Manual suport disciplina Matematică - ACCESacces.chimie.upb.ro/doc/manual-matematica.pdf ·...

transcript

Matematică

Romeo BERCIA

Valentin PLEŞU

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013Investeşte în oameni!

Axa prioritară nr. 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”Domeniul major de intervenţie 1.2 „Calitate în învăţământul superior”

Numărul de identificare al contractului: POSDRU/156/1.2/G/138821 Beneficiar: Universitatea POLITEHNICA din BucureştiTitlul proiectului: Calitate, inovare, comunicare - instrumente eficiente utilizate pentru creşterea accesului şi promovabilităţii în învăţământul superior tehnic

Manual suport disciplina

Cuprins

I Elemente de geometrie 2

1 Reprezentari ın plan 3

2 Vectori 10

3 Functii trigonometrice 17

4 Curbe plane 33

II Elemente de algebra 40

5 Numere complexe 41

6 Matrice 56

7 Determinanti 63

8 Sisteme liniare 67

III Elemente de analiza matematica 73

9 Siruri si functii 74

10 Functii 82

11 Integrale 93

Partea I

Elemente de geometrie

Capitolul 1

Reprezentari ın plan

1.1 Reper cartezian

Fie un reper cartezian xOy cu axe ortogonale (perpendiculare) ın planul P, cu origineaın punctul O(0;0) si cu sensurile pozitive ale axelor indicate prin sageti (axa orizontalaa absciselor sens de la stanga la dreapta si axa verticala a ordonatelor cu sensul de josın sus). Fiecarui punct M din planul xOy ıi corespund ın acest reper doua coordonatecarteziene, notatie M(x,y). In Fig. 1 punctul M are coordonatele carteziene (5,4).

CAPITOLUL 1. REPREZENTARI IN PLAN

Figura 1.1: Reper cartezian

1.2 Drepte ın plan

Distanta ıntre doua puncte ınplanA(x1, y1), B(x2, y2)

AB =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Coordonatele mijloculuiunui segment AB undeA(x1, y1), B(x2, y2)

x =x1 + x2

2, y =

y1 + y22

Coordonatele punctului M careımparte segmentul (AB) ın ra-portul k

x =x1 + kx2

1 + k, y =

y1 + ky22

Ecuatia dreptei determinatade coordonatele unui punctMo(x0,y0) si de panta sa.

y − y0 = m · (x− x0)

Ecuatia dreptei determinata depunctele A(x1,y1) si B(x2,y2) .

y − y1 =y2 − y1x2 − x1

· (x− x1)

Drepte paralele cu axa Oy x=aDrepte paralele cu axa Ox y=aEcuatia generala a unei drepte ax+by+c=0

Pozitia relativa a dreptelor d1si d2: d1=d2

Pozitia relativa a dreptelor d1si d2: d1||d2

=b1b26= c1c2

Pozitia relativa a dreptelor d1si d2: d1 se intersecteaza cu d2

a1a26= b1b2

Distanta de la un punctM(x0,y0) la o dreapta hreprezentata prin ecuatieax+by+c=0

d(M,h) =|a · x0 + b · y0 + c|√

a2 + b2

Unghiul determinat de douadrepte cu pantele m1 si m2

tg(α) =m2 −m1

1 +m1m2

m1m2 6= −1

d1 perpendicularape d2 m1m2 = −1

1.3 Sistem polarIn sistemul de coordonate polar, pozitia unui punct P fata de origine este descrisaprin specificarea distantei r si a unghiului α dintre linia r si directia pozitiva a axeix, numita axa polara. Coordonatele polare ale punctului P sunt P(r,α ), unde r ≥0, α ∈ [0, 2π).

Figura 1.2: Coordonate polare

Conversia ıntre cele doua sistemeTransformarea coordonatelor polare ın coordonate carteziene se face dupa relatiile:

Convertire din coordo-nate polare in coordonatecarteziene

x = r cosαy = r sinα

Convertire din coordonatecarteziene in coordonatepolare

r =√x2 + y2 α= arctg

), x >

0 , pentru cadranele I si IV

Distanta intre doua punctedefinite prin coordonatecarteziene (x1, y1), (x2, y2)este

d =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

Distanta intre doua punctedefinite prin coordonatepolare (r1, α1), (r2, α2)

d =√r21 + r22 − 2 · r1 · r2 · cos(α1 − α2)

Figura 1.3: Coordonate polare vs. coordonate carteziene

1.4 Exercitii

Exercitiul 1. Sa se determine lungimea segmentului [AB] unde A(1,3) si B(5,-1)Exercitiul 2. Sa se determine coordonatele mijlocului segmentului [AB] unde A(1,3)si B(5,-1).Exercitiul 3. Se dau dreptele de ecuatii:AB: 5x + 2y - 11=0AC: x - y + 2=0BC: 2x + 5y + 4=0Sa se gaseasca:

1. Coordonatele varfurilor triunghiului ABC;

2. Aria triunghiului ABC;

3. Distanta de la originea sistemului de axe xOy la dreapta AC;

4. Ecuatia medianei duse din C pe AB;

5. Ecuatia ınaltimii duse din A pe BC;

6. Coordonatele punctului D astfel ıncat ACBD sa fie paralelogram;

7. Lungimea laturii AB;

8. Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC;

9. Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.

Exercitiul 4. Se da triunghiul de varfuri A(-1,3) , B(2,-1) , C(3,6). Sa se determine:

1. ecuatia dreptei AC;

2. ecuatia paralelei prin B la AC;

3. ecuatia mediatoarei segmentului [BC];

4. ecuatia medianei din C;

5. ecuatia ınaltimii din C.

Exercitiul 5. Stiind ca A(1,2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreaptad , sa se scrie ecuatia dreptei d.Exercitiul 6. Sa se gaseasca proiectia punctului B(-2,1) pe dreapta d : 2x + y + 1= 0.Exercitiul 7. Sa se scrie ecuatia dreptei ce trece prin punctul C(1,3) si este echidis-tanta de punctele A(-1,0), B(1,-1).Exercitiul 8. Sa se determine coordonatele simetricelor punctului A(-1,2) fata dedreapta d : x + y + 1 = 0 ]csi apoi fat]ua de punctul B(-1,-4).

Exercitiul 9. Sa se determine coordonatele punctului B, stiind ca C(3,5) este mijloculsegmentului AB si ca A(2,4).

Exercitiul 10. Sa se determine m ∈ R pentru care distanta dintre punctele A(2,m)si B(-m,-2) este egala cu 4

Exercitiul 11. In reperul cartezian xOy se considera punctul A(2,3). Stiind capunctele B si C sunt simetricele punctului A fata de axele Ox si Oy, sa se calculezelungimea segmentului BC.Exercitiul 12. Sa se calculeze coordonatele punctului de intersectie al dreptelor deecuatii 2x+y-4=0 si x+y-3=0.Exercitiul 13. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul A(1,-1) si esteparalela cu dreapta y=x.Exercitiul 14. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(3,0), B(x,y), C(5,-2).Sa se determine numerele reale x si y astfel incat punctul B sa fie mijlocul segmentuluiAC.Exercitiul 15. Sa se reprezinte in coordonate polare urmatoarele puncte: (2,2), (-3,4),

(−2,−2√

3), (1,−1).

Exercitiul 16. Sa se reprezinte in coordonate carteziene urmatoarele puncte: (2, −π2),

(1, 3π4

(2,−π3

Exercitiul 17. Transformati in coordonate polare ecuatia x2 + y2 = 9.Exercitiul 18. Gasiti coordonatele carteziene ale curbei 2

r= 1 + cos θ.

Capitolul 2

Vectori

CAPITOLUL 2. VECTORI

2.1 Vectori in planO marime este vectoriala daca este determinata de urmatoarele trei elemente:

marime, directie si sens.Se numeste directie a dreptei d multimea formata din dreapta d si toate dreptele

paralele cu ea.Se numeste directia segmentului [AB], A 6= B, directia dreptei AB.Fie dreapta d pe care se fixeaza doua puncte A,B A B. Punctele dreptei d pot fi

parcurse de la A spre B (un sens de parcurgere) sau de la B spre A (al doilea sensde parcurgere). Prin aceasta metoda s-au definit doua sensuri pe dreapta d, numitesensurile dreptei.

Parcurgerea unui segment [AB], A 6= B, se poate face de la A spre B sau de la Bspre A. Astfel pe segmentul [AB], sunt definite doua sensuri (opuse). O pereche A,B

se numeste segment orientat sau vector legat si se noteaza−→AB, unde A este originea,

iar B este extremitatea.Daca A 6= B dreapta determinata de punctele A si B se numeste dreapta suport.

Vectorul−→AB se numeste vector nul. Doi vectori legati nenuli

−→AB si

−−→CD au aceeasi

directie daca dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.

Daca A,B,C,D sunt patru puncte necoliniare, vectorii−→AB si

−−→CD au acelasi sens

daca au aceeasi directie si punctele B si D sunt ın acelasi semiplan determinat dedreapta AC.

Se numeste lungimea sau norma vectorului−→AB numarul real si pozitiv care reprezinta

distanta d(A,B) ıntre punctele A si B si se simbolizeaza prin ||AB||.Doi vectori legati

−→AB si

−−→CD sunt egali daca si numai daca A=C si B=D.

