Post on 16-Aug-2016
description
transcript
Metoda elementului finit icircn aviație
Introducere
MEF este o tehnică de discretizare de calcul spațială Alte tehnici sunt MDF (metoda cu diferențe finite) MVF (metoda volumelor finite) metode spectrale
Icircn aplicația de tip bare articulate s-au observat următoarele idei care vor fi dezvoltate matematic și conceptual de-a lungul cursului
Remarcă 1 Ne vom referi la aplicarea MEF icircn calculul și analiza structurilor de aviațieRemarcă 2 MEF se aplică și icircn CFD probleme de impact ndash contact probleme sau
metode cu suprafață liberă
1 Structura este discretizată geometric icircn elemente simple- Segmente (1D)- Ariisuprafețe plane (2D)- Corpurifiguri geometrice sau volume (3D)
1D ndash element unidimensional
1minus2isin
dreapata d
Sub formă parametrizată ecuația dreptei se scrie
2D ndash element bidimensional
Sistemul de referință este quasiortogonal
atașat suprafeței
sau
Exemplu
3D ndash element tridimensional
Observația 1 Sistemul local definit anterior formează un sistem de referință naturalPrin utilizarea coordonatelor naturale un patrulater se transformă icircn pătrat și un
element hexaedric se transformă icircntr-un cub (vezi cursuri următoare)Observaţia 2 Fiecare element este definit de noduriIn noduri funcția necunoscută (deplasările) se va calcula
Nodurile pot fi in calculul cu MEF
1 Active In aceste noduri se calculează funcția necunoscuta (deplasările)Nodurile contribuie la crearea matricii de rigiditate a sistemului structural la asamblare2 Pasive Acestea pot avea următoarele funcții - definirea sistemului de referință local - creșterea gradului de aproximare geometrică a suprafeței (suprafețe curbeelemente curbe) - creșterea gradului de aproximare pe element pentru funcția necunoscută (deplasări nodale)
n1n2 noduri active n3 nod auxiliar
r1=x1 i+ y1 j+z1 k ie=(r2minusr1)
|r2minusr1| k e=
(r 2minusr1 ) times(r3minusr1)
|r2minusr1|times|r3minusr1|r2=x2 i+ y2 j+z2 k
r3=x3 i+ y3 j+z3 k j e=ke times ie
Exemplu -se construiește matricea de rigiditate pe element cu toate nodurile active sau pasive -matricea de rigiditate se condensează eliminacircnd liniile și coloanele corespunzătoare nodurilor auxiliareDe regulă eliminarea nodurilor auxiliare se face prin procedeul de asamblare a matricilor de rigiditate
3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția
matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu
problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)
b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)
Pentru geometrie
x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2
y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2
tisin [01 ]
Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic
La solicitarea de icircntindere
F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație
Δll deformație liniară specifică
Din condițiile de mai sus rezultă
Așadar
Unde
se numesc funcții de formă (de interpolare)
Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția
ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru
Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)
Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului
Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor
condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă
Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă
4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație
Versorii sistemului local vor fi
Iar scrierea lor sub formă matricială va fi
Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi
Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)
Se consideră matrice ortogonală
Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă
icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta
-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global
- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri
5 Rezultă -pe element
6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)
Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod
Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -
(pentru icircntreaga structură)
Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero
Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele
Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global
7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Sub formă parametrizată ecuația dreptei se scrie
2D ndash element bidimensional
Sistemul de referință este quasiortogonal
atașat suprafeței
sau
Exemplu
3D ndash element tridimensional
Observația 1 Sistemul local definit anterior formează un sistem de referință naturalPrin utilizarea coordonatelor naturale un patrulater se transformă icircn pătrat și un
element hexaedric se transformă icircntr-un cub (vezi cursuri următoare)Observaţia 2 Fiecare element este definit de noduriIn noduri funcția necunoscută (deplasările) se va calcula
Nodurile pot fi in calculul cu MEF
1 Active In aceste noduri se calculează funcția necunoscuta (deplasările)Nodurile contribuie la crearea matricii de rigiditate a sistemului structural la asamblare2 Pasive Acestea pot avea următoarele funcții - definirea sistemului de referință local - creșterea gradului de aproximare geometrică a suprafeței (suprafețe curbeelemente curbe) - creșterea gradului de aproximare pe element pentru funcția necunoscută (deplasări nodale)
n1n2 noduri active n3 nod auxiliar
r1=x1 i+ y1 j+z1 k ie=(r2minusr1)
|r2minusr1| k e=
(r 2minusr1 ) times(r3minusr1)
|r2minusr1|times|r3minusr1|r2=x2 i+ y2 j+z2 k
r3=x3 i+ y3 j+z3 k j e=ke times ie
Exemplu -se construiește matricea de rigiditate pe element cu toate nodurile active sau pasive -matricea de rigiditate se condensează eliminacircnd liniile și coloanele corespunzătoare nodurilor auxiliareDe regulă eliminarea nodurilor auxiliare se face prin procedeul de asamblare a matricilor de rigiditate
3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția
matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu
problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)
b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)
Pentru geometrie
x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2
y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2
tisin [01 ]
Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic
La solicitarea de icircntindere
F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație
Δll deformație liniară specifică
Din condițiile de mai sus rezultă
Așadar
Unde
se numesc funcții de formă (de interpolare)
Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția
ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru
Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)
Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului
Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor
condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă
Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă
4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație
Versorii sistemului local vor fi
Iar scrierea lor sub formă matricială va fi
Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi
Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)
Se consideră matrice ortogonală
Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă
icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta
-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global
- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri
5 Rezultă -pe element
6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)
Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod
Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -
(pentru icircntreaga structură)
Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero
Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele
Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global
7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
3D ndash element tridimensional
Observația 1 Sistemul local definit anterior formează un sistem de referință naturalPrin utilizarea coordonatelor naturale un patrulater se transformă icircn pătrat și un
element hexaedric se transformă icircntr-un cub (vezi cursuri următoare)Observaţia 2 Fiecare element este definit de noduriIn noduri funcția necunoscută (deplasările) se va calcula
Nodurile pot fi in calculul cu MEF
1 Active In aceste noduri se calculează funcția necunoscuta (deplasările)Nodurile contribuie la crearea matricii de rigiditate a sistemului structural la asamblare2 Pasive Acestea pot avea următoarele funcții - definirea sistemului de referință local - creșterea gradului de aproximare geometrică a suprafeței (suprafețe curbeelemente curbe) - creșterea gradului de aproximare pe element pentru funcția necunoscută (deplasări nodale)
n1n2 noduri active n3 nod auxiliar
r1=x1 i+ y1 j+z1 k ie=(r2minusr1)
|r2minusr1| k e=
(r 2minusr1 ) times(r3minusr1)
|r2minusr1|times|r3minusr1|r2=x2 i+ y2 j+z2 k
r3=x3 i+ y3 j+z3 k j e=ke times ie
Exemplu -se construiește matricea de rigiditate pe element cu toate nodurile active sau pasive -matricea de rigiditate se condensează eliminacircnd liniile și coloanele corespunzătoare nodurilor auxiliareDe regulă eliminarea nodurilor auxiliare se face prin procedeul de asamblare a matricilor de rigiditate
3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția
matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu
problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)
b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)
Pentru geometrie
x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2
y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2
tisin [01 ]
Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic
La solicitarea de icircntindere
F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație
Δll deformație liniară specifică
Din condițiile de mai sus rezultă
Așadar
Unde
se numesc funcții de formă (de interpolare)
Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția
ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru
Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)
Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului
Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor
condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă
Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă
4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație
Versorii sistemului local vor fi
Iar scrierea lor sub formă matricială va fi
Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi
Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)
Se consideră matrice ortogonală
Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă
icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta
-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global
- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri
5 Rezultă -pe element
6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)
Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod
Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -
(pentru icircntreaga structură)
Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero
Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele
Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global
7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
1 Active In aceste noduri se calculează funcția necunoscuta (deplasările)Nodurile contribuie la crearea matricii de rigiditate a sistemului structural la asamblare2 Pasive Acestea pot avea următoarele funcții - definirea sistemului de referință local - creșterea gradului de aproximare geometrică a suprafeței (suprafețe curbeelemente curbe) - creșterea gradului de aproximare pe element pentru funcția necunoscută (deplasări nodale)
n1n2 noduri active n3 nod auxiliar
r1=x1 i+ y1 j+z1 k ie=(r2minusr1)
|r2minusr1| k e=
(r 2minusr1 ) times(r3minusr1)
|r2minusr1|times|r3minusr1|r2=x2 i+ y2 j+z2 k
r3=x3 i+ y3 j+z3 k j e=ke times ie
Exemplu -se construiește matricea de rigiditate pe element cu toate nodurile active sau pasive -matricea de rigiditate se condensează eliminacircnd liniile și coloanele corespunzătoare nodurilor auxiliareDe regulă eliminarea nodurilor auxiliare se face prin procedeul de asamblare a matricilor de rigiditate
3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția
matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu
problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)
b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)
Pentru geometrie
x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2
y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2
tisin [01 ]
Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic
La solicitarea de icircntindere
F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație
Δll deformație liniară specifică
Din condițiile de mai sus rezultă
Așadar
Unde
se numesc funcții de formă (de interpolare)
Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția
ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru
Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)
Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului
Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor
condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă
Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă
4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație
Versorii sistemului local vor fi
Iar scrierea lor sub formă matricială va fi
Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi
Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)
Se consideră matrice ortogonală
Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă
icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta
-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global
- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri
5 Rezultă -pe element
6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)
Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod
Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -
(pentru icircntreaga structură)
Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero
Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele
Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global
7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția
matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu
problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)
b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)
Pentru geometrie
x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2
y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2
tisin [01 ]
Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic
La solicitarea de icircntindere
F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație
Δll deformație liniară specifică
Din condițiile de mai sus rezultă
Așadar
Unde
se numesc funcții de formă (de interpolare)
Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția
ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru
Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)
Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului
Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor
condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă
Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă
4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație
Versorii sistemului local vor fi
Iar scrierea lor sub formă matricială va fi
Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi
Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)
Se consideră matrice ortogonală
Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă
icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta
-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global
- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri
5 Rezultă -pe element
6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)
Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod
Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -
(pentru icircntreaga structură)
Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero
Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele
Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global
7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Din condițiile de mai sus rezultă
Așadar
Unde
se numesc funcții de formă (de interpolare)
Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția
ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru
Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)
Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului
Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor
condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă
Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă
4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație
Versorii sistemului local vor fi
Iar scrierea lor sub formă matricială va fi
Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi
Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)
Se consideră matrice ortogonală
Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă
icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta
-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global
- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri
5 Rezultă -pe element
6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)
Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod
Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -
(pentru icircntreaga structură)
Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero
Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele
Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global
7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru
Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)
Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului
Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor
condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă
Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă
4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație
Versorii sistemului local vor fi
Iar scrierea lor sub formă matricială va fi
Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi
Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)
Se consideră matrice ortogonală
Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă
icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta
-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global
- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri
5 Rezultă -pe element
6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)
Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod
Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -
(pentru icircntreaga structură)
Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero
Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele
Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global
7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Versorii sistemului local vor fi
Iar scrierea lor sub formă matricială va fi
Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi
Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)
Se consideră matrice ortogonală
Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă
icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta
-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global
- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri
5 Rezultă -pe element
6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)
Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod
Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -
(pentru icircntreaga structură)
Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero
Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele
Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global
7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri
5 Rezultă -pe element
6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)
Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod
Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -
(pentru icircntreaga structură)
Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero
Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele
Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global
7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare
Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism
Modalități de impunere a CL
1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului
2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate
8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat
campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem
- structură deformată
- tensiuni icircn bare
Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate
Ecuaţiile elementului finit
Cazul Static
Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări
Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale
3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori
4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor
Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de
precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de
calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare
APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)
Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)
Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă
Nu se acceptă
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Definire
o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )
Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii
Blocaje
B
1 - rezem
2 - articulaţie
3 - icircncastrări
4 Blocaje particulare
Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D
Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
ANSYS
BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este
cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale
Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)
o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură
Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de
deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)
-Fenomen de moarte a elementelor
C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă
Ipotezele calculului structural static folosind MEF
Ipoteze
- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii
A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke
B1 Relația forță-deplasare este liniară
2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui
Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a
solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura
materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi
- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri
Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static
Metode de lucru
1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem
de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)
- metoda lucrului mecanic virtual
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale
Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)
Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual
Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil
Compatibilitatea cu problema
- deplasări virtuale liniare
- deplasare unghiulară incompatibilă cu
sistemul dat
Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum
greutate forță centrifugă
Ecuaţia elementului finit Cazul static
Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite
Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia
Ud=12∭σεdV
Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură
Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie
(σx
σ y
σ z
τ xy
τ xz
τ yz
)=[ E ](ε x
ε y
ε x
γ xy
γ xz
γ yz
)Unde
[ E ]=matriceade elasticitate
σ =vectorul tensiunilor
ε =vectoruldeformaţiilor specifice
Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de
[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0
ν0
1 0
0 1minusν2 ]
ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033
Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie
ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z
part upart y
+ part vpart x
part vpart z
+ part wpart y
part wpart x
+ part upart z
)=[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]uvw
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
[part
part x0 0
0 partpart y
0
0part
part y0part
part z
0part
part xpart
part z0
partpart z0part
part ypart
part x
]= [ L ]=operator diferenţial
uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp
u=u(x y z)
v=v (x y z )
w=w(x y z)
Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de
interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi
2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare
nod auxiliar
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Putem scrie
De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Putem scrie compact matricial
Pentru exemplul anterior
Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri
Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe
Daca avem 2 matrici
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură
se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale
Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0
Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă
Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane
rarr nituri rarr cuie etc
rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale
matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală
Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem
adică ( I )
Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea
pentru fiecare element finit
Matricea de rigiditate conține următoarele informații
- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)
EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune
Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică
Observații
1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)
2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară
3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat
liniar
4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]
Determinarea matricii de rigiditate pentru
solicitari de icircncovoiere (icircn plan)
Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E
Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii
Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
[ ] - m Observaţii
1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local
2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)
Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri
avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3
(1)
(2)
Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Calculul matricei de rigiditate
Indicații
Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare
M
u u x
x
Polinoamele Hermite de gradul 3
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy
XL
YL
V1L
V2
L21
L
XL
1 2
21
T T
M M
Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy
Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi
Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Echivalarea nodală a forțelor
Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite
Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual
(A)
(B)
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune
Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată
energia potențială de deformație
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
part θpart x
=θ2minusθ1
l
intA
r 2dA=id [moment de inerţie polar ]
r2=radic y2+x2
Ud=12int0
l
GId(θ2minusθ1 )2
e2 dx=12
GIde (θ1
2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )
---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă
Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)
partU d
part q i=Qi ( partea staţionară )
q i=θ1θ2
θ1=Ml1
θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate
partU d
part q irarr [ K ]u
partU d
part q1=
part U d
part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId
l (θ1minusθ2 )=Mt1
partU d
part q2=
part U d
partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId
l (θ1+θ2 )=Mt2
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Pentru un element de bară de torsiune
GIdl [ 1 minus1
minus1 1 ]θ1
θ2=Mt1
Mt2
[ K ] rarr pentrutorsiune liberă
Bara icircn spaţiu
Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate
Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1
Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2
Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2
iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest
[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)
Q x=EAL
Q z=EIzL3
Q y=EIyL3
QT=GId
Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local
Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)
Punctul 3isin(xOy) plan local
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k
Avem următoarele relații de transformări
Deci icircn SR local
Aplicație
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Origin=1
Date de intrare
-coordonatele pentru cele n=6 noduri
- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare
-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune
-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară
Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
=
| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)
- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Bare 3D
(continuare)
- matrice de rigiditate in SR general pe element
- pentru o bara 1-2 din strcutura
Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i
este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu
Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea
definită icircn cursul precedent)
După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale
Se rezolvă [ K ] U =F
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri
Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara
[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global
Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă
local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)
Solicitările F l adică N x1
l T y1
l T z1
l M x1
l M y1
l M z1
l
N x2
l T y2
l T z2
l M x2
l M y2
l M z2
l
Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)
Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo
Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)
Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)
rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)
Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului
Modalităţi de determinare [ K l ] pe element
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]
Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat
Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)
Elementul triunghiular(izoparametric)
Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global
2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr
3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens
Element izoparametric
Triunghiul lui Pascal
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
1
Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1
Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru
este un plan icircn coordonatele
Observație
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
=gt
Coeficientul lui
Se observă
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Matricea de rigiditate pe element
Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă
Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară
Aplicație
deplasări nod 5
tensiuni icircn bare
Se neglijează greutatea barei
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
indicaţii6 grade de libertatenod
bare icircn spaţiu
pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie
Element finit triunghiular
Exprimare icircn coordonate naturale
SR global
Pentru un sistem de referinţă global
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Din ()
- - Jacobianul transformării de variabilă
Element izoparametric
()
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
-constant
iquest necunoscutele sunt
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
- matrice cu elemente constante
-rezultat identic cu prima metodă
Element patrulater
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Vom utiliza un element de coordonate naturale
Observatie
1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi
2) Raportul laturilor maximeminime 5
3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica
ne trebuie un polinom linear
Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet
Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică
Polinom complet de gr I
Polinom complet de gr II
Polinom complet de gr III
1
ξ η
ξ 2 η 2ξη
ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3
Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
şi
Cum calculăm Jacobianul
1 Evaluarea Jacolianului
2 Calculul matricii [B] cu elemente constante
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre
De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)
Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații
Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară
sau de proporții analitice etc)
Deformările nodale (uvw)i
Starea de tensiune 3D
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni
Particularitati - Elemente de tip tetraedru
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Observație
Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element
Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
pentru un element tetraedric izoparametric
Element hexaedric(brick-uri)
Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric
Bara inferioarămdash1234
Bara superioarămdash5678
1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă
ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare
(uvw)
Pentru polinomul patrulater 2D
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
unde i=128
Exemplu pentru i=5
Din matricea B obținem
Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului
Jacobianul transformării
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre
- puncte de integrare Gauss-Legendre
- pondere pentru variabila
O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea
Postprocesarea datelor
Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării
structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta
utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare
sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative
a) Cacircmp deformaţii
Reţelele de calcul pot fi
- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)
Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate
Element noduri
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
- tetraedre
- hexaedre
( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )
- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor
Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate
Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )
Reţea structurală mixtă
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
ɳ
A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală
Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil
Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea
Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate
IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j
IVP ( ie 2) = i N+j
IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce
IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1
i = 1M
j = 1N
Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)
Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată
b) Contrurul izotensiune se determină automat
Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului
Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF
Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)
- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )
N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )
Ec=12intvol
ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol
ρ(w2 ( y t )⏟iquest
minus2x w ( y t )⏟iquest
∙ θ ( y t )⏟iquest
iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest
)dAdy iquest
- Se introduc aproximările de tip MEF
Introducicircnd m R se va obține
xCG=intA
ρ x dA
mL
Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Problemă de dinamică fără amortizare structurală
Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate
1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la
icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd
Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson
Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă
Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu
determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Funcţiile de interpolare sunt
Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune
+ deduceri efectuate pentru [K]
Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate
Conduce la matricea
pentru elementalul de bara
bară
corp (Teoria elasticităţii)
Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune
unde
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar
unde
Icircn mod asemănător
unde este matricea masică pentru torsiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere
Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)
unde
este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune
unde
este matricea masică
Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd
Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică
Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune