DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD...

Post on 30-Aug-2019

2 views 0 download

transcript

������������� ����������������

�������� ���� ���� � ������ ��� ��

GHIDDE EVALUARE LA

����������

���������

2005

2 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Autori:

Prof. gr. I, Florica Banu

Prof. gr. I, ������ ��

Prof. gr. I, Ovidiu Cojocaru

Prof. gr. I, Mihai Contanu

Prof. gr. I, Sergiu Marinescu

Prof. gr. I, ��������

Prof. dr. ���������������Prof. gr. I, Marilena Stoica

Coordonator: Prof Univ. dr. �������������

����������������������� ���!�����"�#�$��%�&�'��

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 3

CUPRINS

Introducere.........................................................................................4

($�����&"��)�����%�&��%�&��������*��'�&��"��&��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$+

,$-������&�'����&�"�����������&��&��%�&�����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.

/$-����"����������%�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$0

1$��&������&���'��������&�����%�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$2

4.1. Validitatea..........................................................................9

4.2. Fidelitatea.........................................................................10

4.3. Obiectivitatea....................................................................10

4.4. Aplicabilitatea...................................................................11

+$������"������������'�����"��%�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$((

5.1. Tehnici de testare – itemi obiectivi.....................................11

5.1.1. Tehnica alegerii duale...........................................12

5.1.2. Tehnica perechilor.................................................28

5.1.3. Tehnica alegerii multiple........................................39

5.2. Tehnici de testare – itemi semiobiectivi.............................57

+$,$($���������'���''����3 de completare...................57

+$,$,$4����)���'����������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.+

5.3. Tehnici de testare – itemi subiectivi...................................75

5.3.1. Rezolvare de probleme..........................................75

5.4. Metode alternative de evaluare..........................................95

Bibliografie......................................................................................104

4 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

INTRODUCERE

�� �����"�� �� �����'�& ����������& ��� ���� ����������! �������5

6�%�����5�%�&����# �����&� ���� ����� 7��# 6� ���� ��'���# �� ����& ���

�'�������������%�&�����$

�%�&����� 6� �����'�& �� 6�%����7�� �'�� � ����%����� �� ��&������#

��*��� ��� "� ������������ � ����&�� ���%��� �8����&� ������� �&� ��&�����

���8�'��5�&�% �� '����& �� � �8������� � 8����������� 6����*�&�� '�'���

����������&$ �%�&����� ��� 6� �����& �7�� �� ��& �� feedback pentru elevi,

���8�'���# ������� "� 8������ �� ���� ��$ �� �&����&� �%�&����� ���'������ "�

�&������ �� '���9�� 6� &����� �� ���� �� ���%��� ����8�����&� �������&���&��#

�8�������� �� ���*�� � "� ����������� ��'����&�� ��������� �&� ���������$ ����#

'����&��9���&�%�&������'��'��8�������&�����'�������'��������&�����

��&�����)������� ������������&�:�$����"�# $������#(22.#�$(;$

��"� �<�'�� � &��������� ����*�*��� )�*��� 6� �������& �%�&�����#

����'���'������������8�8�&�'����8������6��������'���$������������ �

�� ��� 6� �)'���� ���� �������&� "� ��'�������� �� �%�&���� ���� '� 8�� 6�

��'�'�� ������� ��&�� ���&����� 6� ���'� �������$ ��� ����'�� ���'�����%�

*����&"�5������''����&� � ��'���� ���'�����&�����������"����������&�

�%�&�����&�����������$

�������6"��������trei obiective [A. Stoica (coord.), 1996, p. 2-3]:

(=�&�)������ ����������&�*�� 5 "�# �� )� � ���'����# � ���� �<���&�

'����8�����%� 5 �� ���������� � �����&�� �� ���������� �� ��&����� �������

superioare.

,= �%���������� ���� �&������ �� ���������� � �����&�� 6� %������

������� )����&�� �� �����# �� '�)��'���&��� ����������$ ��'�� )���� ��� 8�

���&� �����7�6��%�&������������#�7�"�6�����<�����$

3) Realizarea unei �������� la nivelul grupurilor de lucru în ceea ce

���%�"������&����������&�)������������&�����'���������&�����������$

>����& ��'���� "� �<���&�8��� ��&� ���� ������ �� ����� ���&� ��� 6� ��'��&�

����������&�!�)�����%�#'����)�����%�"�����'���'�����'$

>����& '�����'�� �# 6������& �7��# ��&�������� ���&����� 6� ���&� ����

?�������&�� �� ��8���� � 4�%����7���&�� ������%��'���� ��� ���7���$ ��'��

poate fi 6�'����& ���������&������"�5�������������������)&���&�����������

"�6�%����7���&��$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 5

��������� �!���"�����#� ���#� ���������$���� ��!�� ��

�%�&����� �� �&����&�� "��&��� ������"�� '� ��������� ����& 6� ����

�)�����%�&�'��)�&���'����&� �� � 6� 6�%�����$�%�&���������� �����������'

�������� "� �� ������# ���7���5'� 8��� &� 6�������& ���*����&�� �� ��'������#

��������'�&���'����#'��&�8���&�&'��$

?�������������������&��'�����!

�=�%�&������'������������� ����'���'�)�&�������'�&�� ��'������%5

educativ;

)= ��������������� ��&�� ���� �&������ �&� �%�&�����! ��8�������#

���������# ���� ��$ ��8�������&� '��� )� � �� ���� ���� ���&������ ��� &�

8����&���� ���������&��@ ���������&� '��� �'������ �&� '�������� ��� ���� '��

���*�� � �&� �� �&����&�� %�������# ��� ���� ��&� '��� ������� ������ �������

����&����� �� �������$ 4� ���&�"� ���� ��8�������&� ��&�'� ���� �%�&���� '���

8������������ ��&�������� �'�8����������$

�= �%�&����� �� '� �� ��� &� � '��*��� ������� A��� �� 8� �������

�&�%�&��= �� �� �'�� ���'������� �����5� '����'���� �� ����%����� ����� ���#

având, deci caracterul unui proces.

���& �� �%�&���� ��� �%����9�& �� � 8���&� � ������� �'���� ���&��

�8����#��������"��"��������&������'�&������������&�8&���6�����5�&��$

�%�&�����6�6�%����7������� ������������������)&������"�6����&�"�

���� �� ������� �� �<����� � �� � �'������ ����&�<����� 6��7� �� �'��

'������ ��������� ��������&��*�%�������������������$

��& ��� 8���%���# ���� �� 8� '� �� ��8���� &� '������� �����&� ���

���7���#��������&�'�����&� ������8����� &�%���8�����&��������# &� ��'������

"��&���"� &��<�����#'�� &� B�%�&�������'�'���C%� ��������&��������

date statistice.

-����&���� �<�&����� � '����&�� �'�� ��&�%���� ������ �������&

�%�&����%#�'�*��7��#����������#��&�����������'����8������&����������

����%����� A�� �<���&�# ���������� "������8���=# "�# �� �� �&��# '����8��������

�����������'�&�$

�%�&�����'�������'�8�&�������&����'�������&��������������&�

scopuri:

6 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

a) Fundamentarea deciziilor ;

b) ?�� ������"������3���"������ �������)&���� ;

c) ��8&���������%�&�����'�'����&���%�&���$

?���������� �� � �'�*��� �����'�&�� �%�&����% ��&�����# ������!

%�&��������# 8���&������ '�� ��&�%����# ����� 8� �������� ��� 6� ���'�������

riguroase. Uneori, demersul evaluatorului va fi ghidat de criterii dificil de

8����&� ��#�&����������������"����&���)�&�$

������������������&��6������&�����'���&������&�����&�'�'���������'��

�%��������� 6��� �� ������ ������������ �� ���������%�'��&�� 6� �������� '�)

8���� ��&�� ��5�& B����&�� ������ �� ����������C$ �<�'����� ���� ���'�����%�

�������%� �������� ��� 6� �������� &� ���� '� �������� � ����&� �'��

���������'���� ������ �%�&����# �� ����� �<����� ��%��'����� � ��������&��

��������& ���&� �)�&� A'����&�# ��&����&�# ���������# �� ���8�������# ��

8� �)�&����� ���$= "� ����8����� �� 8����& �� ���'��� �� �&�� ��� ���&�������

'����'���� � ���� ���� %�&�� �� ���� �� �%�&����# '�� ��� B�����<��&C

demersului evaluativ.

%���&������ ������� ��!������������ ��� ��#� �����

?�������&�&�8�������&��%�&�����'���:�$����"�# $������#(22.#�$25(D;!

� &�������'��(��������� 6�%���������'����� &�����&��"�*��"�&�&���&�%�&�� "� 6�&�������� ���'����$ Feedback-ul primit de evaluator îi permite

���'����'�5"�����8�������&"��������&����������"�'�%���8��������&�%�&

� ���������������������"�����&� ����'��'�$-���������*��'���� '� ���&� �� �

������'��������"�������������*��'���$

� &������� )��(������ ���� 6� �%������ ���8�������&� %������� �&�

�&�%�&��$ ��'�&������� ������������������'�)�����������#'����<���&�#

'����&������������� �����%�������������"��&���"����8�'����&���&�%�&��$

-������ ���*��'���� '� ���&� �� � ���� ��'�� �� ����������# ��� "� ���� ��'��

����*�*��� ���� %���8������ �&�' ��&������ 6�%������ "� � ����������� '�&�������

��������%�����%�������$

� &������� '� ����� �����%��� ������ �7�� '� ����"�� �&�'�8������ "���������� ���������&�� &� �<�����&� "� ������'���&� "��&��� '�� �7�� '�

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 7

������"�� ������� �����&�%�&�������&�'�#"��&����$��'��&�'�������� �����

����������%�8�����'�)�&���������������������&� ��������'�&������)�����%�$

-������'����8���!

� &������� '� �������� �� ���������� '� *������� +,������������������-�

��&�������'����������������

.���&�����!�������������#� ����

?���� ��'���*� ���������&� 8���� �� �%�&���� :�$ ����"�# $ ������#

1996, p. 11-13]:

��������� �������� ���� '� ���&� �� � &� 6�������& ���� '��%����#

������&'�����&���6�%����7��$

��������� ������� ���� ��� &�� �� ��� ������'�& ��'8�"������

�����'�&�� �� 6�%����7��$ ���'�� %� �� � �� ��7� �������������&� 8���&�

�&��&�%�&��#�7�#����&�'# 8����������� 9��������'�����8���������� 6�%������$

��������8���������������������&� �����&�%'�8����'����6�����������

limite.

��������"���������6��%�&������������������ ��!

� �)'��%���� "� ���������� %��)�&� (de tipul: „bine”, „foarte bine”, „ai

progresat” etc.).

� ���'�����������&�.

�'�� ����'�� �� 6����)���&� '� ����"��'�� ������� '���&� ��

����������� � ����"�����&��# '�&����7�� ������������� "� ���&������� &��#

����������������������&�#���&���&���6���������$

���'�������� ���&� ����� 8� ������� '�� 8���&�$ ���'�� '� ���&� �� �

�����������6������&&�����&��"�'���'8�"����8�����&'������%����&$

���'��������8���&����&��6����'�����&��'������!&�'87�"����������&#

��'���'���#����"��&��'��&��<�����$

� ������&�'���'��������6���5������'����'�'�%���8�������"�����&�

����������������&�%�$

� Testele docimologice ������ '����� �� ����� �� �9�����& ������ '�

�%�&��� ���%�&�&�'���&��������"�����&��"��&����������&�������������&�$

�� ��� '�����& �� ��'�� ������&�*��� 6& ����� ���� testele standardizate, a

����� ��������&� ��&����� �'�� �� ��� 8� ������'�����# ������ "� ������������ 6�

8 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�������� �������� A'�������=$ ��'��&� '�������� ��� ������ �8�������� ��

����������6�����&�%�'��*���������&�%�$

� ����8����������&���������������8�����'�)�&�������%�&����������������

�&�%�&�� �� � ��&��� ����"�����&� 6� ��������# ������"� *����& �� '���7���� �

���������&��"�����������&��8������$

Aceste probe impun folosirea unor obiecte sau aparate, executarea

���� �<�������� '�� &������ �<���������&�# &������ 6� ���&���# �)'��%����

�����'������#��'�����#��'���#'�����#*��8���#���$

� Verificarea prin proiecte ����������������� ����&�<� "� �������� �

6�%������"�#����&�'#������8�����������&�����������8�����������%����&��

�&�%�&��# ���� 6"� �� ���*���� 6� ����%���� &�� ������'��� ������ ����%������

��'8�"�����$

��������� ���������/� �������� ���� (��0���# �'�� 6� �'����

�������%� "� '� 8��� &� �����%�&� ��� ���� �� ����# &� 8���&� ���� '��%����

�������&� '�� �������� A������&# ���'# '���'���# �� "��&�� '�� ���&� ��

6�%����7��=$ ���'�� �8��� ��'�)�&������ ���������� ����&�� 6� ���� �� 8�'�

����'� �)�����%�&� ���������� '�� '��%���� �&� &�� ��������� �� ��������

����*��&'�����������������&����'����$

4� �%�&����� '�����%�# ��'��������& ��& ��� ���������� �'�� ��'��&

standardizat.

Evaluarea de proces A� �� �&����&�� "��&���= ���'����� � �������

metodologie# 6� '��)�&���� ������ ���)��� ���� ��'���'��� &� ���������&�

6����)���:�$����"�# $������#(22.#�$(D5((;!

• Cui8�&�'�"���%�&�����E

– elevilor

– profesorilor

F�������&��

– factorilor de decizie

F��&����%����*�9�%��������)'�&%����

• Pe cine�%�&���E

F�����&�%��

F��������*�����%7�'��

F�&�%��&��������%����&

• Când�%�&���E

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 9

– de câteva ori pe an

– la date fixe

– continuu

• Cu ce��'���������%�&���E

– teste scrise / orale / practice

F�)'��%�����������6��&�'�

F�������������'�

– referate / proiecte

– portofolii

– tehnici autoevaluative.

1����� ������� ������������� �������#� ����

�%�&��������������������'�����A���������%�"���&�����%�="� 9�������

��%�&����$?�������8�������'�������&����)���'���'���������'��������

���%�&���� ���� �� ������� ��&�����# ������ �� �� �&���&� '� ��)� � �������

'����8������ ������ �%�&������# �%�&����# ��'������� "� '��������$ ?�������&�&�

��&����� �&� ���� ��'������� �� �%�&���� '���! validitatea, fidelitatea,

obiectivitatea"�aplicabilitatea:�$����"�# $������#(22.#�$/.5/2;.

4.1. Validitatea

��&�������� '� ��8��� &� B8����& ���� ��'��& ��'���� ���� �� �'��

��'����� '� ��'����C : �'�)�&# (2G(;$ ���� �<���&�# �� ��'� �� ��'����

�)�&����� ���������� �� ����� 8� '���' 6���5�� &��)�9 *��� ����'�)�& %7�'���

�&�%�&�� ������ '� ����'�� �# ��������# 6� ���'� 8�&# �� 8� ��'���� 6� �����&

�7�� �)�&�����&� �� ������ "� �)�� ���� ����� ��&� ����������$ 4� &���������

����*�*�����8�'��%����������7��%���������%�&�������!

� #���'����'���������������'��� 6����� ��'��&����������8���

�&������&�������������9���������&���'��� �$

� Validitatea de construct A����)���# (2GD= '� ��8��� &� ����������

�� ���� ��<��& ��'���� �� ������ ���'����� A�� �<���&� ����&�*����#

������%������# '����'�& "��&��=$ �� ��&��# %��� �� �� ��'� �� ����&�*���� '�

��'���� �<��� ����&�*���� "� ��# '��� �<���&� ������%������$ �� �'������

���%�"�� ����������� ������ ������ �����&�� "� �)�����%�&� ����'��� ������

�����������&��'���'��%�&�����#�����������&����5��%�&�&6�%������$

10 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

� #���'���� �������� '� ��8��� &� ����������� ������ �� �&����&�

�)�����������&�%&�����'�"����&�����������������������'���&���$����

���&�%��)������� �&����)���&�����'�����'���������������������&� �

��&� ����� �������� �� 8��� *��"�&� �� ��&��& &� �� ��'� 6� ���� '��� 8�&�'���

���'����������'������������&��'����%�&�����������������$

� #���'���� )�'����� '� ��8��� &� ��'��� 6� ���� ��'��& 8���

���*�� ����8�������&��%��������&��&�%�&��$?������'����������'��� �����

%�&������� '� ��&��&�� � ���8�������& �� ����&���� ������ ��������� A�<$!

�� �&����&� ��'��&�� �� �������� &� &����& ������������= "� �� �������� �����

A�<$!�� �&����&����&���"��&�%����������&����&����=$

4.2. Fidelitatea

Fidelitatea este calitatea unui test de a da rezultate constante în cursul

��&������&��'����'�%�$-���&�������'���������������'��������"�'�8�������

������ %�&�������$ �� ��'� ����� 8� 8���& 8��� � 8� %�&��# �������� ��'��& �����

��'����&���%����7��������8�'���'�����'���'����$

4.3. Obiectivitatea

�)�����%������ ����� ���� *����& �� ����������� 6���� ���������&� 8�����

���%�&������ ������������ 6����������%�"������'���')�������� 8������

din itemii unui test.

4.4. Aplicabilitatea (sau validitatea de aplicare)

�&���)�&�������'����&������������'����8�������'����"������������

���"������$

2����������!����3�����������������!���#� ����

��� ������& �� %����� �& �)�����%������ 6� ������ ������ '� �&�'�8��� 6�!

������)�����%�#�����'����)�����%�"������'�)�����%�A����'���'��'���'=$

Vom prezenta în continuare modul de proiectare al acestor tipuri de

����� A6�'���� �� �<���&�=# 6� ������� �������� ��� '�' ����� ���� ������

�)�����%������������ �� �'������&���������������$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 11

5.1. Tehnici de testare – Itemi obiectivi

Descriere:�$����"�# $������#(22.#�$+"����������&�;

��'��&� �� ���*��' "��&�� F "� 6� '�����& ��&� '�������� ��� F �������

������)�����%�# ������������&� �� ��'�����������'������&�������'��&�%�&��

6���������������)�����%�&���������'��&�"�&��'���$4�����*���������&��

�)�����%� '��� ���&�"� ����� �� �&�*��� ���&� A���%����38�&'=# ����� �� ���

�������"���������&�*�����&���&�$

���'������� ���� ����� �� � ��&����� '���������# ������� ��� ����� ��

%����� ������ "� ����%��� �)�����%�&�� ������� ���# �'�� � ���%����� ����$

�&������&�'����8����&����'�����������8������������������'�)� �� �

6������&�7���������"��������������&��"� �������&������������������'���

�����# ������ "� �� %�&���8������ "� ���������� �%����9�&�� �� ���� &� �8���

evaluatorului.

���'�������������&�������&���)�����%�����'������#�"����'�*���� �

"� ��������� &��# obiectivitatea �������� 6� ��'������3�%�&����� �� �&����&��

6�%������# ����� ���� ���'��� '� '����� �# �� �)����# 6� ��� ��8������� �

�������&�� ��*����%$ ?����� ����'�� ����*���� �� ����� �� �'�� ����'��� �

'����� �� ������ ����&���� A%� � ����� �� ��� �'��=# ������9�& ����'��� ����

�����7���5'�# '�� ��# 6� 8������ �� �������� ��'���'�&�� ������ &� ����$

������ �)�����%� ��� 8� 8�&�'��� ������ ����� ��'���&��� – cu un grad de utilitate

��8����# 6� 8������ �� '����& ��'��&��# �)�����%�&� "� �����������&� ��'����� F

������&��8������%����9���'�)���'������&��&�&�������$

5.1.1. Tehnica alegerii duale

�������'���������� �� �����'�&���������&�%�&������'�������&'��

�����&����������������������������&��������&������&�������%����&�#

��� �� 8�! ���%����58�&'# ������5*��"��# ��5��# �����5�� �����# ����� 8�����&5

����������������$

���&� ����������������'��������'���'���&

�=�����"����������������A��*�&�����&��&=$

Exemplu (i) :

����"�� �� ������� �8�������&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ���� ������� � ��

�8������� �'�� ���%�����# 6��������"�� &����� $ 4� �� ������� 6��������"��

12 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

&�����- "� 6�&�����"��# 6� '�����& &�)��# ��%����&� '�)&������ �� ���&�� ���� 8��

�8����������%�����$

A. F. ( = ($ -������&� �����&� ��������� ����� ���� ������

��������&�.

A. F. ( ) 2. Triunghiul isoscel are toate bisectoarele con-

gruente.

A. F. ( ) 3. Tetraedrul regulat este o �������� �����*���&���

��*�&���$

��'���'!($�������&�@,$����&�����&@/$ $

Exemplu (ii):

����"�� �� ������� �8�������&� ���������$ 4� �� �& 6� ���� ������� � ��

�8������� �'�� ���%�����# 6��������"�� &����� $ 4� �� ������� 6��������"��

litera F.

- ($ ��*�����& ���������� �� ������� ���� %7�8��� ���&������� �&�

������&�*�����%�<'�����"�����*���&�$

-,$��������'�������&��������)� �������$

A F 3. an–1=(a–1)(an–1+an–2+...+a+1), (∀ )n∈ N* "��∈ R.

��'���'!($ @,$-@/$ $

Exemplu (iii):

����"�� �� ������� 8������ ������ 6����)���&� �� ��� 9�'$ ���� ������� �

����'���'�&�������'��� #6��������"��&������$4��� �������6��������"��

litera N.

D N 1. Este 51% din 45 mai mare decât 20?

