină care se ocupă cu studiul relaţiilor dintre diversele
forme ale energiei. De obicei, principiile termodinamicii sunt formulate referitor la un anumit
sistem (fizic) bine definit. Un sistem termodinamic este un ansamblu care poate interacţiona cu
mediul înconjurător cel puţin pe două căi, dintre care una trebuie să fie un transfer de căldură.
Unui astfel de sistem i se poate delimita un interior, conţinând un număr oarecare de corpuri
macroscopice cu o structură (fizică) continuă, şi un exterior. Starea unui astfel de sistem se
descrie printr-un set de parametri (fizici) ce caracterizează situaţia din interior şi interacţiunile cu
exteriorul. Se numeşte proces fizic (macroscopie) tranziţia unui sistem termodinamic dintr-o
stare în alta.
Într-un limbaj tehnic aplicativ prin noţiunea de sistem (tehnic) se înţelege un ansamblu de
elemente componente fizico-tehnice, care acţionează unele asupra altora într-un mod bine
determinat (figura 1).
INTERIORUL
SISTEMULUI
Su S2
Su S1
Su S3
MEDIU
EXTERIOR
SISTEMULUI
Limita sistemului
cu exteriorul
Ee1
E 34E 33
E 32E 31
E e3
E e2
E 23
E 22
E 21E 13
E 12
E 11
SISTEM
Fig..1. Sistem (tehnic): Eij – element constituant al sistemului; Su Sk - subsistemul k
Un exemplu de sistem (tehnic) este sistemul electroenergetic (SEE). Acesta este constituit din
elemente generatoare de energie electrică, transformatoare, linii electrice, transport şi echipamente de
distribuţie a energiei electrice. Aceste elemente sunt grupate zonal constituind subsistemele unui SEE.
Referitor la un SEE dat, de exemplu SEE românesc, acestui SEE i se poate asocia un interior şi un
exterior, delimitarea dintre aceste zone, făcându-se printr-o graniţă (figura 2).
6
În acelaşi sens, procesul industrial, ca ansamblu de fenomene de natură complexă, concepute, de regulă,
de către om cu o destinaţie funcţională precisă, explicitează transformările masice şi / sau de energie şi de
informaţii.
Vom asocia unui proces industrial o reprezentare de tipul celei din figura 3, în care s-au notat prin
Ei fluxurile de energie, materii prime, materiale şi informaţii (introduse) transmise procesului, respectiv
prin Ee fluxurile de energie, materiale, produse finite sau informaţii extrase din proces.
. . . .
INTERIOR
MEDIUL EXTERIOR
Element din mediul
exteriorLimita sistemului fata
de mediul exterior
Su EE1Su EE2
Su EEi
Fig. 2. Sistem electroenergetic (SEE): Su EEi subsistemul electroenergetic “i”
u
v
y x z
Proces industrial Ei Ee
v
y x z
Proces industrial
u
Ee Ei
a) b)
Fig. 3 – Reprezentarea unui proces industrial sub formă de schemă bloc
Sistem cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri (MIMO);
Sistem cu o intrare şi o ieşire (SISO)
Pentru un sistem cu o intrare şi o ieşire cu mai multe stări, sistemul (2.16) se rescrie
sub forma:
T
T
x Ax bu ev
y c x
z d x
(1)
7
unde nx este vectorul de stare, u este comanda, v perturbaţia, y mărimea
măsurată, z mărimea de calitate, iar matricile nxnA , , , , nb c d e .
Ecuaţiile (1) definesc modelul sistemic al procesului din figura 3.b) a cărui realizare tehnică
este prezentată în figura 4; prin m s-a notat mărimea de execuţie. Se poate constata că,
principalele subsisteme componente ale unui proces sunt: EE - elementul de execuţie, P -
procesul propriu-zis, T - traductorul.
EE P Tu m z
y
a)
EA(M) OR ES C/APh wu m z y
b)
Fig. 4 - Realizarea tehnică a sistemului dinamic descris de ecuaţiile (2.23):
a) EE – elementul de execuţie, P – procesul propriu-zis, T – traductor;
b)EA(M) – element de actionare (motor); OR – organ de reglare; ES – element sensibil;
C/A – convertor / adaptor
8
1.1.2 Descrierea sistemelor liniare continue în domeniul frecvenţei.
Funcţia de transfer.
În studiul proceselor (tehnice) se apelează de multe ori la utilizarea transformatei Laplace, o
transformare de tip integral ce permite o rezolvare mai uşoară a ecuaţiei sau ecuaţiilor
diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi într-o ecuaţie sau sistem de ecuaţii algebrice (figura
5).
Fig.5. Schema de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale prin transformata Laplace
Se defineşte o transformată Laplace directă
0
( ) ( ) stF s f t e dt
L ( )f t
(2)
şi o transformată Laplace inversă
1( ) ( )
2
a j
st
a j
f t F s e dsj
L ( )F s
(3)
cu f(t) – funcţia original, F(s) – funcţia imaginară şi s=+j – variabila complexă
În abordarea proceselor (tehnice) funcţia original este în mod obişnuit o funcţie de tipul
t . Variabila complexă s pe de altă parte conţine frecvenţa (pulsaţia) , ceea ce ne permite să
spunem că funcţia imaginară F(s) este o funcţie frecvenţială. În acest mod transformata Laplace
directă, transformă domeniul timp în domeniul frecvenţă şi acţiunea se petrece invers în cazul
transformatei Laplace inverse (figura 5)
Ecuaţii diferenţiale
Ecuaţii algebrice Soluţii
Soluţii
Transformata
Laplace directă
L
Transformata
Laplace inversa
L-1
t
s
9
Domeniul imagine
s
Funcţia de transfer
Repartiţia poli-
zerouri
Locul rădăcinilor
Domeniul timp
t
Funcţia treaptă
Funcţia pondere
Criterii integrale
Condiţii între
argumente
t
t
s
t 0
0
0
Domeniul frecvenţăj
Reprez. în frecvenţa
Diagrama Nyquist
Diagrame Bode
L-1L
F-1F
Fjs
10
1.1.3 Sistem in circuit deschis si inchis. Comanda si reglare
În activitatea curentă ne întâlnim cu echipamente şi instalaţii care au fost concepute şi
realizate pentru a îndeplini un scop bine determinat.
De exemplu, un schimbător de căldură abur-apă este destinat să încălzească apa la o
temperatură prestabilită cu ajutorul aburului. Sau un motor electric ce antrenează o sarcină (de
exemplu, benzile rulante sau un ascensor) trebuie să se rotească cu o turaţie bine determinată şi
constantă. De asemenea apa într-un bazin de înot trebuie să rămână la un nivel constant pentru ca
acesta să fie funcţional.
Temperatura, turaţia sau nivelul sunt nişte mărimi, pe care le numim mărimi de ieşire, ce
trebuiesc menţinute la nişte valori dorite prestabilite indiferent de influenţele (perturbaţiile)
exterioare.
În relaţia operator uman – proces (instalaţie tehnologică, parte fixată, sistem supus
automatizării) distingem două funcţii interdependente între ele. Această dublă relaţie se numeşte
dirijare sau conducere.
Atât funcţia de informare cât şi cea de acţionare – comandă prezintă un aspect calitativ şi un
aspect cantitativ.
În cazul funcţiei de informare a operatorului uman asupra modului cum funcţionează
procesul aspectul calitativ este realizat prin funcţia de semnalizare iar aspectul cantitativ prin
cea de măsură.
Funcţia de acţionare sub aspect calitativ se exprimă prin funcţia de comandă iar sub aspect
cantitativ prin funcţia de reglare.
Având în vedere că subiectul acestei lucrări se circumscrie funcţiei de acţionare-comandă
dorim să precizăm într-un limbaj tehnic accesibil cele două aspecte ale acestei funcţii:
Comanda constă în influenţarea unei mărimi de ieşire de către una sau mai multe
mărimi pe baza specificaţiei dependenţei fenomenologice intrare – ieşire.
Reglarea este o acţiune prin care o mărime ce o dorim controlată (reglată) şi care
reprezintă mărimea de ieşire din instalaţie, este comparată permanent cu o altă
mărime, reprezentând mărimea de valoare dorită (sau de referinţă). Rezultatul
acestei comparaţii va conduce la aducerea ieşirii la referinţa prescrisă.
Atâta timp cât această conducere se efectuează de către om, ea se numeşte neautomată
(impropriu “manuală”). Dacă aceste funcţii se desfăşoară fără intervenţia omului, conducerea va
fi automată iar sistemul care descrie la nivel de model elementul ce realizează aceste funcţii,
sistem compensator sau dispozitiv automat.
Ansamblul format din sistemul compensator şi proces se numeşte sistem automat sau
sistem de reglare automată.
11
RA EE TPyr
+ _
u m
v
z y
Echipamente de automatizare
Subsistemele unui SRA:
RA = regulator automat
EE = element de executie
T = traductor
P = procesul propriu-zis
(instalatia tehnologica,
partea fixata)
Marimi:
y = masura
yr= referinta
= eroare
u = comanda;
m = executie;
z = calitate;
v = perturbatie
Intrare sau
element de masura
SRA
SCA
Dispozitiv de
comandaEE P
Echipamente de automatizare
uu' m y
v
SSCCAA
aaccţţiiuunnee îînn cciirrccuuiitt ddeesscchhiiss
aaccţţiioonneeaazzaa nnuummaaii aassuupprraa ppeerrttuurrbbaaţţiiiilloorr
ccuunnoossccuuttee
nnuu ssuunntt pprroobblleemmee ddeeoosseebbiittee îînn cceeeeaa ccee
pprriivveessttee ssttaabbiilliittaatteeaa aannssaammbblluulluuii
SSRRAA
aaccţţiiuunnee îînn cciirrccuuiitt îînncchhiiss
ssee ppooaattee aaccţţiioonnaa aassuupprraa ttuuttuurroorr
ppeerrttuurrbbaaţţiiiilloorr
ppooaattee ddeevveennii iinnssttaabbiillăă cchhiiaarr ddaaccăă yyrr şşii vv
ssuunntt mmăărrggiinniittee
Comparaţie între un sistem de comandă automată (SCA) şi un sistem de reglare automată
(SRA)
1.2 Structuri de sisteme de reglare automată
RA EE P Tyr u m z
+
++
v
y
Principalele subsisteme ale unui sistem de reglare automată
Sistemul de reglare automată (SRA) este un sistem în conexiune inversă care îşi decide
comportamentul faţă de mărimile externe (exogene) pe baza mărimii de eroare, , generate în
mod automat, cu scopul expres al anulării acesteia.
12
Spre deosebire de SRA care îşi explicitează funcţionalitatea prin anularea mărimii de eroare,
sistemele de conducere prezintă funcţii multiple şi mai complexe, inclusiv cea de reglare
automată.
SRA se pot clasifica după obiectivul final al funcţiei de reglare în:
sisteme de urmărire (servosisteme);
sisteme de rejecţie a perturbaţiilor (sisteme cu referinţă fixă).
Îndeplinirea funcţiei de reglare nu se face numai pe seama mărimii de eroare, dar când este
posibil, şi pe baza măsurării directe a perturbaţiilor, dacă acest lucru este posibil. Elaborarea
comenzii în această variantă este interesantă, în special, în rejecţia perturbaţiilor, în aşa numita
reglare cu acţiune directă (feedforward).
+Hc (s) H(s)
Hr (s)
+
u yyr
v
SC P
.
Schema funcţională bloc a unui SRA
Subsisteme unui SRA: SC - compensatorul după eroare, P - procesul (constituit din
element de execuţie, procesul propriu-zis şi traductor).
Mărimile reprezentative ale unui SRA sunt: - eroarea, u - comandă, m - mărimea de
execuţie, z - mărime de calitate, y - mărimea măsurată.
13
1.2.1 Tipologia caracteristica sistemelor
1
2
3
4
5
6
7
Sisteme liniare Sisteme neliniare
Sisteme cu parametrii concentrati
Sisteme cu parametrii distribuiti
Sisteme invariabile in timp
Sisteme variabile in timp
Sisteme continnue in timp
Sisteme discrete in timp
Sisteme deterministe
Sisteme stochastice
Sisteme stabile
Sisteme instabile
Sisteme cauzale
1.3 Aplicatii practice
1.3.1 Reprezentarea unui sistem în Matlab
Un sistem poate fi descris din consolă în felul următor:
a) sub forma unei funcţii de transfer în consola, ”Hs=tf(num,den)”, unde Hs este numele
variabilei care descrie funcţia de transfer, iar num şi den sunt vectorii care conţin coeficienţii
numărătorului şi ai numitorului funcţiei de transfer.
14
Exemplu:
>> Hs = tf([1],[1 1])
Transfer function:
1
-----
s + 1
b) sub forma unei funcţii de transfer (poli-zerouri) în consola, ”Hs=zpk(z,p,K)”, unde z şi p
reprezintă vectorii care conţin zerourile şi polii sistemului, iar K factorul de amplificare.
Exemplu:
>> Hs = zpk([],[1 -2], 4)
Zero/pole/gain:
4
-----------
(s-1) (s+2)
1.3.2 Analiza răspunsului în timp al sistemelor dinamice
Funcţia de transfer a unui sistem, exprimată prin termeni tip, are forma generală:
n
i
iiq
mii
n
n
n
n
m
m
m
m
sa
as
sb
b
a
b
asasasa
bsbsbsb
su
sysH
1
1 0
0
0
01
1
1
01
1
1
.1.
.1
....
...
)(
)()(
0
(1.1)
Factorizând polinoamele de la numărător la numitor în funcţie de rădăcinile simple sau complexe
şi de ordinul de multiplicitate, obţinem:
l
ll
k
k
j
jj
i
i
q sTsTsT
sTsTsT
s
K
su
sysH
)1..(.)1.(
)1..()1.(
.)(
)()(
22
22
(1.2)
unde K este factorul de amplificare, iar Tconstanta de timp.
Zerourile unei functii de transfer sunt solutiile polinomului de la numaratorul functiei de
transfer.
Polii functiei de transfer reprezinta zerourile polinomului de la numitorul functiei de transfer.
Se defineste tipul functiei de transfer prin numarul polilor in origine ai functiei de transfer.