Doi vectori legati se numesc echipolenti si se noteaza−→AB ≡

−−→CD daca au aceeasi

directie, acelasi sens si acelasi modul.Se numeste vector liber multimea tuturor vectorilor legati echipolenti cu un vector

legat dat −→a (Un vector este liber daca originea sa poate fi aleasa ın mod arbitrar ınplan.

Se spune ca vectorul liber−→AB este determinat de vectorul legat

−→AB sau ca vectorul

legat−→AB este un reprezentant al vectorului liber

−→AB. Daca A=B, atunci vectorul liber−→

AA se numeste vector nul, notat−→0 , de modul 0, directie si sens arbitrar.

Doi vectori liberi sunt egali daca au: aceeasi directie (adica pot fi situati pe aceeasidreapta suport sau pe drepte suport paralele), acelasi sens, acelasi modul.

Vectorul liber −→u de norma 1 se numeste versor.Se considera o dreapta x′x pe care se fixeaza punctul O (originea). In origine

ca punct de aplicatie, se considera un versor situat pe dreapta, notat cu−→i =

−→OA,

reprezentand versorul dreptei. Prin fixarea versorului pe dreapta, aceasta devine axa.Astfel pe aceasta dreapta exista o origine, un sens de parcurgere si o unitate de masuraa lungimilor.

Doi vectori se numesc ortogonali daca directiile lor sunt perpendiculare.

Doi vectori care au aceeasi directie si acelasi modul, dar sensuri opuse se numesc

vectori opusi. Daca −→a ,−→b sunt vectori opusi, atunci se scrie

−→b = −−→a .

Proprietate: Fiind dat un punct O ın plan si un vector liber −→a exista un unic punct

M ın plan, astfel ıncat−−→OM = −→a .

2.2 Operatii elementare cu vectori liberi2.2.1. Adunarea a doi vectori

Suma a doi sau mai multi vectori este tot un vector, care se poate obtine cu ajutorulunei constructii geometrice efectuate asupra acestora.

a) Adunarea a doi vectori dupa regula paralelogramului

Fie doi vectori liberi −→a ,−→b si

−→OA = −→a ,

−−→OB =

−→b . Se construieste paralelogramul

OBCA. de laturi OA si OB: OBCA. Vectorul −→c , de reprezentant−→OC, (care porneste

din originea comuna) reprezinta prin definitie suma vectorilor −→a si−→b si se noteaza

prin −→c = −→a +−→b .

Aceasta regula prin care s-a obtinut vectorul suma se numeste regula paralelogramului.

b) Adunarea a doi vectori dupa regula triunghiului.Se poate ajunge la acelasi rezultat cu ajutorul unei alte constructii.

Fie aceiasi vectori liberi −→a ,−→b . Se considera

−→OA = −→a ,

−→AC =

−→b . Atunci vectorul suma

a vectorilor −→a si−→b este vectorul −→c reprezentat de

−→OC. Aceasta regula de adunare a

doi vectori se numeste regula triunghiului.Este usor de vazut ca vectorul suma −→c este vectorul care ınchide conturul format de

vectorii −→a si−→b , avand originea ın originea unuia dintre vectori si extremitatea ın ex-

tremitatea celuilalt vector. Este evident ca triunghiul construit prin regula triunghiuluieste jumatatea paralelogramului construit prin regula paralelogramului.

Observatie: Daca −→a +−→b +−→c =

−→0 , atunci cu vectorii a,b,c se poate forma un triunghi.

c) Metoda pentru adunarea a n vectori (regula poligonului).

Daca trebuie adunati trei (sau mai multi) vectori liberi −→a ,−→b ,−→c , se aplica succesiv

regula triunghiului. Din extremitatea lui −→a se duce un vector egal cu−→b , iar din

extremitatea acestui al doilea vector se duce un vector egal cu −→c .Astfel s-a format un contur poligonal din vectori. Vectorul −→v care ınchide conturul(adica uneste originea primului vector cu extremitatea ultimului vector) reprezinta

suma vectorilor dati: −→v = −→a +−→b +−→c .

Regula de obtinere a sumei mai multor vectori se numeste regula poligonului.Observatie: n cazul ın care conturul de vectori se ınchide, astfel ıncat extremitateaunuia sa coincida cu originea urmatorului vector, suma vectorilor reprezinta vectorulnul.

Proprietati ale adunarii vectorilor liberi ın plan.

1. Adunarea vectorilor este asociativa, adica: (−→a +−→b ) +−→c = −→a + (

−→b +−→c ).

2. Adunarea vectorilor este comutativa, adica: −→a +−→b =

−→b +−→a .

3. Vectorul nul 0 este elementul neutru pentru adunare, adica: −→a +−→0 = −→a

4. Pentru orice vector −→a , exista −−→a , pentru care −→a + (−−→a ) = −−→a + −→a =−→0 .

Vectorul −−→a se numeste opusul vectorului −→a .

2.2.2. Inmultirea unui vector cu un scalarDefinitie: Fie α ∈ R, −→a 6= −→0 . Produsul dintre numarul real α si vectorul liber −→a estevectorul notat α−→a avand: - aceeasi directie cu −→a ; - aceeasi acelasi sens cu −→a , dacaα > 0; sens contrar lui −→a , daca α < 0; - modulul egal cu produsul dintre |]alpha| simodulul vectorului −→a .

Proprietati ale ınmultirii unui vector cu un scalar

1. α(−→a +−→b ) = α−→a + α

−→b . (nmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea

vectorilor).

2. (α + β)−→a = α−→a + β−→b . (nmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea

scalarilor).3. α(β−→a ) = (αβ)−→a . (Asociativitatea scalarilor).4. 1−→a = α−→a . (Numarul 1 este element neutru pentru ınmultirea cu scalari).

2.2.3. Coliniaritatea a doi vectoriDefinitie: Doi vectori liberi nenuli se numesc coliniari daca au aceeasi directie. n cazcontrar se numesc necoliniari. Se admite ca vectorul nul este coliniar cu orice vector.

Teorema de coliniaritate: Doi vectori nenuli −→a ,−→b sunt coliniari daca si numai daca

exista α astfel ıncat −→a = α−→b .

2.3 Reper cartezian ın plan

Descompunerea unui vector dupa doua directii date. Baza.

Definitie: Cuplul (−→a ,−→b ) format din doi vectori liberi necoliniari se numeste baza

pentru multimea vectorilor din plan V . O baza formata din versori ortogonali senumeste baza ortonormata.

Componentele unui vector ıntr-o baza.

Fie −→a ,−→b doi vectori necoliniari fixati, iar −→u un vector arbitrar. Daca −→a ,

−→b sunt

necoliniari, atunci cele doua directii pe care le definesc sunt distincte. Se considera

reprezentantii−→OA = −→a si

−−→OB =

−→b .

Prin extremitatea M a vectorului−−→OM , se duc paralele la OB si, respectiv OA care

intersecteaza pe OA ın M1 si pe OB ın M2. Conform regulii paralelogramului−−→OM =−−−→

OM1 +−−−→OM2. Exista constantele reale x, y astfel ıncat

−−−→OM1 = x

−→OA,

−−−→OM2 = y

−−→OB.

Rezulta ca−−→OM = x

−→OA+ y

−−→OB, sau ca vectori liberi: −→u = x−→a + y

−→b . Se mai spune ca

vectorul −→u a fost descompus dupa directiile a doi vectori −→a si−→b . Numerele reale x si

y se numesc coordonatele vectorului liber −→u ın raport cu baza −→a ,−→b . Descompunerea

−→u = x−→a + y−→b este unica.

Fie Oxy un system de axe ortogonale. Fie−→i si−→j versorii axelor Ox si Oy.

Definirea vectorului −→u din plan −→u =−→i · x+

−→j · y

Definirea vectorului−→AB AB =

−→i · (xB − xA) +

−→j · (yB − yA)

Modulul unui vector u −→u =−→i · x+

−→j · y ⇒ |−→u | =

√x2 + y2

Suma a doi vectori u si v

−→u =−→i · x1 +

−→j · y1

−→v =−→i · x2 +

−→j · y2

−→u +−→v = (x1 + x2) ·−→i + (y1 + y2) ·

−→j

Conditia de paralelism −→u ‖−→v ⇔ x1x2

= y1y2

pt x2,y2 6= 0

Conditia de perpendicularitate −→u⊥−→v ⇔ x1 · x2+y1 · y2= 0Produs scalar, intre doi vectoricare formeaza unghiul θ

−→u · −→v = |u| |v| cos θ

Produs scalar a doi vectori per-pendiculari

−→u · −→v = 0

2.4 ExercitiiExercitiul 1. Sa se determine numarul real a stiind ca vectorii −→u =

−→i · 2 +

−→j · a si

−→v =−→i · 3 +

−→j · (a− 2) sunt coliniari.

Exercitiul 2. In reperul cartezian (O,−→i ,−→j ) se considera vectorii −→u = −3 · −→i + 2 · −→j

si −→v = 5 · −→i −−→j . Sa se determine coordonatele vectorului 5 · −→u + 3 · −→v .