D N 2. Este 50% din 6/4 egal cu 3/2?

D �/$����.DH�����5��������'��(+#�'��������&���������7�(+E

��'���'!($�@,$�@/$�$

)=��������������������8�����&������������ �5�8���

Exemplu:

-������ ��� ��������&� �� ��� 9�' �'�� �����' ��� ���� ����� ����#

8���������%�����$����������'��'�������� ���������� ����������<�&���

�����'�����%����� �����$ 4� �� �& ���'�� 6��������"��� $ 4� �� �������#

6��������"����$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 13

� �� ($ ?������ �&� '��� 8����� ���������� ������ �� �<�������

��������'��)�&�'���������8����������������&��$

� �� ,$ ?������& �'�� ��&�*�� ��*�&�� ������ �� ��� &�����&� ���5

*������"���*�����&����*������$

� �� /$ ��������� �������� &�� ?���*��� �� ���)��� �����'�����

����������'���&���8��������$

DA NU 4. ƒ(x)=2x2–x+7>0, (∀ )x∈ R# ������ �� �������� %7�8�&�� ��5

��)�&���'���� ���%�$

��'���'!($��@,$��@/$�� ; 4. Nu.

%����9�"�&������&����&� �������������&�*�������&�

Principalul avantaj legat de utilizarea acestei tehnici este acela al

�)�������# 6���5�� �����%�& �� ���� ����'# � ���� %�&������ �� �� �&���� �&�

6�%������$���)��������&�<���������'���������'������'�'�������$

Una dintre cele mai întemeiate critici aduse acestei tehnici este aceea

��������8�����������������8������������#�����%������������&���6����

����'�������"������������'�)������&�������%�����%�����$

��������������������'������������&��#���&� 7����������&�*�������&�

a) ���� ��� ����� �������� �� ��� ������ ����� ����� �� ����� ����� ��

�� �������������� ������������������� ��.

Exemplu:

- ($ �� �&����& 6���&����� � �������� ���� ������ �'�� ��� ����

decât oricare dintre factori.

AGID#+J1"�0I,J(1=$

b) ������������������������� ������������������������������

Exemplu:

- ($ ?���� ����� ������������ � 8�'� �������� 6� &��)� ���7�� 6�

anul 1837.

c) ����������������������������������������������������������

������ ����������� �����.

14 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Exemple :

1.

- ($ �� ����� ������& ���� �� '� ����� '���� '�) 8���� ,K �'��

����������AK∈ N).

Reformulare:

-($�����������'�'����'�)8����,KL(�'������������AK∈ N).

2.

A F Cel mai m��������������&8���������������8����8������'��2G0.$

Reformulare:

- ��&������� ����� ������& 8����� ��� ����� ��8��# ������� ����

diferite este 9876.

d) �������������������� �� ���������� ������������������������ �.

e) ���������� �������������������������� ��� ����� ������������

(����������������� �������������������������������������� ����������

�� �������������).

Exemple de itemi

1.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 �������� ��

numere naturale

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ������� �8��������

��������&��$

�����! 4� �� �& 6� ���� ������� � �� �*�&������ �'�� ���%�����#

6��������"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-"�'����6�'�����&&�)��

'�)&������� �&����&����8����8����������%�����$

A. F. ______ 1. (52–24)2=81.

A. F. ______ 2. 64:8:23=64.

��'���'!($ @,$-$�� �&����&�'��($

2.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ���� �� �&����� ���

��������'����������&����$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 15

�����! ?��%��� ���*����&� �� ��� 9�'$ ���� ��'���'�& 8����&�� �'��

������ 6��������"�� # ���� �'�� 8�&' 6��������"�� -$ ���� ��� 6�������� -

'������6�'�����&&�)��'�)&������� �&����&������$

A. F. ____________ 1. A={1;2;5;7;8}

A. F. ____________ 2. B={2;3;4;5}

A. F. ____________ 3. C={5;4;6;7}

A. F. ____________ 4. B∩C={2;3;4;5;6;7}

A. F. ____________ 5. A–C={1;7;8}

A. F. ____________ 6. (A∪ B)\C={6}

A. F. ____________ 7. A∩B∩C={5}

A. F. ____________ 8. (C–A)∩B={4}.

��'���'! ��%�����!(#,#/#0#G$

3.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��%� �)�&�����$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����&� � �������������8�������&

universal “oricare”.

�����!-��������&? = −3 1

2

4n

, n∈ N$����������� �������� �����'��

���%�����6��������"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-$

A F 1. (∀ ) n∈ N, P∈ N

A F 2. (∀ ) n∈ N#��8���������&��&��?�'��+

A F 3. (∀ ) n∈ N#��8�� ���&��&��?�'������

A F 4. (∀ ) n∈ N#������&?�'����%� �)�&��(,$

��'���'! ��%�����("�/$

4.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��%� �)�&�����$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'�������������$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"�� &����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

1) (�'����������� A F

2) ,�'����������� A F

3) /�'����������� A F

4) 1,2,3,5,7 sunt toate numere prime A F

5) 2,3,5,7,11 sunt toate numere prime A F

6) 3,5,7,9,11 sunt toate numere prime A F

��'���'! ��%����!,=#/=#+=$

16 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

5.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'����5�3?�������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �8&� �H �����5�� ����� �������&

pozitiv.

�����!����������� � �� �� �&����&�'�����%���� 6��������"�� &����� $

4� �� ������� 6��������"�� &����� -$ ���� �� 6�������� - '���� 6� '�����&

subliniat rezultatul corect.

A. F. ______ 1. 25% din 250=62,5.

$ -$ MMMMMM ,$ ���� � 8���&�� ������ &� )���� +DD ��� �� �

��)7��� 8�<� ����&� �� (DH# �����"�� ���� �� ��

suma de 10 miliane de lei.

��'���'!($ @,$-$��'���'������!++D���$

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3������'���&��

unghiurilor unui triunghi.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� ��8�������� &� '���

��'���&����*�����&�����������*��$

�����!����������� � �� �� �&����&�'�����%���� 6��������"�� &����� $

4� �� ������� 6��������"�� &����� -$ ���� �� 6�������� - '���� 6� '�����&

subliniat rezultatul corect.

$-$MMMMMM($���������*���& ��#�������*���6� #�����*���&�

����'���+1o#��������*���&���'����/.o.

$ -$ MMMMMM ,$���� 6� �����*���& �� # [ � "� [BF sunt bisectoare

interioare, m(∠ BAE)=30o"��A∠ ABF)=20o, atunci m(∠ ACB)=90o.

��'���'!($ @,$-#��'���'������!�A∠ ACB)=80o

7.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��&����

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'����&����6������&����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"�� &����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

(=������&���� "��'����*�&����������&�"�

��������&������$ A F

,=������&���� "��'����*�&����������&��"�

elemente. A F

3) {0}⊂ N A F

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 17

4) 0∈ N A F

5) {1,2,3}⊆ {1,2,3} A F

6) {0}=∅ A F

7) {1,2}⊂ {1,5,7} A F

8) {{1}}={1} A F

��'���'! ��%�����!,=#/=#1=#+=$

8.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�����������8��������&�����������

���������8���$

�����!���� ������� � �� ������& ��� �'�� ������ ���8���# 6��������"��

&����� $4��� �������6��������"��&�����-$

A F 1. n= 81 8 1250⋅ ⋅A F 2. a= 5 2n + , n∈ N

A F 3. b=52n+1⋅10⋅24n+1, n∈ N

A F 4. m=21997.

��'���'! ��%�����!(#/$

9.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Patrulatere

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� �����������&� �����&�����&��

studiate.

�����! ����"�� �� ������� �8�������&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ����

������� � �� �8������� �'�� ���%����� 6��������"�� &����� @ 6� �� �������

6��������"��-$

1. Trapezul este un patrulater convex. A F

2. Rombul este un poligon regulat. A F

/$?������&�'�������)$ A F

1$?������&�'��������� $ A F

+$�������*���&�'����������$ A F

6. Dreptunghiul este un paralelogram. A F

��'���'! ��%�����!(#/#.$

10.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���������������������&�$

�����! ���� ������� � �� ����� ���� ��� ������� ������&�� �� ������

�'�����%�����6��������"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-$

18 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

1. a=b unde a= 4 3− "�)= 9 2− A F

2. x<y unde x= 3 1− "�N= 4 2 3− A F

3. m<n unde m= 2 7− "��= 3 8− A F

��'���'! ��%�����("�/$

11.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Dreapta

����������&��������&��$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ��8������ �������

perpendiculare pe un plan.

��������&������9�''��������'������������� ����$����������'��

'� ������� � ���� ����� ���� � ���� 9�'��8��� de ce �'�� ���%����� �����

����� ����$ 4��� �& 6������'�����%����� 6��������"��� # ��� 6��� �������

6��������"����$

� $��$($�������*���& ���"� ����� �&���-'���'������6��&���

diferite, AD⊥ (CDE) �������� AD⊥ �-"� �⊥ CD.

DA. NU. 2. ABCD romb, AC∩BD={O}. Se îndoaie rombul în jurul

������� �� �7�� �7�� �&���&� A ��= "� A���= ��%��

diferite. CO⊥ AD ���� CO⊥ AO.

��'���'! ��%�����("�,$

12.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3-������&������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�%���8�������������&������������

'����*��8���&��8�����������$

�����!����������� ����8�������'�)&�������'�����%�����#6����5

����"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-$

A F 1. f:R→R ; f(x)=x, M(2,2)∈ Gf

A F 2. g:[0;2]→R; g(x)=5, N(3;5) ∈ Gg

A F 3. h:(-∞;1) →R; h(x)=2x+1, P(1;3) ∈ Gh

A F 4. i: [2,23;+ ∞)→R; i(x)= 5 x-1, T( 5 ;4)∈ Gi

��'���'! ��%�����("�1$

13.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�& ! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ��8������ �������� ��

8������$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 19

�����! ����"�� �� ������� ����� ����&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ����

������� ����8���������8���"���8������#6��������"��&����� $����������� �

���8��������'��8�&'�# 6��������"�� &�����-"�'����6�'�����& &�)��'�)&������

%����������������������&������8������$

A F_________(=-��8������ƒ:R→R, ƒ(x)=�

��� −

.

A F_________,=-��8������ƒ:R→R, ƒ(x)=2x–1.

A F_________/=-��8������ƒ:[0;5]→[0;2], ƒ(x)=x–1.

A F_________1=-��8������ƒ:R→R, ƒ(x)=�

��� +

.

A F_________+=-��8������ƒ:[0,∞)→[3;4], ƒ(x)=x2.

��'���'!($�5{ -1,1} ;2.A; 3. [1,3] ; 4.A; 5. [ ]3 2,

14.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3 '�������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������&������&��'$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

�����'����������*���& ��"�������&��∈ (AB), N∈ (AC). Atunci:

A F 1. MB

MA

NC

NA+ =1 ����"�����������∈ MN, unde I este centrul

cercului înscris.

A F 2. MB

MA

NC

NA+ =1 ����"����������>∈ MN, unde G este centrul

de greutate.

��'���'! ��%�����,$

15.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������"����*���������3�&�'����5�3

-���������*����������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��&� �����������������&������

8���������*����������$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($-������8!�→�#8A<=J'��+<�'�����������������������������&�

To=2

5

π

-,$-������8!�→R, f(x)=cos2<�'���������������������

��������&��o=π

20 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

-/$-������8!�5 ( )2 12

k k Z+ ∈

π/ →R, f(x)=tgx+sin2<�'�����������

������������������&��o=2π.

��'���'! ��%�����!("�,$

16.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�"����������&���8������'�����

��������#8��������9����%�"����&������6�������'���$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($����8������8![0,1]→��'����9����%�������8�'��'�����

��������$

-,$����8������8![0,1]→��'��'�������������������8�'��

��9����%�$

��'���'! ��%�����,$

17.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������'��'�������������&�����&�

'�)8������������ �����&�$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($������&�JD#(,/$$$G2(D(((,(/$$$�'��������������&

-,$������&)JD#(D(DD(DDD(DDDD($$$$�'���������������&

-/$������������������&'���''�)8����������� �����&�����&

�����,��8������'������������8������������$

��'���'! ��%�����,"�/$

18.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3���)���������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�'��)�&��'��������������&�

���8�������&�������� %�&����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� 6��������"��&�����-$

�����'������� %�&�����!A(L<L<2)13=a0+a1x+...+a26x26.

Atunci:

A F 1. a0+a1+a2+..+a26=213

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 21

A F 2. a0+a1+a2+..+a26=313

A F 3. a0+a2+a4+..+a26=3 1

2

13 +

A F 4. a3= C C C133

131

121+ ⋅ .

��'���'! ��%�����!,#/"�1$

19.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � ���5� 3 ?�&������ ��

���8�����������&��"�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������'����������������&������

��&���������8�����������&��"�$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

�����'�������&�����&8J�3+(i+3)X2+(2+3i)X+6∈ C[X] $ �������������

ale polinomului f sunt:

A F 1. x=i

A F 2. x=-i

A F 3. x=3

A F 4. x=-3

��'���'! ��%�����!("�1$

20.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3

Numere reale.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&������*�&���������������

��8��������&�8���������*����������$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($����<∈ (0,π2=��������&�����*�&�����&�!'��<<tgx<x.

-,$����<∈ (0,π2=��������&�����*�&�����&�!'��<<x<tgx.

��'���'! ��%�����,$

21.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3�������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������������&����6�����������$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

22 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Fie A, B, C, D, E∈ M2(C=����%���8����*�&�����&�!

A4=B⋅C⋅D⋅E, B4=C⋅D⋅E⋅A, C4=D⋅E⋅A⋅B, D4=E⋅A⋅B⋅C, E4=A⋅B⋅C⋅D.

A F 1. A5=B5=C5=D5=E5

-,$���<�'�������������� #�#�#�#���8���������%���8���

'���&�����������&��������� �$

Rezolvare: A5=ABCDE=BCDEA; B5=BCDEA=CDEAB;

C5=CDEAB=DEABC; D5=DEABC=EABCD; E5=EABCD=ABCDE. Deci

A5=B5=C5=D5=E5.

������� 5J(���'�&����&�����&�<�!ε0, ε1, ε2, ε3, ε4. Matricele A=ε0I2;

B=ε1I2; C=ε2I2; D=ε3I2; E=ε4I2%���8�����������&��������� �"�'�����8�����$

��'���'! ��%�����($

22.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������$

�)�����%!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������"�����&���8��������&�"�����&�

de numere reale.�����!-�� ( )a n n 1≥

��"�������������&�$

����"���8�������&������9�'"�6��������"��&����� �����8��������'��

���%����� "� &����� - ���� �8������� �'�� 8�&'�$ 4� �� �& 6���������� &������ -

*�'������������<���&�$A F (=���� ( ) ( )n1+2nn2n a ,a "� ( )n3na ��&����������� ( )a n n

���&�����$

A F ,=�����nQ → � ∈ R"�σ:N*→NO�'��)�9������������σ(n)

Q → �.

A F 3) anQ → 0 ⇔ |an|

Q → 0.

A F 1=�����nQ → a∈ R, atunci |an|

Q → |a|.

A F +=����P�n|Q → |a|, atunci an

Q → a.A F .=�����n

Q → +∞, atunci ( )a n n�'�������*����$

A F 0=���� ( )a n n�����*����#������|an | Q → +∞.

A F G= ���� �n>0, ∀ n≥( "� ���Q

anJD# ������ �<�'�� �0∈ N* astfel încât

∀ m>n≥n0 avem : am≤an.

A F 2=�����n>0, ∀ n≥("����Q

�Q��

Q

=�<1, atunci anQ → 0.

A F (D=�����n>0, ∀ n≥("����Q

�Q��

Q

=�>1, atunci anQ → +∞.

Rezolvare: 1) A; 2) A; 3) A; 4) A; 5) F, an=(–1)n; 6) A; 7) F;

an : 0,1,0,2,...,0,n,...; 8) F, an : 1,�

��

��

��

� � �� � ��

��Q.; 9) A; 10) A.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 23

23.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3

-����������%�)�&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������&��-�����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

Fie a, b, c, d>0 astfel încât ax+bx+cx+dx≥4 , ∀ x∈ R, atunci:

A F 1. a⋅b⋅c⋅d=1

A F 2. a⋅b⋅c⋅d=4

A F 3. a⋅b⋅c⋅d≠1

�� �&%���!���'������8������8!R→R, f(x)= ax+bx+cx+dx-4.

?�������� �8A<=≥0, ∀ x∈ �@8AD=JD�����8A<=≥f(0), ∀ x∈ R. Cum f este

����%�)�&�"�<oJD�'���������������� �&����8/(0)=0 conform teoremei lui

Fermat. Deci lnA�)��=JD�� �&���)��J($

��'���'! ��%�����($

24.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3

-����������%�)�&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�������8�����������&�����������&�

�����������&���&��&�&����8�������&$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

-($-�������8! −

→π π

2 2, R , f(x)= sin3 x 6��'����&���)�&��������

lui Rolle.

-,$-�������8![ -1, 1]→R , f(x)= x 6��'����&���)�&��������&��

Lagrange.

A F 3. Fie 0<a<)"�8������8![a, b]→R����%�)�&�$-������&��

g,h: [a, b]→R definite prin g(x)=f x

x

( ) , h(x)=

x

�, ∀ x∈[ a, b] li se poate aplica

teorema lui Cauchy.

-1$����8#*![a, b]→R'�����������#����%�)�&���A�#)="�

g/(x)≠0, ∀ x∈ (a,b) atunci se poate deduce teorema lui Cauchy aplicând

8������&��8"�*�������&���*���*�$

��'���'! ��%�����!("�/$

24 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

25.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>�����������&�����3�&�'����5�3

Conice.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�'�������8���8������������������

�������*�����&����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

>��8���&8������� f x x x( ) = − −8 3 2 ����� ����!

-($���������)�&�

A F 2. arc de cerc

-/$������&��'�

��'���'! ��%����� : 2.

26.

�'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&���������������&���������&����

"�����"�&�����&����'����$

�����! ����"�� �� ������� �8�������&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ����

������� � �� �8������� �'�� ���%����� 6��������"�� &����� $ 4� �� �������

6��������"��&�����-"������������<���&�$A F ($�����'����� "�����&� ( )xn n 1≥

"� ( )yn n 1≥ pentru care ∃ n0∈ N* astfel încât

xn≤yn, ∀ n≥n0"�ynQ → 0, atunci xn

Q → 0.A F ,$���� ������ "�����&� ( )xn n 1≥

"� ( )yn n 1≥ �<�'�� �0∈ N* astfel încât xn≤yn,

∀ n≥n0"� ���Q �→ ∞

xn=+∞, atunci ���Q �→ ∞

yn=+∞.

A F /$ ���� ������ ����� �∈ N*, xn≥0, yn≥D "� ���Q �→ ∞

(xn·yn)=+∞, atunci

���Q �→ ∞

(xn+yn)=+∞.

A F 1$ ���� ������ ����� �∈ N*, xn>0, ynQD "� ���Q �→ ∞

(xn+yn)=+∞, atunci

���Q �→ ∞

(xn·yn)=+∞.

A F +$ ���� "�����&� ���&� ( )xn n 1≥ , ( )yn n 1≥ , ( )zn n 1≥# %���8��� ��&����

���Q �→ ∞

(xn·yn·zn)=+∞, atunci ���Q �→ ∞

(xn+yn+zn)=+∞.

A F .$���� ���Q �→ ∞

an=+∞, atunci ∃ n0∈ N* astfel încât an≤an+1, ∀ n≥n0.

A F 0$���� ���Q �→ ∞

bn=–∞, atunci ∃ n1∈ N* astfel încât bn+1≤bn, ∀ n≥n1.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 25

A F 8. D��� ( )a n n 1≥, ( )b n n 1≥

'��� ���� "����� ���&�# ( )b n n 1≥ '����� ���'����� "�

�����*����"�∃ ���Q �→ ∞

�Q

Q

= ∈l �, atunci ���Q �→ ∞

� �

� �Q�� Q

Q�� Q

−−

= l.

A F 9. ��������������'�������������&����8���������������'����'�����$

A F (D$ -������ ƒ:R→R, f x xx

x( )

sin ,

,=

=

10

0 0

�� �'�� �������� �� ���� �

%�������������*����$

A F 11. ����������� �� �����%�& �⊂ R �� ���� 8������ ƒ de la punctul 10 este

��������$

��'���'!

($-�&'�$�������<���&�xn=–2, yn=1/n, ∀ n≥1.

,$ ��%�����$-���∈ U(+∞) ⇒ ∃ε >0, (ε,+∞)⊂ V, ∃ n1∈ N*, ∀ n≥n1, xn>ε. Fien2=max{n0,n1R"��≥n2 ⇒ yn≥xn>ε deci ���

Q �→ ∞yn=+∞.

/$ �&�������*�&�����������&��"��<�������&,$xn+yn≥2 � �Q Q� →+∞, deci

xn+yn→+∞$ 8��������'�����%�����$

1$-�&'�$�������<���&�xnJ�"�yn=1/n, ∀ n≥1.

+$ ��%�����$ �&�������*�&�����������&��! xn+yn+zn≥3 � � �Q Q Q� �� deci (xn+yn+zn)→+∞.

.$-�&'�$�������<���&�!(D#(DF(#(D2, 102–1, ..., 10n, 10n–1, ...

0$-�&'�$�������<���&�!F(D#FA(DF(=#F(D2, –(102–1), ..., –10n, –(10n–

1), ...

G$-�&'�$�������<���&�!�n=(–1)n"�)n=n, ∀ n≥1.