15
Ordinul funcţiei de transfer – ordinul ecuaţiei diferenţiale din care s-a obţinut prin
transformata Laplace în condiţii iniţiale nule funcţia de transfer. Pentru sistemele fizic realizabile
(n > m), ordinul coincide cu gradul polinomului de la numitorul funcţiei de transfer.
1.3.3 Performanţele regimului dinamic şi staţionar
Performanţele regimului dinamic sunt descrise prin indici sintetici de calitate ce caracterizează
răspunsul indicial al sistemului:
a) suprareglajul
y y
y y
st
st st
max 1
(1.3)
unde pentru sistemul de ordinul doi:
21e
(1.4)
b) timpul primului maximsau de atingere a abaterii maxime a mărimii de ieşire in regim
tranzitoriu tσ;
c) durata regimului tranzitoriu tt definita prin timpul ce se scurge din momentul aplicării
excitaţiei (intrarea) pe canalul de referinţa si pînă cind ieşirea intra într-o bandă de
( )%2 5 y s ;
unde pentru sistemul de ordinul doi:
3...4t
n
t
(1.5)
d) indicele de oscilaţie reprezintă variaţia relativă a amplitudinilor a două depăşiri
succesive de acelaşi semn a valorii de regim staţionar:
1 2
1
2
11
(1.6)
în care 1 şi 2 sunt primele două depăşiri ale valorii de yst.
iar pentru sistemul de ordinul doi:
2
2
11 e
(1.7)
Aprecierea acestor indici de calitate se face pe baza răspunsului indicial al SRA, deci a funcţiei
de transfer în circuit închis.
Performanţele regimului staţionar:
a) eroarea staţionarăεs- valoarea erorii de reglare în regim staţionar (neperturbat,
stabilizat)
16
st s s
rt s s sy s H s lim lim lim( ) ( ) ( ) ( )
0 0 (1.8)
st K ( ) [%];1 100 dacă K st 1 0 (1.9)
b) răspunsul indicialreprezintă răspunsul unui sistem liniar atunci când intrarea este de tip
treaptă (ce se poate considera, datorită liniarităţii, de amplitudine unu - treapta unitară).
Elementul de întârziere de ordinul 1
Din ecuaţia diferenţială de mai jos:
)()()(
tubtyadt
tdya 001
(1.10)
obţinem funcţia de transfer, aplicând transformata Laplace:
1 0 0( ) ( ) ( )a s y s a y s b u s 1)(
)()(
Ts
K
su
sysH
(1.11)
unde T = a1/a0[s], T>0 esteconstanta de timp, iar K = a0/b0 factorul de amplificare.
În Figura1.1. este reprezentat răspunsul indicial al sistemului de ordinul 1 când factorul de
amplificare K ia valoarea de 0.5.
Răspunsul indicial al sistemului de ordinul 1
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tt tt T
εst
17
Elementul de întârziere de ordinul 2
Ecuaţia diferenţială caracteristică sistemului de ordin doi este:
2
2 1 0 02
( ) ( )( ) ( )
d y t dy ta a a y t b u t
dt dt
(1.12)
Funcţia de transfer obţinută aplicând transformata Laplace expresiei (1.12) este:
22
2
2)(
)()(
nn
n
ss
K
su
sysH
(1.13)
Pentru K=1 H sT s Ts s s
n
n n
( )
1
2 1 22 2
2
2 2
(1.14)
în care 0 , 1/ , 0,1nT T
se numesc constanta de timp, pulsaţie naturală, respectiv
factorul de amortizare.
Când intrarea este treaptă (unitară) se deduce:
y s H s u s
s s s
n
n n
( ) ( ) ( )
2
2 22
(1.15)
şi se obţin următoarele regimuri tipice:
a) Regim neamortizat (=0)
a) Regim subamortizat ( )0 1 este răspunsul tipic al sistemului de ordinul II.
b) Regim critic 1
c) Regim supra amortizat 1
Structura acestor răspunsuri este cea din fig.1.2.
Răspunsurile indiciale ale sistemului de ordinul 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t[s]
y(t)
zita=0
zita=0.5
zita=1
zita=2
u(t)
18
1.3.4 Reprezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer.
Regulile generale de trasare a caracteristicilor semilogaritmice sunt prezentate pe exemplul
următor:
0. Se factorizează cu coeficienţi reali numărătorul şi numitorul lui H(s) - în general, acest lucru
este datdin start.
H ss s
s s s s s( )
( . )( )
( . )( )
3200 0 2 5
0 4 1 8 16002 2
(1.16)
1. Elementele ce compun funcţia de transfer se aduc la o formă ce evidenţiază termenii tip
(constantele de timp).
H ss s
s s s s s
s s
s s s s s
( )* . * ( )( . )
( . )( )
( )( . )
( . )( )
3200 0 2 5 1 5 1 0 2
1600 0 4 11
1600
1
2001
2 1 5 1 0 2
0 4 11
1600
1
20012 2 2 2
2. Se identifică elementele standard ce compun funcţia de transfer şi se determină parametrii
necesari trasării:
pulsaţiile de frângere (inversul constantelor de timp identificate la punctul 1)
factorii de amortizare pentru elementele de ordinul 2.
element de anticipare de ordinul 1 Ha = 1+5s; T1=5; t1= 1/T1=0.2
Ha = 1+0.2s; T2=0.2; t2= 1/T2=5
= 3dB
element de întârziere de ordinul 2
H ss s
TT
T
dB
I t
t dB
( ).
; ; ; . .
( ) lg lg .
1
0 4 11
11 2 0 4 0 2
20 2 20 0 4 8
2 3 33
3
3
H s
s s
TT
T
dB
I t
t dB
( ) ; ; ; .
( ) lg lg .
1
1
1600
1
2001
1
40
140 2
1
20001
20 2 20 0 2 14
24 4
44
4
3. Partea de joasă frecvenţă a caracteristicii este o dreaptă cu panta (-q 20 dB/dec) trecând
prin punctul de coordonate (=1, KdB = 20 lgK)
K = 2; KdB = 20 lg K = 20 lg 2 = 20 0.3 = 6 dB
q = 1 =>- 20 dB/dec
19
4. Considerând pulsaţiile de frângere ordonate crescător, se prelungeşte panta de joasă frecvenţă
până la cea mai mică pulsaţie de frângere t1.
5. Cunscând tipul elementului standard cu pulsaţia de frângere t1, se calculează panta
rezultantă pe următoarea pulsaţie de frângere, ş.a.m.d.
6. Ca verificare, panta asimptotei de înaltă frecvenţă trebuie să rezulte de (-e 20 dB/dec).
a) CARACTERISTICA EXACTÃ AMPLITUDINE – PULSAŢIE
Caracteristica exactă amplitudine-pulsaţiese obţine corectând caracteristica asimptotică
amplitudine - pulsaţie cu erorile făcute prin aproximarea respectivă. Acestea sunt de 3dB (în
pulsaţiile de frângere) la elementele standard de ordinul 1 şi la elementele de ordinul 2 se
calculează cu relaţia 2lg20)(
dBt
b) CARACTERISTICA FAZÃ – PULSAŢIE
Trasarea acestei caracteristici se face analitic pe baza expresiei funcţiei sau cu şabloane de
trasare a caracteristicilor standard componente.
Cu schimbarea de variabilă s=jω, funcţia de transfer H(s) a unui sistem se poate scrie:
H(j )=|H(j )|ej
=|H(j )|ej H jarg ( )
=H(j )+jImH(j )=U()+jV() (1.17)
Din scrierea sub formă complexă a lui H(s), relaţia (1.17), se deduce expresia:
f arctgH j
H j( )
Im ( )
Re ( )
care arată dependenţa de pulsaţia fazei . Pentru sistemul descris de
funcţia de transfer (3) rezultă imediat:
f qii
m
jj
n
( ) '
1 1
02
(1.18)
Aşadar după trasarea caracteristicilor fază-pulsaţie ale elementelor componente prin sumare se
obţine caracteristica fază-pulsaţie a funcţiei de transfer considerate.
Caracteristicile amplitudine-pulsaţie exacte şi faza pulsaţie pentru H(s) definit prin relaţia (1.16)
sunt reprezentate în Figura 1.3.
20
Caracteristicile amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie
Reprezentările în frecvenţă a funcţiilor de transfer sunt folosite la aprecierea stabilitaţii
sistemelor descrise de aceste funcţii.
1.3.5 Criterii de stabilitate
Aprecierea stabilităţii se poate face direct calitativ prin criteriul Routh-Hurwitz şi Cremer-
Leonard-Mihailov sau apelând la analiza frecvenţială prin criteriile Nyquist și Bode.
1.3.5.1 Criteriul Routh-Hurwitz
Fie polinomul caracteristic:
1
0 1 .....n n
A ns c s c s c (2.1)
complet şi cu toţi coeficienţii pozitivi.
Condiţia necesară şi suficientă ca rădăcinile lui A s să aibă partea reală strict negativă
este ca toţi determinanţii principali ai matricei Hurwitz să fie strict pozitivi:
21
1 3 5
0 2 4
1 1
1 3
1 3
0 2 2
0 2
1
0
00
0 00
0 0 0
0
n
n
c c c
c c cD c
c cD c c
c c Dc c
c
(2.2)
Dacă un minor pe diagonală 0iD atunci rezultă că sistemul este instabil, nemaifiind
necesară calcularea tuturor determinanţilor matricei Hurwitz.
Exemplu:
Se consideră un sistem definit printr-o funcţie de transfer de tipul 23
1)(
ss
ssH
. Se
dorește studierea stabilităţii acestui sistem cu ajutorul criteriului de stabilitate Routh-Hurwitz.
Astfel, se determină polinomul caracteristic 3 2 1A s s s s și se verifică dacă toţi
coeficienţii polinomului caracteristic sunt >0.
Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, se alcătuieşte matricea Hurwitz, după care se
calculează minorii pe diagonalã.
3
1 1 0
1 1 0 0
0 1 1
D
Rezolvarea acestei probleme utilizând comenzile MATLAB se realizează în modul următor:
>>num=[1 1];
>>den=[1 1 0 0];
>>H=tf(num,den);
Transfer function:
s + 1
---------
s^3 + s^2
% determinarea polinomului caracteristic
>>X=1+H
Transfer function:
s^3 + s^2 + s + 1
-----------------
s^3 + s^2
%matricea Hurwitz
>>D1=[1 1 0;1 1 0;0 1 1]
22
D1 = 1 1 0
1 1 0
0 1 1
%calcularea determinantului
>>det(D1)
ans =
0
Pentru acest exemplu determinantul matricei Hurwitz 3 0D indică un sistem la limita de
stabilitate.
1.3.5.2 Criteriul Cremer-Leonard-Mihailov
Un sistem definit prin ecuaţia sa caracteristică este asimptotic stabil dacă şi numai dacă
locul de transfer (hodograful) al ecuaţiei caracteristice pentru o variaţie a lui ω (0,+∞)
determină o variaţie a unghiului de fază de 2
*
n în sens pozitiv (anti orar), unde n este gradul
ecuaţiei caracteristice.
Dacă una din aceste condiţii nu este satisfăcută sistemul este instabil.
a0
n=0
Re P(j)
Im P(j)
n=2
n=3
n=4
Sistem stabil
Im P(j)
Re P(j)
n=5
=0
n=3
a0
n=2
Sistem instabil
1.3.5.3 Criteriul Nyquist generalizat:
Condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca locul de transfer
(hodograful) lui Hb(s) să înconjoare punctul critic (-1,j0) în sens trigonometric de atâtea ori câţi
poli are Hb(s) în interiorul conturului Nyquist atunci când ( , ) .
23
1.3.5.4 Criteriul Nyquist simplificat:
Condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca hodograful lui HO(s) să nu
înconjoare punctul critic (-1,j0) (se consideră Hb(s) stabil) atunci când ( , ) .
Exemplu:
Pentru studierea stabilităţii cu ajutorul criteriului Nyquist se foloseşte funcţia Matlab
>> nyquist(num,den)
Reprezentarea hodografuuil sau a locului de transfer
Din grafic se poate observa că hodograful lui Hb(s) nu înconjoară punctul critic (-1,j0)
conform criteriului de stabilitate NYQUIST SIMPLIFICAT sistemul este stabil.
1.3.5.5 Criteriul Bode
Acest criteriu analizează stabilitatea SRA, evaluând rezerva de stabilitate a acestuia.
Rezerva de stabilitate a unui SRA se evaluează prin două mărimi caracteristice din
caracteristicile semilogaritmice ale lui Hb(s):
- marginea de amplitudine (rezerva de stabilitate în modul): m H jdB b dB ( ) (2.3)
- marginea de fază (rezerva de stabilitate în fază): 180ot( ) (2.4)
24
unde t este pulsaţia de tăiere, iar pulsaţia la care sistemul Hb(s) are o fază egală cu .
Criteriul Bode reprezintă transpunerea în scara logaritmică a criteriului Nyquist simplificat. El se
exprimă astfel: Condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca reprezentarea fază-
pulsaţie să intersecteze axa într-un punct situat după intersecţia cu aceeaşi axă a reprezentării
amplitudine pulsaţie (deci >t).
Exemplu:
Pentru studierea stabilităţii cu ajutorul criteriului Bode se foloseşte funcţia Matlab
>> bode(num,den)
Dacă se dorește și afișarea marginei de amplitudine și de faza se folosește comanda:
>>margin(num,den).
Reprezentarea caracteristicilor amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie
Intersecţia reprezentării amplitudine-pulsaţie cu axa 0 se notează cu ωt şi se numeşte
pulsaţie de tăiere. Intersecţia reprezentării fază-pulsaţie cu axa de -180° se notează şi se
numeşte pulsaţie la o fazã de 180 .
Din grafic se poate observa că t>π (margini de amplitudine și de fazã negative) şi deci
în acest caz avem un sistem instabil.
1.3.6 Chestiuni de studiat
ωt
ωπ
25
1. Afişaţi răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul I, utilizând comenzi la nivelul
consolei Matlab. Vizualizaţi răspunsul sistemului (1.11) la o intrare de tip treaptă,
implementând o diagramă bloc în Simulink. Observaţi ce se intâmplă cu eroarea staţionară a
sistemului si cu durata regimului tranzitoriu. Consideraţi
a) K=1 şi T=2
b) K=1şi T=4
c) K=1şi [0.1,2]T
Indicaţie. Folosiţi blocurile Step, Transfer Fcn şi Scope.