Exercitiul 3. Daca −→u = 4 · −→i + 9 · −→j si −→v = 3 · −→i + 2−→j atunci calculati: −→u · −→v ,

−→v · −→u , −→u · −→u , −→v · −→vExercitiul 4. Sa se gaseasca produsul scalar al vectorilor 5 · −→i si 8 · −→j .

2.5. Vectori (In spatiu)Coordonatele unui punct ın spatiu. Vectorul de pozitie al unui punct. Vectorul deter-minat de doua puncte. Distanta dintre doua puncte ca marime a vectorului. Coliniar-itatea a doi vectori.Orice doua puncte din spatiu determina un vector care are marimea egala cu distantadintre aceste dou puncte. Daca P(a,b,c) si P’(a’,b’,c’) sunt doua punce din spatiultridimensional R3, atunci vectorul care trece prin cele doua puncte este u=(x,y,z) cuu = (a− a′, b− b′, c− c′). Vectorul u este reprezentat ca o sageata de la P’ la P.

Adunarea vectorilor −→u =(x, y, z) si −→v = (x′.y′, z′)

−→u +−→v = (x+ x′, y + y′, z + z′)

Multiplicarea cu un scalar avectorului −→u = (x, y, z)

cu = (cx, cy, cz)

Produs scalar, vectorial, mixt. Vectorul de pozitie al unei drepte. Vectorul normal alunui plan.

Produsul mixt al trei vectori numit si produsul triplu se defineste ca produsul scalardintre unul din vectori si produsul vectorial al celorlalti doi. In consecinta produsulmixt este un scalar. Produsul mixt are semnifcatia geometrica urmatoare : volumuldeterminat de cei trei vectori.Exemplu: −→a ·

(−→b × −→c

ExercitiiExercitiul 1. Sa se determine produsul scalar al vectorilor w1 ?i w2. Comentatirezultatul obtinut :

w1 = 2 ·⇀

i −5 ·⇀

j si w2 = 10 ·⇀

i +4 ·⇀

j +3 ·⇀

Exercitiul 2. Sa se determine produsul vectorial al vectorilor w1 si w2. Comentatirezultatul obtinut :

w1 = 3 ·⇀

i −2 ·⇀

j si w2 = −5 ·⇀

j +3 ·⇀

Exercitiul 3. Sa se determine produsul mixt al vectorilor w1, w2 si w3. Comentatirezultatul obtinut :

w1 = 4 ·⇀

i −3 ·⇀

j ; w2 = 2 ·⇀

i +6 ·⇀

j +2 ·⇀

k si w3 = 2 ·⇀

i +2 ·⇀

Exercitiul 4. Sa se calculeze produsele mixte a trei vectori −→w 1 · (−→w 2 ×−→w 3),−→w 2 ·

(−→w 3 × −→w 1) si −→w 3·(−→w 1 x−→w 2) daca −→w 1 = 3

−→i −2

−→j ,−→w 2 = −5

−→i −3

−→k , −→w 3 = 6

−→i +2−→k .

Sa se demonstreze ca prin permutari circulare rezulta: −→w 1·(−→w 2 ×−→w 3) = −→w 2·(−→w 3 × −→w 1) =−→w 3 · (−→w 1 × −→w 2).

Capitolul 3

Functii trigonometrice

CAPITOLUL 3. FUNCTII TRIGONOMETRICE

3.1 Cercul si functii trigonometrice ın triunghi

3.2 Formule de baza

sin(π

2− t)

= cos (t) , cos(π

2− t)

= sin (t)

sin (π − t) = sin (t) , cos (π − t) = − cos (t)

sin (π + t) = − sin (t) , cos (π + t) = − cos (t)

sin (2π − t) = − sin (t) , cos (2π − t) = cos (t)

sin (x+ y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)

cos (x+ y) = cos (x) cos (y)− sin (x) sin (y)

sin (x− y) = sin (x) cos (y)− cos (x) sin (y)

cos (x− y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)

sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) , cos (2x) = 2 (cos (x))2 − 1

3.3 Functii trigonometrice directe

Fie cercul trigonometric (cercul cu centrul ın origine si de raza 1) si un punctM(xM , yM) situat pe acest cerc.

Figura 3.1: Cercul trigonometric

Cu aceste notatii se definesc functiile:- sinus sin t = yM- cosinus cos t = xM

- tangenta tg t =sin t

cos tdaca expresia are sens

- cotangenta ctg t =cos t

sin tdaca expresia are sens.

Functia sinussin : R −→ [−1.1]

Figura 3.2: Functia sinus

Functia cosinuscos : R −→ [−1.1]

Figura 3.3: Functia cosinus

Functia tangenta

tg : R\{

(2k + 1)π

2, k ∈ Z

}−→ R

Figura 3.4: Functia tangenta

Functia cotangenta

ctg : R\ {kπ, k ∈ Z} −→ R

Figura 3.5: Functia cotangenta

3.3 Functii trigonometrice inverse

Functia arcsinus

Figura 3.6: Functia arcsinus

Functia arccosinus

Figura 3.7: Functia arccosinus

Functia arctangenta

Figura 3.8: Functia arctangenta

Functia arccotangenta

Figura 3.9: Functia arccotangenta

Capitolul 4

Curbe plane

CAPITOLUL 4. CURBE PLANE

4.1 Cercul

Definitie Se numeste cerc de centru C(x0, y0) si raza r, r > 0, multimea punctelordin plan M(x, y) care verifica relatia

d(M,C) = r. (4.1)

Observatie Multimea punctelor din plan M(x, y) care apartin cercului de centruC(x0, y0) si raza r, r > 0, verifica relatia

(x− x+ 0)2 + (y − y0)2 = r2. (4.2)

care reprezinta ecuatia carteziana implicita a cercului de centru C(x0, y0) si raza r,r > 0.

Ecuatiax2 + y2 + 2ax+ 2by + r = 0 (4.3)

undea2 + b2 = c > 0, (4.4)

este ecuatia carteziana generala a cercului. Aceasta corespunde cercului de centruC(x0, y0), unde x0 = −a, y0 = −b si de raza r =

√(a2 + b2 − c).

4.2 Elipsa

Definitie Se numeste elipsa multimea punctelor din plan M(x, y) a caror suma adistantelor la doua puncte fixe F1 si F2 este constanta.

Aceste puncte verifica relatia

d(M,F1) + d(M,F2) = 2a, (4.5)

unde a > 0.

Daca alegem un sistem de axe ortogonal, astfel ıncat F1(−c, 0) si F2(c, 0), atuncipunctele elipsei verifica ecuatia√

(x+ c)2 + y2 +√

(x− c)2 + y2 = 2a, (4.6)

sau echivalent ecuatia redusa a elipsei

b2= 1, (4.7)

unde b =√a2 − c2.

Pentru elipsa descrisa prin ecuatia redusa (4.7) identificam:- Punctele F1(−c, 0) si F2(c, 0) numite focarele elipsei;- a si b se numesc semiaxele elipsei;- Punctele A(a, 0), A′(−a, 0), B(0, b), B′(0,−b) se numesc varfurile elipsei;- Punctul O(0, 0) se numeste centrul (de simetrie al) elipsei;- Numarul e = c

ase numeste excentricitatea elipsei.

4.3 Hiperbola

Definitie Se numeste hiperbola multimea punctelor din plan M(x, y) care au pro-prietatea ca modulul diferentei distantelor la doua puncte fixe F1 si F2 este constanta.

|d(M,F1)− d(M,F2)| = 2a, (4.8)

unde a > 0.

Daca alegem un sistem de axe ortogonal, astfel ıncat F1(−c, 0) si F2(c, 0), atuncipunctele elipsei verifica ecuatia

(x+ c)2 + y2 −√

(x− c)2 + y2| = 2a, (4.9)

sau echivalent ecuatia redusa a elipsei

a2− b2

b2= 1, (4.10)

unde b =√a2 − c2.

Pentru hiperbola descrisa prin ecuatia redusa (4.10) identificam:- Punctele F1(−c, 0) si F2(c, 0) numite focarele hiperbolei;- a si b se numesc semiaxele hiperbolei;- Punctele A(a, 0), A′(−a, 0) se numesc varfurile hiperbolei;- Punctul O(0, 0) se numeste centrul (de simetrie al) hiperbolei;- Numarul e = c

ase numeste excentricitatea hiperbolei.

4.4 Parabola

Definitie Se numeste parabola multimea punctelor din plan M(x, y) care au pro-prietatea ca distanta de la M la un punct fix F este egala cu distanta de la M la odreapta fixa ∆.

d(M,F ) = d(M,∆). (4.11)

Daca alegem un sistem de axe ortogonal, astfel ıncat F (p2, 0) si ∆ : x = −p

2, atunci

punctele elipsei verifica ecuatia√(x− p

)2+ y2 =

∣∣∣x+p

∣∣∣ , (4.12)

sau echivalent ecuatia redusa a parabolei

y2 = 2px. (4.13)

Pentru parabola descrisa prin ecuatia redusa (4.13) identificam:- Punctul F1(p/2, 0) numite focarul parabobolei;- Punctul O(0, 0) se numeste varful parabolei;- Dreapta x = −p/2 se numeste directoarea parabolei;

4.5 Conice (ecuatii generale)

In coordinate carteziene, conicele reprezinta multimea punctelor care satisfac oecuatie de forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (4.14)

Daca ∆ = B2 − 4AC < 0 atunci ecuatia corespunde unei elipse.Daca ∆ = B2 − 4AC > 0 atunci ecuatia corespunde unei hiperbole.Daca ∆ = B2 − 4AC = 0 atunci ecuatia corespunde unei parabole.

