Funcţia de gradul II

Grupa III: Beccalli Michele Gheţe Mihai

Roşca Adrian Someşan Renata Szucs Alexandra Tranulov Gabriel

Clasa a IX-a BLiceul Teologic Greco-

Catolic,ORADEA

Diagrama KWL

(Know/Wonder/Learn)

Învăţare prin colaborare on-line

Functia de gradul II Ce

ştiu?Ce-aş vrea

să ştiu? Ce am învăţat?

Definiţia •Graficul funcţiei•Monotonia•Semnul•Paritatea

Graficul funcţieiInterpretarea geometrică al lui GfParabolaMonotoniaForma canonicăDeterminarea vârfuluiFormula de rezolvare a ecuaţiei de gradul IIIntersecţia Gf cu axele Ox şi OySemnulParitateaRezolvarea inecuaţiilor de gradul II

Wiki -space

Ce ştiu? Ce-aş vrea să ştiu?

Ce am învăţat?

Este o metodă nouă de a învăţa cu ajutor internetului.

Tot ce poate face acest site.Dacă l-am putea îmbunătăţii.

Cum să edităm o pagină din acest site, respectiv pagina grupei noastre.Cum să descărcăm şi să încărcăm documente.

Funcţia de gradul IIDef! f: R R, f(x) = ax² + bx + c ,

a,b,c∈R, a≠0Graficul funcţiei: Gf={(x,ax²+bx+c)| x∈R}• Interpretarea geometrică al lui Gf:

x -∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 ∞

x² 9 4 1 0 1 4 9

x

y

0 1 2 3 -3 -2 -1

9

4

1

OBS!!! Figura obţinută se numeşte PARABOLĂ.Este formata din vârf şi două ramuri simetrice faţă de o dreaptă paralelă cu Oy dusă prin vârf.

Forma canonică a funcţiei de gradul II

f(x)= a[(x+ ) - ]a

b

22

2

2

4

4

a

acb

Determinarea vârfului:

Xv = =

a

b

2

vy

a4

f(x )= V(x , y )

v

va4

v v

Intersecţia graficului cu axele

Pentru a desena Gf, trebuie să calculăm:

1. X si Y

2. Gf Oy={(0,c)}

3. Gf Ox= Caz 1: > 0 : x = Gf Ox={(x ,0) ; (x ,0)}

Caz 2: =0 : x= Gf Ox={(x ,0)}

Caz 3: <0 : nu exista x ∈ R solutii. Gf Ox=

v v

2;1

a

b

2

1 2

a

b

2

v

MonotoniaPentru a afla monotomia se calculează coordonatele

vârfului V(Xv,Yv) cu formulele:

Monotomia functie depinde de a.

Pentru a>0:

Pentru a<0:

a

bxV 2

şi

ayV 4

X - - b/2a +

f(x) - /4a

X - - b/2a +

f(x) - /4a

acb 42 02 cbxax

a

b

21

a

b

22

Semnul funcţiei de gradul II Pas 1: Se calculează : şi se rezolvă ecuaţia

Pas 2 : Ţinând cont de semnul lui , se completează unul dintre tabele :

Cazul I : Pentru : > 0 , x soluţii reale

X - x x +

f(x) semnul lui a 0 semn opus lui a 0 semnul lui a

1

2

1x 2x

1x 2x

Concluzii: Pentru x є(- ∞; ) ;( ; ∞) funcţia are semnul lui a, iar pentru

; ) funcţia are semn opus lui a ..x є(

Vx a

b

2

Cazul II:  Pentru 0 , soluţie unică.

X - +

f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

Vx

Vx Vx

Vx a

b

2

Concluzii :Pentru x є(- ∞; ) ( ; ∞) funcţia are semnul lui a, pentru

, f(x) 0 .

Cazul III:  Pentru < 0 ,ecuaţia nu are soluţii reale

X - +

f(x) semnul lui a

Concluzii : Pentru xє R, funcţia are semnul lui a.

Paritatea

În general nu se poate stabili paritatea,dar exista cazuri particulare,cum ar fi:

Ex:f(x)= ax²+c f(-x)=a(-x)²+c=ax²+c => funcţie pară!!!

Lucruri care admit axe de simetrie

Sfârşit!!!

BIBLIOGRAFIE:MIRCEA GANGA, Matematica,

Manual pentru clasa a IX a, Editura Mathpress,

2008