2. Scrieţi un fişier script care să traseze, în cadrul aceleiaşi figuri, răspunsul indicial al
sistemului reprezentat prin funcţia de transfer (1.11), pentru o gamă de valori ale lui T din
intervalul [0.1; 3]. Factorul de amplificare va fi considerat egal cu 1.
Rezolvare. Pentru a forma un fişier script nou (extensia „.m”), se alege comanda File / New / M-
file din meniul Matlab-ului. În fereastra care se va deschide, introduceţi următoarele linii de
comandă:
figure
hold on
for i=0.1:0.5:3,
Hs = tf([1],[i 1]);
step(Hs);
end
hold off
Salvaţi fişierul cu numele de „script1.m”, închideţi fereastra care-l conţine şi apelaţi-l din
consolă prin numele său. Veţi obţine un grafic ca cel alăturat.
Care dintre grafice este răspunsul sistemului pentru T=3? Justificaţi!
3. Considerându-se sistemul de mai jos
pssH s
2)(
,
trasaţi răspunsul la treaptă unitară pentru ];[ 22p . Când este sistemul stabil (are ieşirea
mărginită) şi de ce?
4. Afişaţi răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul 2, utilizând comenzi la nivelul
consolei Matlab. Vizualizaţi răspunsul sistemului (1.14) la o intrare de tip treaptă,
implementând o diagramă bloc în Simulink. Observaţi ce se intâmplă cu performanţele de
regim tranzitoriu şi staţionar ale sistemelor reprezentate.
Păstrând constante valorile pentru K=2 şi T=1 modificaţi valoarea factorului de amortizare
precum în cazurile următoare:
a) 0
26
b) 0.5
c) 1
d) 2
Indicaţie. Folosiţi blocurile Step, Transfer Fcn şi Scope.
5. Urmărind regulile generale ale trasării caracteristicilor semilogaritmice să se traseze
caracteristicile amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie pentru sistemul definit prin funcţia de
transfer de mai jos: H ss s sb ( )
( . )( . )( )
100
01 0 8 5. Să se verifice forma caracteristicilor cu
ajutorul funcţiilor Matlab.
Indicaţie. Utilizaţi funcţia bode(num,den).
6. Urmărirea stabilitaţii următoarelor sisteme, caracterizate de funcţiile de transfer în circuit
deschis, cu ajutorul criteriilor învăţate:
H sk
s s sb ( )( . )( . )( )
1
01 0 8 5 k1=100 k1=5
H sk
s s sb ( )( )( )
2
3 13 k2=1000 k2=10
Indicaţie. Utilizaţi funcţiile: bode(num,den), nyquist(num,den).
7. Se dă ecuaţia caracteristică a unui sistem automat de gradul patru:
4 3 2
4 3 2 1 0 0a s a s a s a s a
Coeficienţii ecuaţiei au următoarele valori:
9
4 2 10a ; 5
3 2 10a ; 3
2 3 10a ; 1
1 1,3 10a ; 0 100a
Să se determine stabilitatea sistemului cu ajutorul criteriilor Routh-Hurwitz şi Cremer-
Leonard-Mihailov.
8. Se dă un sistem definit prin funcţia de transfer:
5 4 3 2
1( )
5* 8* 10* 7* 6bH s
s s s s s
Să se determine stabilitatea sistemului cu ajutorul criteriului Routh-Hurwitz.
27
2. Sisteme cu esantionare.
2.1 Discretizarea marimilor analogice. Reglarea numerica
REGLARE NUMERICA (DIGITALA)
Introducere
Un sistem numeric consta dintr-un proces analogic condus de un regulator numeric/calculator
numeric (CPU, Memorie, Module I/E, CAN, CAD). Un astfel de sistem il numim DDC.
Avantajele reglarii numerice:
Reglarea esantionata
O bucla de reglare numerica consta in reglarea unui proces continuu printr-un CAN, care
interogheaza marimea masurata/reglata numai in momente de timp aflate la distanta constanta
numita perioada de esantionare T.
O bucla de reglare numerica este formata din doua subsisteme: un element liniar invariant in
timp (2) si un element ce are o functionare discreta (1).
1 2+
-
1924 Renidr, Grdina
1948/1958 Oldenburg, Sartorins, Zypkin
Modul de functionare a unei bucle digitale de reglare.
CANALGORITM
DE REGLARE
NUMERICCNA
SISTEM
CONTINUU
PROCES( )y t
t ( )u t
t
( )y t
t
ry0TT
( )cH z
T
28
Unitatede
control
• Unitate
aritmetica si
logica
• Memorie
CNA
CAN0
MUX
DMUX
CALCULATOR NUMERIC
H
ND (NI)
Qi
Qe
FCV
I/PFT1
LT
FT2
!!! Discretizarea unei marimi analogice consta in esantionarea in timp si in cuantizarea in
amplitudine.
Acest proces are loc intr-un CAN reprezentat sub forma de schema bloc mai jos.
tkT kT
yj(kT)
Exemple (dupa Reuter M. si altii 2002). Daca consideram o marime analogical ce variaza in
domeniul 10 .V c c si consideram ca avem un CAN pe 16 bti = 15+1, atunci valoarea unei
cuante este de:
15
100,305
2
VmV
Pentru a calcula functia de transfer a dispozitivului de esantionare consideram caracteristica de
raspuns al acestuia:
t
1
29
1 1 1
1Ts
sT
ex
eH s e
s s s
iar in frecventa
1 j T
ex
eH j
j
dar
cos sinj Te T j T
si daca
22
TT
atunci
2
2 2 22
sin1 21 1
2 22 2 2
T T Tj j j T
j
ex
Te e e
H j TeT T T
j jT T
La frecvente joase 1T elemental de extrapolare se poate aproxima prin:
2
Tj
exH j Te
Prin esantionare cu perioada T se mareste timpul mort global, ceea ce conduce la micsorarea
rezervei de faza si deci si a stabilitatii.
Exemplu:
O bucla de reglare analogical cu un regulator PID are o rezerva de faza 45 la o pulsatie de
taiere de 110t s .
Se inlocuieste regulatorul PID analogic cu un PID numeric cu 0,05T s .
Sa apreciem noua rezerva de stabilitate.
Datorita lui T timpul mort se modifica la 0,5 0,025T s in faza proprie a elementului in timp
mort va fi:
t
si in conditiile in care 110s
t
t t
sau
30
014,3t t
Rezerva/marginea de faza pentru bucla numerica va fi:
045 14,3 30,7digital t
ceea ce arata ca stabilitatea s-a inrautatit.
1. Dispozitivul de esantionare/esantionatorul introduce o intarziere (timp mort) care poate
atinge T/2. Cuantizarea in amplitudine poate fi realizata atat de fier incat efectul ei sa fie
neglijat.
2. O proprietate foarte importanta a unui sistem discret este acela ca aparitia semnalului
esantionat intr-un sistem continuu liniar nu modifica liniaritatea.
Urmare a celor de mai sus este faptul ca tratarea teoretica a sistemelor liniare discrete este
analoaga cu cea a sistemelor liniare continue (netede).
2.2 Comportarea unui sistem intre intervalele de esantionare
Fie:
u y
cu ( )
( )( )
y zH z
u z
in conditiile in care fie u, fie y pot sa nu fie marimi esantionate.
Pentru a putea utiliza pe ( )H z in astfel de situatii va trebui sa introducem dispozitive de
esantionare ipotetice, dupa caz, pe intrare si/sau iesire.
Este de mentionat ca o altfel de maniera de tratare a problemei nu schimba cu nimic structura
fizica a sistemului.
Utilizarea trasformatei Z poate conduce totusi, asa cum s-a mai amintit, la o reducere a calitatii
de informatie dintr-un semnal.
31
y
t
t
y
t
y
Atunci cand se calculeaza-1z se obtin valorile
semnalului la momentele de esantionare
0, ,2T T
In aceasta situatie putem avea functii diferite
care sa corespunde aceleiasi functii in Z .
Pot sa apara astfel de oscilatii ascunse. Aceste
oscilatii apar cand partea imaginara a polilor
este un multiplu intreg de pulsatii de
esantionare.
Trebuie sa analizam ce se intampla intre doua
momente de esantionare.
Metode de studiu:
a) Dispozitiv de esantionare fictiv
Se introduce un dispozitiv esantionar cu o alta perioada de esantionare T’ decat a dispozitivelor
aflate in sistem T, de obicei T’<T.
*( )u r( )H s
T '
T T
*y s( )y s
Se ia
' '
' '
2 ' 2
2
( ) ( )2
( ')
( ') ( ') ( ) ( ') ( ')
T s
Ts T s
TT y z y z
z e
z e e z
y z H z u z H z u z
32
b) Metoda transformatei z modificata (Barker)
Consta in introducerea unui timp mort in serie cu functiile de transfer pe calea directa:
*u( )H s
T
T
*y
u ys
e
y
T 2T ty
t
Pentru marimea data ( ), (2 ), (3 )y T y T y T se
obtin alte marimi:
( 2), (2 ), (3 )y T y T y T
Seria
2
, 32 2
T
T Ty y
Fie
0
0
( ) ( )
*( ) ( ) ( )k
T
y t y t T
y t T y kT T u t kT
i) intreg
0
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
k
k
y z y kT T z
y z y kT T z y z
y z z y z
33
ii) fractionar intereseaza pentru a vedea comportarea in intervalul de esantionare.
Se alege
0 1m
si se noteaza
1 m .
In consecinta
*
0
0
* 1
0
* *
* 1
0
1
0
( ) ( 1) ( )
( )
( ) ( , )
( ) ( , )
( , )
( )
( , )( , )
( )
k
k
k
k
k
k
k
y z y kT m T u t kT
y z z y kT mT z
y kT y kT m
y kT y t m
y t m z y k m T z
y t z y k m T z
y z mH t m
u z
Care defineste functia de transfer in z modificata.
34
2.3 Metode de descriere. Reprezentari ale buclei de reglare digitala
Se vor discuta urmatoarele reprezentari:
HR(s) H(s)+
-
yr yu
HR(s) H(s)+
-
yr u
Bucla analogica a) Bucla cvasicontinua
Element cu
timp mort
y
H(s)+
-
yr ukk oHR(s)
yk
Dispozitiv
de esantionareExtrapolator
1 1 1, ,k k k ku f u
2 1 1, ,k k k ky f y u u
b) Bucla discretizata
exH s
H(z)+
-
yr uk( )z oHR(z)
( )u z
ExtrepolatorRegulator cu
dispozitiv
de esantionare
c) Bucla discreta reprezentata prin
transformata z.
HH z
i) Descriere cvasicontinua
Daca consideram un proces ce poate fi asimilat cu un sistem de tipul PTnavand un raspuns
in timp de tipul din figura de mai jos si daca perioada de esantionare T este foarte mica in
raport cu constanta de timp a procesului (a partii fixate) Tf atunci bucla de reglare poate fi
tratata la fel in continuu, cu observatia ca se mai adauga un element cu timp mort cu
0,5T . In practica se utilizeaza 0,1T
35
y
t
T
0
Tf
Alegerea perioadei de esantionare
Daca T este mai mica decat constanta de timp de intarziere proprie a procesului Tfatunci
se poate folosi relatia
0,5T
aceasta perioada de esantionare ne fiind permisa sa fie aleasa mai mare datorita introducerii unei
instabilitati puternice a buclei de reglare, ca urmare a existentei unui timp mort apreciabil.
Pe de alta parte T nu trebuie sa fie nici prea mica deoarece sistemul
compensator/regulator este solicitat excesiv si numai cu ajutorul unor microprocesoare speciale
s-ar putea rezolva aceasta supraincarcare.
Tot odata aceasta T (frecventa de lucru) este limitata de largimea benzii de utilizare.
In practica la alegerea lui T se tine cont de marimile caracteristice procesului (vezi tabelul
de mai jos)
Marimi din proces
determinate
experimental
Numar de esantionari in
domeniul unei perioade de
timp
Perioada de esantionare T
, 10fT 2 5 0,2 0,5
95t 10 20 950,05 0,1 t
fT 10 si mai mult 0,1 fT
Nota: t95este durata de timp ce se scurge din momentul aplicarii treptei pe intrare si pana se
atinge 95% din valoarea stationara a marimii masurate/reglate.
36
ii) Descrierea discreta in domeniul timp.
2.3.1 Ecuatii cu diferente finite
In cazul sistemelor discrete, avand in vedere ca marimea analogica sufera o operatie de
esantionare rezulta ca semnalul discret poate fi reprezentat printr-o serie de numere:
0 1 2
( ) (0), ( ), (2 ), ( )
, k
y kT y y T y T y kT
y y y y
cu 0k si ( ) 0f kT pentru 0k
Urmatoarele relatii sunt echivalente:
( ) ( ) ky kT y k y
Daca consideram un sistem continuu ce este esantionat atat pe intrare cat si pe iesire sincron cu o
perioada T, se pune problema ce relatie exista intre sirurile u kT si y kT ?
Dupa cum se stie sistemul continuu este descries intrare-iesire de o ecuatie diferentiala si
solutionarea ei inseamna sa facem o rezolvare numerica. Procedura cea mai simpla este
procedura Euler. De exemplu:
u kT y kT
u y prin ecuatie diferentiala
Valoarea numerica (cea mai simpla rezolvare este cea a lui Euler)
0
0
0
1limt kTx x
f kT f k Tf x f xdf
dt x x T
2
2 2
2 1 2t kT
f kT f k T f kd f
dt T
respectiv ( ) ky t dt T y
In acest fel ecuatiile diferentiale se transforma in ecuatii cu diferente finite.
Numim ecuatie cu diferente, acea ecuatie, care realizeaza relationarea intre seria esantionata a
marimii de intrare ( )u kT si seria esantionata a marimii de iesire ( )y kT .
37
1 1 0 0( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )n na y k n a y k n a y k a y k b u k
Ecuatia se rezolva prin recursivitate sau „clasic” (solutie homogena si particulara).
Rezolvare prin recursivitate
Solutia este sirul
0 1 2
1 1 0 0
, , ,
1( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )
k
n
n
y y y y
y k n a y k n a y k a y k b u ka
Conditiile initiale ( ) 0y n pentru 0,1,2,n cu 0k sunt nule iar pentru intrare
1 0 1 2 00, k Mu u u u u u
Prima valoare pentru iesire pentru 1k se calculeaza astfel
1 2 1 1 0 0 0
1(1 ) ( ) ( 1) (1)n n
n
y n a y n a y n a y a y b ua
Solutia se obtine numai pe cale numerica.