Schimband convenabil coordonatele se obtin ecuatiile clasice (curbele fiind simetricefata de una sau ambele axe). Adica

- Cerc x2 + y2 = r2

- Elipsax2

- Hiperbolax2

a2− y2

- Parabola y2 = 2px

Aceste curbe pot fi descrise si parametric

- Cerc

{x = r cos ty = r sin t

, t ∈ [0.2π]

- Elipsa

{x = a cos ty = b sin t

, t ∈ [0.2π]

- Hiperbola

{x = a cosh ty = b sinh t

, t ∈ [0.2π]

- Parabola

{x = 2pt2

y = 2pt, t ∈ [0.2π]

Exercitii

Exercitiul 1. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(1,0) si estetangent axei Oy.

Exercitiul 2. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(a,b) si estetangent axei Oy si axei Ox.

Exercitiul 3. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(1,-2) si caretrece prin punctul O(0,0).

Exercitiul 4. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul O(0,0) si careare R=1.

Exercitiul 5. Sa se determine pozitia punctului B(2,2) fata de cercul descris deecuatia:

(x− 3)2 + (y + 1)2 − 25 = 0

Exercitiul 6. S se gseasc ecuaia cercului determinat de punctele M(-1,1), N(2,-1) siP(1,3).Exercitiul 7. Sa se scrie ecuatia elipsei care are semiaxele 4 si 2.

Exercitiul 8. Sa se scrie ecuatia elipsei care contine punctul A(2,-1) si axa mareegala cu a=8.

Exercitiul 9. Sa se scrie ecuatia hiperbolei care are axele 2a=10 si 2b=8.

Exercitiul 10. Sa se scrie ecuatia hiperbolei care are axa mare 2a=18 si excentrici-tatea e=4/3.

Exercitiul 11. Sa se scrie ecuatia parabolei dispusa simetric fata de axa Oy, careare varful in punctul O(0,0) si care trece prin punctul D(1,-2).

Exercitiul 11. Ce puncte de intersectie are dreapta y=mx si cercul care are ecuatia(x− 2)2 + (y − 2)2 − 1 = 0. Reprezentati grafic.

Partea II

Elemente de algebra

Capitolul 5

Numere complexe

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE

5.1 Multimea numerelor complexeNotand cu R multimea numerelor reale s-a ıncercat extinderea acesteia ın multimea

numerelor complexe notata C, astfel ca orice ecuatie de gradul al doilea sa aiba solutiiın noua multime. Ca multime, C nu difera de R2, adica C este multimea perechilorordonate de numere reale

C = {(x, y)|x ∈ R, y ∈ R} (5.1)

Pe multimea se C definesc doua operatii algebrice interne, adunarea si ınmultirea,astfel ca (C,+, ·) sa fie corp, iar (R,+, ·) sa poata fi asimilat cu un subcorp al lui C.Avem, oricare ar fi numerele complexe z = (x, y) si z′ = (x′, y′),

z + z′ = (x+ x′, y + y′), (5.2)

z · z′ = (xx′ − yy′, xy′ + x′y).

Elementele neutre al corpului C se noteaza

0 = (0, 0), 1 = (1, 0). (5.3)

Numarul complex (0, 1) a fost notat de Euler prin i, numit unitatea complexa.Avem

i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.

Numarului complex z i se asociaza ın planul xOy (multimea R2) punctul M decoordonate carteziene (x, y) numit imaginea geometrica a lui z. Reciproc fiecarui punctM(x, y) i se asociaza un numar complex z numit afixul lui M. Axa Ox se numeste axareala, axa Oy se mai numeste axa imaginara, iar planul xOy se mai numeste planulcomplex sau planul lui Gauss al variabilei z.

Pentru orice z = (x, y) ∈ C avem z = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) de unde,prin identificarea x ≡ (x, 0), se obtine scrierea uzuala a numerelor complexe z = x+ iy.

Pentru orice z = x+iy ∈ C se defineste conjugatul z = x−iy, partea reala Rsez = xsi partea imaginara Imz = y. Avem

Rez =z + z

2, Imz =

z − z2i

Pentru orice z ∈ C se defineste modulul sau |z| =√x2 + y2 =

√z · z .

Au loc urmatoarele proprietati:

• z = 0 daca si numai daca |z| = 0;

• |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| , ∀z1, z2 ∈ C (inegalitatea triunghiului);

• |z1 · z2| = |z1| · |z2| , ∀z1, z2 ∈ C;

• |Rez| ≤ |z|, |Imz| ≤ |z|.

Pentru orice z ∈ C\ {0}, unicul numar real ϕ astfel ıncat

cosϕ =x

|z|si sinϕ =

se numeste argumentul lui z (determinarea principala a argumentului) si se mai noteazaarg z. Multimea solutiilor ın R a sistemului de ecuatii de mai sus se numeste argumentulnumarului complex z si o notam cu Arg z. Argumentul numarului complex 0 = (0, 0)nu este definit. Avem

Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z.

Fie z ∈ C\ {0} arbitrar. Notand ρ = |z| si folosind ϕ cu semnificatia de mai susrezulta

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ.

Rezultaz = x+ iy = ρ (cosϕ+ i sinϕ)

numita forma trigonometrica a numarului complex z.Doua numere complexe scrise sub forma trigonometrica

z1 = ρ1 (cosϕ1 + i sinϕ1) ,

z2 = ρ2 (cosϕ2 + i sinϕ2) ,

sunt egale daca si numai daca

ρ1 = ρ2, ϕ1 = ϕ2 + 2kπ, k ∈ Z.

Folosind celebra formula a lui Euler

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ,∀ϕ ∈ R,

obtinem forma exponentiala a lui z

z = ρeiϕ.

De exemplu se verifica imediat ca avem

1 + i =√

4+ i sin

2eiπ/4.

Scrierea numerelor complexe ın forma trigonometrica sau exponentiala are avan-teje evidente ın operatiile de ınmultire, ımpartire, ridicare la putere sau extragere deradacina. Avem

z1z2 = ρ1ρ2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)) = ρ1ρ2ei(ϕ1+ϕ2)

=ρ1ρ2

(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)) =ρ1ρ2ei(ϕ1−ϕ2)

zn = ρn (cosnϕ+ i sinnϕ) = ρneinϕ.

Daca ın formula de mai sus luam ρ = 1 se obtine formula lui Moivre

(cosϕ+ i sinϕ)n = cosnϕ+ i sinnϕ.

Avem de asemenea

n√z = n√ρ

ϕ+ 2kπ

n+ i sin

ϕ+ 2kπ

)= n√ρei

ϕ+2kπn , k = 0, 1, 2, ..., (n− 1).

De exemplu se verifica imediat ca ecuatia

z4 + 1 = 0

rescrisa astfelz4 = −1 = eiπ

are solutiilezk = ei(π+2kπ)/4, k = 0, 1, 2, 3.

Inegalitatile ıntre numere complexe nu au sens, corpul C nefiind total ordonat. Sepot scrie inegalitati doar ıntre numere reale asociate numerelor complexe.

Pe multimea C se poate defini o distanta prin

d(z1, z2) = |z1 − z2| ,∀z1, z2 ∈ C

si se cunoaste ca (C, d) este un spatiu metric complet deci un spatiu Hilbert.Fie z0 ∈ C si r > 0. In planul complex o vecinatate a punctului z0 este discul

deschis centrat ın z0 de raza r

B(z0, r) = {z ∈ C| |z − z0| < r}

Se stie ca multimile deschise dintr-un spatiu metric formeaza o topologie, deci oricespatiu metric este ın mod natural un spatiu topologic.

O multime D ⊂ C este deschisa daca ∀z ∈ D, ∃r > 0 astfel ca B(z, r) ⊂ D. DacaC\A este deschisa se spune ca A este ınchisa.

O multime D ⊂ C este conexa daca orice doua puncte din D pot fi unite printr-un contur poligonal continut ın D. Multimile deschise si conexe se numesc domenii.Multimea M ⊂ C este marginita daca este continuta ıntr-un disc. O multime K ⊂ Ceste compacta daca este ınchisa si marginita. Un sir de puncte {zn}n≥0 din C esteconvergent catre un punct z0 ∈ C daca d(zn, z0) = |zn − z0| tinde catre zero candn→∞.

Tinand cont ca zn = (xn, yn) ∈ R2,∀n ≥ 0, rezulta ca sirul de numere complexe{zn = xn + iyn}, n ∈ N , este convergent ın C daca si numai daca sirurile de numerereale {xn}n∈N, {yn}n∈N sunt convergente ın R.

