CAP. III. TEORIA GENERAL A UNDELOR

III. 1. Conceptul de und a aprut n strns legtur cu cel de oscilaie. n general, oscilaia se definete ca o perturbaie periodic a unei mrimi ce caracterizeaz local starea unui sistem fizic. Experiena arat c o perturbaie, indiferent de natura ei, se propag printr-un mediu material din aproape n aproape, cu vitez finit. Exist perturbaii (de exemplu, cmpul electromagnetic) care se propag i n vid, tot cu vitez finit.

Prin und nelegem tabloul spaio-temporal al unei mrimi fizice a crei perturbaie se propag ntr-un mediu dat. Mai simplu, unda reprezint propagarea ntr-un mediu, cu vitez finit, a unei perturbaii variabile n timp. Aadar, mrimea perturbat, indiferent de natura ei, variaz n funcie de coordonatele spaiale i de timp, fiind reprezentat printr-o funcie numit funcie de und. Existena undei presupune dou elemente care i condiioneaz comportarea: o surs (n care se produce o perturbaie iniial) i un mediu (n care se propag perturbaia).

( tzyx ,,, )

Clasificarea undelor a) dup natura perturbaiei: - unde elastice (perturbaia este o deformare mecanic, iar mediul este elastic) - unde electromagnetice (propagarea, n orice mediu, a cmpului electromagnetic) - unde magnetohidrodinamice (propagarea simultan i intercondiionat a unor perturbaii complexe, mecano-electromagnetice, n plasm) - unde termice (se produc drept urmare a variaiei temperaturii) - unde de Broglie (asociate microparticulelor aflate n micare). b) dup caracterul matematic al mrimii fizice perturbate : - unde scalare ( = densitate, presiune, temperatur) - unde vectoriale ( = deplasare, vitez de oscilaie, intensitate a cmpului electric, inducie magnetic)

- tensoriale. Undele vectoriale se clasific n: - unde longitudinale (la care direcia mrimii perturbate coincide cu direcia de propagare, de exemplu unda sonor) - unde transversale (la care direcia mrimii perturbate este perpendicular pe direcia de propagare, de exemplu unda luminoas) Caracterizarea mediului n care se propag undele este necesar deoarece mediul impune anumite particulariti asupra propagrii undei.

Un mediu este omogen dac proprietile lui fizice sunt aceleai n orice punct, adic sunt independente de coordonatele spaiale. n caz contrar mediul este neomogen.

Un mediu este izotrop dac proprietile lui fizice, plecnd din orice punct, sunt aceleai pentru orice direcie dup care se face msurarea lor, adic sunt independente de direcie. n caz contrar mediul este anizotrop.

Un mediu este liniar dac, pentru mai multe perturbaii i ajunse simultan n acelai punct, perturbaia rezultant satisface relaia de suprapunere:

(III.1) ( ) (=

ii tzyxtzyx ,,,,,, )

n caz contrar mediul este neliniar. Un mediu este dispersiv dac viteza de propagare a perturbaiei depinde de

caracteristicile undei, nu numai de cele ale mediului. ntr-un mediu nedispersiv perturbaiile de aceeai natur se propag cu aceeai vitez (ex. n vid, toate undele electromagnetice se propag cu c = 3 810 m/s).

ntr-un mediu conservativ procesele ondulatorii sunt reversibile, iar ntr-un mediu disipativ propagarea perturbaiei este nsoit de generare de entropie. Folosind o alt terminologie mediile disipative se mai numesc absorbante (energia undei scade), iar cele conservative, neabsorbante.

Observaie: Caracterul dispersiv/nedispersiv i caracterul conservativ/disipativ nu depind numai de mediu, ci i de natura i de frecvena undei. Un mediu omogen, izotrop, liniar, nedispersiv i conservativ se numete mediu ideal. Un astfel de mediu este infinit. III.2. Ecuaia de propagare a undelor n mediul ideal. Unda plan

n condiiile n care sursa de unde produce perturbaii de forma unor mici oscilaii, iar mediul este ideal, indiferent de natura fizic i de caracterul matematic al perturbaiei, comportarea undei este descris de o ecuaie diferenial de forma:

22

22

2

2

2

2

2 1tvzyx =

++

(III.2) n care v este o constant avnd dimensiune de vitez, a crei valoare depinde de caracteristicile mediului i de cele ale undei. Vom obine astfel de ecuaii pentru cazuri concrete (unde elastice, unde electromagnetice) analiznd propagarea perturbaiei respective i vom stabili totodat formula vitezei v n fiecare caz. Unda plan se definete prin faptul c funcia de und are aceeai valoare n orice punct dintr-un plan. Alegnd ca acest plan s fie yOz rezult: 0=

y

i 0=z

, iar

ecuaia (III.2) devine unidimensional:

22

22

2 1tvx =

(III.3)

- 42 -

unde . O soluie general a acestei ecuaii cu derivate pariale este o funcie arbitrar care depinde de variabilele x i t numai prin intermediul unei combinaii liniare i omogene a acestora, adic:

( tx,= )

( )

++

=vxtg

vxtftx, (III.4)

n care f i g sunt dou funcii arbitrare. Soluia

vxtf reprezint unda progresiv adic

cea care se propag de la sursa de unde S (Fig. III.1) spre punctul de observaie M (de

coordonat x), iar soluia

+vxtg reprezint unda regresiv.