Similar ca in cazul sistemelor continue unde se defineste raspunsul cauzal la impuls unitar
(functie pondere), pentru sistemele discrete se defineste pentru o intrare de tip impuls
discret , secventa Kronecker
1 0
0 0d
pentru ku k k
pentru k
sise introduce ca in continuu notiunea de secventa pondereh(k) iar pe baza acesteia, pentru
sisteme discrete se poate calcula:
0
.y k u h k
numita suma de convolutie.
2.3.2 In spatiul starilor.
Similar ca in continuu, in discret se poate scrie:
01 0d d
d d
x k A x k B u k x x
y k C x k D u k
unde:
d
d
d
d
C C
D D
A I SA
B SB
38
cu 1
nn
n
TS T A
n
care constituie o serie infinita.
Rezolvarea ecuatiei pentru sistemul discreteste urmatoarea:
1
1
0
0
( ) ( )k
k j k
d d d
j
x k k x A B u j cu k A
11
dk zI A z Z
1 0dk A k cu I
Recursiv obtinem definitia exacta a functiei de transfer
1
d d d d
y zH z C zI A B D
u z
si unde se defineste ecuatia caracteristica det 0dS z P z zC A
Prin teorema intarzierii obtinem:
1 1
1 0 11 ... ...n n
n ny z z z u z z z
de unde se poate defini functie de transfer inz:
1
1
1
0
...
1 ...
n
o n
n
n
y z z zH z
u z z z
acest raport y z u z fiind determinat in conditii initiale nule.
39
3. Metode de evaluare a transformatelor Z
3.1 Breviar teoretic
3.1.1 Transformata Z . Discretizarea functiilor definite pe R cu un suport pe
R+
Fie o functie discreta :f si nula pentru valori negative careia ii asociem seria de
puteri ale lui z-1
.
2
2
1
10
21 210 zczcczfzff
Daca seria este convergenta, R > 0 raza a.i. seria este absolut convergenta in Rz
Seria defineste o functie de variabila complexa z numita transformata Z
(directa) a lui f
1 20 1 2 ...F z f t f f z f z Z
Aplicatie
Fie f t t 1
Atunci,
11
1...1
1
21
z
z
zzzzF
1
zt
z
Z 1
*
Daca F (z), recuperarea lui f(t) se face prin transformata Z inversa.
1 11
2
tf t F z F z z dz tj
Z
Teoremele de baza ale transformatei Z sunt formulate similar ca la transformata Laplace.
Pentru principalele teoreme in transformata Za se vedea tabela de mai jos.
Nr.
crt Proprietatea sau teorema Formularea matematica
1. Proprietatea de liniaritate
( )
; ,
f t g t f t g t
F z G z
Z Z Z
40
2. Teorema divizarii in
complex t z
a f t Fa
Z
3. Teorema anticiparii
(intarzierii) , 0Z f t z F z
4. Teorema derivarii
parametrice
, ,
,,
k k
k k
Daca F z a f t a atunci
d F z a df t a
da da
Z
Z
5. Teorema valorii initiale 0
0t z
f lim f t lim F z
6. Teorema valorii finale 1
1zt
f lim f t lim z F z
Fie :f (cu suportul in ) si luam un numar h > 0, numit pas de discretizare.
Definim :df functia discretizata( cu suport in ) a lui f prin egalitatea
df t f th t
Operatia de discretizare consta in aceea ca functia discretizata ia esantioane la diverse
momente de timp si le aseaza pe multimea numerelor intregi: pentru a redefini functia
continua se face o extrapolare .
( )t t
t
df
t
df
t1h 2h 3h 1h 2h 3h 1h 2h 3h
Functia discretizata fd a unei functii continue f
si redefinirea ei ca functie continua pe portiuni df
Se demonstreaza ca,
1
2
c j
d d sh
c j
zF z f t F s ds
j z e
Z
41
Aplicatie
1. Fie f t t 1 cu t
22
0 0
1 1 1
2 1
j
d sh sh shj is s
z z d z hzF z ds rez
j s z e s z e ds z e z
2. Sa se faca transformata z a functiei
2
1
asssy
si sa se calculeze y (t)
Se descompune
22
1
as
C
as
B
s
A
ass
si se identifica
aC
aB
aA
1;
1;
122
de unde
222
111111
asaasasasy
atat tea
eaa
ty 111
22
Va rezulta:
22 2
1 1 1
1
aT
aTaT
z z zTey z
a z a z e a z e
sau
aT
aT
aT ez
zTe
a
z
ezaz
z
azy
11
1
12
3. Fiind dat
attety
sa se calculeze y (z)
42
Se aplica teorema derivarii parametrice
, at
a
y t y t a ea
Z Z
11 ...at anT n aT
aT
ze e z e z
z e
Z
3.1.2 Sisteme discrete
Fie ( , , )TA b c sistemul continuu
, n
T
x Ax but x
y c x
si sistemul discret:
1
,
d d
T
d
t A t b t
t c t t
unde introducem
0; ;
hAh A
d d dA e b e b d c c
Sistemul discret (Ad, bd,T
dc ) se numeste:
- discretizantul pe stare cu pasul h al sistemului neted ( A, b, cT) daca pentru:
1. n
2. 0 0 ,x t u th t
avem
, , , 0t x th t y th t x si u
- discretizantul intrare – iesire cu pasul h al sistemului neted (A, b, cT) daca pentru:
1. 0 0 , 0 0nx R (eventual )n
2. ,t u th t
avem
,t y th t
Rezulta ca un sistem neted este activat de o functie etajata, cu pasul constant h, atunci
discretizantul reproduce prin esantionare comportarea intrare – iesire a acestuia.
43
Discretizantul intrare – iesire este echivalent cu schema
, , TA b c
( )u t
t1 2 30
( )u t
th 2h h 2h t
( )y t
, , T
d dA b c
0xDispozitiv de
esantionare
CNA CAN
( )u t
t1 2 30
Schema de discretizare intrare-iesire
La fel cum in neted avem
bAsIcsH T 1
si in discret se poate defini functia de transfer
dd
T
dd bAzIczH1
Se arata ca, Hd (z) se poate obtine din H (s) prin relatia
1 1
2
c j
d shc j
H s H sz zH z ds
z s j s z e
Z
Observatie
Relatia de mai sus ne da functia de transfer a unui sistem provenit din discretizarea unui sistem
neted.
3.2 Scopul lucrarii
Transformata Z este una din principalele proceduri de analiza si sinteza a sistemelor
dinamice liniare discrete. Lucrarea isi propune prezentarea principalelor metode de determinare a
transformatelor Z. In partea finala a lucrarii este prezentata metoda de evaluare a transformatei Z
utilizand calculul simbolic.
3.3 Breviar al procedurilor de calcul
Transformata Z pentru un semnal , 0u t t este definita astfel:
0
n
n
U z u nT Z
unde t nTu nT u t
44
T – perioada de esantionare
N – tactul de esantionare
i). Cea mai simpla metoda pentru evaluarea transformatei Z este cea pornind de la definitie,
prin sumarea termenilor unei serii cu numar infinit de termini.
Exemplificam procedura in cazul unei functii exponential , 0atf t e t
auTf uT e si
1
0 0
nauT n aT
n n
F z e Z e Z
Expresia reprezinta suma termenilor unei progresii geometrice cu ratia 1aTe Z . In
conditia 1 1aTe Z seria este convergenta si
1
1
1 aT aT
Zf z
e Z Z e
ii). In cazul in care cunoastem transformata Laplace a functiei f t
( )f s L f t
si in cazul in care aceata este o forma practica rationala cu poli simpli reali putem aplica metoda
descompunerii in fractii simple.
1 2
1 2
... u
n
AA Af s
s a s a s a
Daca tinem cont de rezultatul prezentat in exemplu precedent
1 aT
aT
ZZ Z e
s a Z e
Transformata Z se obtine imediat
11 1
1
1 1... ...n na T anT
n
Z ZZ A Z A A
s a s a Z e Z e
Metodele prezentate sunt metode simplu de aplicat in cazul unor functii elementare. Pe
caz general este recomandat ca transformata Z sa fie determinate utilizand metoda rezidurilor.
Daca lim 0s
f s
1.
1
1
s
Tsref la poliilui F s
f z rez F sZ e
In cazul in care
N sF s
P s are numai poli simpli
F
10
1
1
p
T nn
N nz
P n z e
45
Pentru exemplificare consideram functia sin , 0f t t t pentru care 2 2F s
s
. Polii lui
f (s) sunt complex conjugate 2 2 0 1,2s s j
Functia reprezentand transformata Laplace pentru functia analizata
2 2
N sF s
P s s
asigura 1 2P s s .
Transformata Z cautata va fi:
1,2
1.
1 1 2
1
1
1 1 sin
2 1 2 1 2 cos 1
Tsref lapolii s
j t j T
F z rez F sz e
z T
j z e j z e z z T
Prin urmare
sin
sin2 cos 1
z tZ t
z z t
Calculul se simplifica daca tinem cont de urmatorul rezultat. Daca consideram functia
( )F s are doi poli complexi conjugate si atunci
2 2 1 1 1
1 1
1 2 1 2
1 1 1 1Re
1 2 1 2 1 cos sin
1 sin 1 1 cos
2 1 2 cos 2 1 2 cos
Ts j Tref la
j
fs z e j z e j z t j t
z t z tj
z t z z t z
1 1 1
1 2 1 2 1 2
1 sin 1 1 cos sin( ) 2Re
2 1 2 cos 2 1 2 cos 1 2 cos
z t z t z tF z j
z t z z t z z t z
Simplificari in evaluarea transformatelor Z sunt facilitate de utilizarea teoremelor legate
de transformata Z.
Teorema deplasarii in complex.
Daca ( ), 0f t t are transformata Z functia ( )F z atunci ( ) ( )Fat aTZ e f t F ze
Ca exemplu, consideram evaluarea transformatei Z pentru functia sinate t . Cunoscand
tranformata Z a functiei sin t (vezi exemplul precedent)
2 2 2 2 2
sin sin sinsin
2 cos 1 2 cos 1 2 cosat
at atat
at at at at
z ze
z t ze t ze tZ e t
z z t z e ze t z ze t e
46
Teorema deplasarilor in real.
Daca functia de timp ( ), 0f t t este Laplace tramnsformabila cu transformata Laplace
( )F s atunci pentru n N si
1
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
nn k
k
Z f t nT z F z
Z f t nT z F z f kt z
Ca exemplu ce propunem calculul transformatei Z pentru ( )( ) s t Tf t e cunoscand
transformata Z pentru ste
( ) 1 1 1s t T st
T T
zZ e z Z e z
z e z e
Teorema derivarii partiale.
Daca ( , )F z a este transformata Z a functiei ( , )f t a unde a este o variabila independent
sau o constanta, atunci
( , ) ( , )Z f t a F z aa z
Astfel, stabilitatea transformatei Z pentru functia atte poate fi facuta astfel
2
atat at at
aT aT
z TzeZ te Z e Z e
a a a z e z e
3.4 Chestiuni de studiat
1. Sa se determine transformata Z pentru functia:
0f t t pentru t
0,atf t te pentru t a
sin 0, ,atf t e t t a
cos 0, ,atf t e t pentru t a
cos 0, ,atf t e t pentru t a
2. Sa se calculeze transformata Z pentru
10
1 2f s
s s s
pentru o perioada de esantionare T = 1 sec
47
3. Sa se calculeze transformata Z pentru
2 2
bf s
s a b
pentru o perioada de esantionare T.
4. Sa se calculeze transformata Z pentru functia
1
2 2
2 2
1
2 1
K T sf s
s T s T S
unde 1
1 22 sec , 0.782sec, 1.3sec, 0,832K T T si o perioada de esantionare T = 0.1 sec.
5. Sa se calculeze transformata Z pentru functia
20.1 0.4 0.024 0.4
sf s
s s s s
Pentru o perioada de esantionare T = 1 sec.
48
4. Calculul transformatelor Z inverse
4.1 Scopul lucrarii
Lucrarea prezentata in continuare isi propune prezentarea principalelor metode prin care
se realizeaza revenirea in timp pentru o functie ( )f z cunoscuta. In cazul transformatei Z se
realizeaza o corespondenta biunivoca in ( )F z si *( )f t si prin urmare transformata Z inversa
permite ca pe baza lui ( )f z sa stabilim cu exactitate secventa ( ), 0,1,2..f KT K
4.2 Breviar al procedurilor de calcul
4.2.1 Metoda seriilor de puteri
Ideea metodei este foarte simpla si porneste de la mdul de definire a transformatei Z.
Pentru functia ( )f t , z – transformabila
0
( ) ( ) k
K
F z f kt z
Se procedeaza la dezvoltarea functiei ( )F z intr-o serie de puteri negative (principal
impartire a numaratorului la numitorul functiei ( )F z ) 1
0 1( ) n
nf z A A z A z
si identificand obtinem
( ) nf KT A
Ca exemplu propunem determinarea transformatei Z inverse pentru functia
2
1( )
1
at
at at
e zf z
z e z e
Efectuand impartirea numaratorului la numitorul lui ( )F z obtinem dezvoltarea
1 2 2 3 3( ) 1 1 1at at atf z e z e z e z
Prin urmare ( ) 1 KaTf KT e
4.2.2 Metoda fractiilor simple
Pentru cazul in care ( )F z este o fractie rationala a carui numitor admite numai radacini
simple reale se poate aplica urmatoarea procedura: se dezvolta in fractii simple rationale ( ) /F z z
( )f z A B C
z z a z b z c
si imediat
( )z z z
f z A B Cz a z b z c
Rezulta imediat
49
( ) KaT KbT KcTf KT Ae Be Ce
Ca exemplu ne propunem stabilirea transformatei Z inverse pentru:
1( )
1
at
at
e zf z
z z e
Obtinem
( ) 1 1
1 aT
f z
z z z e
si imediat
( )1 aT
z zF z
z z e
Elementar, imediat rezulta
( ) 1 aKTf KT e pentru K N
4.2.3 Metoda formulei de inversiune
Pentru functia ( )f z propusa pot fi determinate valorile ( )f KT cu ajutorul relatiei
1( )
1
at
at
z ef z
z z e
Conform formulei de inversiune propuse
111
( )2 1
at
K
at
z ef KT z dz
j z z e
Unde este un cerc care cuprinde polii lui ( )f z situati in 1z si aTz e .