Se spune ca sirul de numere complexe {zn}n∈N are limita infinita daca limn→∞

|zn| =

+∞ ın R.Aici R = R ∪ {−∞,+∞} poarta numele de dreapta reala ıncheiata sau compacti-

ficata.Este util dupa modelul dreptei reale sa extindem modelul numerelor complexe prin

introducerea, de data aceasta, a unui singur punct la infinit, notat cu simbolul ∞.Pe multimea C = C∪{∞} numit planul complex compactificat s-au extins operatiile

de adunare si de ınmultire cu anumite reguli de calcul” ın cazul cand unul din elementeeste ∞. Avem prin definitie

a+∞ = ∞+ a =∞,∀a ∈ Ca · ∞ = ∞ · a =∞,∀a ∈ C\ {0}

0= ∞,∀a ∈ C\ {0}

Prin definitie ∞ ·∞ =∞ iar operatiile ∞+∞,∞−∞ si 0 · ∞ nu se definesc.Pe C se introduce o topologie ın care multimile deschise sunt reuniuni oarecare de

discuri deschise.Putem lua drept vecinatati ale lui ∞ complementarele unor multimi compacte din

C. In particular, exteriorul unui cerc cu centrul ın origine este o vecinatate a punctuluide la ∞.

Daca consideram sirurile cu limita infinita, deci sirurile {zn}n∈N ⊂ C cu propri-etatea

limn→∞

|zn| = +∞ ın R

vom observa ca numai un numar finit de termeni ai acestui sir se afla ın interiorul unuicerc cu centrul ın origine. Pentru aceste siruri putem scrie lim

n→∞zn =∞.

In figura 1.2 se observa cum punctele lui C pot fi reprezentate pe o sfera (sfera luiRiemann) prin proiectie stereografica.

Punctului M ′ oarecare de pe sfera (distinct de N , opus lui O) ıi corespunde Mdin C obtinut prin intersectia dreptei NM ′ cu planul. Daca punctului N ıi asociempunctul de la infinit si reciproc, se realizeaza o bijectie ıntre punctele de pe sfera luiRiemann si planul lui Gauss.

Functii complexe de o variabila realaDaca se tine seama de bijectia ıntre multimea numerelor complexe C si multimea

z ∈ C⇐⇒ (Rez, Imz) ∈ R2

rezulta ca o functie complexa de o variabila reala este o functie vectoriala bidimen-sionala de o variabila reala

(t ∈ [α, β] ⊂ R 7−→z(t) ∈ C)⇐⇒ (t ∈ [α, β] ⊂ R 7−→ (x(t), y(t) ∈ R2)

Functia z(t) poate fi privita ca un drum parametrizat ın C daca este continua pe[α, β]. Deci reprezentarea parametrica a curbei ν{

x = x(t)y = y(t), t ∈ [α, β]

poate fi scrisa ın notatie complexa z = z(t), t ∈ [α, β] unde z(α) = a si z(β) = b. Inaceasta reprezentare nu exista nici o indicatie asupra modului ın care se obtine z(t)pentru un t dat ın [α, β] ci numai ca z = z(t) ∈ ν,∀t ∈ [α, β].

In electrotehnica, unde functiile complexe de o variabila reala se ıntalnesc frecvent,se folosesc asa numitele diagrame, adica curba ν reprezentata de ecuatia z = z(t)ınsotita de un procedeu grafic de corespondenta ıntre valorile variabilei (parametrul t)si punctele de pe curba.

Este utila de asemenea o reprezentare ın complex a functiilor sinusoidale reale.O functie y : R→ R, y(t) = A sin(ωt + ϕ) cu A ≥ 0 si ϕ real se numeste functie

sinusoidala de pulsatie ω. A ≥ 0 se numeste amplitudinea functiei, iar ϕ este faza lamomentul initial. Fie Sω multimea functiilor sinusoidale de aceeasi pulsatie ω. Oricefunctie y ∈ Sω este evident periodica de perioada principala T = 2π

ω. Functia x(t) =

A cos(ωt+ ϕ) se mai numeste conjugata lui y. Daca notam z(t) = x(t) + iy(t), avem

z(t) = A [cos(ωt+ ϕ) + i sin(ωt+ ϕ)] = Aei(ωt+ϕ) = Aeiϕ · eiωt

Se observa ca odata fixata pulsatia ω, functia z(t) ( deci si y(t) ) este perfectdeterminata de valorile A si ϕ, adica de cunoasterea numarului complex Aeiϕ.

Aplicatia F : Sω → C, prin care lui y ∈ Sω, arbitrar ıi corespunde Aeiϕ = A ∈C, se numeste reprezentarea lui Fresnel a marimilor sinusoidale reale ın complex sautransformarea lui Fresnel

A = F(y)

se numeste imaginea ın complex a functiei sinusoidale y.Aplicatia F este evident o bijectie. Avem

y(t) = Im(A · eiωt) ∀t ∈ R

si este echivalenta cu y = F−1(A).Importanta transformarii Fresnel consta ın faptul ca reduce unele operatii cu functii

sinusoidale reale de o aceeasi pulsatie ω la operatii corespunzatoare efectuate numai cuimaginile lor. Avem

a) Imaginea derivatei y′(t) a unei functii sinusoidale (care este tot sinusoidala deaceeasi pulsatie ω) se obtine din imaginea A a functiei y(t) prin ınmultire cu ωi.

Demonstratie Din y(t) = A sin($t+ϕ) avem prin derivare y′(t) = Aω cos(ωt+ϕ) =Aω cos(ωt+ ϕ+ π

2). Rezulta ca imaginea derivatei va fi

A′ = ωAei(ϕ+π2) = ωei

π2Aeiϕ = ωi · A

In acelasi mod se demonstreaza:b) Imaginea unicei primitive sinusoidale de aceeasi pulsatie ω cu a functiei date y(t)

se obtine prin ımpartirea cu ωi imaginii lui y(t), adica

ωi· A

c) Imaginea sumei a doua functii sinusoidale de pulsatie ω (care este tot sinusoidalade pulsatie ω) este egala cu suma imaginilor celor doua functii.

d) Pentru orice constanta reala K, imaginea functiei Ky(t) este A1 = K · A.Aceste proprietati permit transformarea unor relatii ıntre functii sinusoidale, derivatele

si primitivele lor, ın relatii ın care nu intervin decat operatii algebrice.

Example 1 Sa se determine diferenta de potential la bornele unui circuit ın serieformat dintr-un rezistor cu rezistenta R, o bobina cu inductanta L si un condensatorde capacitate C, prin care circula un curent alternativ de intensitate i(t) = I sin(ωt+ϕ).

Ecuatia circuitului se stie ca este de forma

u(t) = R i(t) + Ldi

∫i(t)dt.

Imaginea Fresnel U a lui u(t) se obtine folosind proprietatile acesteia. Avem aplicandtransformarea Fresnel

U = R′I + LI ωi+1

CωiI =

[R + (Lω − 1

]I = Z · I

Numarul complex Z = R + (ωL − 1ωC

)i se numeste impedanta complexa a circuitului.Avem

U = Z · I

relatie analoaga cu legea lui Ohm din cazul curentului continuu. Vom avea u = F−1(U)deci

u(t) = I |Z| sin($t+ ϕ+ θ); unde θ = argZ

5.2 Functii olomorfe. Conditiile Cauchy-RiemannPrin definitie se numeste functie complexa de variabila complexa, aplicatia

f : D ⊂ C→ C

Functia f poate fi privita fie ca functie de variabila z = x + iy ∈ D, fie ca functiede variabilele independente x si y cu (x, y) ∈ D.

Se poate deci nota

f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y)

Se pun ın evidenta aplicatiile

z 7−→ u(x, y) = Ref(z)

z 7−→ v(x, y) = Imf(z)

care sunt functii complexe particulare si anume sunt functii reale de o variabila com-plexa.

Se observa ca definitia lui f(z) este echivalenta cu definirea simultana a doua functiireale u si v, de varibile reale x si y.

Topologia planului complex, fiind de fapt topologia spatiului E2 (unde am notat cuE2 multimea R2 cu structura topologica de spatiu euclidian real de dimensiune doi)notiunile de limita si continuitate se extind cu usurinta si ın complex, considerand ofunctie complexa de variabila complexa ca o functie vectoriala f : D ⊂ R2 → R2.

Unde se va deosebi o functie complexa de o variabila complexa de o functie vectorialabidimensionala de doua variabile reale este ın problema derivabilitatii.

Pe cand la acestea din urma se studiaza doar existenta si proprietatiile matriceiformate din derivatele partiale ale functiilor componente, la functii complexe de o vari-abila complexa se pune problema existentei unei derivate globale a functiei complexe(nedesfacute ın componente reale). Ajungem astfel la importanta notiune de olomorfiea unei functii complexe de variabila complexa (olos = ıntreg, morfos = forma).

Definitie Functia f : D → C se numeste derivabila sau monogena (olomorfa) ıntr-unpunct z0 ∈ D daca exista si este finita limita

limz→z0z 6=z0

f(z)− f(z0)

z − z0

Limita, daca exista, se noteaza f ′(z0).

Functia f se numeste olomorfa pe D, daca este derivabila ın fiecare punct al lui D.Observand ca ın ipoteza existentei derivatei, relatia de definitie a ei are aceiasi

structura formala ca ın domeniul real, se deduc exact aceleasi reguli formale de derivaresi ın C ca si ın R.