2$ ��%�����$

10. x0JD�'��������&����'��������������'����� ��5�#����ƒ nu este

���������������%�������������*����$

11. I=2

5

1

2π π,

27.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'�����5�3

Integrale definite.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��&� �����*��&�8�&�'���'�)'�������

trigonometrice.

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

26 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Valoarea integralei ( )

( )

3

3

7

90

3 −+∫

x

xdx este:

A F 1. 1

16

A F 2. 1

48

�� �&%���!-����'�)'�������<J/��'�Jϕ(t), ϕ:[0, π/2]→[0,3] este

����%�)�&�������%�����������!

ϕ /(t)=-3sint, ϕ(0)=3, ϕ(π/2)=0 deci I=1

3 2 215

0

2

⋅ ∫ tgt

tgt

dt( ) //π

=1

48 2

1

4816

0

2⋅ =tg

��'���'! ��%�����,$

28.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'�����5�3

Integrale definite.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�����%� ��8��������8�����������5�

����*��&�$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$

�����'�����8������8! [ ]1, π →R, f(x)=sin t

tdt

x

1

2

∫ , atunci:

-($8�'��'�������������

-,$8�'������������$

�� �&%���!-������ g tt

t( )

sin= �'�����������������%�&�& [ ]1, π deci

�'������*��)�&�"��������������%���>$ �&��7���������&����)�� 5��S���

�)�����!

f(x)=G(x2=5>A(=�����'������%�)�&�$

f/(x)=2xG/(x2)=2xsin sinx

x

x

x

2

2

22= >0, ∀ x∈[ 1, π )

��'���'! ��%�����($

29.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3>������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'����������%������*����&��

simetric.

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �� �������6��������"��&�����-$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 27

Fie (Sn,°=*����&��������%�&���������&����*����������!

A F 1. n≥3

A F 2. n≤2

��'���'! ��%�����,$

30.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������������%� �����������������

��&������������8������������5������8����$

�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $

4��� �������6��������"��&�����-$Polinomul [ ]XZXf �

� � ∈+=�

este.

A F 1. reductibil

A F 2. ireductibil.

��'���'! ��%�����($

5.1.2. Tehnica perechilor

��'������"����&� ��� [ �$����"�# $������#(22.]������� �������&�� '�&����� ��� ������ �&�%�&�� '��)�&���� ����

����'��������6������%����#����� ����#8�� �#������#&�����'���&������*����

��'��)�&���#��'���)������������&����$

�&������&� ��� ����� ��&����# �������� �����'�# ���'������ ������&

�����&��# ��� ��&� ��� ��&���� � ���� ����� ���� ��'���'���&�$ ��������& '��

��������&� �� )� � ������ '� '��)�&�"�� ��'���'�& ������ '��� �������� 3

�<�&�������6���'���������&�������������&����&��������'�"�����'���'���$

���&� ���� '� &������ � &� ��'������ �)�&������ �� � ������8��� ��&����

�<�'�����6������������*����!

�������F��8������

reguli – exemple

simboluri – concepte

������F�<���&�8�����$

�������������������

�='� ���&���������� ���*�&����'���'���"��������'�# ����&�%��'�

8�� ��'������ �� 8������ ��'���' ����� 8� 8�&�'�� � ����# �� ��� ��&�� ��� '��

���������@

28 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

)= &�'�� ��'���'���&�� '� 8�� ��*�9��� 6���5� ������ &�*��� A�� �<���&�!

��������&8�)�������������'���'����������'�����<��������6���%����'��

������� ���'������� 3 ��'���'������� ������ ��'���'��� ��������=$ ���'��

������� %� �� � �&�������� 8���� ���� �������� ������� ���� �� ����� �������

�&�%�&'���B*�������T��'���'�&��������@

�=����������'�&�"���'���'���&����� ���������&�"����'�8���&�'���

�������"���*���$

%����9�"�&�����

Tehnica permite abordarea unui foarte important volum de rezultate de

6�%����� 6���5�� �����%�& �� ���� ����'# �� ���&� ���� �8������� � '�����&�� ��

8��&� �� ��'�# �7� "� �� ���&� ���� �8������� � �����&�� ���8�'���&�� &� ������$

�"���������'�������������&���'�����'���������%����98���%������������

6� &�*����� �� ����'�� �������# �� ����� �� �'�� ���)�)�& ��� ������ '�

'��������'������"�������'���������������&�����'&�)����7����&��

)�����&�����$��������������8����&� ����������)������������� �&������

6�%����� ����&�<�# 8���� �� �'������ ��8���&# 6� ���&� �� ���# '� ���'�����

&�'���������'�'������'���'�������'�8�����*���$

Exemple de itemi

1.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��8������ ��������&�� ��

��&����$

�����! 4��������&���'�7�*� 8������� �7��'������ ��8������'��� ������

��&�������'�����%�$

A∪ B 1 {x x∈ "�x∈ B}

A∩B 2 {x x∉ A sau x∉ B}

A–B 3 {x x∈ A sau x∈ B}

4 {x x∉ "�x∈ B}

5 {x x∈ "�x∉ B}

��'���'! ∪ B→3; A∩B→1; A–B→5.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 29

2.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5���%� �)�&�����$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��%� ���� ���� �����

natural.

�����!������� 6��������&� &�)������������� 8�������������� ������8��

divizorul admis din coloana din stânga. În cazul în care nici unul dintre

������&����'�7�*����'����%� ���������6���'���'����&U$

2 121

3 122

5 123

125

127

��'���'!(,(→x; 122→2; 123→3; 125→5; 127→x.

3.

��'���&��� 3 ������&�&3 �&�'�! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

�������&�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ���&� � � '���&�8������ '��

���&�8������8������&��$

�����! 4�'���� 6�'�����&��� 8���8�����������������&���� &��������

��&�����������������������*�&��������&�����&���� $

A B

______ 1. 720

480 M

1

3

______ 2. 462

1155 N

2

5

2

______ 3. 2541

7623 P

7

11

______ 4. 7 11

7 11

1

1

n n

n n

⋅⋅

− Q 21

14

______ 5. 2 3 5

2 3 5

1998 1997 1996

1996 1997 1998

⋅ ⋅⋅ ⋅

R 18

25

S 22

55

��'���'!(→Q; 2→S; 3→M; 4→P; 5→N.

30 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

4.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Triunghiul

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'� ������8��� �������� �����*����� 6�%�����

���7������"����&�'�8�����������*�����&������&��������"�������*�����$

�����! 4���&���� �%�����'������7��%��������������*�����$ 4�'������

6� '�����& ��� 8��� 8������� 8�*��� &����� '�� &�����&� ��� ��&���� � ����

corespund tipului de triunghi desenat.

A

B

�F�'�������*���

b – obtuzunghic

c – dreptunghic

d – isoscel

e – echilateral

f – scalen

��'���'!(→c,d; 2→b,d; 3→f; 4→c.

5.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Clasificarea

triunghiurilor.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��&�'�8��������*�����&�������8�������������$

�����! 4� ��&���� �%��� '����8����� ������ �� �����*�����$ 4�'������ 6�

'�����& ��� 8��� 8������� ��� ��� ��&���� # &����� ��� ��&���� � ����

����'���������&���������*�����������6���&���� $

A B

MMM($�����*���&������&��������*������ D .∆ dr. isoscel

___ 2. Triunghiul cu un unghi drept E. ∆ scalen

___ 3. Triunghiul cu toate laturile congruente F. ∆ obtuzunghic

MMM1$�����*���&������*�������"����� G. ∆ echilateral

laturi congruente H. ∆ isoscel

___ 5. Triunghiul cu un unghi obtuz I. ∆ dreptunghic

��'���'!(→H; 2→I; 3→G; 4→D; 5→F.

__

1

2

3

4

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 31

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3?��������$

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'����&� � ������������� 8���������&��

����������$

�����! 4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� ������&�� �� ������ ��� �����

��&����#&���������������&������������'������� �&����&��������$

I II

_____ 1. x

2

3

5= A

15

13

_____ 2. 3 4

1x= B 5

_____ 3. 1

2 8= x

C 1

2

_____ 4. 2

1

215 2 3

2

36− ⋅= x

D 2

_____ 5. 2 2 7 2

1

32

3

15 7 7:( )⋅ ++

=x

E 4

F 6

5

G 3

4

��'���'!

1 2 3 4 5

F G E B D

7.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Patrulatere

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� �����������&� �����&�����&��

6�%�����$

�����!?������&�������)�&�&�������9�''�����'������7��%������&�����

������������&���� '���'���'������������ �&����'����$������� � �� < ��'���&�

����'��� �����������������&�����%�����������8�����������&����$

Figura

Proprietatea

Trapez Paralelogram Dreptunghi Romb ?�����

����&��������'�'�������&�&�

�����&����'�'��������7��

��������&�&�

32 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�����&����'�'��������7��

�������*������

Toate laturile congruente

Unghiurile opuse sunt congruente

Unghiurile sunt drepte

Diagonalele sunt congruente

Diagonalele sunt perpendiculare

���*���&�&�'�6�9�������'�

8.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'�����5�3��������&���8���&�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� 8����&� '�� ��&����

6�%�����$

�����! 4�'���� 6� '�����& &�)�� ��� '�7�*� ������&�� �� ������ �&�

��������&������'��� ��������&������#&����������&�������������'�����

formulei corecte.

M N

1. Aria triunghiului A. �%� E� K�

2. Perimetrul dreptunghiului B. 2ab/(a+b) 3. Aria trapezului C. 2(L+�)

1$�������������������������� D. ba ⋅

5. Media geometric������������ E. E K

×

��'���'! F. (a+b)/2

1 2 3 4 5

E C A F D

9.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%��<������������������&�$

�����! 4�'���� 6� '�����& &�)�� ��� '�7�*� ������&�� �� ������ �&�

��������&�� ����'��� ������ ��&����� �# &����� ��� ��&���� � ���� ��5

��'�����������&��������.

M N

____ 1. (-1

2):(-

2

3)-1 A -

5

2

____ 2. 75 48 2 27:( )− B 1

3

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 33

____ 3. ( )6

52 3 27

1

5: : − C 0

____ 4. 1

8

2

18

5

322+ −

⋅ D − 2

15

��'���'! E − 1

12

1 2 3 4

B A D E

10.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3���������&�

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� �&������&���&����&��N,

Z, Q, R, R–Q, R*.

�����! 4�'���� 6� '�����& ��� 8��� 8������� ����� ��� ��&���� # &����� ���

��&���� � ���� ����'����� ��&����� ��� ���� 8��� ����� ������& ��������� 6�

coloana A: A B

___ 1. x=2,(3) D. x∈ N*

___ 2. x=–5 �

�E. x∈ R–Q

___ 3. x=0 F. x∈ Z–N___ 4. x= − G. x∉ R

___ 5. x=π H. x∈ Q–Z, x pozitiv

___ 6. x=–11 I. x nul

J. x∈ Q–Z, x negativ.

��'���'!

1 2 3 4 5 6

H J I G E F

11.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3-������&������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ������8��� ������ ���� �������

*��8���&������8����������$

�����! 4�'���� 6�'�����&��� 8��� 8�����������������&���� &��������

��&���������������������&����������*��8���&��8������������&���� $

A B

____ 1. f:R→R, f(x)=x+1 M(2;0)

____ 2. g:R→R, g(x)=2x-1 N(-1;3)

34 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

____ 3. h:R→R, h(x)=-1

2x+1 P(0; -1)

____ 4. i:R→R, i(x)=7 Q(2;3)

R(1;7)

��'���'!

1 2 3 4

Q P M R

12.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Corpuri rotunde.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ������8��� 8����&�&� ������ �8&����

ariei totale a unor corpuri geometrice.

�����!4�'����6�'�����&���8���8�����������������&���� #&��������

��&���������������8����&��������$

A B

____ 1. Cilindru circular drept M AWRWDO�=4πR2

____ 2. Con circular drept N AODWHUDO�=πG(R+r)

____ 3. Trunchi de con circular drept P A ODWHUDO�=2πRh

____ 4. Sfera Q AWRWDO�=πh(R+r)

R AODWHUDO�=πRG

��'���'$

1 2 3 4

P R N M

13.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�������8����������&��<������8������

�&����8����������$

�����!-��8������ƒ:I→R#��8���������ƒ(x)=� � �

�� �

− +−

, unde I⊂ R.

4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� ������&�� �� ������ ��� ����� ��&����#

&���������������&������������'�������&������������$

I II

MMM($�������&��<������8������ A. {-4,-1}

MMM,$��&�����������&��x∈ Z astfel încât B. {0,1,3,4,5,8}

ƒ(x)∈ Z C. R\{2}

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 35

MMM/$��&�����������&��x∈ N astfel încât D. {4,5,8}

ƒ(x)∈ N E. x∈ {–4,–1,0,1,3,4,5,8}

MMM1$��&�����������&��x∈ N astfel încât F. {2;3}

ƒ(x)∈ Z G. {3,4,5,8}

MMM+$��&�����������&��x∈ Z-N astfel încât

ƒ(x)∈ Z

��'���'!($� ; 2.E ; 3.G ; 4.B ; 5.A.

14.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��������������&�8������&��6�%�����$

�����!?������ &����� ��)�&�&�� ����� 9�' '��� ��������� 8������# ���

�� ����� ��&���� '��� '���'� ����������� �&� ���'����$ ������� � �� U

��'���&�����'��� �����������������&�����%�����������8������8������$

-������

Proprietatea

ƒ:R→R

ƒ(x)=5

ƒ:R→R

ƒ(x)=ax,

a>0

ƒ:(0,∞)→R

ƒ(x)=ax+b,

a<0, b≠0

ƒ:(–∞,0)→R

ƒ(x)=ax+b,

a>0, b≠0

ƒ:[–2,5]→R

ƒ(x)=|x|

-�������'�����'�������

-�������'��'��������'�������

-�������'����'���'�������

-�������'��'�������'���'5

�������

-�������'����������

-�������'����9����%�

-�������'��'��9����%�

-�������'��)�9����%�

-�������'������

-�������'��������

-���������'����������

����������

15.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � ���5� 3 ?�&������ ��

���8�����������&��"�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� '��)�&��'�� ��&������&� ��������)�&�

�����5�&�'����������&������#���&� 7���������������'��������������)�&�����$

36 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�����! 4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� 8������� �����������# ��&�����& ��� �

������&����������'��������'����$

______ 1. polinomul este ireductibil în Z[X] f=X2-2

______ 2. polinomul este ireductibil în Q[X] g=X2+X+1

______ 3. polinomul este ireductibil în R[X] h=X3+X

______ 4. polinomul este ireductibil în C[X] p=X4+X3+X2+X+1

q=2X+3

��'���'$($8#*#�#V$

2. f, g, p, q.

3. g, q.

4. q.

Singurele polinoame ireductibile din C[X] sunt cele de gradul întâi.

Polinoamele ireductibile din R[X] sunt cele de forma mX+n, m∈ R∗ , n∈ R

"���2+bX+c, a∈ R∗ , b,c∈ �"�)2-4ac<0.

Polinoamele de grad 3 sunt ireductibile în Z[X] "� W[X] ���� "� �����

����������������6�W$

���&� 7�� ��������& �� ��������)�&����� �& &�� ��'��'���� '� ����� ��

polinomul p este ireductibil în Z[X] "�W[X] .16.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ����������� �&���&����&��

de numere.

�����!4�'����6�'�����&&�)�����8���8���������&��������������&����#

&����������&�������������'��� ������������������������������&�����$

I II

____________($ JAD#(=��9�����

____________ 2. B=[0,1] ���������

____________ 3. C=N N admite maxim

____________ 4. E=(0, +∞) P admite minim

____________ 5. F=1

nn N/ ∈

∗ R admite supremum

����*�����$

��'���'! Q admite infimum

1. L, M, Q, R, T; 2. L, M, N, P, Q, R, T; 3. M, P, Q;

4. M, Q; 5. L, M, N, Q, R, T.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 37

17.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3>������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ����������� �&� ��������&��

�&*�)���������������� ���'���������&*�)�������8������'�����&����&������$

�����! 4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� 8������� '��������# &����� ��� � ����

��&����������'��������'����$

I II

___________ 1. Monoid necomutativ A. (N,+)

___________ 2. Monoid comutativ B. (N ∗ , +)

___________ 3. Grup necomutativ C. (Z, +)

___________ 4. Grup comutativ D. (Z, -)

E. (Z, ⋅) F. (N, ⋅) G. ({ -1,1} , ⋅) H. (Q, +)

I. (Q, ⋅) J. (Q*, ⋅) K. (Zn,+)

L. (S3. ⋅) M. (R, +)

N. (R, ⋅) P. (R*, ⋅) Q. (M2(R), ⋅) R. (C,+)

S. (C*, ⋅).��'���'$ ($ #W@ ,$ #�#�#-#>#X# �# Y#Z#�#�#?#�#�@

3. L; 4. C, G, H, J, K, M, P, R, S.

18.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ���5� 3

-����������*��)�&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����������������&����������������&�

����8���������������������� ���������������������'��$

�����!4�'����6�'�����&���'�7�*�8����������������������8����������

������&�����������������������'�����%�$

I II

38 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

_____($8�������'����������f:[1, 3]→R, f xx

( ) = +

1

2

_____,$8�������������������%�g: [0, 4]→R

≤<≤≤−

=���

���

xx

xxxg

,

,)(

_____/$8�������'����������h: [ -5, 7]→R,

≤<−≤≤−−

= ��

����� xx

xxxh

,

,)(

_____1$8�������'������*��)�&�

_____+$8������������������������)��<#

��'���'$($�

2. h

3. f, g, h

4. f, g, h

5. h.

5.1.3. Tehnica alegerii multiple

��'������"����&� ��� [ �$����"�# $������#(22.]������ �� �&�*��� ��&���&� '�&����� �&�%�& '� �&��*� �� ��'���' �����5�

&�'�� �� %������� �8����� ������ � '��*��� �����'�$ �&�%�& ���� '�&����� � ��

��'���' ������ ��&� ���� � '� ������# �� ���� � �& ���&[ ��'� ��� �� �����

���'�����# ���� ������# �<�'����� ���� premise "� � ���� liste de

������������� A&�'�� �� %������� ����� ���� '�&����&� �����&�� ��'�����%# '�)

8���� ���� ��%����# ������# '��)�&��� '�� 8�� �=$ �&�%�& ���)��� '� �&��*�

'��*�� ��'���'�& ������ '�� ��� ��� )��� %�������$ ��&�&�&�� ��'���'���# 6�

afara celui corect, se numesc distractori A%������� ���������# ��� �&�� �)�&� "�

paralele).

���������&�*�����&���&����8����&� ���������!

F��'�������� �&����&��6�%������#�����"�����&���'���&������&�%�!

O�����"������erminologiei;

O�����"������&������&��!8����&�#�����������#��*�&�@

O�����"�����������&��$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 39

F��'�������� �&����&��6�%����������8&���������%�&�&�����������'�%

"���&�����%!

* abilitatea de a aplica teoria în rezolvarea problemelor;

* abilita������������������&������� �5�8���@

*�)�&���������9�'��8����&�*����������&��"���������&��8�&�'���$

�������������������

�=6����)����'�8���&��8����&���@

)= 6����)���� '� 8�� '���'� 6���5�� &��)�9 ����'��� ���� ��%�&�&��

�� %7�'�� � �&�%�&�� ������ ���� � 8�'� ���������� "� '� ��'���� �����

obiectivul propus;

�= 6����)���� '� 8�� 8����&��� 6� �"� 8�& 6��7� '� �� '�*��� �

alegerea uneia dintre variante;

�=��'���������'�8���&�� �)�&�"�����&�&�@

�= ��'���'���&� '� 8�� 8����&��� �orect din punct de vedere

gramatical;

8=��'���'���&�'���)�#���7���'�)�&#�����"�&��*���@

*=��'���'���&�'���8��'�������'�����'���6���&�'$

������ ���)��� ����� �� ����� 8����� ���� �� �����# ����&�&� ���� '�

��'���� ���&�"� �)�����%# &� �&�)������ &�� ��������7�� �� ����� ���� ��

'�����&�"��$��������'������'��� 8���� ��������'����8�������&����������

�'�*����������)�&�����������&�������&�"����$4��� �&�����&������'���'���

��&���&�'������������"����������'����&���'���'���&��*��"���A��'��������=$

?�� ����� 6� ���������� �� exemplu construit pe baza unui tabel de

'����8�����������&���*������������$

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 �������� ��

�������������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&���6��� �&%�����<�������&����*�&�

��6���&�����������&�� �����&�$

�����!4���&����,(#1��0#D.$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&�� corect:

A. 16,264 B. 141,084 C. 151,084 D. 1510,84

40 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

��'���'�& ������ �'�� �@ �������� ��� ���� � ������ �� �&������ 6�

�����& 6���&�����#���������������*������# ��������������� ���������

virgulei.

��)�&�&��'����8������![Stenmark, 1991]Caracteristicile itemului ���)��������������

($ �������&� ���)&���� '� '� ��8���

&� 6���&����� � ���� ������

�����&�# � ���� 8������ '�� � ����

����� �����&���8������@

,$ ?��)&��� ���)��� '���'� 8�� '�)

8���� ���� ����� ����# 8�� '�) 8����

��� ����&�$ ���� �'�� ���&� ��� '�)

8���� ��� ����&�# ���������&� ���)���

'�'����8���B>�'��������'�& $$$T'��

B4���&����$$$T@

����� ��'���'���&� �����&�� ���)���

�&������ 6� 8������ �� %��*�&�# 6�

������ ���'������� '��

��'���'�������$

,$?�����&�������%�����'���'!