Integrala de contur poate fi evaluate utilizand teorema reziduurilor 1( ) ( ) Kf KT rez F z z
Referitor la polii lui 1( ) nf z z . Introducand expresia lui ( )f z
1
.
1,
1( ) 1
1aT
aT
K aKT
aTref la
z z e
z ef KT rez z e
z z e
4.2.4 Exemple
1. Să se determine transformata Z inversă pentru semnalul:
1
1
aT
aT
z eX z
z z e
Folosim metoda descompunerii în fracţii elementare pentru z
zX.
50
aTaT
aT
ez
B
z
A
ezz
e
z
zX
11
1
Calculul elementar al coeficienţilor A şi B permite descompunerea:
aTez
z
z
zzX
1
Prin urmare:
,1,01 keTkx Tka
2. Să se rezolve problema precedentă (exemplul 6) prin metoda dezvoltării în serie
de puteri.
Procedăm la dezvoltarea în serie de puteri negative prin împărţire nelimitată şi
obţinem:
1 2 2
2
11 1
1
aT
aT aT
aT aT
e zX z e z e z
z e z e
Prin identificare obţinem imediat aTaT eTxeTxx 212,1,00
3. Să se rezolve problema propusă în exemplu 6 utilizând integrala de inversiune.
Aplicăm formula integrală:
x k ×T( ) =1
2 ×p × j×
z 1- e-aT( )z -1( ) × z - e-aT( )
× zk-1dz = Re zz × 1- e-aT( )z -1( ) × z - e-aT( )z=1
z=e-aT
å × zk-1 =1- e-akT
G
ò
Chestiuni de studiat.
1.Să se determine 4,3,2,1,0, kTkx pentru semnalul a cărui transformată Z este
232
zz
zzX
2. Să se determine forma generală pentru eşantioanele semnalului din problema
anterioara.
3. Să se determine 4,3,2,1,0, kTkx pentru semnalul a cărui transformată Z
este zzz
zzzX
5.05.1
1223
23
51
5. Funcţia de transfer în Z. Algebra funcţiilor de transfer în Z
5.1 Scopul lucrării.
Un important deziderat în analiza si sinteza sistemelor liniare discrete este stabilirea
comportătrii sistemului discret ca răspuns la aplicarea unor mărimi externe cu caracter
determinist. O metodă comodă în a determina astfel de evoluţii este metoda transformatei Z cu
ajutorul funcţiei de transfer în Z.
In aceasta lucrare vom reprezenta noţiunea de funcţie de transfer în Z şi modalitaţile de
echivalare a diverselor conexiuni ale subsistemelor în cadrul liniar.
5.2 Breviar de calcul
Structura elementara care permite stabilirea unui echivalent pentru configuratii mai
complexe este prezentata in figura 1.
( )H s ( )xt
( )x t *( )x t
*( )y t
( )y t
Figura 1.
( )x t - semnal de intrare
*( )x t - semnal de intrare
eşantionat
*( )x s - transformata
Laplace a
semnalului de
intrare eşantionat
( )y t - semnal de ieşire
*( )y t - semnal de ieşire eşantionat
*( )y s - transformata Laplace a semnalului de ieşire eşantionat
Dependenta intrare – iesire pentru o astfel de structura este:
sXsHsY
sau în transformată Z
zXzHzY
în care
( ) ( )H z Z H s
O structură foarte des întâlnită este cea care utilizează un extrapolator de ordin zero (vezi
figura2).
52
( )exH s ( )xt
( )x t *( )x t ( )y t( )H s
Figura 2.
Pentru o astfel de structură
zUzHzY
în care
1 ( )( ) (1 )
H sH z z Z
s
5.3 Mod de lucru
Stabilirea unei funcţii de transfer echivalentă pentru o configuraţie complexă se face din
aproape în aproape, folosind relaţia de bază anterior prezentată.
Procedura va fi prezentată pe un exemplu concret, şi anume structura reacţie inversă (vezi
figura 3).
1( )H s
( )xt
*( )x t( )y t
2( )H s
*( )t( )refy t
-
+
1y
Figura 3.
* * *
1
* * *
1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ref ref
y s H s s
t y t y t si t y t y t
Pe de alta parte
*
1 2 1 2
** *
1 1 2
** * *
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ref
y s H s y s H s H s s
y s H s H s s
s y s H s H s s
Deci
* *
*
1 2
1( ) ( )
1 ( ) ( )refs y s
H s H s
si prin urmare
53
1 2
1( ) ( )
1 ( )refz y z
H H z
Este important de a face urmatorea precizare:
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )H H z Z H s H s H z H z
Transformata Z a mărimii de ieşire se obţine în forma:
11
1 2
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 ( )ref
H zy z H z z y z
H H z
Exemplu de calcul.
Se consideră un sistem de reglare automată a cărui structură este prezentată în figura de
mai jos (vezi figura 4):
y*
( )refy t
-
+
1secT 0
1( )
STeH s
s
1
1( )
( 1)H s
s s
Figura 4.
Funcţia de transfer in Z pe legătura directă este:
1 11
2
( ) 1( ) (1 ) (1 )
( 1)
H sH z z Z z Z
s s s
Prin descompunere în fracţii elementare obţinem:
2 2 2
1 1 1 1
( 1) 1 ( 1) 1 T
Tz z zZ Z
s s s s s z z z e
In aceste condiţii
2 1 2
1 0.3678 0.2644( )
( 1) 1 1.3678 0.3678
z z z z zH z
z z z z e z z
Funcţia de transfer globală va fi:
0 2
( ) 0.3678 0.2644( )
1 ( ) 0.6322
H z zH z
H z z z
Pentru o referinţă de tip treaptă unitate 1( ) ( )refy t u t şi pentru care
( )1
ref
zy z
z
obţinem transformata Z a răspunsului indicial:
54
0 2
(0.3678 0.2644)( ) ( ) ( )
( 1)( 0.6322)ref
z zy z H z y z
z z z
Prin dezvoltare in serie de puteri negative obtinem:
1 2 3 4 5( ) 0.3678 1.4 1.4 1.147 ...y z z z z z z
si deci:
(0) 0; ( ) 0.3678; (2 ) 1; (3 ) 1.4; (4 ) 1.4 .y y T y T y T y T etc
5.4 Chestiuni de studiat.
P1. Să se determine funcţia de transfer in Z globală pentru structurile mai jos
prezentate:
Perioada de eşantionare este .sec1T iar funcţiile de transfer
1
1,
121
ssH
ssH
P2.Să se determine funcţia de transfer globală a sistemului cu eşantionare şi să
se determine răspunsul indicial al sistemului.
1( )H s
( )xt
T
y
2( )H s
( )refy t
-
+
T
Perioada de eşantionare este .sec1T iar funcţiile de transfer
1
1,
121
ssH
ssH
Să se determine funcţia de transfer globală a sistemului cu eşantionare şi să se
determine răspunsul indicial al sistemului.
1( )H s
( )xt
y
2( )H s
refy
-
+
T
55
6. Utilizarea MATLAB în analiza sistemelor cu eşantionare.
6.1 Scopul lucrării.
Scopul principal al acestei lucrări este de a prezenta facilităţile oferite de utilizarea
calculatorului în analiza şi sinteza sistemelor cu eşantionare. În acest sens în lucrare sunt
prezentate sintaxa principalelor instrucţiuni conţinute de MATLAB şi destinate analizei
sistemelor cu eşantionare.
6.2 Breviarul procedurilor de calcul.
În cadrul acestui subpunct vor fi prezentate sintaxa principalelor instrucţiuni conţinute în
MATLAB şi destinate analizei sistemelor cu eşantionare.
Pentru introducerea modelelor discrete pot fi utilizate următoarele instrucţiuni:
sys1 = tf(num,den,Ts)
sys2 = zpk(z,p,k,Ts)
sys3 = ss(a,b,c,d,Ts)
Astfel , pentru un sistem cu funcţia de transfer în Z de forma:
2
4 4
3 2 1 2
z zH z
z z z z
şi o perioadă de eşantionare .sec1T vom intruduce de la tastatură
>> num=[1 -4];
>> den=[1 3 2];
>> sys1=tf(num,den,1)
Transfer function:
z - 4
----------------
z^2 + 3 z + 2
Sampling time: 1
Pentru cel de al doilea mod de introducere a modelului introducem de la tastatură:
>> T=1;
>> sys2=zpk(4,[-1 -2],1,T)
Zero/pole/gain:
(z-4)
---------------
(z+1) (z+2)
Sampling time: 1
56
Cel de al treilea tip de introducere a modelului impune introducerea datelor la
nivel de stare. Procedăm astfel:
>> a=[-3 -1;2 0];
>> b=[2;0];
>> c=[0.5 -1];
>> d=0;
>> sys3=ss(a,b,c,d,1)
a =
x1 x2
x1 -3 -1
x2 2 0
b =
u1
x1 2
x2 0
c =
x1 x2
y1 0.5 -1
d =
u1
y1 0
Sampling time: 1
Discrete-time model.
Matlab permite conversia imediată continuu-discret sau discret-continuu. Astfel
instrucţiuneasysd =c2d(sys,T) realizează conversia sistemului continual sys în sistemul discret
sysd cu extrapolator de ordin zero şi perioadă de eşantionare T.
s
e Ts1
1
1
ss
Figura 1. Sistemul ce urmează a fi discretizat.
Pentru realizarea echivalentului discret introducem de la tastatură:
>> num=1;
57
>> den=[1 1 0];
>> T=1;
>> sysc=tf(num,den)
Transfer function:
1
-------
s^2 + s
>> sysd=c2d(sysc,T)
Transfer function:
0.3679 z + 0.2642
----------------------
z^2 - 1.368 z + 0.3679
Sampling time: 1
Pentru conversia discret-continuu utilizăm instrucţiunea d2c. Astfel pentru cazul anterior
prezentat introducem de la tastatură:
>> sys=d2c(sysd)
Transfer function:
-6.791e-016s+1
--------------------------------
s^2 + s + 2.22e-015
Pentru evaluarea şi plotarea răspunsului indicial pentru un sistem discret putem utiliza
următoarele instrucţiuni:
DSTEP(A,B,C,D,IU) trasează răspunsul indicial pentru sistemul liniar discret
x[n+1] = Ax[n] + Bu[n]
y[n] = Cx[n] + Du[n]
pentru o treaptă aplicată pe intrarea IU. Numărul de puncte de evaluare se alege automat.
DSTEP(NUM,DEN) trasează răspunsul indicialpentru sistemul liniar discret
caracterizat prin funcţia de transfer în Z G(z) = NUM(z)/DEN(z)
58
DSTEP(A,B,C,D,IU,N) sau DSTEP(NUM,DEN,N) trasează răspunsul indicial
pentru N puncte impuse.
[Y,X] = DSTEP(A,B,C,D,...)
[Y,X] = DSTEP(NUM,DEN,...)
întoarce valorile răspunsului pe ieşire şi stare.
Dacă dorim răspunsul indicial pentru sistemul caracterizat de funcţia de transfer în Z
37.037.1
26.037.02
zz
zzH
introducem de la tastatură
>> num=[0.37 0.26];
>> den=[1 -1.37 0.37];
>> dstep(num,den,50)
Obţinem graficul prezentat în figura 2
Figura 2. Răspuns indicial.
Pentru evaluarea şi plotarea evoluţiei pentru intrări oricare se utilizează DLSIM.
DLSIM(A,B,C,D,U) trasează răspunsul în timp pentru sistemul discret
x[n+1] = Ax[n] + Bu[n]
y[n] = Cx[n] + Du[n]
0 10 20 30 40 50 0
10
20
30
40
50 Step Response
Time (sec)
Amplitude
59
pentru secvenţa de intrare U. Matricea U trebui să aibă atâtea coloane câte intrări avem.
Fiecare linie din U corespunde unei noi valori de timp.
DLSIM(A,B,C,D,U,X0) utilizată pentru cazul existenţei unor valori iniţiale.
DLSIM(NUM,DEN,U) trasează răspunsul în timp pentru un sistem discret caracterizat prin
funcţia de transfer în Z
G(z) = NUM(z)/DEN(z)
[Y,X] = DLSIM(A,B,C,D,U)
[Y,X] = DLSIM(NUM,DEN,U)
întoarce valorile în ieşire şi stare.
6.3 Mod de lucru.
Se consideră un sistem de reglare automată a cărui schemă este prezentată în figura de
mai jos (vezi figura 1).
s
e Ts1
1
1
ss
tyref ty
Perioada de eşantionare este .sec1T Se cere să se determine răspunsul indicial al
sistemului prezentat.
Pentru soluţionarea problemei propuse înscriem subrutina script ex1.
% Exemplu 1
% Introducem datele sistemului continual.
numc=1;
denc=[1 1 0];
sysc=tf(numc,denc)
T=1;
% Se determina functia de transfer in Z pentru sistemul
% in circuit deschis.
sysd=c2d(sysc,T)
% Stabilim functia de transfer in Z pentru sistemul in
% circuit inchis.
sys0=feedback(sysd,1)
% Stabilim raspunsul indicial
step(sys0)
În urma rulării subrutinei ex1 obţinem următoarele rezultate:
Transfer function:
1
-------
s^2 + s
60
Transfer function:
0.3679 z + 0.2642
----------------------------
z^2 - 1.368 z + 0.3679
Sampling time: 1
Transfer function:
0.3679 z + 0.2642
----------------------
z^2 - z + 0.6321
Sampling time: 1
Răspunsul indicial al sistemului în circuit închis este prezentat în figura 3.
Figura 3. Răspunsul indicial al sistemului în circuit închis.
6.4 Chestiuni de studiat.
1) Se consideră sistemul de reglare automată cu eşantionare având structura prezentată în
figura 4.
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
61
s
e Ts1 3
12
ss
srefy
y
T
Figura 4. Schema bloc a sistemului 4.1.
Pentru sec1T şi sec2T să se determine
Funcţia de transfer în Z în circuit deschis
Funcţia de transfer în Z în circuit închis
Răspunsul indicial al sistemului considerat.