Se va vedea ca functiile olomorfe au unele proprietati pe care functiile real derivabilenu le au, deoarece ın conceptul de olomorfie existenta limitei de definitie a derivatei

implica independenta ei de directia de tindere a lui z catre z0 (ceea ce este mai restrictivdecat trecerea la limita pe dreapta reala) prin care z tinde catre z0 (figura 1.5)

Daca f este olomorfa ın z0 atunci conform definitiei

f ′(z0) = limh→0

f(z0 + h)− f(z0)

h= lim

f(z0 + ih)− f(z0)

si tinand cont ca f = u(x, y) + iv(x, y), avem

f ′(z0) = limh→0

u(x0 + h, y0)− u(x0, y0)

h+ ilim

v(x0 + h, y0)− v(x0, y0)

= limh→0

u(x0, y0 + h)− u(x0, y0)

ih+ ilim

v(x0, y0 + h)− v(x0, y0)

Daca presupunem ca u si v admit derivate partiale ın raport cu x si y ın punctul(x0, y0) rezulta prin trecere la limita ca

f ′(z0) =∂u

∂x(x0, y0) + i

∂x(x0, y0) =

∂y(x0, y0) +

∂y(x0, y0)

de unde ınlocuind punctul (x0, y0) cu unul oarecare se deduc celebrele conditii Cauchy-Riemann

{ ∂u∂x

= ∂v∂y

∂u∂y

= − ∂v∂x

Observatie Intr-un punct oarecare avem formulele de calcul

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂x=∂v

∂y− i∂u

Cauchy a descoperit conditiile C-R efectuand cercetari privind integralele dublereale (realizand ca ele contin esenta teoriei de trecere de la complex la real) ın timpce Riemann a ajuns la aceleasi conditii efectuand cercetari ın domeniul ecuatiilor cudeerivate partiale.

Criteriu de olomorfie Fie D ⊂ C o multime deschisa si f : D → C, f = u + iv.Daca u, v ∈ C1(D) si daca ın orice punct z ∈ D au loc conditiile C-R atuncifunctia f este olomorfa pe D.

Example 2 Fie functia f = u+ iv de forma f = (x2 − y2) + i · 2xy.a) Sa se verifice ca f este olomorfa ın tot planulb) Sa se aduca f la forma w = f(z).

a) Functiile polinomiale u = x2 + y2 si v = 2xy sunt de clasa C1 ın tot planul, ınplus conditiile C-R se verifica ın fiecare punct din C, deci f este olomorfa ın C conformcriteriului de olomorfie.

b) Se stie ca functiile olomorfe w = u(x, y) + iv(x, y), pot fi puse sub forma w =f(z) = u(z, 0)+ iv(z, 0), adica ın expresia lui w, ınlocuim pe x cu z si pe y cu 0. Avemw = f(z) = z2.

Example 3 Sa se verifice ca ın coordonate polare conditiile C-R, sunt:

∂θsi∂v

∂r= −1

Pentru a arata egalitatiile de mai sus este suficient sa se exprime derivatele partiale∂u∂x

, ∂u∂y

, ∂v∂x

, ∂v∂y

ın functie de derivatele partiale ∂u∂r

, ∂u∂θ

, ∂v∂r

, ∂v∂θ

si tinand seama deconditiile Cauchy-Riemann ın coordonate carteziene rezulta conditiile Cauchy-Riemannın coordonate polare.

Una din contributiile matematicianului roman Dimitrie Pompeiu ın analiza com-plexa a fost definirea derivatei areolare.

Se porneste de la faptul ca daca u si v au derivate partiale ın raport cu x si yrezulta ca si f are derivate partiale ın raport cu x si y (ca suma de doua functii,neavand importanta ca f are valori complexe). Avem:

∂x=∂u

∂x+ i

∂x,∂f

∂y=∂u

∂y+ i

2(∂f

∂x− i∂f

∂y)si

2(∂f

∂x+ i

Prin definitie numarul ∂f∂z

(z0) se numeste derivata areolara a lui f ın punctul z0 ∈ D.Importanta acestei notiuni este data de urmatoarea teorema.

Theorem 4 Fie D ⊂ C este o multime deschisa si f : D → C, f = u + iv. Dacau, v ∈ C1(D) si ∂f

∂z= 0 pe D, atunci functia f este olomorfa pe D.

Example 5 Se da functia f : C→ C definita prin f(z, z) = z5 + zz − 2z + 4z. Sa sedetermine punctele din plan ın care f este derivabila.

Evident functiile u si v sunt de clasa C1 ın tot planul. Ramane sa verificamconditiile C-R; vom utiliza derivata areolara. Avem

∂z= z + 4 = 0⇒ x+ iy + 4 = 0⇒

{x = −4y = 0

Rezulta ca f este derivabila ıntr-un singur punct, (-4,0).

Se reaminteste ın continuare ca o functie u : D → R de clasa C2 pe deschisul D senumeste armonica daca avem ∆u = ∂2u

∂x2+ ∂2u

∂y2= 0, ın fiecare punct al lui D.

Theorem 6 Fie D ⊂ C o multime deschisa si f : D → C, f = u+iv cu u, v ∈ C2(D).Daca f este olomorfa pe D, atunci functiile u, v sunt functii armonice pe D.

Demonstratie In fiecare punct din D avem

∂x2+∂2u

∂y2=

∂x(∂u

∂x) +

∂y(∂u

∂y)C−R=

∂x(∂v

∂y) +

∂y(−∂v∂x

) =∂2v

∂x∂y− ∂2v

∂y∂x= 0

conform criteriului lui Scwarz.

Deci ∆u = 0 pe D. Asemanator se verifica ∆v = 0.

Daca pentru f(z) = u(x, y) + iv(x, y) se da de exemplu u(x, y) de clasa C2(D),atunci, putem determina pe v(x, y) astfel ca f sa fie olomorfa pe D.

dv(x, y) =∂v

∂xdx+

∂ydy = −∂u

∂xdx+

∂ydy

v(x, y) =

(x,y)∫(x0,y0)

(−∂u∂x

)dx+∂u

∂ydy +K (K ∈ R)

integrala fiind independenta de drum, conditionata de armonicitatea lui u(x, y)ın D.

Analog putem proceda daca ni se da v(x, y).

Example 7 Sa se determine functia olomorfa, f = u+ iv, stiind ca u(x, y) = x2− y2si f(0) = 0.

Verificam daca ∆u = 0; Avem

∂x= 2x;

∂y= −2y;

∂x2+∂2u

∂y2= 2 + (−2) = 0

Ramane sa determinam functia v(x, y).

Metoda 1 Folosim expresia diferentialei lui v

dv(x, y) =∂v

∂xdx+

∂ydy

C−R= −∂u

∂ydx+

∂xdy = 2ydx+ 2xdy

Expresia 2ydx+ 2xdy este o diferentiala totala, deoarece am verificat ca functiau este armonica; integrand, obtinem:

v(x, y) =

2 · 0 dt+

2xdt+K = 2xy +K

Rezulta:

f = u+ iv = (x2 − y2) + i(2xy +K)|x=z,y=0 = z2 + iK

Dar f(0) = 0⇒ K = 0, deci f(z) = z2

Metoda 2 Folosim expresia derivatei lui f obtinuta ın decursul demonstratiei conditiilorC-R. Avem

f ′ =∂u

∂x+ i

∂x=∂u

∂x− i∂u

∂y= 2x+ i · 2y|x=z,y=0 = 2z

Deoarece si functia f ′ este olomorfa, asa cum se va vedea ea admite o primitivape C. Integrand avem f(z) = z2 + K. Deoarece f(0) = 0 rezulta K = 0, decif(z) = z2.

Metoda 3 Deoarece conform conditiilor C-R:{ ∂u∂x

= ∂v∂y

∂u∂y

= − ∂v∂x

∂v∂x

= 2y∂v∂y

Integram ın raport cu x prima ecuatie si folosind drept constanta de integrareg(y) pentru a obtine pe v drept functie de doua variabile, avem

v(x, y) = 2xy + g(y)

Functia v astfel obtinuta trebuie sa verifice ecuatia a doua.

2x+ g′(y) = 2x⇒ g′(y) = 0⇒ g(y) = K

Deci v(x, y) = 2xy +K. In continuare procedam ca la metoda 1.

Prin definitie un punct a ∈ D, este pentru f : D → C, punct ordinar, daca exista ovecinatate a lui a ın care f este olomorfa. Cazuri particulare de puncte ordinare suntzerourile lui f .

Definitie Daca f(z) se poate prezenta sub forma f(z) = (z − a)pg(z) unde p ∈ N;g(a) 6= 0 si g(z) olomorfa ın vecinatatea lui a, atunci punctul a este zero deordinul p al lui f .

Se numesc puncte singulare ale lui f toate punctele planului C care nu sunt puncteordinare.

Ele pot fi puncte singulare izolate si respectiv neizolate. In primul caz exista ovecinatate a lui a, ın care nu exista alte puncte singulare ale lui f diferite de a. In aldoilea caz punctul singular a, apare ca punct de acumulare a multimii singularitatilorlui f .

Definitie Punctul singular a se numeste pol pentru f (si anume de ordinul p ∈ N),daca este un zero (respectiv de ordin p) pentru 1

Deci din definitia polului a de ordin p, rezulta ca el este un punct ordinar ce nueste zero pentru g(z) = f(z)(z − a)psi ca putem scrie: f(z) = g(z)

(z−a)p .