�=��'���'������@

)= �� ��'������� A��'���'�& *��"��=

%� ��8&���� � ������ �����'� 6�

�����&��*�������@

3. Unul dintre factori va avea trei

��8�� ��8����� �� D@ ��&�&�&� 8����� %�

�%�� ���� ��8��# ���� ������ ���'���

8������8�������D"����������+@

4. Fiecare dintre cei doi factori va

�%����&��������8������%��*�&�@

c) un distractor va reflecta o eroare

în timpul alinierii rezultatelor în

�����&6���&�����@

�= �� ��'������� %� �%������� �

eroare în omiterea virgulei sau o

������6��� ���������%��*�&��$

5. În produs nu vor fi mai mult de

�������8������%��*�&�@

.$ ��& ����� ���� *������ %�� 8�

necesare;

0$ 4� �&�*���� 8������&��# � ��8�� ��

%�8����&� ��������&����������$

���&��%����9�&���'�����)�&��'����8�������'��"����&���#6�'�������

6�����6�������������#�&��'�����&�"��%��8�'�&�������'�'�������&��"���������

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 41

����� ������ ��'����� ���&���"� �)�����%�# ����%�&���� %������&�� ����� �� ���

��9��&�)�����%�8��'�8�&���&� ���$

%����9�"�&�����

Avantaje:

F�����'��� ������%�������� �� �&�����&� 6�%������#�� &�'���&�

����"����� �7�� &� �� �&��� ����&�<�# )���8������ �� � 8����� ����

flexibilitate# �&����7�� ��'�)�&� ��)�*������ ���� ��� '� ����� &� �&�� ������ ��

itemi;

F '� ��������� �� � ������5� ���� fidelitate$ ?����� �� ������&

%�������&�� � ���'��� �� &� ���� A���%��38�&'= &� ����� '�� ��� ��&��#

8�������&��B*������T���'���'�&���������'��6���'���"�������'�����)�&�#

������7��&����"�����8���&������$

F'�������8��������"����"������@

-&�<�)�&������ &�� ���'�)��� �������� ��� 6� ����������� �� �)������ �

����*���&��*����� �&�����&�6�%������ 8����� ���������&�*�����&���&�'�

8����'���&� ���#���&���'��'�������� ���8���������'�6�6����*�������'�8�&

de itemi.

Limite:

F�'��8������"�������'������������'&�)���&�����@

F����'�������������������&�)�����@

F��'��� �#�����������#��%�&�&���*����%���8�������@

F������#6����&�'�������#*���������'���'�&��@

F���&� �����)� �%�����'���������������&�8���&���� �����&�%�&����

����'�� ������� �� ��'����# �%7�� ��������'���� �'���� ����&�� &�� ��

6�%�����$

Exemple de itemi

1.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ��������&� �� �����'����� "� ��

��8�������������&����$

�����!�����'��������������&���&������������!

M={7,10,11,13,14,16,19};

N={4,7,9,10,11,12,14,16};

P={6,9,10,11,12,15,17}.

42 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

���� '��� ������&� ��������&����&�� � "� �# ��� ���� �� '� �8&� 6�

��&�����?E4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. 7, 10, 14, 16, 11

B. 6, 10, 15, 17

C. 7, 14, 16

D. 10, 11.

��'���'!�$

2.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ��8������ ��8������� �

������&����$

�����!4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

(=�����J\(#,#/#1#+R"��J\/#1#+#.#0R�������F�J

A {6,7} B {3,4,5} C {1,2} D {1,2, 6,7}

,=�����J\(#,#/#1#+R"��J\(#,#/#1#+#.#0R�������F�J

A {0} B ∅ C {6,7} D {1, 2, 3, 4, 5}

/=�����J\(#/#+R"��J\,#1#.R�������F�J

A {1,2,3,4,5,6}

B {2, 4, 6}

C ∅ D {1,3,5}

��'���'!(=�@,=�@/=�

3.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� �������� �� �����'����� �

������&����$

�����!4���������&���������'��� ��������'���'�&��������$

�����J\(#,#/#1#+R"��J\/#1#+#.#0R�������∩N=

A {1,2,6,7} ; B {6,7} ; C {3,5,4} ; D {1,2}

��'���'!�������$

4.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3������������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������6�������������'�$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 43

�����! �� '� �8&� ������&� ������&� ������'� 6���� /DDD "� 0DDD ����

6��������#���7��&�((#(/"�,/�����'��&2$

4���������&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. { 3298; 6596}B. { 3280; 6587}C. { 3280; 6569}D. { 3298; 6587}��'���'$�������$

5.

��'���&��� 3�&�'� 3������&�&! &*�)�� 3�&�'����5� 3������� �� 8����

ax+b=0, a,b∈ R, x∈ R.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%�����������8�����x+b=0.

�����!�� �&%��������6�R : ��

� =

−⋅⋅−⋅−⋅ x .

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. –9; B. 15; C. –15; D. imposibil.

��'���'$�������$

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'����5�3?��������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �8&� �� ������ ������'��� �����5�

���������$

�����!�����

� �

� �+=

+, atunci b este egal cu:

A. ��

��; B.

�; C.

11

2; D. 2; E. 6.

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$�������$

7.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3������'���&��

unghiurilor unui triunghi

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� ��8�������� &� '���

��'���&����*�����&�����������*��$

�����! ����6�8�*��������9�':��;≡[BD]≡:��;#"��A∠ EBD)=40o atunci

m( <) ���=�'���*�&���!

A. 95°; B. 75°; C. 105°; D. 115°; E. 120°.

44 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

� ��

���

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$�������$

8.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3?�������$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� ���&� � ��������� 6� �� �&%���� ����

probleme.

�����!��'����������������&�������"�) A�>)="�������&������&

�"��������H�����'���*�&��)$

A. a=5; b=2; p=40 sau a=5; b=3; p=60

B. a=5; b=2; p=40 sau a=7; b=5; p=71

C. a=5; b=3; p=60 sau a=3; b=2; p=66,(6)

D. a=11; b=5; p=45 sau a=7; b=3; p=43

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$������ $

9.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ ���������&�$

�����!��&��&���! ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 2 4 2 2 22 2 2

− + − + − + −

4��������"����'���'�&������$

A. 4 2 8− ; B. 2; C −4 2 ; D. 0.

��'���'�������$

10.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Cercul.

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&��&� ���'�����*���&�� 6�'���' 6�

cerc.

�����! �����*���& �� �'�� 6�'���' 6���5�� ���� C de centru O.

Diametrul AA/ al cercului C �����'����� � )�'�������&� ���������� �&�

unghiurilor ∠ ��"� ∠ ��# ��'�����% 6� ������&�� "��$���� � �'�� ������&

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 45

�����&�� 6�'���' 6� �����*���& ��# '��)�&��� 6� ���� ������ �� ���&� ���������

triunghiul EDI este isoscel.

A. m(∠ B)=90o; B. m(∠ B)=30o; C. m(∠ C)=45o; D. m(∠ ABC)=

m(∠ ACB).

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������.

��'���'$�$

11.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3�������"�'�'����

���������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ ����6��&��'�&����&������������

date.

�����!4��&���&<�N��&�����������&���&����������������

(x; y)∈ RxR%���8����*�&������! x + y-1 J(8����� �!

!���&����8�������������������

�$�&����8�7�����'���'�

�$��������

�$��������$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'�������$

12.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3���������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%���'�'��������������$

�����!�� �&%������������&�!

������������'�������������&����&�'�&����&���)������$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. [11;14] ; B. { 11; 12; 13; 14} ; C. R; D. [14,+∞).��'���'������ $

13.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Corpuri

rotunde.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��&� �%�&���&�������$

( ) si��� +≥− xx

( )( ) ( ) ����� −+≥+− xxxx

46 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�����! �� '� �8&� %�&���& ���� ��� �����&�� ����� ������ ����

��'8�"������'����8���� &�����&��'����'���������'�����*���&����'���

120o"����� ���&��*���/��$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. 18 2 cm3; B. 18 2π cm3 C. 79,6932 cm3 D. 54 2π cm3.

��'���'�������$

14.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����"�����&� ��'��� ������

8�����������������������&6�'�����&8������&��$

�����! �� ���'����� 8������ ƒ:N→:D@(= ��8����� ���� ƒ(n)={a·n}, ∀ n∈ N

unde a∈ R "� \<R ����� ���� ������ 8���������� � ������&�� ���& <$ -������ ƒ�'����9����%�����"����������!

A: a∈ Q ; B: a∈ R–Q; C: a∈ R.

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

Rezolvare:

���� ƒ �'�� ��9����%� ���'������ �� �∈ Q, a=�

�, p∈ Z, q∈ N*, (p,q)=1,

ƒ(n)={ �

�⋅n} , ∀ n∈ N, avem ƒ(0)=ƒAV=������������$�����∈ R–Q.

���� �∈ R–Q ���'������ �� ƒ �� �'�� ��9����%� ���� ∃ m,n∈ N, m<n

astfel încât ƒ(m)=ƒ(n) ⇒ {a·m}={a·n} ⇒ am–[am]=an–[an] ⇒ a(m–n)=[am]–[an]

⇒ a=���� ���

−−

∈ Q#������������$����ƒ�'����9����%�$

��'���'�������$

15.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��&����"�8������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��9����%������ "�

'��9����%����������8������$

�����!-��8!�→R, f(x)=x7+x+2, atunci:

($8�'����9����%�

,$8���'����9����%�

/$8�'��'��9����%�

1$8���'��'��9����%�

+$8�'��)�9����%�"�8-1(2)=0.

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����$

��'���'$�������%������8�������&�!(#/#+$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 47

�����*A<=J<7"��A<=J<L,$-������&�'���'��������'�������"�8J*L�⇒ f

'��������'�������⇒ 8��9����%�$

Fie y∈ R, f(x)=y ⇔ x7+x+2-y=0. Cum orice polinom de grad impar cu

���8������� ���&� ��� ��& ����� � �������� ���&� �� �&��# �� �<�'�� <0∈ R cu

f(x0=JN#����8'��9����%�@8AD=J,⇒ f-1(2)=0.

16.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��9����%������#

'��9����%������ ���� 8������ "� '� ��������� ��������&� �� �<�'����� � ��%��'��

���������'��8������$

�����!�����'�����8������&�8#*!N→N definite prin

f(n)=n+1, g(n)=0 0

1 1

,

,

dacã n

n dacã n

=− ≥

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%����������9�'!

$8�'����9����%�"����'��'��9����%�

�$8�'��'��9����%�"����'����9����%�

�$*�'��'��9����%�"����'����9����%�

�$*�'����9����%�"����'��'��9����%�E. g f N� = 1

F. ( )g f f g� �− − −=1 1 1 .

��'���'$�������%������8�������&�! #�#�$

0∉ Imf; g(0)=g(1) f-1"�g-1 nu au sens deoarece f "�g nu sunt bijective.

17.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3?�����"�������&�

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� '��)�&��'�� ����������� ���� �����

���&����&������������$

�����!�����'�����������&���&<J 5 2 13 5 2 133 3+ + − , atunci:

A. x∈ N

B. x∈ Z-N

C. x∈ Q-Z

D. x∈ R-Q

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$�'�����%������8������� $

�����7�� &� ��) '� �)���� ������� �� *����& ��� ! <3+9x-10=0, x1=1,

x2,3∈ C-R. Deci x=1.

48 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

18.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���*��������� 3 �&�'� � ��5� 3 -������

trigonometrice.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� �<�����&� ���� 8������

trigonometrice.

�����! �� ���'����� 8������&� 8!�→R, f(x)=asinx+b��'< "� *!AD#π/2)→R,

g(x)= sin cosx x3 35⋅ , unde a, b∈ R.

$������&8�������8�'��5 a b2 2+�$��<���&8�������8�'��a+b

�$��<���&8�������8�'�� a b2 2+

�$��<���&8�������*'��)����6�<J���'��5

14

�$������&8�������*�'��D$

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����!

��'���'$�������%�����! #�#�$

19.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3��&�����������$

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&��� ��������������� 6�'��)�&����

unui loc geometric.

�����!

Fie ABCD un dreptunghi în planul α. Locul geometric al punctelor M∈α����%���8�����&����!� 2+MC2=MB2+MD2 este format din:

A. centrul dreptunghiului

B. planul α�$���������&'����8�����������*���&���$

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$ 8����������%������'���$

���� � �'�� ������& �������*���&��# �� �'�� ������� 6� �����*�����&�

���"�� �$ �&��7������������������)�����!

4

)(2

4

)(2 2222222 ACMCMABDMDMB

MO−+=−+= .

��� �J���� �&����&��������$

20.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � �5� 3 -������

�<��������&�"�8������&�*��������$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 49

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � �� � �����&� �<���� ��

��������&����6������������'����6���5�������%�&��&��*���(D-1.

�����!-�������&� � ��)&�&��� &�*��������&��&��� ��� �����&��<����

������&lg2.

4���������&���������'��� ��������'���'�&��������$

A. 0,1; B. 0,3; C. 0,5; D. 0,4.

�����'$ 8���������������'���$

�������∈{ 0, 1, 2, ..., 9} astfel încât p

10 <lg2 < p +1

10⇔

1010

p

<2<101

10

p+

⇔ 10p<210<10p+1 ⇔ 10p<1024<10p+1 ⇔ p=3. Deci

lg2=0,3... .

21.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3����������&�<�$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �� �&%� 6�C ��������� �� ������� &�

�������������)��&'�7�*�&��'�8����������&$

�����!4�C��&�����'�&����&������������ 2+z≤0 este :

A. [ -1,0] ; B. { -1,0} ; C. ∅ ; D. [ -1,0]∪{ − 1

2+bi / b∈ R} .

4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$

��'���'$�'�����%������8��������$

����C, ar fi corp ordonat, cum i≠0 ⇒ i>0 sau i<0.

Pentru i>0 ⇒ i2=-1>0 ! Pentru i<0 ⇒ -i>0 ⇒ (-i)2=-1>0!Fie z=a+bi ⇒ z2+z=(a2-b2+a)+bi(2a+1) ∈ R- ⇒ )A,�L(=JD "� �2-b2+a≤0.

���)����![ -1,0]∪{ − 1

2+bi / b∈ R} .

22.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a /

?���������&�������6�'�����$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'����&��*��������$

�����! ����������&�������&�&�α "�β '������ &���'�������( ��$

���&*���������&������&������'���������������'�����'�����&��&���&�

�����&����'����+���'��8��������!

A. do������������&�&�

B. un plan γ paralel cu α"�β�$�����&�������&�&���α"�β.

4��������"����'���'�&������$

50 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

��'���'$�'�����%������8��������$

23.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3��&������������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ������ ���'�����%�

neprime.

�����!-���8�������&�!

A. ∀ m∈ N*, ∃ q∈ N*, q>� "� V ������ ���'�����%� ���� '���

compuse.

B. ∃ m∈ N*�'�8�&6��7����<�'�������&�������������'���5

tive care sunt numere compuse.

4��������"����'���'�&������$

��'���'$�'�����%������8������� $

��� ������� &�� ���&�� A "���& ������&�� ����� �'�� ��8����= �� �&�� ��

�<�'��������>�L,"����'�������J,⋅3⋅5...p .

������&� �L,# �L/# �L1# $$$# �L� '��� ���'�����%�# ������� "� '���

p-1>m+1>m.

24.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � ��5� 3 ��������

����������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� �&�� %������� �&� ���������

matematice.�����!�����'�������&�����! J{ n∈ N/∃ p,q∈ N astfel încât n=3p+5q } .

Atunci:

M. A={n∈ N/n≥8}

N. A={n∈ N/n≥8}∪{ 0, 3, 5, 6}?$�&��'�������$

4��������"����'���'�&������$

��'���'$�'�����%������8��������$

0, 3, 5, 6∈ A. 8=3⋅1+5⋅1, 9=3⋅3+5⋅0, 10=3⋅0+5⋅,$ ?��'������ ��

�J/�L+V"����������L/��������"�8����$

n+3=3(p+1)+5q deci n+3∈ $ ���8��� ���� %������� � ���������

������������ �&����∀ n≥8, ∃ p,q∈ N astfel încât n=3p+5q.

�������$�������������&����&�!�J{ n∈ N/∃ p,q∈ N* astfel încât n=3p+5q}C={ n∈ Z/∃ p,q∈ Z astfel încât n=3p+5q} .

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 51

25.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)��3 �&�'� � ��5� 3��������

����������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� "� '� ������� ��8�����

medii numerice.

�����!-��<1, x2, ..., xn∈( 0, +∞)"�

Ma=x x x

nn1 2+ + +...A���������������=

Mg= x x xnn

1 2⋅ ⋅ ⋅... A�����*���������=

Mh=n

x x xn

1 1 1

1 2

+ + +...A�������������=

Mp=x x x

nn1

222 2+ + +...

A��������������=

Atunci:

A. Mg≤Ma

B. Ma<Mg

C. Mh≤Mg

D. Ma≤Mp

E. min{ x1,x2,..., xn}≤ Mh≤ Mg≤Ma≤Mp≤max{ x1,x2,..., xn}4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����!

��'���'$�������%������8�������&�! #�#�#�$

26.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

-����������%�)�&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������%���&�6���&��&�&����&�����

��8������$

�����!-��L = − ⋅ ⋅→x

x x x x

x0

3

5

6 2 3lim

sin sin sin atunci:

A. L=14

B. L=12

4��������"��&�����&�����'��� �������8�����������%�����!

��'���'$�'�����%������8������� $

Mai general: ( )( )

x

n

n

n x x x nx

xn

n n n

→ +

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅+ +

02

2 1 2 1

36lim

! sin sin ... sin! .

52 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

27.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

Numere reale.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������������������������&� A6���

������'���<�'��=�������8���������������$

�����!-���8�������&�!

$�����8�������������������������������������&�$

�$�<�'��8������������������������������������������&�$

�$-������8!�→R, f(x)=sin2π<�������������������&��J($4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����$

��'���'$�������%������8�������&��"��$

-������ &�� ������&�� 8!�→R, f xx Q

x R Q( )

,

, /=

∈∈

1

0 �'�� ��������� ��� ��

�������������������&�$

28.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

-��������������$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� '��)�&��'�� ���� � 8������ ���� �'��

��������$

�����!����������������&�8������'������8������������������%�&�&�

indicate :

a) ƒ(x)=x3 pe [0;1] b) ƒ(x)=x3 pe (0;1)

c) ƒ(x)=x3 pe R. d) ƒ(x)=���

pe (0;1)

e) ƒ(x)=sin���

pe (0;1) f) ƒ(x)=x2·sin�

� pe (0;1]

g) ƒ(x)=tg x pe [0;π/4] h) ƒ(x)=tg x pe [0;π/2)

i) ƒ(x)=���

� pe (0;π/2) j) ƒ(x)=

�� − pe (0;3)

k) ƒ(x)=�

�� − pe (4;+∞).

��'���':

�������8�����������8������&���8�����&�������&�!�=#)=#8=#*=#�=#K=$

29.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

-��������������$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 53

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����������� �&� 8������&��

continue.

�����!-���8������8!AD#(=→���������������!

$8�'�����*�����

�$8�'�����������

�$8�'����������

D. Imf = R

E. Imf = J interval inclus în R

4��������"��&���������'��� �������8�����������%�����!

��'���'$�'�����%������8��������$

30.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3

-����������%�)�&�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� �� ��������� ��� �

��������&����&���&��&�����8��������&������&�$

�����!�����'�������&�����&8J11 2

2

+ + + +x x x

n

n

! !...

! atunci:

$8����������������'���&�

�$8���������������������&���&�

�$8��������������'���&�"���&���&�$

4��������"��&���������'��� �������8�����������%�����!

��'���'$ ��%������'���8������� $

31.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������� �'��'���9��� ��'�������$

�����!�����'�����������&�J11

2

1

3

1

50!+ + + +

! !... .

�������������������&��8�������'������%�����E

A. a>1; B. a∈ (1,2); C. a>2.

��'���'$ ��%�����'����8�������&� "��$

Metoda I. 1<a<11

2

1

2

1

2

1

2

11

2

11

2

2 3 49

50

+ + + + + =−

−... <2.

Metoda II. 1<a<11

2

1

3

1+ + + +! !

...!n <e-1<2, ∀ n≥51.

54 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

32.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3������������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ � ����������������'������

�'���������������&���������$

�����!�����'��������������J2 3 4

1 5 7

. Atunci:

A. MT=

2 1

3 5

4 7

; B. det(M⋅MT)=detM⋅detMT; C. det(M⋅MT)=150;

D. det(MT⋅M)=0.

4��������"��&�����&�����'��� ��������'���'���&���������$

��'���'$ ��%�����'����8�������&�! #�#�$

���� "� ����T �� �� '��' �������� ������������& '� �'���� � ����

����������������$

M⋅MT=29 45

45 75

; MT⋅M=

5 11 15

11 34 47

15 47 65

33.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�����������&��������%��'�)�&�

într-un inel de clase de resturi.

�����!4��������&A]9, ⋅=�����U(Z9, ⋅)={ �� ZxZx ∈′∃∈ ˆ/ˆ astfel încât �ˆˆˆ =′⋅′=′⋅ xxxx } .

A. (U(Z9), ⋅=�'��������"����'��*���

B. (U(Z9), ⋅) este grup

C. U(Z9)={ �, � , � , � , , � }D. (U(Z9), ⋅) ≅ (S3, ⋅) E. (U(Z9), ⋅) ≅ (Z6, +).

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&���������!

��'���'$������������8�������&�!�#�#�$

a ∈ Z9 �'�� ��%��'�)�&�⇔ (a, 9)=1. Grupul (S3, ⋅) este necomutativ iar

grupul (U(Z9), ⋅) este comutativ.