2) Se consideră sistemul de reglare automată cu eşantionare prezentat în figura 5.
s
e Ts1refy
y
sec1T )3(1 sss
K
Figura 5. Schema bloc a sistemului 4.2
Pentru 2K .şi 5K să se determine:
Funcţia de transfer în Z în circuit deschis
Funcţia de transfer în Z în circuit închis
Răspunsul indicial al sistemului considerat.
3) Se consideră sistemul de reglare automată cu eşantionare prezentat în figura 6
s
e Ts1refy
y
sec1T )3(1 sss
K
5.0
2.0
z
z
sec1T
Figura 6. Schema bloc a sistemului 4.3
Pentru 2K .şi 5K să se determine
Funcţia de transfer în Z în circuit deschis
Funcţia de transfer în Z în circuit închis
Răspunsul indicial al sistemului considerat.
62
7. Utilizarea SIMULINK pentru analiza sistemelor discrete
7.1 Scopul lucrării.
Pachetul MATLAB-SIMULINK conţine în librăria obiectelor orientate în simularea
sistemelor dinamice o serie de blocuri necesare simulării sistemelor discrete. În cadrul acestei
lucrări vom prezenta câteva blocuri necesare studiului sistemelor cu eşantionare precum şi
parametrizarea acestora. Utilizând aceste blocuri vom prezenta o serie de exemple de simulare a
sistemelor discrete.
Facem remarca că vom considera elementele de bază în programarea SIMULINK
cunoscute din aplicaţiile privind simularea sistemelor continuale.
7.2 Breviar teoretic.
În cadrul acestui breviar ne vom rezuma la prezentarea principalelor blocuri conţinute în
biblioteca SIMULINK necesare simulării sistemelor cu eşantionare. Blocurile menţionate pot fi
accesate din Simulink/Discrete.
Poate cel mai important bloc utilizat pentru simularea sistemelor cu
eşantionare este extrapolatorul de ordin zero
( Zero-Order Hold ) cu pictograma prezentată în figura1.
Figura 1. Fereastra de setare a blocului Zero-Order Hold.
Singurul parametru ce trebuie setat este perioada de eşantionare.
Un al doilea bloc în ordinul importanţei este blocul care permite
simularea funcţiilor de transfer în Z (Discrete Transfer Fcn)
având pictograma prezentată în figura alăturată.
63
Figura 2. Setarea parametilorblocului Discrete Transfer Fcn.
În figura 2 este prezentată fereastra de dialog pentru setarea parametrilor blocului
Discrete Transfer Fcn. După cum putem urmări direct este necesar să se introducă numărătorul
şi numitorul funcţiei de transfer în Z precum şi perioada de eşantionare (Sample Time).
7.2.1 Mod de lucru.
Vom prezenta în continuare modul de analiză utilizând SIMULINK pe o problemă
concretă analizată anterior (vezi lucrarea 5) şi soluţionată cu instrucţiuni introduse de la tastatură.
Este vorba de un sistem de reglare automată a cărui schemă este prezentată în figura 3.
Analiza impune determinarea răspunsului indicial pentru o perioadă de eşantionare T=1sec.
s
e Ts1
1
1
ss
tyref ty
Figura 3. Schema bloc a sistemului analizat.
Pentru început vom face simularea cu ajutorul funcţiilor de transfer în Z. Am stabilit în
lucrarea mai sus amintită (vezi lucrarea 5) funcţia de transfer în circuit deschis:
3678.03678.1
2644.03678.02
zz
zzHb
Pe baza acestei funcţii de transfer realizăm modelul de simulare prezentat în figura 4.
64
Figura 4. Schema de simulare.
Prin simulare obţinem graficul din figura 5.
Figura 5. Graficul răspunsului indicial.
De fapt graficul obţinut reprezintă extrapolarea printr-un extrapolator de ordin zero a
răspunsului cert obţinut cu ajutorul transformatei Z .
Evoluţia reală a sistemului dinamic analizat, care să ofere informaţii certe şi între tacte de
eşantionare, poate fi obţinută pe schema de simulare prezentată în figura 6.
Figura 6. Simularea la nivel continual.
Evoluţia reală a răspunsului indicial este prezentată în figura 7.
Step Scope
0.3678z+0.2644
z -1.3678z+0.36782
Discrete
Transfer Fcn
Zero-Order
Hold
1
s +s2
Transfer FcnStep Scope
65
Figura 7. Curba reală de răspuns indicial.
7.2.2 Chestiuni de studiat.
P1. Se consideră sistemul de reglare automată prezentat în figura 8:
s
e Ts1 3
12
ss
srefy
y
T
Figura 8. Schema considerată pentru P1
Să se realizeze schema de simulare SIMULINK pentru sistemul considerat.
Pentru sec2T şi sec5T să se vizualizezerăspunsul indicial al sistemului
considerat.
P2. Se consideră sistemul de reglare automată prezentat în figura 9:
s
e Ts1refy
y
sec1T )3(1 sss
K
Figura 9. Schema considerată pentru P2
Să se realizeze schema de simulare SIMULINK pentru sistemul considerat.
66
Pentru 2K şi 5K să se vizualizeze răspunsul indicial al sistemului
considerat.
P3. Se consideră sistemul de reglare automată prezentat în figura 10:
s
e Ts1refy
y
sec1T )3(1 sss
K
5.0
2.0
z
z
sec1T
Figura 10. Schema considerată pentru P3
Să se realizeze schema de simulare SIMULINK pentru sistemul considerat.
Pentru 2K şi 5K să se vizualizeze răspunsul indicial al sistemului
considerat.
67
8. Analiza stabilitatii sistemelor liniare cu esantionare
8.1 Scopul lucrarii
In lucrare vor fi prezentate principalele metode si modul lor de aplicare pentru analiza
stabilitatii sistemelor dinamice liniare cu esantionare.
8.2 Breviarul procedurilor de calcul
Analiza se va face pe un sistem de reglare cu o singura marime de intrare caracterizat
printr-o functie de transfer in circuit inchis 0
( )( )
( )
P zH z
Q z fractie rationala in z. Conditia ca
sistemul in circuit inchis sa fie intern asymptotic stabil este ca polii lui 0 ( )H z sa fie situati in
interiorul cercului de raza unitate deci ( )i iz R z o sa asigure 1 1,..iz i n .
8.2.1 Criteriul Schur – Cohn
Daca ( )Q z (ecuatia caracteristica) este de forma: 1
1 1 0( ) n n
n nQ z a z a z a z a
unde 0 1, , , na a a sunt coeficienti reali sau complexi criteriul Schur – Cohn poate fi formulat in
felul urmator:
Un sistem cu esantionare este stabil daca si numai daca succesiunea determinatilor Schur
– Cohn 1 2, , , n are n schimbari de semn. Determinantul Schur – Cohn K este definit
astfel
0 1 1
1 0 2
2 1 0
1 1 1 0
0 1 1
1 0 2
2 1 3
1 2
0 0 0
0 0 0
0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
n n n K
n n K
K K K n
K
n K
n n K
n n n K
n K n K n n
a a a a
a a a a
a a a
a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
68
unde 1,2,K n iar Ka este conjugatul complex a lui Ka . Daca coeficientii polinomului sunt
reali atunci determinantii sunt simetrici.
Daca nu este satisfacuta conditia de alternanta de semn, cel putin o radacina este in afara
cercului de raza unitate si sistemul este instabil.
Spre exemplificarea aplicarii criteriului consideram sistemul a carui ecuatie caracteristica
este 2( ) 2 3 2 0Q z z z
Coeficientii ecuatiei caracteristice sunt 2 1 02, 3, 2a a a iar determinantii Schur -
Cohn vor fi
0 2
1
2 0
0 0 1
1 0 2
2
2 0 1
2 0
2 20
2 2
0 2 0 2 3
0 3 2 0 2144
0 2 0 2 3
0 3 2 0 2n
a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a
Succesiunea determinantilor Schur – Cohn va fi 1, 0, -144 si admite o singura schimbare
de semn. Cum conform criteriului, pentru stabilitate sunt necesare doua schimbari de semn
rezulta ca sistemul este instabil.
Utilizarea unei schimbari de variabila av b
zcv d
cu v o noua variabila complexa, pentru
o convenabila alegere pentru coeficientii a, b, c si d permit transformarea cercului de raza unitate
din planul z in semiplanul stang al variabilei v.
8.2.2 Utilizarea transformatei W
Pentru cazul 1, 1, 1a b c d obtinem transformate W in forma 1
1
Wz
W
.
Schimbarea de variabila propusa transforma interiorul cercului de raza unitate din planul
z in semiplanul stang al variabilei W. Conditia de locatie in interiorul cercului de raza unitate se
modifica in conditia de locatie in semiplanul stang al variabilei W ce poate fi stabilita cu ajutorul
criteriului Hurwitz.
Spre exemplu, consideram un sistem de reglare pentru care ecuatia caracteristica este 3 2( ) 5 2 3 1 0Q z z z z
Facem schimbarea de variabila 1
1
Wz
W
si obtinem ecuatia transformata
3 2 3 3 2( ) 5(1 ) 2(1 ) (1 ) 3(1 ) (1 ) 5 13 11 11 0Q z W W W W W W W W
Determinantul Hurwitz asociat ecuatiei va fi
69
3
1
13 11 0
5 11 0
0 13 11
13 0
H
H
2
13 1188 0
5 11H
3
13 11 0
5 11 0 968 0
0 13 11
H
Prin urmare conform criteriului Hurwitz sistemul analizat este stabil.
8.2.3 Utilizarea transformatei r
Daca in relatia generala facem 1, 1 1a b c si d obtinem transformata r
1
1
rz
r
Ca si transformata W, transformata r transforma interiorul cercului de raza unitate din
planul z in semiplanul stang al variabilei r. Conditia de stabilitate prin care urmaream ca
radacinile ecuatiei caracteristice sa fie situate in interiorul cercului de raza unitate din planul z se
transforma in conditia de apartenenta la semiplanul stang al variabilei r. In continuare analiza va
fi facuta cu ajutorul criteriului Hurwitz.
Ca exemplu consideram un sistem de reglare cu esantionare pentru care ecuatia
caracteristica este 3 2( ) 6 8 1 0Q z z z z
Aplicand transformata r
1
1
rz
r
obtinem
3 2 2 3 3 2( ) 1 6 1 1 8 1 1 1 14 4 14 4 0Q r r r r r r r r r r
Determinantul Hurwitz va fi
3
1
2
3
4 4 0
14 14 0
0 4 4
4 0
4 40
14 14
0
H
H
H
H
Prin urmare sistemul analizat este instabil.
70
8.3 Chestiuni de studiat
1. Sa se determine valorile lui K pentru care sistemul de reglare discret avand functia de transfer
in circuit inchis
0
( ) ( 0,05)( 1,065)( ) ( )
1 ( ) ( 1)( 0,135)( 0,0185)
H z K z zH z cu H z
H z z z z
este stabil.
2. Sa se determine pentru ce valori ale coeficientului de amplificare K sistemul in circuit inchis
0
( ) ( 0,983)( 0,86)( ) ( )
1 ( ) ( 1)( 0,997)( 0,51)
H z K z zH z cu H z
H z z z z
este stabil.
3. Determinate pentru ce valori ale coeficientului de amplificare K sistemul de reglare automata
cu esantionare avand functia de transfer in circuit inchis
4.
0
( ) ( 0,934)( 0,922)( ) ( )
1 ( ) ( 1)( 1,0067)( 0,51)
H z K z zH z cu H z
H z z z z
este stabil.
5. Sa se construiasca domeniul de stabilitate in coordinate aT si K
a pentru un sistem de
reglare automata discret a carui structura este prezentata in figura de mai jos.
1 STe
s
+
T-
2 ( )
K
s s a
6. Sa se construiasca domeniul de stabilitate si instabilitate in coordinate aT si K
a pentru
sistemul cu esantionare din figura de mai jos.
1 STe
s
+
T-( )( 0,1)
K
s a s
71
9. Metode de liniarizare pentru sisteme dinamice neliniare
9.1 Breviar de calcul
In lucrare este prezentată o procedură relativ simplă de aproximare a comportării dinamice a unui
sistem dinamic neliniar printr-un sistem liniar. Procedura poartă numele de liniarizare în jurul unei soluţii
de echilibru si va fi prezentată în cele ce urmează.
Se consideră un sistem dinamic neliniar caracterizat în forma:
uxgty
uxftx
,
, (1)
Cu soluţia de echilibru ( x0, u0) astfel ca:
0,
0,
00
00
uxg
uxf (2)
Dezvoltăm funcţiile neliniare f şi g în serie Taylor în jurul soluţiei ( x0, u0) si reţinem din dezvoltare
primii doi termeni. In acest mod sistemul (1) poate fi caracterizat aproximativ în forma :
0000
0000
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
uuu
gxx
x
guxgty
uuu
fxx
x
fuxftx
uuxx
uuxx
uuxx
uuxx
(3)
Introducem următoarele notaţii:
000 ,, ytytututxtxt (4)
Introducând notaţiile (4) în (3) şi ţinând cont de condiţiile de echilibru nominal (2) obţinem:
tu
gt
x
gt
tu
ft
x
f
dt
xd
uuxx
uuxx
uuxx
uuxx
o
0
0
0
0
0
00
0
(5)
72
Dacă notăm
0 0 0 0
0 0 0 00
, , ,x x x x x x x xu u u u u u u u
f f g gA B C D
x u x u
obţinem sistemul dinamic liniar de forma
Sistemul liniar (7) poate fi rezolvat simplu iar soluţia aproximativă finală va fi de forma
0
0
ytty
xttx
(8)
9.2 Mod de lucru
In continuare vom prezenta modul de aplicare a metodei de liniarizare propusă pe o
instalaţie relativ simplă. Este vorba de un rezervor cilindric alimentat in partea superioară cu un
debit masic tqi iar fluidul din rezervor este evacuat liber în atmosferă cu un debit tqe .