Definitie Orice punct singular al lui f care nu este pol se numeste punct singularesential. El poate fi izolat sau nu.

Definitie Se numeste punct singular aparent (sau singularitate ınlaturabila) un puncta ∈ D pentru care f nu este definita, ınsa exista limita finita: lim

z→af(z).

Pentru a determina natura punctului ∞ ∈ C, pentru o functie f , se considerah(z) = f(1

z) si se studiaza natura punctului 0 fata de h.

Example 8 Sa se studieze singularitatile functilor

f1(z) =z2 − 4

z2 + z − 2

f2(z) =1

(z − i)3

f3(z) =1

sin 1z

Scriind functia f1(z) = z2−4z2+z−2 = (z−2)(z+2)

(z−1)(z+2), se observa ca z = 2 este un zero de

ordinul ıntai, z = −2 este singularitate ınlaturabila iar z = 1 este un pol de ordinulıntai.

Functia f2(z) are pe z = i drept pol de ordin 3.Cercetam polii functiei f3(z). Avem sin 1

z= 0 deci ak = 1

kπ(k ∈ Z) sunt poli

simplii.Se observa ca numarul 0 apare ca punct de acumulare a multimii polilor deci este

un punct singular esential neizolat. Punctul z =∞ este un pol simplu.Functii elementare

Acestea sunt extensiile la multimea C ale functiilor elementare definite pe R.

a) Functia f : C→ C, f(z) = zn, este olomorfa pe C.

Intr-adevar, ∀z0 ∈ C, avem:

limz→z0

zn − zn0z − z0

= nzn−10

deci f ′(z) = nzn−1,∀z ∈ C. Rezulta ca functiile polinomiale sunt olomorfe pe C (casume de functii olomorfe). Functia polinomiala este evident o functie ıntreaga avand(conform teoriei fundamentale a algebrei) atatea zerouri (distincte sau nu) cat estegradul sau n, iar punctul ∞ ıi este pol de ordinul n.

De asemenea functiile rationale sunt olomorfe pe domeniul lor de definitie; ıntr-adevar, daca f = P

Q, cu P,Q polinoame, atunci f este olomorfa pe deschisul C \ {z ∈ C| Q(z) = 0}.

Zerourile lui f coincid cu ale lui P iar singularitatile lui f sunt poli ce coincid cu ze-rourile lui Q, cu ordinele de multiplicitate corespunzatoare. Rezulta ca f , functierationala este o functie meromorfa ın tot planul.

b) Functia exponentiala complexa: f : C→ C, f(z) = ez este functia f(z) = ρeiϕ,unde ρ = |f(z)| = ex si ϕ = arg f(z) = y. Intr-adevar, putem scrie ez = ex+iy =ex · eiy = ρ · eiϕ; ∀z ∈ C.

Functia exponentiala a fost definita astfel ıncat sa se mentina si ın C, relatiafunctionala caracteristica exponentialei reale:

f(z1 + z2) = f(z1) · f(z2); ∀z1, z2 ∈ C

Se verifica usor ca ez este o functie ıntreaga si are punctul ∞ ca punct singularesential:

Daca ϕ ∈ R are loc celebra formula:

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ (formula lui Euler); ∀ϕ ∈ R

Rezulta ca functia exponentiala este periodica de perioada 2πi.Functiile circulare si cele hiperbolice se definesc prin functia exponentiala ın modul

urmator:

cos z =1

2(eiz + e−iz); sin z =

2i(eiz − e−iz)

tg z =sin z

cos z; ctg z =

si respectiv:

ch z =1

2(ez + e−z); sh z =

2i(ei − e−z)

th z =sh z

ch z; cth z =

c) Functia logaritm natural: w = f(z) = Ln z

Aceasta functie se defineste ca o functie inversa a exponentialei. Fie deci ecuatia

ew = z, z ∈ C \ 0

Ecuatia aceasta admite o infinitate de solutii.Intr-adevar, notand w = u+ iv, fie z = ρeiϕ. Avem

eu+iv = ρeiϕ

eu(cos v + i sin v) = ρ(cosϕ+ i sinϕ)

Din egalitatea modulelor rezulta

eu = ρ, deci u = ln ρ = ln |z| = ln√x2 + y2

Pentru argumente avem

v = ϕ+ 2kπ = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, ...

Rezulta

Ln z = ln√x2 + y2 + i(arctg

x+ 2kπ), (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} , k ∈ Z

Re(Ln z) = ln√x2 + y2; Im(Ln z) = arctg

x+ 2kπ, (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} , k ∈ Z

Se observa ca pentru un numar complex z = x + iy dat, z 6= 0, partea imaginaraa numarului Ln z nu este unic determinata (fiind dependenta de parametrul k ∈ Z, eapoate lua o infinitate de valori). In fapt, functia logaritmica complexa asociata fiecaruinumar z ∈ C, z 6= 0, nu o singura imagine (ca ın cazul functiei logaritmice reale), ci oinfinitate de imagini (corespunzatoare valorilor k ∈ Z).

O astfel de functie se numeste multiforma. Functia multiforma Ln z are o infinitatede determinari sau ramuri distincte

Ln0 z = ln |z|+ i arg z; k = 0

Ln1 z = ln |z|+ i(arg z + 2π); k = 1

Ln−1 z = ln |z|+ i(arg z − 2π); k = −1...

Se poate fixa o determinare principala a lui Ln z, daca practicam de exemplu otaietura pe axa reala pozitiva. Consideram argumentul lui z ca fiind cuprins ıntre0 si 2π. Pentru z situat pe taietura (figura 1.6) pe partea y pozitiv, luam ϕ = 0.Daca descriem un contur ınchis ın jurul punctului z = 0, ajungem pe partea taieturiisituata ınspre y-cii negativi, avem ϕ = 2π. Daca nu traversam niciodata taieturaT = {z ∈ C| Imz = 0, Rez ≥ 0} functia Ln z este bine determinata convenind sa luamk = 0. Se spune ca ea este uniforma pe C \T .

Capitolul 6

Matrice

CAPITOLUL 6. MATRICE

Capitolul 7

Determinanti

CAPITOLUL 7. DETERMINANTI

Capitolul 8

Sisteme liniare

CAPITOLUL 8. SISTEME LINIARE

Exercitii

1. Fie matricile A =

(2 1 13 0 1

), B =

x 1y u1 v

si C =

(9 310 3

). Aflati

x, y, u, v numere reale daca AB = C.

2. Rezolvati ecuatia matriciala XA = B, unde A =

(3 24 3

(1 −1−1 1

3. Aflati rangul matricii

0 1 21 2 4−1 3 6

4. Aflati x ∈ R daca matricea

−1 3 x0 1 41 2 1

este singulara (adica are determi-

nantul nul).

5. Rezolvati sistemul algebric

x+ y + 2z = −1

2x− y + 2z = −44x+ y + 4z = −2

6. Se dau matricile A =

(1 0−1 2

)si B =

(2 31 4

). Aflati matricea AB −BA.

7. Se dau matricile A =

3 1 0−1 4 20 −2 1

si B =

2 −3 30 1 −11 2 4

Aflati det(AB).

8. Aflati matricea coloana din ecuatia

3 −1 11 1 −2−1 1 1

4−22

9. Aflati numarul real x astfel ıncat matricea

1 0 1 01 1 0 00 1 x 0

sa aiba rangul 2.

10. Fie matricea A =

(2 −3−2 3

). Formati matricea A − λI2, unde I2 este

matricea unitate de ordin 2, iar λ ∈ R. Aflati toate valorile lui λ daca det(A−λI2) = 0.

11. Aflati numerele reale x si y daca x

(1 21 −2

(2 41 −2

)= O2, unde O2

este matricea nula de ordin 2.

12. Fie matricile A =

(1 22 0

), B =

(0 1−1 0

)si C =

(2 62 0

). Exista

x, y, z ∈ R nu toate nule astfel ıncat xA+ yB + zC = O2 ?

13. Aflati multimea solutiilor sistemului

{x− 2y + z = 0x+ 3y − 2z = 0

CAPITOLUL 8. SISTEME LINIARE

14. Aratati ca sistemul

x+ y + 2z = 1

2x+ 2y + z = −1x+ y − z = −2

este compatibil simplu nedetermi-

nat si aflati multimea solutiilor.

15. Rezolvati sistemul algebric

x+ y + z + t = 1x+ y + z − t = 0x+ y − z + t = 2

4x+ y − 2z = 0x− 2y + z = 0

11x− 4y − z = 0admite si alte solutii decat cea

x− 2y + z + t = 6

2x+ y − 5z − t = −144x− 3y − 3z + t = −2

este compatibil dublu nede-

terminat si aflati multimea solutiilor.

18. Aflati valorile parametrului a pentru care sistemul

x− ay + z = 0ax+ y − 2z = 03x+ y + 3z = 0

mite si solutii diferite de cea nula.

Partea III

Elemente de analiza matematica

Capitolul 9

Siruri si functii

CAPITOLUL 9. SIRURI SI FUNCTII

Capitolul 10

Functii elementare. Functiicontinue. Functii derivabile

CAPITOLUL 10. FUNCTII

Functia putere

f : R −→ R, f(x) = x2n, n ∈ N?

Figura 10.1: Functia putere f(x) = x2n, n ∈ N?