34.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ������8��� ����������� �&�

������������&��$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 55

�����!�����'����������������&������������6����*�!

A=

124 111 97

286 321 454

998 532 196

.

$���A =�'����������

B. det(A) se divide cu 3

�$ �'����%��'�)�&�6�M3(Q)

�$ �'����%��'�)�&�6�M3(Z)

�$ �'����%��'�)�&�6�M3(R).

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&���������!

��'���'$������������8�������&�! #�#�$

detA=2⋅62 111 97

143 321 454

499 532 196

−=2k.

În (Z3, +, ⋅), det� � �A = ≠1 0 ���� / �� ��%��� ��� "� ��� ≠D ����� �'��

��%��'�)�&�6�M3AW="�M3(R).

U(Z)={ -1, 1} deci A∈ M3A]=�'����%��'�)�&�⇔ detA∈ U(Z). Cum 2 divide

��� �� �&����� ∉{ -1, 1} ����� ���'����%��'�)�&�6�M3(Z).

35.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ���5� 3

Calcul de integrale.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�����&��&�&��������������*��&�$

�����!-������� ����&�!

A. ∀ x∈ (0,π/2), ∀ n∈ N*, xn �� +sin < sin2n x < sin2 1n x− .

B.

( )

( )∫∫

+=−

=⋅−

==�

� ���

��

��

m

m

kmm

m

km�

m

m

xdxxdx;

!!

!!

,!!

!!

cossin

C. ( )

( )2

2 1

n

n

!!

!!+<( )( )

2 1

2

n

n

− !!

!!⋅π2<( )( )2 2

2 1

n

n

−−

!!

!!, ∀ n≥2

D. αn=( )

( )2

2 1

1

2 1

2n

n n

!!

!!−

+< π

2<

( )( )

2

2 1

1

2

2n

n n

!!

!!−

⋅ =βn ,( αn)n'��������'�����

"���9����$

E. n

n n→+∞

− =lim ( )β α 0 "�n

nn

n→+∞ →+∞

= =lim limα β π2

.

4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����!

56 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

��'���'$����������8�������&����%�����$

5.2. Tehnici de testare – Itemi semiobiectivi

Descriere [ �$����"�# $������#(22.]?��� ����� �� ��'���'�&�� �� ���� �� �&�% �'�� '�&������ '� ��'����� &�

������'����)�����%#'��� %�&��!

(=���8�� ����6���&�*�����������&��6�%�����@

,= �������� �� ������� ���������� 6���5�� ���� ��� �&��� ���7� � 8�'�

�)�"�����7������@

3) claritate în exprimare.

Timpul necesar de rezolvare în general a itemilor semiobiectivi fiind

����' 8��� �� ������ �� ��'���' ��'���'# '� ��� ��&��� 6� �����"� ������� ��

����A����'������&�%�&��=���������������� �������������%���8�����

����������������������"�����"������������������&�%��&���'���$>����&

����8���&����6������&8��������������)���'�8�����'���������������&��

��������������'����������������������&�%�$

Itemii semiobiectivi sunt de tipul:

F6����)�������'���''����3������&�����

F6����)���'����������$

���� ��!����������������������������� ���

Descriere

������ �� ��'���' '����3�� ����&����� '��� ��� ���� ���� �&�%�&�� � '�

���� '� �8��� �� ��'���' A'����= 6� ����&������ &�� '�� � ����� ���������� �

�����8�������#�'�8�&6��7�����'��'�������'��'"�%�&���������%��$

F ��'���'�& ����� �&�%�&�� �'�� &������# �� '�����# 8���� "� ��������# ��

'��������6����)����@

F'�������'����������'����������@

F &�)������� �&�%�&�� �� � ����*��� � ��8������� ������� "� �� � �8���

��'���'�&6�8�����������'������'�@

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 57

F ������ � �8��� ��'���'�& ������# �&�%�& ���)��� '� �����'��� � ��

����������"�����#���"��)�&���������'��������#�&�)�����&��������%��"�

'������'���'$

����������'���''����&�����&�%�&��'��8�����'���'�&'�)8��������

����� ����# 8�� �# � ���� ��%7��# �����# '��)�&$ ������ �� ����&����� '�&�����#

6�*�����&#�������'���'�������&'��������%����#����'�'�6������ �6�

contextul-suport oferit.

��8��������8��������������'���������6������&�� '�8�&�'�"���

6����)����������#���6��&���&����8�������������&���$

�������������������

F������&&�)��8���� ��'�'�*��� �������'���'�&%������������%7��

'�� ��� ��&�� A�� �<���&�# ����� ���� '�� 8�� �=$ ���� ��� ��&�� ��%����

���)��� '���'�# ������ '�����&� &�)��� %�� �%�� �����"� &��*��� ������ � ��

�8����&�%�&������������%�����'���'�&$

F�������&�����'���A����������#K�&�*�������$=%��8������ �����7�6�

6����)����7�"�����'�����& &�)��$ ���'����%�'�*���������'���'*��"��

��� ������ �&�%�&�� �� '� ������� � ���� ����� �� ������ '�� 6���&�*��� �

6����)����$

F �� ��<� �<�'���� 6������& �� �'�� ������� '� 8�� 8�&�'�� ������ � ��

6�����9������������������$

%����9�"�&�����

Avantaje:

F'������&� 6��%�&���������"�����&��"���'���������&����7�'���&�

�������"����"���������@

F'�&�������������*�������������6����&� ������'���'�&��@

F ������ �%�&����� ���� ����� ��� ���� �� ��������# ��������� "�

����������@

F '������ '���������� "� ��'���'�& '���� ����� �%��� ��8&������&��� ������

���)�&�����@

F���6�����9���'����������8���6����8����'����8���@

– nu cer foarte mult timp pentru construire;

58 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

5'�������� ���'��&���"��"���&���%�)�����%#����'��&�)���� ��

'�����������������%���$

Limite:

F �� '��� ����%��� ������ ��'������ ����������&�� ����&�����&�

superioare (rezolvarea de probleme, analiza, sinteza);

F ��'���'�& 8����� '���� ����� ����� ����)�# ������# �� %�&�����

�)�&�����&������&�<�@

F �'�� ����'�� �� ����� ��� ���� �� ����� ������ 8������ ��� ��

��������#���7�6��� �&�����&���)�����%�$

Exemple de itemi

1.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'���5�3��%� �)�&�����$

�)�����%�&!�&�%�&'������'����������&�����%� �)�&�����$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

�=�������������&�'����%� �)�&��+����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

)=�������������&�'����%� �)�&��,����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

�= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� / ����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��8��&��

sale......................... .

�= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� (D ���� ������& 8�����

................................ .

�� �&%���!�=������� ������& �'����%� �)�& ��+���� �&������8�� �

������&���'��D'��+$

)= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� , ���� �&���� ��8�� � ������&��

�'����8������$

�=�������������&�'����%� �)�& ��/���� '�����8��&�� '�&��'����

�������%� �)�&��/$

�= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� (D ���� �&���� ��8�� � ������&��

este zero.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 59

2.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a /Triunghiul.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �&�'�8��� �����*�����&� ���� ��'���&�

unghiurilor sale.

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

�=�������*����������*��������*�������'��$$$$$$$$$$$$$$$

b) Un triunghi cu un unghi drept este.................... .

c) Un triunghi cu toate unghiurile congruente este....................... .

�� �&%���!�=�������*����������*��������*�������'���'�'��&$

b) Un triunghi cu un unghi drept este dreptunghic.

c) Un triunghi cu toate unghiurile congruente este echilateral.

3.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Patrulaterul.

�)�����%�&!�&�%�&'�"��������������&������&�����&��$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

�= ?����&�����& ���%�< �� &�����&� ���'� ����&�&� ���� �6�� ���� �'��

....................... .

b) Paralelogramul cu un unghi drept este ......................... .

c) Paralelogramul cu diagonalele ...................... este romb.

�=����� �&����*�����&����*������#�&�����������)� �#�'��$$$$$$$$$$$$

Rezolvare: a) paralelogram, b) dreptunghi, c) congruente, d) isoscel.

4.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a /

Paralelipipedul.

�)�����%�&!�&�%�&'�"��������������&�����&�&�������&��$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

�� �&���������&�&�������� 8������ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ "� 8���&� &�����&���

forma de .................... .

�� �&%���! �� �&� ���� ����&�&������ �� 8���� �� ����&�&�*���� "�

8���&�&�����&���8����������&�&�*����$

60 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

5.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � ��5� 3 �������

trigonometrice

�)�����%�&! �&�%�& '� ��������� ���*���� ���� 8������ ���*����������

date.

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

-������ ƒ:R→R, ƒ(x)=sinx+cosx# ������ �� $$$$$$$$$$$ �� ����� "� ��

.......... ca maxim.

�=�������!'��x+cosx= �

� �����'�&������������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

)=�������!'��x+cosx= � ���'�&������������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

Rezolvare: ƒ2(x)=1+2sinx·cosx=1+sin2x≤2 deci m=– �≤ƒ(x)≤ �=M;

� = fπ4

"�- � = f5

4

π

.

a) Cum �

�> � ����������������'�&����$

b) �

��� �� � ���� �+ = ⇔ sinx·cos

π�

+sinπ�

·cosx=1 ⇔

⇔ sin x +

π4

=1 ⇔ x+π�∈ π π

22+ ∈

k k Z ⇔ x ∈ + ∈

π π4

2k k Z sau

� ∈ Im f.

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3-������

�)�����%�&!�&�%�&'�"�����������&��� ��%��'�)�&���������� 8������ ���&�

��%����)�&����&�$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� � �8�������

���%�����!

�8������ƒ:R→R�'����%��'�)�&�����"�������������'��$$$$

Rezolvare: ƒ��%��'�)�&�⇔ ƒ)�9����%�$

7.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 -������

�<��������&�"�8������&�*��������

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'� ��8����'�� 8��������������"�'��

��&���6��� �&%����������������<��������&�$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 61

�8������ƒ:R→R�'��'��������'����������� ∀ x1,x2∈ R cu x1<x2 �� �&��

............

���� ƒ �'�� '����� ���'�������# ������� ƒ(x)=a, unde a∈ R are ........

'�&����$

f(x)=2x + log3x + 5x �'��'��������'���������������$$$$$$$$$$$$$$$$$

Rezolvare: x1<x2 ⇒ ƒ(x1)<ƒ(x2); ƒ(x=J������&��&��'�&����$

-������ ƒ(x) = 2x + log3x + 5x �'�� '����� ���'������� 8���� '��� � /

8������'��������'�������$

8.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3?��������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � ������& �� ��%��'���� "�

'����&��������������$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

Fie σ=1 2 3 4 5

2 3 1 5 4

∈ S5$ ��&��&��� �Aσ= "� ε(σ= ����� $$$$$$$$$$$$$ "�

.............

��'���'!�Aσ=J������&����%��'����@�Aσ)=3.

ε(σ=J'�*����������������σ ; ε(σ)=–1.

9.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������

�)�����%!�&�%�& %� 8� ����)�& '� 8����&� ������������ �&�����"����� ��

numere reale.

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

(=�����"�����%��*����'��$$$$$$$$$$$$$$$$$

,=�����"������������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

/=�����"�������*�����'��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

1=�����'�)"���&����"�������&��������$$$$$$$$$$$$$

+=���� �� "�� ������� ���� '�)"����� ce au limite diferite atunci

………… .

.=�����"���������"����*�����'��$$$$$$$$$$$$$$

��'���'!(=���*����$,=&�����$/=��%��*���$1=�����"�&�����$+="���&

�����&�����$.=���%��*���$

62 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

10.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� 8����&� �����'�&�� � ,

��������������������&,���&���������&�$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

1. Fie A,B∈ M2(R=���������&����&����!���A I�=J$$$$$$$$$$$$$

,$���� I�JD2�������8�������! JD2 sau B=02 este ..........

��'���'! ($ ���A I�=J��� I����$ ,$ ��'���'�& �'�� 8�&'$ ��

contraexemplu este furnizat de : A=2 0

0 0

≠02"��J

0 0

0 1

≠02 dar A·B=02.

11.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����������� �&� ������&��

����&�<�"�������������&�������������&��$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

����z=a+bi∈ C, atunci z=� ����"����������$$$$$$$$$$Fie A= ( )a ij 1 i 3

1 j 3≤ ≤≤ ≤

∈ M3(C= �� ������������ �� � j i=�LM , ∀ 1≤i≤/$ 8�������!

det(A)∈ R este ............... .Rezolvare: z=� ⇔ z∈ R ; aii=�LL , 1≤i≤3 ⇒ aii∈ R.

Astfel : det A =

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

7

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

= =�� =�� � deci det A∈ R

�'����8����������%�����$

12.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � ���5� 3 ��&� �

����������3����*��)�&�����

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&�������������������*����������

8������6�'��)�&����������*��)�&���������'����$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

-��8������ƒ:[0,1]→R, ƒ(x)=α ,

ln , ( , ]

x

x x

=∈

0

0 1 α∈ R.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 63

���[

[

→>

��

ƒ(x)=………... deci ƒ nu este ...............∀α∈ R# �� �&�� ƒ nu este

����*��)�&�$��'���'! ���

[

[

→>

��

ƒ(x)=–∞ deci ƒ���'�����*����� ∀α∈ R# �� �&��ƒ nu este

����*��)�&�$

13.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � ���5� 3 ��&� �

����������3����*��)�&�����

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����������������&�����'������������

��'���� ������ 8������ ����#�������������&���)�&������ 8����&�� &����)�� 5

��S������������8�������'������*��)�&�$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

-������ ƒ:[–1,1]→R, ƒ(x)=x x

x

,

,

≠=

0

1 0 �'�� ����*��)�&������ �'������

��&���8����&�&����)�� 5��S�����������$$$$$$$$$$$$$Rezolvare: �s(0)=�d(0)=0≠ƒ(0) deci x=0 este punct de discontinuitate

�� '���� � ⇒ ƒ nu are proprietatea lui Darboux ⇒ ƒ nu admite primitive ⇒��������&���&��������������&����)�� 5��S�����'���6����&�����$

14.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'�����5�3���&�

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ��������&� �� ������� "�

6���&�������&�'�����'����6���5�'���������&*�)��������'����$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

����������&*�)��������� ������������&���&AZ8,+,·) este .........

Rezolvând în Z8�������! � � �3 1 42x + = �)�����'�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$

��'���'!���&��������%"�������$ { }� � �,�,�,�3 3 1 3 5 72x x= ⇒ ∈ .

15.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'�����5�3���&�

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� 8������ ��&������&�

�'������ ���� ��&������� "� '� �)'��%� ���'�)���� ������ ��&����"� 8������

��&������&��'������$

�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������

���%�����!

64 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

4� ���&�& ��������% "� ������ AZ2:�;#L#I= '� ���'����� ��&������&�ƒJ�"�g=X3$����������� 8������&���&������&�

~f "� g~ asociate polinoamelor ƒ

"�g$�����������ƒ"�g sunt .............. iar ~f "� g~ sunt ..............

Rezolvare:~f :Z2→Z2; ~g :Z2→Z2.

~f (

�0 )=

�0= ~g (

�0 );

~f (

�1 )=

�1= ~g (

�1 ), deci ƒ

"�g sunt distincte iar ~f "� g~ sunt egale.

5.2.2��4��0�����������Descriere [Stoica A. (coordonator), 1996] :�6����)���'�����������'��8��������������&��'�)6����)���F�� ���

�)�����% '�� '����)�����% F &�*��� 6���� �&� ������5�� �&����� �����$ �<�'��

�� '����� *�& 6���� �������&� �� �%�&���� �� ��'���' &�)�� "� ��&� �� ��'���'

limitat impuse de itemii obiectivi. Acest gol poate fi acoperit prin utilizarea

6����)���&�� '����������$ ���������# ����& �� ��� ������ � ���� 6����)���

'����������������'�8�&!

��)6����)���

Date suplimentare

��)6����)���

������������������� :

F6����)�������)���'��������'���'���'���&�&�6������"�'�����'��

��8���&����� ���'���� '��� '87�"��$ >����& �� ��8���&���� ����� 8�# 6� *�����&#

asociat cu lungimea itemului;

F 8������ '�)6����)��� �� %� ������� �� ��'���'�& ������ &�

'�)6����)��������������@

F'�)6����)���&����)���'�8��6���������������������&�&�3'����&��@

F8������'�)6����)�����'��� ����&'�������&���)�����%�@

Material / Stimul

(texte, date, diagrame, grafice etc.)

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 65

F �� '����� %� 8� &�'�� �� 8���� �� ���� �'�� '���'� 6����)����#

����'��� ����&��*����8���������'���'$

%����9�"�&�����

Avantaje:

4����)���&�'����������������!

F ����'8����������� ��������&�< 6���5� '���� �� ������)�����%�#

sau semiobiectivi;

F '����������� '�)6����)���&�� '� 8��� �'�8�& 6��7� '� ��'�� � �

%��������������"�����#���������"�����������@

– construirea pro*��'�%��������8���&����"����������&�<�����������@

F������������������'�)6����)���&�*���������5�����������@

– utilizarea unor materiale auxiliare (grafice, diagrame etc.).

Limite:

– materialele auxiliare sunt relativ dificil de proiectat;

F ��'���'�& &� � '�)6����)��� �������# ������# �� ��'���'�& &�

'�)6����)���&�����������@

F���������������6����)���'��������������'��������&�����$

Exemple de itemi

1.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&'� 8������)�&'�'����'�) 8���� ��������)�&�� 8������

����$

�����!�����'�����8������!111111111

135802469.

(= ������ �� ����������& 8������� '� ��%��� �� /0 "� �� 2# ���

��������&'���%�����/0"���(($

,=�������8������'�)8������������)�&�$

��'���'$ %��111111111

135802469= ⋅ ⋅

⋅ ⋅=37 9 333667

37 11 333667

9

11.

2.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����$

�)�����%�&!�&�%�&'�8������)�&'���������&������&�������&���������!�������&����&�! J { }x x N x/ ,∈ ≤ ≤3 8

66 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

B= { }3 4 5 6 7, , , ,

�=�����*�&���&����&�E

)=�7��'�)��&��������E

�=�����'���������&�&��&����� E��'���'!�=��#�������� J { }3 4 5 6 7 8, , , , , ≠ { }3 4 5 6 7, , , , =B.

b) 25=32. c) 6.

3.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Triunghiul.

�)�����%�&!�&�%�&'���&��&� ���'���&���*�����&�����������*��$

�����! -�� �� �����*�� �� ���� &����� ���*������ "� ��'��� ���� ��*��

de 70o.

a) Ce fel de triunghi este?

)=��&��&�����'���&���*�����&�������*���&��$

�= ���� ��� ��&�� %������� &� �� �&%���� ������&�� )=E ���� ��#

�� �&%���5&�$

��'���'!�=�����*���'�'��&@)=0Do, 40o, 70o; c) 55o, 70o, 55o.

4.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3������6����*�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � %�&����� �)'�&��� � ����

numere întregi.

�����!�����������&�! J ( )2 2 3123 123 82+ − : 381

B= ( )4 4 382 82 123+ − : 3122 .

�=������&� "��'����� ���%�E

)=��&��&��� $

�=��&��&����$

��'���'!�=��#)= J/#�=�J/#

5.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� �&������&���&����&�� ��

���������&�'�6���&�����������&�����&�$

�����!-�� J { }−2; 0; 3,(5); + 1; 5; 1,2; -4 4 3π ; ;

8&���!�= ∩N; b) A∩Z; c) A∩Q; d)A-R.

��'���' @ �= { 0, 2, 5} ; b) { -2, 0, 2, 5} ; c) { -2, 0, 1,2; 2, 3,(5); 5} ;

d) −4 .

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 67

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'�����5�3��&�����������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%��������������*���������*���$

�����! �� �� �� �����*�� �������*��� �� ������&�! )J.# �J<L, "�

ipotenuza a=x+4.

�=��&��&�� �&��*���&�&�����&�������*���&��@

)=����<J.#��&��&�� ����������&

�=��&��&�� ����������*���&��$

��'��'!�=�J(D#)J.#�JG@)=?J,1#�= J,1$

7.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3?�&������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� 6��������� �� ��'� &�

polinoame.

�����!�����'�������&�����&?A�=J1�4-4X3-3X2+2X+7.

�=�������������'��&6���������&��?A�=&��5(@

)= ��������?A�=>0, ∀ a∈ R;

�=��'���������6�8��������������)�&�?A�=5(D$

��'���'!�=?A(=J.@�A�=J.$

b) P(a)=(a-1)2(2a+1)2+6>0, ∀ a∈ R.

c) P(X)-10=(2X-3)(X+1)(2X2-X+1).

8.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Paralelism în

'�����$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� 8�&�'��'�� ���� ���%������ ��&����� ��

paralelism între drepte.

�����!?���&�&�*����& ���"������ �& ��-A �|| EF) sunt situate în

�&�����8�����$ ������!

a) Punctele C, D, F, E sunt coplanare;

)=������&���"�-�'�������������$

Rezolvare: a) Din ABCD paralelogram ⇒ AB ||��"���� ��-����� ⇒AB||EF, deci CD||�-�� �&���#�#�#-���&�����@

b) Din CD||�-"���≠�-�� �&����-������ #������"��-'���������

concurente.

9.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&���������������&�8������&��$

68 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�����!-��8������ƒ:R→R cu proprietatea ƒ�ƒ�ƒ=ƒ"���&�����

M={x∈ R (ƒ�ƒ)(x)=x}.

�=��'���������≠∅ "�ƒ(R)=M.