Suprafaţa rezervorului este constantă A [m2], iar înălţimea fluidului în rezervor este h(t)
[m]. Fluidul este evacuat în atmosferă printr-o mică conductă cu aria secţiunii eA [m2]. Notăm de
asemeni 2
1 / mNp presiunea de fluid la baza rezervorului şi 2
2 / mNp presiunea fluidului la
ieşirea din conducta de evacuare.
tqi
th
tqe
1p 2p
Fig. 1. Schema de principiu a instalaţiei tehnologice.
t A t B t
t C t D t
(7)
73
Dacă notăm KghAm cantitatea de fluid din rezervor , o primă condiţie de
echilibru poate fi remarcată în forma:
i e
dmq t q t
dt (9)
sau imediat
dt
dm=
dt
hAd =
dt
dhA
dt
dhA
(10)
şi cum fluidul este considerat incompresibil
dt
dm=
dt
dhA (11)
Vom nota cu ev viteza de evacuare a fluidului iar debitul de evacuare va fi :
sec/KgvAq eee (12)
Bilanţul energetic într-o unitate de volum la baza rezervorului (q = q1 = q2) in care q1 si q2
sunt debitele de intrare si ieşire în unitatea de volum la baza rezervorului va fi:
2121
2
2
2
1212
0 ppq
zzgqvvq
uuq
(13)
u1 = u2 energia fluidului la intrarera si ieşirea celulei considerate
z1 = z2 inalţimea fluidului în secţiunea 1 şi 2.
1 2v v
hgphgpppvv aae 222
212
(14)
Prin urmare
hgAqdt
dhA ei 2 (15)
Definim “rezistenţa hidraulică” ca raportul dintre variaţia nivelului din rezervor şi
variaţia debitului de fluid evacuat
hgA
h
vA
hhR
eee
2 (16)
De asemeni definim “capacitatea hidraulică” a rezervorului ca raport între variaţia
cantităţii de lichid înmagazinat supra variaţia de nivel:
Ah
hAC
(17)
74
Astfel modelul matematic al instalaţiei considerate devine
1 1i
dh th t q t
dt R h C C
(18)
Modelul corespunde unei ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinal 1. Pe un astfel de model,
dinamica obiectului este dificil de analizat datorita faptului ca nu ştim să obţinem o soluţie
generală pentru ecuaţia diferenţială considerată.
Din acest motiv, problema se soluţionează pe baza unei aproximări obţinută prin
liniarizare în vecinatatea unui punct de echilibru nominal. Astfel, pentru cazul analizat,
considerăm un punct de echilibru caracterizat printr-un debit de intrare constant qi0 = constant ce
asigura un nivel ho = constant in rezervor.
0 0 0
0
1 1i o o ih q sau h R h q
R h C C (19)
Considerăm că faţă de situaţia de echilibru apare o perturbaţie a debitului de alimentare.
0i iq t q qi t (20)
care în ipoteza admisă a unui caracter conservativ pentru sistemul neliniar analizat generează o
variaţie a nivelului în forma:
0ih t h h t (21)
Ţinand cont de ecuaţia (18)
0
1(
o
i i
d h hf h q q t
dt C
(22)
unde:
hgA
Ah
Ah
gAh
ChRhf ee
2121
(23)
Dezvoltăm hf în serie Taylor în jurul lui h0 si din dezvoltare reţinem primii termeni
hh
hfhfhf
hh
0
0 (24)
Cu aceasta aproximare, caracterizarea sistemului se face prin ecuaţia:
00
1 1h h
f hd hf h h qio qi t
dt h C C
(25)
Din condiţia de echilibru în condiţii nominale
0
1f h qio
C
Ecuaţia ce guvernează sistemul devine:
75
tq
Ath
hg
g
A
A
dt
hdi
e
1
2 0
(26)
De data asta, dinamica sistemului în variaţii este caracterizată printr-o ecuaţie diferenţială
liniară. Prin soluţionare obţinem th şi h(t) = h0 + th .
Pe baza celor doua modele matematice prezentate obţinem cu usurinţă schemele de
simulare pentru comportarea instalaţiei prezentate. Considerăm că procesul este caracterizat de
următorii parametri tehnologici:
mhmAmA
mg
mKg
Kgqq
e
ei
5;05.0;5
sec/10
/600
sec/300
0
22
2
3
00
Pentru introducerea datelor si calculul coeficienţilor care intră în structura ecuaţiilor
diferenţiale realizăm un fişier script:
qi0=300;
ro=600;
g=10;
A=5;
Ae=0.05;
h0=5;
K1=(Ae/A)*sqrt(g/(2*h0));
K2=1/(ro*A);
K3=(Ae/A)*sqrt(2*g);
In figura 2 este prezentată schema de simulare a sistemului liniarizat
Fig.2 Schema de simulare a procesului liniarizat.
t1
To Workspace1
y1
To Workspace Step
1 s
Integrator
K1
Gain1
K2
Gain
5
Constant
Clock
76
Schema de simulare a sistemului neliniar este prezentata in figura 3.
În primul caz considerăm o variaţie a debitului de intrare de 10% din debitul nominal.
Prin simulare obtinem variatia in timp a nivelului prezentata in figura 4
L
O a doua simulare o realizăm pentru o variaţie a mărimii de intrare de 50% faţă de debitul
de intrare nominal. Variaţia nivelului este prezentată în figura 5.
0 100 200 300 400 500 6005
5.5
6
6.5
timp
niv
el
Fig 4. Raspunsul sistemului liniarizat si
neliniar pentru o variatie de 10%.
Sistem liniarizat
Sistem neliniar.
Fig 3 Schema de simulare a procesului neliniar.
t2
To Workspace1
y2
To Workspace
sqrt
Math Function
1 s
Integrator
K3
Gain1
-K-
Gain
450
Constant
Clock
77
Fig. 5
O simplă analiză a simulărilor efectuate ne arată că o bună aproximare se obţine pentru
cazul în care regimul perturbat este mai apropiat în raport cu regimul nominal.
9.3 Chestiuni de studiat
1. Pentru instalaţia considerată să se scrie un fişier funcţie care să permită stabilirea dependenţei
hi0 in raport cu debitul de intrare qi0 pentru parametrii gAe ,, fixaţi.Utilizând acest fişier să se
traseze graficul dependenţei 00 ii qfh ℎ = 𝜋𝑟2
2. Să se refacă analiza prezentată în cadrul lucrării, pentru o instalaţie similară la care eA =
0,03m2.
0 100 200 300 400 500 6005
6
7
8
9
10
11
12
timp
niv
el
Fig 5. Raspunsul sistemului liniarizat
si neliniar pentru o variatie de 50%.
Sistem liniarizat
Sistem neliniar
78
10. Analiza planară a sistemelor neliniare
10.1 Scopul lucrării.
Obiectivul principal al acestei lucrări este de a prezenta principalele probleme legate de
analiza planară a sistemelor neliniare. Vor fi prezentate metode legate de trasarea traiectoriilor de
stare pentru sisteme neliniare, proceduri de stabilire a punctelor de echilibru şi de stabilire a
caracterului acestor puncte obţinute prin liniarizarea în jurul acestor puncte.
10.2 Scurt breviar teoretic.
Se consideră un sistem dinamic neliniar caracterizat la nivel de stare prin sistemul de
ecuaţii diferenţiale:
2122
2111
,
,
xxftx
xxftx
.
Punctele de echilibru se obţin la anularea simultană 0,0 21 xx deci prin soluţionarea
sistemului de ecuaţii algebrice:
0,
0,
212
211
ee
ee
xxf
xxf
Sistemul liniarizat în jurul unui punct de echilibru va fi de forma:
t
txxJ
t
tee
2
1
21
2
1 ,
unde ee xtxtxtxt 222111 ,
şi
ee xxee
x
f
x
f
x
f
x
f
xxJ21 ,
2
2
1
2
2
1
1
1
21 ,
Caracterul punctelor singulare este dat de valorile proprii ale ecuaţiei caracteristice
ee xxJIS 21 ,det
Caracterizarea punctelor singulare se va face exact ca în cazul sistemelor liniare de
ordinul doi.
Prin soluţionarea sistemului de ecuaţii diferenţiale obţinem soluţiile
201022201011 ,,,,, xxtxtxxxtxtx . Prin eliminarea timpului obţinem traiectoria de stare
0,, 21 cxxg , unde c este o constantă dependentă de condiţiile iniţiale. Trasarea traiectoriilor
79
de stare pentru mai multe condiţii iniţiale formează portretul de stare (planul stărilor sau planul
fazelor).
Locul geometric pentru care 01 x sau 02 x sunt curbe definite nulcline.
Locul geometric al punctelor pentru care
.1
2 constdx
dx
poartă numele de izocline.
10.3 Mod de lucru.
În continuare vom prezenta modalitate stabilirii câtorva elemente specifice analizei
planare. Considerăm sistemul dinamic
2
122
21
2
11
xxtx
xxxtx
Punctele de echilibru se obţin soluţionând sistemul algebric:
0
0
2
12
21
2
1
xx
xxx
Obţinem punctele de echilibru 0,0 21 ee xxO
şi 1,1 21 ee xxA
. Iacobianul se
obţine în forma:
12
2,
1
121
2
2
1
2
2
1
1
1
21x
xxx
x
f
x
f
x
f
x
f
xxJ
Pentru punctul 0,0O
10
000,0J
şi
1,0110
00,0det 21
JI
.
Singularitatea este de tip nod stabil.
Pentru 1,1A iacobianul este
12
111,1J
şi
jJI
2,1
2 112
111,1det
.
Singularitatea este de tip centru.
80
Pentru trasarea traiectoriilor de stare în lucrare am utilizat subrutina matlab pplane6.m În
figura 1 este prezentat portretul de stare pentru sistemul analizat
Figura 1. Portretul de stare.
Pentru a determina nulclinele soluţionăm:
00 21
2
11 xxxx cu soluţiile 211 ,0 xxx .
00 2
122 xxx şi deci 2
12 xx (parabolă)
x ' = x2 - x y
y ' = - y + x2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
81
Figura 2. Nulclinele asociate sistemului analizat.
În figura 2 sunt prezentate nulclinele sistemului analizat.
Pentru trasarea izoclinelor vom ţine cont de modul de definire a acestora:
.,
,
211
212
1
2 constxxf
xxf
dx
dx
sau în cazul considerat
cxxxcxcxcxxxcxx
xxx
12
2
1
2
1221
2
12
12
21
2
1 1
şi prin urmare
cx
xcx
1
2
12
1
Pentru 1c ecuaţia izoclinelor va fi 11 x sau 02 x . În figura 3 sunt prezentate
izoclinele pentru 1c .
x ' = x2 - x y
y ' = - y + x2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
82
1x
2x
Figura 3. Izoclinele pentru c=1.
10.4 Chestiuni de studiat.
Se consideră sistemul dinamic neliniar caracterizat pe stare sub forma :
3
21
xxy
yxx
1. Să se determine punctele singulare.
2. Să se aprecieze caracterul punctelor singulare.
3. Utilizând pplane să se traseze traiectoriile de stare.
83
11. Evaluarea stabilităţii regimurilor periodice în sisteme neliniare.
11.1 Breviar teoretic.
În general un regim periodic se consideră stabil dacă este îndeplinită condiţia de
stabilitate asimptotică (în mic) în raport cu un regim periodic de forma 0sin ,Tx t A t adică
txttxtx Ttt
limlim
sau
lim 0t
t
unde t reprezintă o mică variaţie în jurul lui Tx t .
In urma modului de definire impus, problema evaluării regimurilor poate fi redusă la
studiul stabilitaţii soluţiei de echilibru a unui sistem de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi
periodici. Din păcate în perioada actuală lipsesc metode care să permită evaluarea efectivă a
stabilitaţii soluţiei triviale pentru sisteme cu coeficienţi periodici. Din acest motiv, în majoritatea
cazurilor pentru evaluarea existenţei unor regimuri autooscilante se apelează la o serie de metode
aproximative.
Prezentăm în continuare o astfel de metodă bazată pe metoda funcţiei de descriere.
Considerăm o structură de sistem de reglare automată neliniar, decompozabil într-un bloc
liniar cu funcţia de transfer sH şi un bloc neliniar caracterizat prin funcţia de descriere
AjN ,
.
0refy ty tx tu sH AjN ,
În acest mod soluţia periodica tAtxT sin este stabilă dacă punctual de pe
inversa funcţiei de descriere cu semn schimbat pentru A A cu 0A este în interiorul
hodografuluişsi pentru 0A în exteriorul hodografului.
Prin urmare, practic este necesar să evaluăm intersecţia dintre hodograful părţii liniare si
inversa funcţiei de descriere cu semn schimbat. Pe hodograf vom stabili pulsaţia de oscilaţie
iar pe inversa funcţiei de descriere cu semn schimbat stabilim amplitudinea de oscilaţie.
84
11.2 Mod de lucru.
In continuare vom prezenta o aplicaţie referitoare la utilizarea metodei funcţiei de
descriere pentru caracterizarea regimurilor de autooscilaţii ale unui sistem de reglare automată
neliniar. Se consideră cazul unui sistem decompozabil într-un bloc liniar si unul neliniar
caracterizat printr-o neliniaritate fără memorie.
Schema bloc a sistemului este prezentată în figura 1.
B
B
C
C
111
1
431
2
sTsTsTs
sTKsH
0refy
Fig.1 Schema bloc a sistemului analizat.
Partea liniară este caracterizată de funcţia de transfer
2
1 3 4
1
1 1 1
K T sH s
s T s T s T s
în care 1
1 2 3 42sec, 1sec, 0,5sec, 0,1sec, 50secT T T T K
Blocul neliniar este un amplificator cu saturaţie cu B=2, C=2. Este o neliniaritate fără
memorie cu carcateristică simetrică (v. fig.2)
B
BC
C
Figura 2. Neliniaritatea amplificator cu saturaţie.
Problema propusă este de a aprecia dacă sistemul prezintă regimuri de funcţionare
autooscilante si dacă există un asemenea regim să se determine amplitudinea şi pulsaţia de
autooscilaţie.
Soluţionarea problemei propuse implică stabilirea unei intersecţii dintre hodograful
funcţiei de transfer H j cu inversul funcţiei de descriere cu semn schimbat (conform
breviarului de calcul). Prin urmare dacă ANjANAN IR
cu 0AN I existenţa unor
oscilaţii implică
85
1H
N A
unde am considerat jH j H e
Pentru soluţionare, s-a folosit utilitarul MATLAB. Astfel pentru introducerea valorilor
parametrilor si structurarea sistemică a obiectului liniar s-a folosit următorul set de instrucţiuni:
>> K=50;T1=2;T2=1;T3=0.5;T4=0.1;
>> num=K*[T2 1];
>> den=conv(conv([1 0],[T1 1]),conv([T3 1],[T4 1]));
>> sys=tf(num,den)
Figura 3. Hodograful părţii liniare.