Functia putere

f : R −→ R, f(x) = x2n+1, n ∈ N?

Figura 10.2: Functia putere f(x) = x2n+1, n ∈ N?

Functia radical de indice par

f : (0,∞) −→ (0,∞), f(x) = 2n√x, n ∈ N?

Figura 10.3: Functia radical f(x) = 2n√x, n ∈ N?

Functia radical de indice impar

f : R −→ R, f(x) = 2n+1√x, n ∈ N?

Figura 10.4: Functia radical f(x) = 2n+1√x, n ∈ N?

Functia putere

f : R −→ R, f(x) =1

x2n+1, n ∈ N

Figura 10.5: Functia putere f(x) =1

x2n+1, n ∈ N

Functia putere

f(x) =1

x2n, n ∈ N?

Figura 10.6: Functia putere f(x) =1

x2n, n ∈ N?

Functia exponentiala

f : R −→ (0,∞), f(x) = ax, a ∈ (1,∞)

Figura 10.7: Functia exponentiala f(x) = ax, a ∈ (1,∞)

Functia exponentiala

f : R −→ (0,∞, f(x) = ax, a ∈ (0, 1)

Figura 10.8: Functia exponentiala f(x) = ax, a ∈ (0, 1)

Functia logaritmica

f : (0,∞) −→ R, f(x) = loga x, a ∈ (1,∞)

Figura 10.9: Functia logaritmica f(x) = loga x, a ∈ (1,∞)

Functia logaritmica

f : (0,∞) −→ R, f(x) = loga x, a ∈ (0, 1)

Figura 10.10: Functia logaritmica f(x) = loga x, a ∈ (0, 1)

Capitolul 11

Integrale

CAPITOLUL 11. INTEGRALE

Primitive. Integrale nedefiniteLista integralelor nedefinite uzuale∫

xndx =xn+1

n+ 1+ C, n ∈ Z\{−1} (11.1)∫

∫x−1dx = ln |x|+ C (11.2)∫

x2dx =

∫x−2dx = −1

x+ C, a 6= 0 (11.3)∫

xαdx =xα+1

α + 1+ C, α ∈ R\{−1} (11.4)∫

1√xdx = 2

√x+ C, α ∈ R\{−1} (11.5)∫

x+ adx = ln |x+ a|+ C (11.6)∫

x2 + a2dx =

aarctg

)+ C, a 6= 0 (11.7)∫

x2 − a2dx =

∣∣∣∣x− ax+ a

∣∣∣∣+ C, a 6= 0 (11.8)∫1√

x2 + a2dx = ln

(x+√x2 + a2

)+ C, a 6= 0 (11.9)∫

1√x2 − a2

dx = ln∣∣∣x+

√x2 − a2

∣∣∣+ C, a 6= 0 (11.10)∫1√

a2 − x2dx = arcsin

)+ C, a 6= 0 (11.11)∫

axdx =ax

ln (a)+ C, a > 0 (11.12)∫

exdx = ex + C (11.13)∫sin (x) dx = − cos (x) + C (11.14)∫cos (x) dx = sin (x) + C (11.15)∫

tg (x) dx = − ln |cos (x)|+ C (11.16)∫ctg (x) dx = ln |sin (x)|+ C (11.17)

cos2 xdx = tg(x) + C (11.18)∫

sin2 xdx = −ctg(x) + C (11.19)

Metode de calcul pentru integrale nedefinite1) Metoda directa (conform definitiei)

Daca f : I → R este continua pe I ⊂ R, I interval, si F : I → R este o primitiva a luif , atunci ∫

f(x)dx = F (x) + C (11.20)

Altfel scris, daca F : I → R este o functie derivabila pe intervalul I ⊂ R, atunci∫F ′(x)dx = F (x) + C (11.21)

2) Metoda integrarii prin partiDaca f : I → R si g : I → R sunt functii derivabile pe I ⊂ R, I interval, atunci∫

f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx (11.22)

3) Metoda schimbarii de variabilaDaca f : J → R este continua pe intervalul J ⊂ R, F : J → R este o primitiva a lui fsi u : I → J este functie derivabila pe intervalul I ⊂ R, atunci∫

f(u(x))u′(x)dx =

∫f(t)dt = F (t) + C = F (u(x)) + C (11.23)

Practic notam t = u(x), apoi dt = u′(x)dx, inlocuim in integrala nedefinita, continuamcalculele si ın final revenim la variabila x.

(11.24)

(11.25)

(11.26)

(11.27)

(11.28)

Integrale definite

Metode de calcul pentru integrale definite1) Metoda directa (Formula Leibniz-Newton)

Daca f : [a, b] → R este continua pe [a, b] si F : [a, b] → R este o primitiva a lui f ,atunci ∫ b

f(x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) (11.29)

2) Metoda integrarii prin partiDaca f : [a, b]→ R si g : [a, b]→ R sunt functii derivabile pe [a, b], atunci∫ b

f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)|ba −∫ b

f(x)g′(x)dx (11.30)

3) Metoda schimbarii de variabilaDaca f : [α, β] → R este continua pe intervalul [α, β], F : [α, β] → R este o primitivaa lui f si u : [a, b]→ [α, β] este functie derivabila pe intervalul [a, b], atunci∫ b

f(u(x))u′(x)dx =

∫ β

f(t)dt = F (t)|βα = F (β)− F (α) (11.31)

Practic notam t = u(x), apoi dt = u′(x)dx, calculam α = u(a) si β = u(b), inlocuim inintegrala definita si continuam calculele.

Aplicatii1. Sa se studieze derivabilitatea functiei f : R→ R, f(x) = |2x− 3|.2. Calculati derivata functiei f(x) = (x2 + 1)

√x+ 1 si specificati domeniul maxim

de definitie al lui f si f ′.3. Rezolvati ecuatia f ′(x) = 0 pentru functia f(x) = e−x sinx definita pe R.4. Calculati derivata de ordin 3 a functiei f : R\{2} → R, f(x) = 1

x−2 . Generalizatipentru derivata de ordin n.

5. Aflati punctele de extrem local ale functiei f(x) = x2−8 lnx definita pe domeniulmaxim de definitie. Sunt acestea si puncte de extrem absolut?

6. Aflati punctele critice ale functiei f(x) = (x2−3)√x definita pe intervalul [0,∞).

7. Fie a un numar strict pozitiv. Definim f : R → R, f(x) = xx2+a

. Studiatimonotonia functiei.

8. Fie f : (−1, 1)→ R, f(x) = ln 1−x1+x

. Aflati punctele de inflexiune ale lui f .9. Care sunt intervalele de convexitate si de concavitate pentru functia f : [0, 2π]→

R, f(x) = x+ 2 cosx ?10. Aflati asimptotele la graficul functiei f(x) = 4x+1

3x−2 .

11. Aflati limita limx→0

2x−sin(2x)x3

12. Sa se arate ca f(x) = x+ 2arctg(x) este strict crescatoare pe R.13. Pe ce intervale functia f : R→ R, f(x) = x4 − 9x2 este descrescatoare?14. Este f(x) = x+1

x+2strict crescatoare pe domeniul maxim de definitie? Specificati

un interval maxim pe care este crescatoare.15. Sa se determine cea mai mare si cea mai mica valoare a functiei

f : [0, 7]→ R, f(x) = x+18

+ 2x+1

.16. Aflati punctele de minim si maxim local ale functiei

f(x) = (x2 − 2x)ex definita pe R.17. Aflati maximul functiei f : [0, 2]→ R, f(x) =

√x(2− x).

18. Determinati multimea valorilor lui f(x) = 3xx2+9

definita pe R.19. Aflati valorile functiei f : (−1,∞) → R, f(x) = ln(x + 1) − x

x+1. Deduceti ca

xx+1≤ ln(1 + x), ∀x > −1.

20. Folosind regula lui l’Hospital, calculati limita la dreapta ın 0 a lui f(x) = x2 lnx.

21. Calculati

π∫0

x cosxdx.

22. Aratati ca

1√xdx = 2.

23. Calculati

π∫0

(e3x + cos(2x))dx.

24. Calculati

(√x+ 2− 2

x2 + 4)dx.

25. Aflati integralele definite

x2 − 4dx si

x2 + 4x+ 3dx, folosind eventual

aceeasi metoda.

x2 + 2dx si

x2 + 2x+ 4dx, folosind aceeasi

metoda.

π2∫

cos2 x sinxdx si

π2∫

cos3 xdx, folosind aceeasi metoda.

28. Calculati

1∫−1

1 + x3dx.

29. Calculati

(x2 + 5) lnxdx.

30. Fie f(x) = x2+1x2(x−1) . Aflati constantele a, b, c astfel ıncıt

f(x) = ax

+ cx−1 . Calculati

f(x)dx.

Titlul programului: Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013

Titlul proiectului: Calitate, inovare, comunicare - instrumente eficiente utilizate pentru creşterea accesului şi promovabilităţii în învăţământul superior tehnic

Editorul materialului: Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti

Data publicării:Mai 2015

Conţinutul acestui material nu reprezintă în mod obligatoriu poziţia oficială a Uniunii Europene sau a Guvernului României

Manual suport disciplina Matematică - ACCESacces.chimie.upb.ro/doc/manual-matematica.pdf ·...

Documents