)=����*!�→M, g(x)=ƒ(x), ∀ x∈ �������*�'��)�9�����$

�= �� �� �<���&� �� 8������ ƒ ���� %���8��� ����� � "� ���� ��

�'��)�9�����#�����������������&������"���'�������*�8�������ƒ la M.Rezolvare: a) Fie x∈ R, (ƒ�ƒ)(ƒ(x))=ƒ(x) ⇒ ƒ(x)∈ M ⇒ M≠∅ "� ƒ(R)⊂ M.

Fie x∈ M atunci ƒ(ƒ(x))=x=ƒ(y) deci x∈ƒ (R=������⊂ƒ (R); M=ƒ(R).

b) Fie g(x1)=g(x2) ⇒ ƒ(x1)=ƒ(x2) ⇒ ƒ(ƒ(x1))=ƒ(ƒ(x2)) ⇒ x1=x2, deci g este

��9����%�$-��x∈ M ⇒ x=ƒ(ƒ(x))=ƒ(y)=g(y), y∈ �����*�'��'��9����%�$c) ƒ:R→R, ƒ(x)=0, ∀ x∈ R, ƒ�ƒ�ƒ=ƒ, ƒ���'��)�9����%�$

�J\DR"�*!�→�#*AD=JD�'��)�9����%�$

10.

��'���&���3�&�'�3 &*�)��3�&�'����5�3-��������*����&�&���&��$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������������&����6�������������$

�����!-������&���������������&��������������&�!

a) Z⊂ M;

b) x, y∈ M ⇒ x+y∈ �"�<5N∈ M,

c) a= 2 3+ ∈ M.

Se cer:

(=����������������������8�������6����*����������������a.

,=�����'���� ��� 3 2− ∈ M, 2 3 ∈ �"� 2 2 ∈ M.

Rezolvare.

(= �����7�� &� ������ �)�����! a2= 5 2 6+ ⇔ a2-5= 2 6 $ ������� &�

������"��)�����!a4-10a2+1=0.

2) a(a3-10a)=-1 ⇒ aa a

=−1

10 3 ⇒

110 3

aa a= − ; 3 2

110 3− = = −

aa a .

-�&�'��������������&��=#)=# �= "� �&���� ��&���� �)������� 3 2− ∈ M;

(-1)( 2 3+ )= − −2 3 ∈ M.

Deci ( 2 3+ )+( 3 2− )= 2 3 ∈ �$ "� A 3 2− )+( − −2 3 )=- 2 2 ∈ M ⇒(-1)(- 2 2 )= 2 2 ∈ M.

11.

��'���&���3�&�'�3 &*�)��3�&�'����5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������������8������&��$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 69

�����! �� ���'����� 8������ '����� ���'������� 8!�→� ���� %���8�����&����!A8�f�f)(x)=x3L/<5(,$��&��&�� �8A,=$

�� �&%���$����8A,=<2 ⇒ (f�f)(2)<f(2)<2 ⇒ 2=(f�f�f)(2) <f(2)<2 !

����8A,=>2 ⇒ (f�f)(2)>f(2)>2 ⇒ 2=(f�f�f)(2) >f(2)>2 !

����8A,=J,#�����<J,�'�������8�<�&��&�������8$

12.

��'���&���3�&�'�3>��������3�&�'����5�3��&����������#����������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������&������&��'$

�����!�����'����������*���& ��"�������&�W∈ (AB), P∈ A �=$�����

��>������&��*��������&�����*���&�� ��$ ������!

(=����>∈ W?"�W?||BC atunci BQ

QA+ =CP

PA1 .

,=����>∈ W?"�W?���'������&�&����������BQ

QA+ =CP

PA1 .

/=����BQ

QA+ =CP

PA1 atunci G∈ QP.

1= ��������QB

QA

+

≥4 4

1

8

CP

PA.

Rezolvare. 1) Fie { D} =AG∩��$ ��� � ������� �� �&�� ��GD

GA= 1

2.

�&��7�� ������� &�� ���&�' �)�����!BQ

QA= = =PC

PA

GD

DA

1

2 �� ���� �� �&��

��&����$

2) Fie{ M} =QP∩��$ �&���� ������� &�� ����&��' 6� ∆ �� "� ∆ACD

���'����7�� W? �� ����'%��'�&�$ �)�����!QB

QA= MB

MD2 "�

PC

PA= MC

MD2 ⇒

QB

QA+ = + = − + + = =PC

PA

MB MC

MD

MD BD MD DC

MD

MD

MD2 2

2

21 .

/= ���� W?||�� "� �∩QP={ G/}⇒ BQ

QA= ′

′= =G D

G A

PC

PA

1

2⇒ ′ =G G deci

G∈ QP.

���� W? "� �� �� '��� ����&�&�# ���'������′′

=G D

G Aλ "� ��&��7��

�������&������&��'�)����� λ = ⇒ ′1

2 G = G .

1=�����BQ

QA= a "�

PC

PA= b ; a+b=1, a,b>0.

70 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Folosim inegalitatea: ( ) ( )2 2 2 2a b a b+ ≥ + ⇒ a b2 2 1

2+ ≥ ;

( ) ( )21

44 4 2 2 2

a b a b+ ≥ + ≥ ⇒ a b4 4 1

8+ ≥ .

13.

��'���&���3�&�'�3 &*�)��3�&�'����5�3������������������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� � %������� � ���������&��

�������������������$

�����!�=�����<���&����������������& z pentru care zz

+ 1 ∈ Q .

)=����z ∈ −R Q "� zz

+ 1 ∈ Q atunci zz

Qnn

+ ∈ ∀ ≥1, n 1 .

�=����z�'���������������&"��<�'�� n N∈ * astfel încât zz

nn

+ 1'�8��

��������&������ zz

+ 1�'����������&$

�� �&%���! �= �� �&%�� ������� zz

+ 1=3 ⇒ z z2 3 1 0− + = ⇒

z1 2

3 5

2, .= ±������& z R Q= + ∈ −3 5

2"� z

z+ 1 ∈ Q .

)=�������'���� ����9�����&%�����������5���������������������$

Pentru n=1 avem zz

+ 1 ∈ Q .

?��'�������� zz

Q m nmm

+ ∈ ≤ ≤1, 1 .

zz

zz

zz

zz

Qnn

nn

nn

++

−−+ = +

+

− +

∈1

11

1

1 1 1 1.

�= ���� zz

+ 1 ∈ Q ���8��� ������&�� )= �� �&�� zz

Qnn

+ ∈ ∀ ≥1, n 1 ,

������������$���� zz

+ 1 ∈ −R Q .

14.

Disciplina /�&�'�3 ��&� �����������3�&�'����5�3�������8������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� ���� � 8������ ���� �'��

���*�����# '� ��&��&� � &����� &� '�7�*� "� &����� &� ������� 6���5�� �����

������8����������$

�����!-��ƒ:R→R�������������&�!

a) ƒ���*�������R.

b) ƒ���&�����&�'�7�*�6�x0JD8�����$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 71

c) ƒ�����&�����&��������6�x0=0.

���)�&�"�� ���� ������ ���������&� 8������ �� ����� �����������&�

��������$

10

10

21

0

1 0) ( )

,

cos ,) ( )

cos ,

,

f x

x x

xx

f x xx

x=

>

=

<

31 0

1 04

1 0

10

) ( ),

,) ( )

,

sin ,

f x

x

xf x

x

xx

=− ≤

>

=≤

>

��'���'!1$

15.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����

��8������$

�)�����%�&!�&�%�&'���&��&� �&�������8������6�D#L∞, –∞.

�����!��&��&�� �!

.lim d) lim c)

lim b) n

1nlim a)

+n

−∞→→

+∞→∞→

xx

xx

xx

xx

x

��

Rezolvare: a) ∀ n≥2; an=0 deci ���Q

an=0.

b) ���[→+∞

x1

x

=0.

c) �

�–1<

1

x

≤ �

�@����x>0 atunci 1–x<x·

1

x

≤1 ⇒ �d(0)=1.

����x<0 atunci 1–x>x·1

x

≥1 ⇒ �s(0)=1 deci ���

[→�x

1

x

=1.

d) Fie xn→–∞, ∃ n0∈ N*, ∀ n≥n0 avem �

�Q

∈ (–1,0)⇒1

xn

=–1

⇒ ���Q

xn·1

xn

=+∞

16.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����

��8������$

72 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���������� &��8����������!��&�����

������&����������������#��&�����������&��������%�)�&�����#������&��������

"�������&����<����&���&$

�����!-��ƒ:R→R, ƒ(x)=

− <− =

>

x x

x

x x

,

,

,

0

1 0

0

.

�=�����������&�����������&�����������������&�&��ƒ.

b) �����������&�����������&��������%�)�&������&�&��ƒ"���&��&���

ƒ'(x).

c) ƒ are puncte critice ?

d) ƒ are puncte de extrem local ?

��'���'!�=R*. b) RO"�ƒ'(x)=− <

>

1 0

1 0

,

,

x

x

c) ƒ'(x)≠0, ∀ x∈ R* deci ƒ nu are puncte critice.

d) Da : x0JD�'��������������*&�)�&����"�&���&�&8�������ƒ.

17.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����

��8������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� ��&����� ������&�� ��

�������������&�����8����������$

�����!�����'�����8������ƒ:R*→R prin ƒ(x)=x x

x x

,

,

<>

0

2 0.

(=�����'����&�����������&�����������������&��ƒ?

2) ƒ(–1)·ƒ(1)=–2<0 dar ƒ �� '� ���&�� �$ �'�� ����'�� �8������� 6�

��������������8����&��ƒ�'������������6����*�������&����8������E

��'���'!(=R*. 2) ƒ�'������������R*, R* nu este interval deci nu

se pune problema pentru ƒ de a avea sau nu proprietatea lui Darboux

A�������������'�'����� ��������%�&�#���������&��������<�=$

18.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����

��8������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ��������&� �� ����%�)�&����� �&�

8������&��$

�����!-��ƒ:R→R, ƒ(x)=x

xx

x

α • sin ,

,

10

0 0

=

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 73

������������������&�����������'�*�������%�)�&������&��ƒ în x0=0 ?

a) α=0, b) α<0; c) α>1; d) α≥2.

��'���'!�=@�=$

19.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ���5� 3

Calculul integralelor.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����"�����&� ��8�������� &�

����%�)�&�����"�����*��)�&�����$

�����!���'������8������ƒ:R→R, ƒ(x)=x −

1

2.

�=���'�� �*��8���&&��ƒ.

)=�����������&�����������&�����������������&��ƒ.

c) Pe domeniul de derivabilitate al lui ƒ#��&��&�� �ƒ'.

d) ƒ nu admite primitive pe intervalul [0,2] dar ƒ ��� ����*��&�@

��&��&�� � f x dx( )0

2

∫ .

��'���'! )= �5{ 2k+1/ k∈ Z} ; c) f/(x)=0; d) f nu are proprietatea

Darboux; f x dx( )0

2

∫ =-1.

20.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'��� � � ����8�'��& � ����

inele.

�����!�=�����'�������&����� ��%��� 8�����$����*! →A, atunci g

�'����9����%�⇔*�'��'��9����%�$b) Fie m,n∈ N*#A�#�=J("�8!]mn→ZmxZn, prin ( ) ( )f x x x

� = �, $ ������8�'��

��������8�����$

�= ������8�'�����8�'������&�$

�= ������8�'��)�9����%�$

e) Zmn≅ ZmxZn.

�� �&%���!�=���� J{ a1, a2,...,an} "�*�'�� ��9����%������� ��g are n

elemente deci ImgJ #�����*�'��'��9����%�$

���� * � '��9����%�# '� ���'������ �� * �� � ��9����%� ⇒ ∃ i≠j astfel

încât g(ai)=g(aj) ⇒ Img are cel mult (n-1) elemente ⇒ Img≠A

����*�'����9����%�$

74 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

b) Avem ( ) ( ) ( )y-xn �� y-xm y-xnm ˆˆ ⇔⋅⇔= yx ⇔ � �x y= ( în Zm= "� x y=

(în Zn) deci ( ) ( )f x f y� �= .

c) ( ) ( ) ( )f x y f x f y� � � �+ = + "� ( ) ( ) ( )f x y f x f y� � � �⋅ = ⋅ '�%���8������"������$

�=8�'����9����%�#���8��������'���������&�������&)=$

Cum Zmn = ZmxZn J��"�8��9����%�⇒ 8'��9����%�$

�=����="��=�� �&��� ����8�'��&�����&�$

5.3. Tehnici de testare – Itemi subiectivi

Descriere [ �$����"�# $������#(22.]������ '�)�����%� '�� �� ��'���' ��'���' ����� ���� 8���� B����������&�T

�� �%�&���� 6� ���� ���'���$ �� '��� ��&���% �"�� �� ���'����� "� ��'��� �

�)�����%���'���6��%���������*���&������#������%������"����������&���'���&

�&��'���'�&��$

����������'���'��'���'���'����!

– rezolvarea de probleme;

F�'��'���������'��&�)��A��������&�����������=$

5.3.1. Rezolvarea de probleme

��'������"����������'����:

�� �&%���� �� ���)&��� �'�� � ����%����� ������� � �����'�&�� ��

��'���������������8�'���&��������&��&�'�F8��������&�%'������*���F

�� '����& �� %�&����� ������%������# *7������ ��%��*����# ���*�������# �����������

���*�����&� �#��8����&�����)&������$

���������������� �&%����)&������'����%�6���'���#������'��'�

�� %�&�� �����<������� ��5� &��*�& ���� ����������� &��*�$�������# ������

�7�� ���&� �� �� �&%���� �� ���)&��� �� ������ �� ��������� �

���8�������&���&�%�&��#���)���'�6������������%�����'���&�$

�)�����%�&����������������&� ������ �&%���������)&���'���!

F4���&�*�������)&����@

F�)���������8�������&������'����� �&%�������)&����@

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 75

F-����&����"���'���������� �&��@

– Descrierea metodelor de rezolvare a problemei;

F�&�)����������'������������'����� �&����&��)������@

F?�'�)�&��������*�����&� ���"�������'8����������&������ �&%���$

�������������������:

�������&�������������'�����&�'�8��� 6��������*�����&�"� 6��������

specifice.

�������������&�*�����&���������!

�='����������)&���'�8������%�����%�&�&����%7�'��"������*������

elevilor;

)= ����%������ '� ����� ��'8�"��� ����%����& '�� 6� *���# 6� 8������ ��

������"����������&���)&����@

�=����%������'�8��6���������������)�����%�&�"������������&�

disciplinei;

�=����&���%�&���������%������'�8����&�%���#�������������

��������&����)� �'��)�&�������'�����3)�����&��������@

�=���&� ����6������&����%�������������'��'��������&�'���&�"������

��'��'������#�"�����8�������)�&�$

�������&�'����8����� �&�����������'�����������)&���!

F�)��������� �&����&��������&���"�%���8���)�&�@

– utilizarea unor metode alternative de rezolvare;

F��� �������A6��������&8���&=�������������&��#���&��&�&��#

���*����&��#*��8���&�����$����'�������������"��9���&�6���&�*����

���&� ����'������&��$

%����9�"�&�����

Avantaje:

– permite formarea unei gândiri productive;

F�8�����'�)�&�������������������������@

F����'�)�&����������'������'������%��'�&��������"�'�&����@

F����%�� ������������������"�6�%������&�%�'�������� �

������������)�����&����@

F�8�����'�)�&���������&� �������&��$

76 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Dezavantaje:

– necesit�������&��*������������@

F���&�����'��'��������&���������'��'������@

F ����'��� �� ���� ���� �� ������'����� "� ����&�<����� �

sarcinii;

F�<�'����������'�)�����%�����6��%�&����@

F����'�����"���������8��������&�%����'�����)���8�����

�������6�8���������9�����&������������8�'��#������)����8��������&�%6�

cadrul grupului etc.

�)'��%���� :

4� �8��� �'�����&�� ���������� �7�� ����# 6� ���������� �� �&����&��

�&�%�&���������&� ������ �&%���������)&���'�%�����'������!

– abordarea problemei: strategia grupului pentru rezolvarea sarcinii;

F'�&�������)&����!��'���6��������)&����8�'��� �&%���������@

– lucru asupra sarcinii:

F'5�8�&�'�������������%���E

– s-au folosit mai multe metode?

– s-au verificat re �&����&��)������E

F*�����&� �������)&���� A��"� ����������# ����'�� �'�� � ������� ���

6��7&�����������8������������&�%���6�%��������'��'����=@

F ����������� �� ���8�'���&! ����& ���'������% �� ������������# ��

'�&������������������9�����&��@

F���*���&������"�������%������6��)��������� �&%����$

Exemple de itemi

1.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

�������&��� ���%�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ������� �8��������

��������&�����������������&�$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 77

�����!�8�������! 31

23

1

2

1

3

1

33

1

2

1

33

1

2

1

3

2 2 3 3

− ⋅ +

⋅ +

Schema de notare:

F?�������&��&�&�������&������&��'�������/������@

F?������8���������������� 6���&��������������� �������� '�

������(�����@

F?�������&��&��������������������&������������ ��������"�

������� ��������'�������/������@

F?������8�������� 6���&����� �� �&����&����������&����������5

�� �'�������(�����@

F?������8���������&����&��'������'�������,������$

2.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

�������&��� ���%�$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �&�'�8��� 8������&� �������� 6�!

�����������#'�)�������"�'�����������$

�����! �� '� ��������� n∈ �# �'�8�& 6��7� 8������

F(n)=3 3 3 3 3

131

2 1 0n n n+ +− − − − '� 8��! �= '�)�������@ )= �����������@ �=

'�����������$

Schema de notare:

– Pentru calculul F(n)=3 3 3 3 3

131

2 1 0n n n+ +− − − −=

( )3 9 3 1 3 1

131

n − − − −=

=5 3 4

131

⋅ −n

'�������/������@

– Pentru determinarea lui n�'�8�& 6��7� 8������'� 8�������������!5 3 4

131

⋅ −n

=1 ⇔ 5 3 4⋅ −n =131 ⇔ 3n =27 ⇔ nJ/'�������/������@

– Pentru determinarea lui n �'�8�& 6��7� 8������ '� 8�� '�)�������

n∈{ 0, 1, 2} ='�������,������@

– Pentru determinarea lui n�'�8�&6��7�8������'�8��'�����������

( n>3 , n∈ �='�������,������$

�)'��%����!�����������&�"������������������'����%�&���&��n

"�'���8����&�����'���'���&�������$

78 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

3.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

�������&�

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � � '��� �� 8������ ����

��'����������8��������6���5���8������������8������$

�����!��&��&����!

S=1

1 2

1

1 2 3

1

1 2 3 1998++

+ ++ +

+ + + +.....

....

��������������!

S=1

2 3

2

13 4

2

11998 1999

2

....

⋅ + ⋅ + + ⋅ 4puncte

S=2

2 3

2

3 4

2

1998 1999⋅+

⋅+ +

⋅... 1punct

S=2

2

2

3

2

3

2

4

2

4

2

5

2

1998

2

1999− + − + − + + −... 3puncte

S=12

1999− 1punct

S=1997

1999 1punct.

4.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Paralelismul

dreptelor.

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �<�&��� "� '� 8�&�'��'�� ����&�&�'��&

�����������6��&��$

�����! -�� �����*���& �� "� )�'�������� �# �∈ BC. Prin D se duce

����&�&�&� ����������� �6��"������'���������&�&� &� ���������

����6�-$��'��������!

a) Triunghiul ADE este isoscel;

b) EF este bisectoarea unghiului DEC.

Schema de notare:

F?������<����������������8�*����'�������,������@

F?������� �&%������������������&���='�������1������!

DE||AB ⇒ ∠ ADE≡∠ BAD ( alterne interne), dar [AD este bisectoarea

∠ BAC, deci ∠ BAD≡∠ DAC ⇒ ∠ DAE≡∠ ADE ⇒ ∆ADE isoscel.

5?������� �&%�����������������&��)='�������1������!

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 79

EF||AD ⇒∠ ADE≡∠ ��-A�&������������="�∠ FEC≡∠ DAE

(corespondente) ⇒∠ DEF≡∠ FEC.

5.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&!���������� 3 �&�'� � ��5� 3 �������� "�

���������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��������������&�"���&������������

egale.

�����! ������&� a, b, c '���'8�� ��&����&�!a b c

3 4 6= = "� 2 5 3 88a b c+ + = .

��'���&��&� �!

1) 4 3 4a b c+ − "�,=1 1 1

2 2 2a b c+ + .

Schema de notare:

– Pentru aflarea valorilor lui a=6, b=8, cJ(,#'�������+������$

– Pentru calculul expresiei 4 3 4a b c+ − JD#'�������,������$

– Pentru calculul expresiei 1 1 1

2 2 2a b c+ + =

29

576#'�������/������$

6.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ �����������������&�$

�����! -��! a = − + −3 5 9 4 5 "� b = − − −7 1 11 4 7 $ ��&��&���

E=2

2

b a

a b

+−

"������'��������∈ Z.

Schema de notare:

– Pentru calculul lui a=(#'�������/������@

– Pentru calculul lui b=(#'�������/������@

F?�������&��&�&&���J/#'�������/������@

– Pentru precizarea E∈ ]#'�������(�����$

7.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Triunghiul.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����"�����&� ��'��� �����*���&

����&�����& 6���5� ���8�*������ ������&��� "� '� ����'8��� ����"�����&� "�

������������&�6��� �&�������&��$

-������������'�����������&��!����%����&�$

�����!

80 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

I) În figura de mai sus sunt construite triunghiuri echilaterale folosind

'�*��������������$

�=�7��'�*�����'�������'����������8�������������ghiuri?

ii) Câte triunghiuri pot fi formate cu 217 segmente congruente?

��= -����&��� � ���)&��� �'���������� 6� ����# 6� &�� �� �����*�����

����&�����&�#'�8�&�'����������E

Schema de notare:

F ?����� ��'������ ��&�� ���� �����*����� "� '������� ������lui

��&�����A(2='�������,�@

F ?����� ��������� 8����&�� �� ��&��& � ������&�� �� &�����!

�J/L,A�F(=#�8����������&�������*�����'�������,�@

F ?����� �� �&%���� �������� /L,A�F(=J,(0 "� '����8������

������&���������*������J(DG'�������/�@

– Pentru formularea problemei în care se face transferul de la

�����*��&�������'�������,�@

F?������� �&%�������)&������='�������(�$

8.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Poliedre.

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� �������� "� ������� �����������&�

paralelipipedului dreptunghic.

Forma de administrare: în grupe de câte trei elevi.

�����!

��'���&�����9�'����� ������'8�"������6��&�����������&�&������

dreptunghic.

�= 8&���%�&���&�&��!

i) x

ii) y

)=����8�*���'��&�� �8���7���5'�������'����!

i) care sunt punctele care coincid cu punctul P?

ii) care va fi volumul cutiei?

�=����������������6�������)�*����&��*���,D��A8�����'�)����=

�'�8�&6��7�������&'�8��6����'E

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 81

�= ����8����� �<���������& �� �&����&� �)������ &� ������&� �=# )= "� �=

�'�8�&!�������������5�8�������7����3������8�*��������'�'"������&����5�

������ � �)���� ����&�&�������&$ �� � ��*&� *��������'����� %�&���&� < "� N "�

%���8�����������&�=$!

"

#$ %

&

' ( � )

��

�*

��+��

��+��

,+��

-+��

.+��

!�� !

� !

Schema de notare:

F���������"�9�'��8������<J2��#(�@

F���������"�9�'��8������NJ(+��#(�@

F�����&����'����&� �� �?J�J�#,�@

– Calculul volumului V=1620 cm3, 2p;

– Calculul diagonalei paralelipipedului d≅ ,(#,Q,D "� 8����&����

����&� �����)�*����'���������������6�����&�&������,�@

F?��������'�������#��'�����"�%���8�����,�$

9.��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����������8����&�����8������ &������

"�'������� ����*��8��$

�����!-��8������&������ f R R: → ����6����&���"����������!

( ) ( ) ( )2 1 2 3 2 14f x f x x x R− + = − + ∀ ∈ .

�=��'����������8������ ( )f x "�'�'������ ����*��8��$

)=��'����������������&�����*��8������������������&��*�&�$

Schema de notare:

F?�����������������8������� ( )f x x= +2 2 '�������1������@

F?���������� �������*��8���'�������/������@

82 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

F?����������������� A5,#5,='�������/������$

10.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������$

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�����������������8�<�&����8������

����������5���&����8��������&�$

�����! -�� 8������ ƒ:R→R astfel încât (ƒ°ƒ)(x)=x2+1

4, ∀ x∈ R$ �� '�

��������<�'���∈ R����������������ƒ(c)=c.

�� �&%���"�)������������!

�&������ƒ��)�&�����)��"��)�����!Aƒ°ƒ°ƒ)(x)=ƒ(x2+1

4) ⇔

(ƒ°ƒ)(ƒ(x))=ƒ(x2+�

�) ⇔ƒ2(x)+

�=ƒ(x2+

�), ∀ x∈ R - '�������+������ .

În particular pentru x=�

��)�����ƒ2(

�)+

�=ƒ(

�) ⇔ (ƒ(

�)–

�)2=0 ⇔

ƒ(�

�)=

�. Deci x0=

� este punct fix al lui ƒF'�������+������$

11.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� "� '� ��&��� �����������&�

�����������#��9����%�����"�'��9����%������&�����8���������&�$

�����!-��8������ƒa,b:R→R��8���������! f x

x x

x x

x xa,b

a b,

( )

, ( , ]

( , )

, [ , )

=− ∈ −∞ −+ ∈ −+ ∈ +∞

2 1 1

11

5 1 1

������������#)∈ R�'�8�&6��7�8������ƒa,b'�8����'�����%A���7��=!(='�������������@

,=��9����%�@

/=��%��'�)�&�"�6����'��� �8&���8��������%��'�$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 83

Rezolvare "� )������������! (=ƒ este

'����� ���'������� �� AF∞,-1]∪ [1,+∞). ƒ este

'��������'���������R�����QD"�

ƒ((–1;1))⊂ [–3;6] ⇔�QD"�F/≤b–a, a+b≤6.

4� �&�� ��&����� ������&�� A�#)= �'��

����� ������������������"�����$

��������/������$

Β(0,6)

�/��012

/���2 /1��2

),�

� ��

/ 23

�∧

Β(0,6)

�/��012

/���2 /1��2/01��2 /0���2

� ),�

� ��

,�

���

0/ 2 / 2

2) ƒ��9����%�⇔ a>0, –3≤b–a, a+b≤6 sau a<0, –a+b≤6, a+b≥–3.4� �&��# ��&����� ������&�� A�#)= �� %���8��� ��&���� ����� ����

'����8�����������������'���������*���&���$��������/������$

3) Pentru a>0, ƒ(x)=

2 1 1

9

2

3

211

5 1 1

x x

x x

x x

− ∈ −∞ −

+ ∈ −

+ ∈ +∞

, ( , ]

, ( , )

, [ , )

�'��)�9����%�"�

ƒ–1(x)=

xx

xx

xx

+ ∈ −∞ −

− ∈ −

− ∈ +∞

1

23

2 3

93 6

1

56

, ( , ]

, ( , )

, [ , )

��

�∧

0�0�

� �

1

��

0�

01

84 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Pentru a<0, ƒ(x)=

2 1 1

9

2

3

211

5 1 1

x x

x x

x x

− ∈ −∞

− + ∈ −

+ ∈ +∞

, ( , ]

, ( , )

, [ , )

�'��)�9����%�"�

ƒ–1(x)=

xx

xx

xx

+ ∈ −∞ −

− + ∈ −

− ∈ +∞

1

23

2 3

93 6

1

56

, ( , ]

, ( , )

, [ , )

��������1������$12.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���*��������� 3 �&�'� � ��5� 3 -������

trigonometrice.

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'��� � � ���*�&����� ���*����������

determinând un interval de lungime π316�����%���� ���*�����&�.

�����! ��������'��A�π 4 �4 �� )>�

�, ∀ n∈ N, n≥2.

Rezolvare : nπ(n+1)+π/4<nπ 4 �4 �� <nπ(n+1)+π/2, ∀ n∈ N, n≥2.

�<sin nπ 4 �4 �� .

��������(D������$

13.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a IX-a / Cercul

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� �� � ���8�*������ ����

puncte fixe pentru aplicarea unui loc geometric din categoria locurilor

*�����������)� �$

�����!-�� ���������*����������$��'���������� &���&*��������

�&������&�������&���&�����*���&������������������!� 2+MB2=MC2.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 85

Rezolvare: Fie D mijlocul lui

:��; "� � �������7�� &���&�� *��5

metric.

���� �A �C )>90o atunci locul

*���������'����&�����%���$A(�$=

���� �A �C )=90o atunci locul

*�������� �'�� ��&����� 8������ ���

������&�����'��'��������&������&���8������$A,������=

În ∆� � '� ��&��� ������� ��������! 1��2=2(MA2+MB2)–BA2 ⇔

AB2+4MD2=2MC2. ( 3 puncte)

�&��7�����������������6������*���&���)�����!

4MD2=2(MC2+ML2)-CL2 deci ML2=CL2-AB2 �� �&�� � ��'���� �� ����

��������&6����� �! r CL AB= −2 2 . ( 4 puncte)

�)'��%����! ?��)&��� '� ����� �� �&%� "� �� ��&� ���&�����$ ��

���'����� '�'����&�� ���������� �� ������& 6�������&�$���)���� �� ����

�� ������& 6� �� �� � r a b c= + −2 2 2 , unde a, b, c sunt lungimile laturilor

triunghiului ABC.

14.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a IX-a / Arii.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� ��8�������� &�

�����*�����&�����%�&�����)�������������'���������������$

�����! 4� �����*���& �� '� ���'����� ������� �$ �� '� ����� ��

���� �������&� 6�'���'� 6� �����*�����&� �� "� �� �� �����"� �� �# ������

AB=AC.

86 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

Rezolvare: σ[ABD]=σ[ADC]=S/2. Fie

r1"��2 razele cercurilor înscrise în ∆ ��"�∆

ADC. r1·p1=S/2=r2·p2; r1=r2 ⇒ p1=p2 ⇒

2p1=2p2 ⇒ c+a/2+ma=b+a/2+ma ⇒ b=c.

��������(D������$

15.

��'���&��� 3�&�'� 3������&�&!���*��������� 3�&�'���5� 3 �&������&�

trigonometriei în geometrie.

�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&��� 8����&� �*A�L)= 6� �� �&%����

unor probleme.

�����! �����'����� �� �����*���& �� �'�� �������*��� 6� ���� "�

���������!�*�

�+tg

�·tg

�+tg

�=1.

�� �&%���!��&����'����'����!�*�

�+tg

�=1–tg

�·tg

�����*�

�·tg

�=1 atunci tg

�+tg

�JD������������#�����*

�·tg

�≠1.

��&�����'������%�&������!�*A�

�+

�=J("�

�+

�∈

02

,π ⇔

�+

�=π�

B+C=π�

⇔m(Â)=π�

.

��������(D������$

16.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 ������

complexe.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%���������)���������$

�����! �������� ��9����%������ "� '��9����%������ 8������� ƒ:C→C ��8�����

prin ƒ(z)=z3, ∀ z∈ C$�� �&%����������ƒ(z)=1+i.

Rezolvare: z3J(���'�&����&�ε0=1, ε1=− +� �

�"�ε2=

− −1 3

2

i.(3 puncte)

ƒ(1)=ƒ(ε1)=1 deci ƒ���'����9����%�$A(�����=

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 87

Fie y∈ C# ������� 3FNJD ��� ��& ����� � '�&���� �������� ��������

fundamentale a algebrei. (1 punct)

�� �&��ƒ'��9�����$A(�����=

1 24 4

24 4

3+ = +

= +

i i z icos sin ; cos sinπ π π π

. (2 puncte)

��&����&�! z ik

k

3

k

3=

++

+

22 26 4 4cos sin

π ππ π, 0≤k≤2. (2 puncte)

17.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! >�������� 3 �&�'� � �5� 3 �&������ �&�

numerelor complexe în geometrie.

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�8�&�'��'�����*�&�����������&�"�

������������&���������&���������%��&���������$

�����!

Fie ε����������������%���������&�≥,���������"� �������complex astfel încât z k− ≤ε 1, oricare ar fi k∈{ 0, 1, 2, 3, ......, n-1} . Atunci:

z≤ 1.

Rezolvare. Cum ε�'������������������%���������&�������������&��

��������&�����������'���n={ 1, ε, ε2, ... , εn-1} .

Din 1+ε+ε2+...+εn-1=1

1

−−εε

n

JD#�� �&��A 5(=LA 5ε)+(z-ε2)+...+(z-εn-1)=nz,

de unde nz≤ z-1+ z- ε+ ...+ z-εn-1≤ ������ z≤ 1.

��������(D������

18.

Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a /

?���������&�������6�'�����$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� ��*���& ������ � ����

plane.

�����!

-���������&�������&�� ���#��������������������&���6� ��

�&���&�������&��#�'�8�&6��7���J� #���9&���&&��[MB] "�-��9&���&&��

[MD] . ��������! a). (AEF)⊥ (CEF)

)=$��'�����*���&��8��������&���&�A ��="�A��-=�'��/Do.

��������(D������$

88 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

19.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3?�&������

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ���'�����'�� ������� �� *����& /

când se cunosc valorile polinoamelor simetrice fundamentale s1, s2"�'3 .

�����!-���#)#�∈ R astfel încât: a+b+c=a·b·c.

�=�����'������� ab+bc+ca≠1.

)=��&��&���!����*�L����*)L����*�$

�� �&%���!�=�����'1=a+b+c=a·b·c=k=s3"����'��������

s2J�)L)�L��J($���������*����&������%��%���������������#)#�%�8�

t3–s1t2+s2t–s3=0 ⇔ t3–kt2+t–k=0 ⇔ t(t2+1)–k(t2+1)=0 ⇔ (t2+1)(t–k)=0 ⇒ t1=k,

t2,3∉ R������������$�����)L)�L��≠1. ( 6 puncte )

)=�����α=arctg a; β=arctg b ; γ=arctg c.

tg(α+β+γ)= 5 4 5 4 5 5 � 5 � 5

� 5 � 5 5 � 5 5 � 5

�4�4 � ���

��4�� 4 ��2

α β γ α β γα β α γ β γ

−− − −

= −−

=� /

0 ⇒ α+β+γ=0.

(4 puncte)

20.��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � �5� 3 ��&���� ��

numere.

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� �������&�& ���� ��&����

date printr-o proprietate.

�����!�����'�������&�����!

A={n∈ N, 1≤n≤1000 ∃ x,y∈ N* astfel încât n=25x+26y}.

��'����������������&�&������&��&�� A���� =$

�� �&%���!������&� ����������&�����&���!

Lema 1$�����#)∈ NO"�A�#)=J(������∃ u,v∈ N* astfel încât au–bv=1.

Lema 2$ ���� �#)∈ NO "� A�#)=J(# �∈ N# �Q�) �<�'�� ∀ x,y∈ N* astfel

încât n=ax+by.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 89

"��������� ���� 1$����&*������& &�����&���� �&�����<�'��x0,y0∈

Z astfel încât ax0+by0J($ ���'������ �0∈ Z cu t0>–��

� "� �0>

��

� "� �����

u=x0+bt0∈ NO"�%JFAy0–at0)∈ N*; au–bv=ax0+by0=1.

"��������� ���� 2$ �&��7�� &���( �� �&�����<�'���#%∈ N* astfel

încât au–bv=1 ⇒ anu–bnv=n>a·b ⇒ 6

�–

7

�>1 ⇒ ∃ t∈ N* astfel încât

7

�<t<

6

"����'����7��x=nu–bt∈ N* avem ax+by=n, y=at–nv∈ N*.

#��������! �� ����� ���"��� �� � �������� �J�I) �� %���8���

��������$

?����� �J,+ "� )J,. ��&��7�� &��� , �� �&�� �� ∀ n∈ {651, 652, ...,

(DDDR�<�'��x,y∈ N* astfel încât n=25x+26y. ( 5 puncte )

Pentru valorile lui n∈ \(#,#$$$#.+DR'����������������&���&�&��Ax,y)

∈ N*×NO��%���8����*�&������$��%��)�������� J/+DL/DDJ.+D$A+������=

21.

��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3�������$

�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� ���������5�������������

���8����'�����&�$

�����!-�� J1 3

3 1−

∈ M2(R).

�����������λ ,α∈ R astfel ca A=λ ·cos sin

sin cos

α αα α−

"���&��&��� n, n∈ N*.

Rezolvare: A= 2

1

2

3

23

2

1

2

2 3 3

3 3−

=

cos sin

sin cos

π π

π π deci putem lua λJ,"�

α π α π π= ∈ + ∈

3 3 sau 2k k Z "� n= 2n cos sin

sin cos

n n

n n

α αα α−

= 2 3 3

3 3

ncos sin

sin cos

n n

n n

π π

π π−

�� �&��������'��������������������������$

��������(D������$

90 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

22.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��'����&������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%�'�'�������*�����������

la calcularea unui determinant simetric.

�����!��'��� �&%�'�'����&!

x y z x

x y z y

x y z z

2 3 5

5 2 3

3 5 2

+ + =

+ + =

+ + =

π

π

π

Rezolvare: Sistemul se scrie:

( )( )

( )

2 3 5 0

5 2 3 0

3 5 2 0

− + + =

+ − + =

+ + − =

π

π

π

x y z

x y z

x y z

(3 puncte)

Este un sistem omogen deci compatibil. (1 punct)

det A =

� � �

� � �

� � �

−−

−=

ππ

π

� � �

� � �

� � �

= (2 puncte)

=1/2(a+b+c)[(a–b)2+(b–c)2+(c–a)2]≠o (2 puncte)

����'�'����&�'���������)�&����������#������������'�&����)���&�

x=y=z=0. (2 puncte)

23.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3������$

�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ���&� � � '������� � ���� ��&���� ��

�����������������&���$

�����!�����"�����&������������&�A�n)n∈ N*"�A%n)n∈ N* astfel încât

un+2 + un + � ·vn+1 =0

vn+2 + vn + � ·un+1=0, ∀ n≥1, u1,u2,v1,v2∈ R fixate.

��'����������&�����"�����'������*�����$

�� �&%���! �������&�������&����$�)�����!

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 91

(un+2 + vn+2) + � (un+1 + vn+1) + (un + vn) = 0 (1 punct)

�����αn = un + vn, ∀ n≥($��&������%���!

αn+2 + � ·αn+1 + αnJD#��&���������������&��������������&,@

αn = qn"�6�&������%���)����!Vn+2 + 2 ·qn+1 + qn = 0 |:qn;

q2 + � ·q + 1 = 0.

� �

��� �

= − ± ⇒ = − + = +

= − − = +

� �

�� �

� �

��� ��

��� ��

π π

π π

α Q � �

Q

� �

Q� � � 4 � � � + �= ∀ ≥� unde C1 "� �2 se deduc prin identificare

cunoscând α1"�α2. (4 puncte)

��

�++++�

��

Q

Q= + = +��� �� 8 ��� �� π π π π

� � (1 punct)

α Q � �

Q

� �

Q

� �� � � � � � ++ �≤ + = + ∀ ≥� � � deci (αn)n���*����$A(�����=

?���'���������&����&�������)�����!

(un+2–vn+2)– � (un+1–vn+1)+(un–vn)=0. (1 punct)

�����βn=un–vn, ∀ n≥1; βn+2– � ·βn+1+βn=0; βn=qn.

q2– �VL(JD %� 8� ������� ���������'���� � ���'��� "��$ ��&��&��

��������&�!

� ++�� �= + = + = − = +�

� � �

�� � � ���� �� 8 ��� ��

π π π π .

βn=C3·q3n+C4·q4

n unde C3"��4'����������6�8���������1, u2,

v1, v2. (1 punct)

|βn|≤|C3|·|q3|n+|C4|·|q4|n=|C3|+|C4|, ∀ n≥1 ⇒ (βn)n���*����$

un=�

�(αn+βn), ∀ n≥1; vn=

�(αn–βn), ∀ n≥1.

Deci (un)n"�A%n)n'������*�����$A(�����=

24.

��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3-����������%�)�&�

92 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������%�)�&������6���&��&�&����

&����� ����# "� '� ��������� 8������ ����%�)�&� �� %���8��� � ��&���� 8��������&�

����$

�����! (= ���� 8������ ƒ:R→R �'�� ����%�)�&� 6� x0 "� K∈ N* fixat,

��&������!

( )lim ...n +

nn n

k

nk

→ ∞+

+ +

+ + +

f x f x f x f x0 0 0 0

1 2

,=�����������8������&�ƒ:R→R, derivabile, pentru care

ƒ(x+y)=ƒ(x)+ƒ(y)–2xy,∀ x,y∈ R.

�� �&%���! (= ���� &��� �n Q → 0, hn≠0, ∀ n≥1, atunci

( ) ( )lim

n +

n

n

h

h→ ∞

+ −f x f x0 0 =ƒ'(x0). În particular, pentru hn=1/n avem

( )limn +

nn→ ∞

+

f x f x0 0

1=ƒ'(x0).

( ) ( ) ( )

⋅−

+

++⋅−

+

+−

+

∞→k

n

kn

k

...

n

2n

n

1n

lim+n

������

��xfxfxfxfxfxf

=

=ƒ'(x0)+2·ƒ'(x0)+...+k·ƒ'(x0)=9/9 4�2

�·ƒ'(x0). (5 puncte)

2) Pentru x=yJD�)�����ƒ(0)=2·ƒ(0), deci ƒ(0)=0, ƒ �'������%�)�&� 6�

x0=0 deci ���K �→

� /:2

:�<�'��#�'��8�����"��'���*�&���ƒ'(0)=k.

4���&�����������'������x=x08����"�y=h≠0, ƒ(x0+h)=ƒ(x0)+ƒ(h)–

2·x0·h ⇔ ⇔ ( ) ( )f x f x0 0+ −h

h=–2x0+

� /:2

: "� ����7�� &� &����� �)�����! ƒ'(x0)=–

2·x0+k.

Cum x0 � 8�'� �&�' ��)����� ������� �� ƒ'(x)=–2x+k, ∀ x∈ R ⇒

ƒ(x)=–x2+kx+c, c∈ R. Dar ƒ(0)=0 ⇒ c=0. Deci ƒ(x)=–x2–kx, ∀ x∈ R$ �� �����

�"����ƒ%���8�����&����8��������&�����$A+������=

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 93

25.

��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � 3 �&�'� � ��5� 3 �&������ �&�

����%���&��6�'�����&%��������8������&��

Obiectivul: Elevul va fi capabil '� ����&� � ����"�����&� �� *��������

'������������&������&� �����������$

�����!?��� ������& ��*��������& �����*���&�� ��'������ �������

���������� �����'����� � &�����&� �"� � 6�������&�W ��'�����%?$�� '�

�������∀ x1,x2∈ R avem : p1x1+p2x2≤ln ( )p p1 2e ex x1 2+ unde p1=�;

);"��2=

�#

)#.