Hodograful părţii liniare trebuie să aibă o reprezentare cât mai clară în zona pulsaţiilor
care asigură intersecţia graficului cu axa reală. Prin testări successive am stabilit ca domeniu
interesant de variaţie a pulsaţiilor 3 5 . Setul de instrucţiuni pentru trasarea hodografului va
fi:
w=3:0.1:5;
nyquist(sys,w)
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
System: sys
Real: -2.99
Imag: 0.00131
Frequency (rad/sec): -3.83
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
86
Figura 4.Graficul funcţiei de descriere.
Hodograful sistemului este prezentat in figura 3. Fixăm mouse-ul pe intersecţia dintre
hodograf si axa reală şi cu “clik” obţinem valorile care asigură intersecţia cu axa reală
;
83.3,0Im,99.2Re HH
Blocul neliniar este o caracteristică de tip amplificator cu saturaţie (v. fig.2) cu parametrii
B = 2, C = 2.
0
1arcsin2
2
2
__
AN
A
C
A
C
A
C
C
BAN
ANjANAN
I
R
IR
Pentru evaluarea valorilor funcţiei de descriere şi a valorilor inversului funcţiei de
descriere cu semn schimbat realizăm următoarea substrutină de evaluare (funcţia “jojo”)
function [y,p]=jojo(x)
p=(2/pi)*(asin(2./x)+(2./x).*sqrt(1-(2.^2)./(x.^2)));
y=-1./p;
Pe baza datelor obţinute pentru variaţia 2 20A obţinem graficul funcţiei de descriere
prezentat în figura 4.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Amplitudinea intrarii (A)
Functia d
e d
escriere
.
Functia de descriere.
87
Graficul inversului funcţiei de descriere cu semn schimbat este prezentat in figura 5.
Figura 5. Graficul inversei funcţiei de descriere.
Urmează să determinăm intersecţia dintre hodograf si graficul funcţiei de descriere cu
semn schimbat. In cazul analizat, graficul funcţiei de descriere cu semn schimbat se reduce la o
dreaptă suprapusă axei reale. Trasarea acestei drepte nu ridică nici un fel de problemă dar este
ineficientă deoarece la punctual eventualei intersecţii nu cunosc valorile A pentru care cele două
curbe se intersectează. In teoria clasică se recomandă utilizarea unor şabloane asociate graficului
funcţiei de descriere cu semn schimbat marcată în valori ale amplitudinii A şi care se suprapun
hodografului.
Actualmente, evităm aceastş metodă grafo-analitică, şi soluţionăm problema evaluării
amplitudinii A soluţionând direct ecuaţia
1.H
N A Inscriem subrutina “bobo”
function y=bobo(x)
p=(2/pi)*(asin(2./x)+(2./x).*sqrt(1-(2.^2)./(x.^2)));
y=1./p-2.99;
şi soluţionăm ecuaţia cu:
fzero(‘bobo’,6)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Inversul functiei de descriere
cu semn schimbat.
Amplitudinea intrarii (A).
Invers
ul fu
nctiei de d
escriere
cu s
em
n s
chim
bat
88
Astfel obţinem A=7.52.
Pentru a verifica rezultatele obţinute, realizăm o schemă de simulare a instalaţie analizat
Schema de simulare va fi realizata prin metode cunoscute. Blocul liniar a fost descompus
pentru a permite initializarea sistemului.
11.3 Chestiuni de studiat.
1. Se va reface analiza prezentată în cadrul punctului “Mod de lucru” pentru o neliniaritate uşor
modificată în sensul B = 3, C = 2.
2. Se consideră acelaşi sistem, la care blocul neliniar este un releu tripoziţional ideal (vezi figura 6).
B
B
C
C
Figura 6. Neliniaritatea de tip releu tripoziţional ideal.
Pentru C = 0,5, B = 2 să se evalueze existenţa unor regimuri autooscilante şi să se determine
parametrii de autooscilaţie.
2. Să se refacă analiza prezentată pentru o aceeaşi parte liniară în cazul în care neliniaritatea este
un releu ideal tripoziţional cu caracteristica statică prezentată în figura 5.
B
B
C
C
2
3
C
B
num(s)
den1(s)
Transfer Fcn
t
To Workspace1
y
To WorkspaceSaturation
1
s
Integrator
0
Constant
Clock
89
12. Generarea funcţiilor Liapunov utilizând metoda Krasovski
Metoda Krasovski constituie o aplicaţie a teoremei Liapunov de apreciere a stabilităţii
sistemelor neliniare bazată pe teorema Krasovski .
12.1 Breviar teoretic
Pentru început prezentăm teorema Krasovski care constiuie elementul fundamental al
metodei.
Teorema [N.N. Krasovski]. Condiţia suficientă de stabilitate asimptotică globală pentru
un sistem dinamic caracterizat în forma:
nn
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
xfx
....,
....................
...,
...,
21
212
211
(1)
cu f(0)=0 .unde funcţiile if sunt continue şi diferenţiabile în raport cu toate argumentele este
existenţa unei matrici simetrice pozitiv definite B astfel ca valorile proprii ale matricei
TJBJB să satisfacă:
0,1___
cunii
MatriceaJreprezintăiacobianul lfuncţiei f (x):
n
nn
n
x
f
x
f
x
f
x
f
J
..........
....................
........
1
1
1
1
(2)
Dacă considerăm ca functie V(x) (funcţie Liapunov).
fBfxV T (3)
atunci derivata în virtutea sistemului va fi
TT TdV
f BJ BJ f f Cfdt
(4)
Se poate arăta că dacă expresia (4) este negativ definită atunci sistemul (1) este global
asimtotic stabil. Prin urmare, elementele constitutive ale matricei B trebuie alese astfel ca
matricea C prezentată în (4) sa fie negativ definită.
90
12.2 Mod de lucru
Pe baza elementelor prezentate putem schiţa urmatoarea procedură de lucru:
1) Determinăm caracterizarea la nivel de stare a instalaţiei analizate
2) Impunem forma literală de catacterizare a matricei B.
3) Calculăm matricea C pe baza. relaţiei (4).
Pentru a prezenta efectiv modul de aplicare a acestei tehnici vom relua un
exempluanterior.
1
1
s 2
1
s f
0refy ty
Figura 1.Schema bloc a sistemului analizat.
Neliniaritatea este o funcţie continuă şi derivabilă crescătoare cu f(0) = 0.Conform
schemei propuse, am stabilit în cadrul lucrării mai sus menţionate modalitatea obţinerii
modelului matematic în forma:
3 2 0x x x f x (5)
Dacă notăm 1 2,x x x x obţinem modelul la nivel de stare:
1 2 1 1 2
2 2 1 1 2 1 2
,
3 2 ,
x x f x x
x x x f x f x x
(6)
Iacobianul asociat modelului (2) va fi
1 1
1 2
2 2
1 2
1
0 1
2 3
f f
x xJ
f fdf
x xdx
(7)
Conform algoritmului propus evaluăm matricea C
2221
1211
1
12221
1211
31
2032
10
bb
bbdx
df
dx
dfbb
bbJBJBC
T
91
2212
1
22112212
1
22112212
1
1212
6223
23
bbdx
dfbbbb
dx
dfbbbb
dx
dfbb
(8)
pentru alegerea
2221
1211
bb
bbB cu 2
12221111 0 bbbb (9)
Pentru o alegere b11 = 8, b12 = 2, b22 = 1 care asigură condiţiile (9), matricea C devine
1 1
1
2 2
2
dt dt
dx dxC
dt
dx
(10)
Notam mdx
df
1
şi condiţia ca C sa fie o matrice negativ definită se reduce la condiţia ca
matricea 2 2
2
m m
m
să fie pozitiv definită
Prin urmare
2
2 2 0
4 4 0
m
m m
Sistemul este global asimptotic stabil dacă 82.482.0 m şi deci dacă
82.482.0 dx
df .
12.3 Chestiuni de studiat
Se consideră sistemul dinamic neliniar a cărui structură este prezentată în figura 2.
Funcţia f este continuă şi derivabilă şi poate fi aproximată în forma xxf 3 .
s
1
2
1
s f
0refy ty
Figura 2. Schema bloc a sistemului analizat.
Să se determine utilizând metoda Krasovski restrcţiile asupra funcţiei neliniare pentru ca
sistemul în circuit închis să fie stabil Liapunov.
92
13. Generarea funcţiilor Liapunov utilizând metoda Eisermann
O metodă simplă pentru generarea funcţiilor Liapunov constă în utilizarea formelor
patratice generalizate. Bazată pe o asemenea procedură este şi metoda Eisermann pe care o vom
prezenta în continuare
13.1 Breviar teoretic
Metoda Eisermann propune funcţia Lipunov asociată sistemului analizat ca formă
cuadratică generalizată. Metoda propune o tehnică pentru stabilirea acelor valori numerice ce
asigură ca V(x) şi
dt
xdV să asigure condiţiile impuse de teorema Liapunov. In mare, metoda
impune parcurgerea următoarelor etape:
elementul neliniar se aproximează printr-o dependenţă liniară;
se determină coeficienţii formei cuadratice astfel ca V (x) să fie funcţie Liapunov
pentru sistemul liniarizat
cu xV stabilit în punctual în punctul precedent intervenim în sistemul neliniar si
impunând ca si pentru acest caz 0dV dt stabilim limitări ale neliniaritătii astfel ca
sistemul sa fie global asimptotic stabil.
In sectiunea “Mod de lucru” vom prezenta un exemplu concret de aplicare a metodei
propuse.
Metoda prezentataă este o metoda simplă, aplicabilă şi pentru sisteme cu mai multe
blocuri neliniare . Ea este aplicabilă cu success sistemelor la care neliniaritătile se abat în mică
masură faţă de forma liniară.
13.2 Mod de lucru
Considerăm sistemul automat neliniar a cărui schemă echivalentă este prezentată în figura de
mai jos (vezi figura 1)
Neliniaritatea m f x asigură 0 0f si din alura grafică putem deduce posibilitatea
unei aproximari liniare in forma 2m x .
1
1
s 2
1
s f
0refy ty
z m
Fig.1. Schema bloc a sistemului analizat.
Blocurile liniare ce intră în compunerea sistemului, în notaţiile impuse pot fi caracterizate
simplu în forma:
93
z + z = e
y + 2y =m
e = -y
Ţinând cont că ,m f z obţinem elementar ecuatţa diferenţială ce caracterizează
comportarea sistemului neliniar (pentru 0)refy în forma
023 xfppp (1)
Similar procedurilor din liniar vom nota x1= p si x
2= p , pentru care caracterizarea
sistemului neliniar la nivel de stare va fi:
1 2
2 1 2 12 3
x x
x x x f x
(2)
Introducem vectorul Txxx 21 si matricea simetrică B (cu dimensiunea sistemului)
2221
1211
bb
bbB
(3)
Functia 1 2,V x x asociată sistemului se propune ca functie cuadratică
2 2
1 2 11 1 12 1 2 22 2, 2TV x x x Bx b x b x x b x
Pentru ca functia să fie pozitiv definită este necesar ca
11
2
11 22 12
0
0
b
b b b
(4)
Derivata în virtutea sistemului va fi
222211212121112
2
1
1
21 22,
xxbxbxxbxbxx
Vx
x
V
t
xxV
(5)
Pentru sistemul liniarizat, derivata în virtutea sistemului va fi:
212221122212111 3422 xxxbxbxxbxbdt
dV (6)
Relaţia (6) se bazează pe aproximarea neliniarităţii în forma 11 2 xxf .
Prin urmare
2 2
12 1 12 22 11 1 2 22 12 28 2 3 4 2 3dV
b x b b b x x b b xdt
(7)
Pentru o alegere 11 12 22
15, 1
2b b si b pentru dV
dtobţinem expresia
2 2
1 2 1 28 0 , 0dV
x x x xdt
(8)
şi
94
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
1, 5 2 0 , 0
2V x x x x x x x x
(9)
Prin urmare funcţia 1 2,V x x (9) este funcţie Liapunov pentru sistemul liniarizat. In
cazul sistemului neliniar iniţial, considerând funcţia xBxxxV T 21, ,derivata în virtutea
sistemului va fi
1212221122212111 3222 xfxxxbxbxxbxbdt
dV
(10)
Ţinând cont de valorileijb stabilite pe modelul liniarizat, derivata în virtutea sistemului
neliniari va fi:
1 12 2
1 1 2 2
1 1
2 2 2f x f xdV
x x x xdt x x
(11)
Derivata in virtutea sistemului poate fi pusă în forma:
TdVx Cx
dt
(12)
unde C este de forma:
2 2 12
1 12
mm
Cm
(13)
unde am notat 1
1
f xm
x
Prin urmare pentru ca 0dVdt este necesar ca matricea C să fie pozitiv definită. Prin
urmare
2
2 2 0
2 2 1 02
m
mm
Solutionand sistemul de inecuatii obtinem conditia
0,928 12.928m
Pentru cazul propus, ţinand cont de notaţia introdusă 1
1
f x f xm
x x , obţinem
condiţionarea pentru ca sistemul sa fie global asimptotic stabil
0 12.928f x x
care fixează o condiţionare sectorială de forma prezentată în figura 2.
95
x
xf
xxf 928.12
Figura 2. Neliniaritatea sectorială
13.3 Chestiuni de studiat
Se consideră sistemul dinamic neliniar a cărui structură este prezentată în figura 2.
Funcţia este continuă şi derivabilă şi poate fi aproximată în forma .
Figura 2. Schema bloc a sistemului analizat.
Să se determine utilizând metoda Eisermann restrcţiile asupra funcţiei neliniare pentru ca
sistemul în circuit închis să fie stabil Liapunov.
f xxf 3
s
1
2
1
s f
0refy ty
96
14. Bibliografie
1. ADAMY, J – Nichtlineare Regelungen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009
2. GIBSON, J.E. – Sisteme automate neliniare, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1967
3. UNBEHAUER, H – Regelungstechnik I, II, 12 Auflage, Verlag
Vieweg,Braunschweig/ Wiesbaden, 2002
4. DUMITRACHE, I – coordonator Automatica,Vol 1, Ed. Academiei Rpmana,
Bucuresti, 2009.