Rezolvare: Prin aplicarea teoremei lui

����&��''������'���� ���!;�

;)

#�

#)+ =p1+p2=1.

(5 puncte)

-������ ƒ:R→R, ƒ(x)=ex �'�� ���%�<� "� ��&��7�� ���*�&������ &��

Jensen pentru x1,x2∈ R, p1,p2≥0 cu p1+p2J(�)�����!

� � �[ [ [ [S S

� �� � � �� � � �

+ ≤ + ⇔ p1x1+p2x2≤ln ( )p p1 2e ex x1 2+ . (5 puncte)

26.

��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3>������

�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'� '��)�&��'����������*����������

sunt sau nu izomorfe.

�����!��'��������*������&������%�Q"�Q×Q nu sunt izomorfe.

�� �&%���! ?��'������ �� Q≈Q×Q ���� �<�'�� ƒ:Q→Q×Q un

izomorfism de grup: ƒ(1)=(a,b)∈ Q×Q. (2 puncte)

ƒ(2)=ƒ(1+1)=ƒ(1)+ƒ(1)=(2a,2b). (1 punct)

?�����������'��������!ƒ(n)=(n·a,n·b); ƒ(–n)=(–na,–nb),

)

� ��

;

#

%

94 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

deci ƒ(k)=(k·a, k·b), ∀ k∈ Z. (2 puncte)

Fie n∈ N*; ƒ(1)=ƒ 1

n

1

n...

1

nn ori

+ + +

� ��� ��

=nƒ 1

n

=(a,b) ⇒ f1

n

a

n

b

n

=

, ;

fm

n

m

na,

m

nb

=

�����ƒ(x)=(x·a,x·b), ∀ x∈ Q. (2 puncte)

�����JD'��)JD�%�����ƒ���'��9����%�$A(�����=

�����≠�"�)≠0 fie (α,β)∈ Q×Q. Cum ƒ�'��'��9����%� �� �&�� ��

�<�'��<∈ Q astfel încât ƒ(x)=(α,β) ⇒ xa=α"�x·b=β ⇒ x=α β β α� �

�= ⇒ = �����

α"�β nu sunt independente. Deci ƒ���'��9����%�#������������$A,������=

5.4. Metode alternative de evaluare

���&� ���������� ����&�����&� �� ���� ����� '� &� �� %�&����&�%�&�� ��

��������������&�<"� �������'���&����$���<���&�#�������������� �� �&%�

���)&���AB���)&��'�&%��*T=�'�������������������#8� ����#)��&�*������$

����������� �� � ���� "� 6���&�*� �� ��<� �'�� ���&� �� ����� &� &��)�

���7��# &��)� '������# ��� "� &� �'�����# *��*��8��# �������� "� �<���&�&� ���

continua.

��"� ���������� ������ ��'����� ���� ����"����� "� ���������� �� )� �#

������&� ����������&� �� �%�&���� �� ��� '��� �8������� 6� '������� �� ��&�

��'���'� ��� '�'$ �� ������# ���)��� 8�&�'��� ������ �� �%�&���� ���� '�

8��� ���& &� ������%������ �&�%�&��# &� *7������ ��%��*����# *�����&� ���# '��

&����&6�������$

Printre cele mai cunoscute metode alternative din literatura de

'�����&�������������!��%�'��*����#��������&#�����8�&��&"������%�&�����$

��%�'��*���� �'�� � ������ �� �%�&���� 6� ���� �&�%�& �'�� ��' 6�

'����������������'�&�������'�)��� A8�����'�&����&��&*��������= &�'������

������&�<�������8�����$

����� ���� '������ �'�� '���&�# �&�%�&�� � '� %� ���� '� 8��� ��%���

6���&�*����'�������#�� �&%����#*�����&� ����'������'���������6��&������<�$

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 95

�����& �8����� ��%�'��*����� ���� ������� '������� ���)&��� �'�� &������

"�# 6� ���� �� �� # ����'�� �� ����� ����"� � ��� �� ���'$����& �� &���� 6�

�� �&��%�'��*����������8�����%����&'����*���$

Exemplul 1*$>����������������

�)�����%�&!�&�%��%�� 8� ����)�&� '���&��� 6��������� 8����&�&��������

��&��&� ���� '�� %�&���& ���� ������� *��������� A����&�&�������= "� '� ���*�

����&� �����%����� �&����&��)������$

�����!

�+� 3

∨fig. 1 fig.2

� 8�&�� ������� �� ��)&� A,U,�����= %� 8� ����'8������ 6���5�� �� ��%��

����������7���7�������������8��������&��&��)&��A8�*$(=$

��'��&'�6������"�'�8����� ����� ��%�������A8�*$,=$

��� %� ������� %�&���& �� ��%���&�� �� ������� �������&�� �� ��)&�

�����������&����E�������������'���'�&�'�8�&!

�= ��'����� �� *��8�� �������� ��� '� ����8��� %�&���& )� ���&�� 6�

8��������&������������&���������$

)=�<�&�����8����*��8���&��$

�=>�'��� � 8����&� �&*�)���� � %�&���&�� 6� 8������ �� &����� �������&��

decupat.

Rezolvare:

a) ?�����������������8����&��8�������������&��������!

-�&�'��� 8����&�����������&�&�������& �������*����J�U)U� "� ���7��

���� �� �������&� �������� A������ ������� %�� �� %�&��� ��! ( ��# ,

��# / �� ���$= "� ����'8���7�� ,� 6� ,DD �� �)����� ����������

8����&�!

* (QXQW GXS� *&6( &RXUVH :RUN� 0DWKHPDWLFV ���� DQG ����� +LGODQG ([DPLQLQJ *URXS� 8.� ����.

96 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

< > >> <<

-�0�--

-

�0�-

-

V=x(200–2x)2

>��8���& ����� ���� ����& 6� ���� %�&���& ���"�� �7�� &� � �������

%�&����6�8��������&������������&����������������'���"��$

��)�&�& ����� 9�' ����� ���� %������� %�&���&�� 6� ������ �� &��*����

&�������������&����������$

������������&�� Lungimea bazei 4��&����� Volumul1 198 1 39 204 cm3

2 196 2 76 832 cm3

3 194 3 112 908 cm3

4 192 4 147 456 cm3

5 190 5 180 500 cm3

10 180 10 324 000 cm3

15 170 15 433 500 cm3

20 160 20 512 000 cm3

25 150 25 562 500 cm3

30 140 30 588 000 cm3

35 130 35 591 500 cm3

40 120 40 576 000 cm3

45 110 45 545 500 cm3

50 100 50 500 000 cm3

55 90 55 445 500 cm3

60 80 60 384 000 cm3

65 70 65 318 500 cm3

70 60 70 252 000 cm3

75 50 75 187 500 cm3

80 40 80 128 000 cm3

85 30 85 76 500 cm3

90 20 90 36 000 cm3

95 10 95 9 500 cm3

99 2 99 396 cm3

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 97

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

�� ���

��� ���

�� ���

�� ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ������ ���

��� ���

��� ���

��� ���

��� ������ ���

��� ���

2!

K

9 ∧

Proiectul ����� ���� � ������ �� �%�&���� ����&�<� ���� '�

��'8�"���� �� ������'�& � �7���%� �&�# �7���%� '�����7�� "� ������ ��

�������� ����� ��� &��*�$ ���&�& "� ���������& ��������&�� �� ��������� ���

�&�%�&��%��8��&�'���8���������*��9�$

?&���& �� &����# ���������&� "� �&���8�����&� %�� 8� 8����� 6� �&�'�# ���7��

���&�%�&'������������'�$

���&� �������������������������������������������!

– colectarea datelor;

F���&� �����8����%����������&��$

���� ���'�)��� �� ��%�'��*����# proiectul de cercetare are un caracter

������� ��&� ��� ���������$ ����& '�� �� ���&� ��� '� 8��� ���8��� ��"�&��

����'����6�������&�*������������!

F������8������"�6���&�*�������)&����@ – formularea ipotezelor;

F*�'����������&������ �&%���@ – efectuarea experimentelor;

F�)��������� �&����&��@ – interpretarea acestora.

Portofoliul este un instrument de evaluare complet prin care se

������"�����*��'�& &�����������'���&���#���"������������&�%�&�� 8�����

������'���&��������������&��*�������$

��'�� �������� ��7� �� �&����&� �)������ �� �&�% 6���5�� '���'��� '��

�� "��&�� &� ��'��# ���)� ��������# ���� ������ ���'�# ��� "� �� �&����&�

�&�%�&��&���'���������&�������%����%�&����A��%�'��*����#��������#��8�����#

98 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

�'���� ���$=$ 4� �&�'# �����8�&��& �������� 8�"�&� ����%����&� �&� �&�%�&��#

���'����������%�������������'�8���������������'���&���"��&��&�$

4� 8������ �� ����&�<������ '�# �%�&����� ���� �����8�&��# ��%��� �

����%����� ��� �� 6� �� ��� ��8���&�$ �� ����� 8������ ��'������� ��� ��&�

��'���'��7���������)����%�&��������8�'��#����&%� ���)��'� 8���"��

�%�&���� *&�)�&� � 6����*�&�� �����8�&��# ���7�� ���� "� �� ���������� �� ����

8�������&������&�����8�&��&�����������6���'��)&�$

?�� ����� �� '���� �<���&� �� ��8���� ���� ����� 8� ���&�' 6���5��

porttofoliu.

?�����������&�������&�����&�

?���� �8���� �� 6���&�*���� �������� �� ����� �'�� 8����� ����������$

4� ���������� �&�'���� ���� �<������� ��%��'� ���&� ����������� �&� ������&��

reale.

�5��������������a,b∈ W"� a b+ =2 0 atunci a=b=0.

�5��������%�� �������� 2 3+ ∉ Q.

�5��������.�� �������� 2 3 5+ + ∉ Q.

�5��������1� �������"�6���&�����'������������&*�)�������5WE

�5�������� 2�� 6( 2 )= { }a b a b Q+ ∈2 / , 6� �'���� �� ��������&� �� ���5

����"�6���&�����'��������������%!Q⊂ Q( 2 )⊂ R.

�5��������7���=���� �∈ Z-{ 1} �'�� &�)�����������# AWA d ),+, .) este

��������������%�����������������$

b) Q( d = �'�� �� '����� %�������& �� �����'���� , ��'�� W# 6� ����

��&������J{ 1, d } �'���)� �$

�5��������8�����a, b, c∈ W"� a b c+ +2 43 3 =0 atunci a=b=c.

������� ( Q, +, .= �'�� ���� ������� ��� �& �� ������� ��&����

���*�����'������������������*���'���������$

�����'������!

��&����� J{ x∈ Q*+/x2<2} �'�� ��%��� A (∈ = "� �'�� ��9����� '���

exemplu de 2∈ Q*+$ ��� ����� �� �� ��� ���*��� '��������� 6� W$

?��'������# ���� �)'���# �� �<�'�� �J'�� ∈ Q*+, a≥($ ��� ������� �2=2 nu

���'�&����6�W�� �&���2<2 sau a2>2.

�����'���������2<2.

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 99

���'������ ������&( )

ba

a= −

+2

2 1

2

2 ∈ Q*+$ ����� �� a+b∈ A, deci a nu

�'�����*���'���������$

( )b aa+ = −

12

22

2

<1 ⇒ 0<b<( )

1

12

a +<1 ⇒ b2<b.

( )a b a ab b+ = + +2 2 22 <a ab b2 2+ + <a ab b a b2 22+ + + = ( )a b a2 21+ + =

aa2

22

2+ −

=a 2 2

2+ <2 ⇒ a+b∈ A .

��&�*'��9��*�&������������������2>2.�5�������� 9�� Fie a1, a2,..., an∈ R+

* astfel încât a a an1 2 1⋅ ⋅ ⋅ =... atunci

a a a nn1 2+ + + ≥... .

�5������� 9. a) Fie a, b ∈ R+* atunci:

21 1 2a b

aba b

+≤ ≤ +

.

b) Fie a, b ,c ∈ R+* atunci:

31 1 1 3

3

a b c

abca b c

+ +≤ ≤ + +

.

c) Fie x1, x2,..., xn ∈ R+* atunci:

n

x x x

x x xx x x

nnn n

1 1 1

1 2 3

1 21 2

+ + +≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤

+ + +

......

.... (Inegalitatea mediilor.

Cauchy, 1821).

�5������� 10. Fie x1, x2,..., xn ∈[ 0, +∞) astfel încât x1+ x2+...+ xnJ($��

'������'��� ���!x

x x x

x

x x x

x

x x x

n

nn n

n

n

1

2 3

2

1 3 1 2 11 1 1 2 1+ + + ++

+ + + ++ +

+ + + +≥

−−... ......

...

�5������� 11$��'��������6�����������*�� ����� &�� ���*�&������!A

p a

B

p b

C

p c p−+

−+

−≥ 3π

, unde A, B, C'�����'���&�6���������&���*�����&��

sale.

Se pot face incursiuni în teoria lui Cantor la diferite nivele. Pentru

atragerea elevului se poate începe cu “povestea hotelului infinit” iar apoi

�������'������� ���������&��� �&���� 6� ��������&����&��$ '�8�&'��9��*�

&� �����"����� �7���%� ��&���� ������)�&�! �# ]# W# W�W# AJ ��&�����

numerelor algebrice.

100 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

��������� �� ������& ����&�< α �'�� ����� �&*�)��� ���� ∃ f∈ Q[X] ,f≠0 astfel încât f(α=JD ��� ��&�����& ������ �� *��� ����� �� ����'��

�����������'�����"����&�����&������&�&&��α.

�5������� 12$������'�����&�������������<�'���)�9����� 6�����

"�Ρ(X) (Cantor).

�5���������.. Fie ( xn)n≥1 �� "�� �� ������ ���&� ����&�# ������ �<�'��

α∈ R astfel încât xn+α∉ Q, ∀ n≥1.

4� 6�������� %�� ��� ���� �� ����& �� �<�������� '������������� %�

�%����8���&����������'������8����&����������&π�'����������&$

�� ���'����� a, b, n∈ N*, 8������&� :nf R→R, ( ) ( )nnn abxx

nxf −=

!

� "�

integralele ( )∫=�

nn xdxxfI�

sin , ∀ n∈ N*.

a) �� '� ����� �� ���� u, v:I→R '��� 8������ �� n ori derivabile pe I,

atunci ( )( ) ( ) ( )kknn

k

kn

n vuCuv −

=∑=

.

b) ��'�������� ( )( )�knf ∈ Z, ∀ k∈ N*, n∈ N*.

c) ��'�������� ( )

b

af k

n ∈ Z, ∀ k∈ N*, n∈ N*.

d) ��'�������� limn ∞→

�=nI .

e) În ipoteza b

a� = #'�'�������� nI ∈ Z*, ∀ n∈ N.

S�'������'��� ���������&π∈ R – Q.

Rezolvare.

a) Pentru nJ( �'�� �%�����$ �����'���� ���� ��# ���� �*�&������

�'�����%�����������n#�������'�����%����� "� ������n+1. Într-

���%��#

( )( ) ( )( )

( )( )nn

n vuvuuvuv ′+′=

′=+� = ( )( ) ( )( )nn vuvu ′+′ = ( ) ( )∑

=

−+n

k

kknkn vuC

� +

( ) ( )∑+=

+−n

k

kknkn vuC

� = ( ) ( ) ( ) ( )kknn

k

kn

kn

n vuCCvu −+

=

−+ ∑ ++ �

�� + ( )�+nuv = ( ) ( )∑+

=

−++

n

k

kknkn vuC .

b) Cum ( ) �� =nf "� �=x �'������������������&n pentru nf , care are

gradul 2n#�� �&���� ( )( ) ���� −=∀= nkf kn ,, "� �� +≥∀ nk . Pentru

{ } ,...,,, nnnk ��+∈ avem

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 101

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

−⋅++

′−+−= − knnnkn

knknk

n abxxabxxCabxxn

xf ...!

���=

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )[ ]����� +++−++−⋅+++ −−− .........!

nnnknnk

nknnnnkk abxxCabxxC

n

�������� �&���� ( )( ) ( )( )( )( )��

�nknnk

kk

n abxnCn

f−− −⋅= !

!=

( ) ( )( ) knnknkk aknnnbC −−− −+−− �

��� ... ∈ Z.

c) ( )

b

af k

n ∈ Z, �� −=∀ nk . "� �� +≥∀ nk . Pentru { }nnnk �� ,...,, +∈ avem

( )

b

af k

n = ( )( )

a

bxbnC

n

nknnkn !

!

�= ( ) ( )

knnn

k b

aknnnbC

⋅+−−−

��� =

( ) ( ) knknnk baknnnC −−+−−= ���� ... ∈ Z.

d) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +≤−=≤≤

+� � �

nnnn

nnn n

M�

dxabxxn

dxxfdxxxfI� � �

!!sin , unde

[ ]abxM

�x

−=∈ ,sup

. Cum ( ) ��

=+

+

∞→ !lim

n

M�nn

n#�� �&���� �=

∞→ nn

Ilim .

e) Dac�b

a� = #����*�7�����������%���%�� ( )∫ ==

nn xdxxfI�

sin

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ =″−′++=′+−=� �

n

nnn

n xdxxfxxff�fxdxxfxxf� �

��� ...sinsincoscos

…= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ++++

″+″−+ ...��� nnnnnn f�ff�ff�f

( ) ( )( )∫⋅−++�

nn

n xdxxf�

�� .sin... Cum ( )( )�f kn ∈ Z "� ( )k

nf ∈ Z, iar

( )( ) ( ) nnn bn

nxf ⋅= !

!�

�� ∈ Z#�� �&���� nI ∈ Z.

f) ����π∈ Q, atunci b

a� = conduce la nI ∈ Z"���� �=

∞→ nn

Ilim #�� �&��

�� nnI n ≥∀= , . Dar �� ≠nI , ∈∀ n N, fals.

Autoevaluarea ������� ���������� �������&�� ���8������� 6� ������ ��

�)�����%�&�����������&�$ 4������'�&�����%�&������&�%�&%� 6���&�*����)���

�)�����%�&� "� ���������& '������� �� � ��� �� �� �&%��# ���&� ���� ���� *�'�"��

'�&���� ������� "� ����& 6� ���� �8����& '�� �� �� �&%��� � '������� �'��

%�&���8����$ ����%�&����� ���)��� 8����� '�) ������ 6�������� � ���8�'���&��

în special la clasele de liceu.

102 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�

BIBLIOGRAFIE

1. ��������/���������/����:�(��/������������/���� �������/������ ���/����;�'���/�$��������<�=$ �'�(�����'�����������5������=

������"��#(22.#�������T ����'T

%�����������+����'�����-/���� �����/������ ���/�����;�'���/������������– “Ghid practic de elaborare a itemilor pentru examene“

���#������"��#(22.$

3. J. Stenmark (editor) – “Mathematics Assessment“

NCTM/ Virginia, 1991.

1����������=$�>���������=seria B, 1990-1997.

�������

2��$ ����'��/��������(�/�$ ��"��'��<��=��(0���)����5����'

�'�����������)��'�������=

���'�����#(22/$

7��$ ����'��/��������(�/�#����������<��=��(0���)����5����'

�'�����������)��'�������=

��$T��������0T#������"��#(22+$

8�����"� ���/�$ ��$��(��/���������/������ ���<��=���0���'���(0��/�����>�����(����=

��$T���������7���'��T#������"��#(22($

8. I.D.����/����$ ����/�������'���/������(�����<�=��(0���<��������?��-a“

��$T?���&�&�1+T#?���"��#(220$

9. Virgil Nicula – “Numere complexe“

��$T��������0T#������"��#(22/$

�@���������/�����)�����<�=���0���'�����������(0���=

��$�������#(201$

���������������/��������/����"���'�0���/����:�����<�=���(��')��0���'���(0���)��������=

Ed. “Roteh-Pro“, 1996.

�%�������������/���������<�=�����������������������������(0���=

��$�������#������"��#(202$

�.�� ��������)��/������������)��/���� �����<�=��'������������=��$T>�T#]�&��

*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 103

�1���������<�=��(0������������,��'������)��������“

Ed. T������T#������"��#(22.$

�����

15. V. Arsinte – “Probleme elementare de calcul integral“

��$���%��'������������"��#(22+$

16. D.�"����(/ I.V. Maftei – =���)������������'�����������elevilor“

Ed. “Scrisul Românesc“, Craiova, 1983.

�8�������������<�=�����5�)��*�������>���������=������"��#(2G2$

�9�������������<�=�����>���������=������"��#(22,$

�A��������B���� �<�=$������)���*��*�������������>��������=

Ed. “Dacia“, Cluj-Napoca, 1982.

%@����� �)��<�=���0���'������>��������������������(���=��$T>�T#]�&��#(22.$

%��������������/����������/��������������<�=�����>���������=��&�#��$���������"�?���*�*���#������"��#(2GD$

%%��$ ������� ��<�=�������'�,������������(���=A,%�&$=��$�������8���"������&�������#������"��#(2G+$

Geometrie

%.�����"�;�>�/���������/����� ������<�=$����/����������?C�=

��$T?���&�&�1+T#?���"��#(22.$

%1�����"�;�>�/���������/���������<�=�����������)����������'���=��$ ��������#������"��#(2G.$

%2����������/����� ������<�=��������)�5�*����������'�����“

��$T T#������"��#(22+$

26. L. Nicolescu, V. Boskoff – “Probleme practice de geometrie“

��$�������#������"��#(22D$

%8��$ ���������<�=���(��'�)��0���'�(����=

Bucur�"��#(2.+$