Fig. III.1 Propagarea undei plane. n cazul undei progresive notm cu valoarea funciei f la momentul t = 0 n

punctul , adic:

0f

0x .00 constvxff =

= La momentul ulterior t > 0 aceast valoare se va

regsi n punctele care satisfac condiia: vx

vxt 0= , deci pentru . 0xx >

n concluzie: a) valoarea constant a perturbaiei se propag de la surs n sensul pozitiv al axei Ox, ceea ce justific denumirea de und progresiv;

0f

b) raportul v

xx 0 reprezint timpul necesar ca unda s strbat distana i, prin urmare,

0xx

c) constanta v reprezint viteza de propagare a perturbaiei (v se numete vitez de faz, denumire justificat mai jos). Cazul cel mai des ntlnit n practic fiind cel al undelor progresive reinem din soluia

(III.4) numai pe cea particular

vxtf .

Unda armonic plan corespunde situaiei n care sursa este un oscilator armonic distribuit ntr-un plan i mediul este ideal. Soluia ecuaiei (III.3) poate avea una din formele:

- 43 -

+

= 0cos vxtAfc sau

+

= 0sin v

xtAf s (III.5)

unde A, i sunt constante. Dar, pentru c orice combinaie liniar a acestor soluii particulare este i ea soluie a ecuaiei (III.3), preferm forma:

0sc iff += .

( )

+

= 0exp, vxtiAtx (III.5)

Mrimi caracteristice undei armonice plane 1. Faza undei - definit ca argumentul funciei armonice, depinde de variabilele x i t:

( ) 0, +

=vxttx (III.6)

Faza iniial este: ( 0,00 ) = (III.6') 2. Suprafaa de und sau suprafaa echifaz este suprafaa pe care faza are aceeai valoare la un moment dat (locul geometric al punctelor din spaiu n care faza undei este aceeai la un moment dat). Evident, n cazul undei plane ea este un plan. n exemplul considerat planele echifaz sunt paralele cu planul yOz i se deplaseaz pe axa Ox. Notm cu xu

r versorul direciei de deplasare, iar cu x distana de la planul-origine (care conine sursa) la planul care conine punctul de observaie M. Suprafaa de und cea mai avansat se numete front de und. 3. Viteza de faz este viteza de deplasare a suprafeei de und pe direcia normalei sale. Pentru unda plan obinem aceast vitez difereniind relaia

( ) ., 0 constvxttx =+

=

Rezult: .constdt

dxv=

=

(III.7)

4. Frecvena unghiular (pulsaia undei) exprim viteza de variaie a fazei i este

imprimat de ctre surs: t

= (III.8) 5. Vectorul de und are direcia i sensul normalei la suprafaa echifaz, iar modulul su

se definete prin:

kr

vxk =

= (III.9)

- 44 -

n cazul undei plane studiate: xk uvu

vk rrr == (III.9')

6. Intensitatea undei se definete prin: = I (III.10) Folosind expresia (III.5) rezult: 2AI = (III.10') 7. Amplitudinea undei se obine din relaiile (III.10) i (III.10'):

( )21= A (III.11) 8. Perioada (T) exprim periodicitatea n timp a funciei de und ( )tx, : (III.12) ( ) ( Ttxtx += ,, )

relaie din care: 2=T (III.12')

Frecvena undei: T1= (III.13)

9. Lungimea de und () exprim periodicitatea n spaiu a funciei de und : ( )tx, ( ) ( txtx ,, )+= (III.14) fiind totodat distana parcurs de suprafaa de und n timp de o perioad. Din condiia (III.14) rezult:

vTv == 2 (III.14')

Din relaiile (III.9) i (III.14') obinem: k 2= (III.14")

Folosind definiia (III.9), expresia (III.5) a funciei de und devine: ( ) ( )[ 0exp, ] += kxtiAtx , (III.15) dar forma care are sens fizic este: ( 0cosRe ) += kxtA (III.16)

- 45 -

Observaie: Unda armonic plan este un model teoretic deoarece nu exist surs real care s fie uniform distribuit ntr-un plan, adic infinit. ntr-un sistem de coordonate orientat arbitrar fa de direcia de propagare a undei n care: ++= coscoscos zyxr sau == cos,cos kkkk yx i = coskkz

x ykxkrk += obinem,

n locul produsului kx din formele (III.15) i (III.16) produsul scalar zy zk+rr

, iar soluia ecuaiei difereniale (III.2), pentru und armonic plan, este: ( ) ( )[ ]0exp, += rktiAtx rr (III.17) Unda sferic se obine n cazul cnd sursa este punctiform, iar mediul este ideal ceea ce conduce la suprafee de und sferice i vector de und radial ( ). Dac, n plus, sursa este un oscilator armonic rezult o und armonic sferic a crei funcie de und are forma:

krrk =rr

( ) ([ 0exp, += krtirAtx )] (III.18)

Amplitudinea undei scade cu distana fa de surs. Dac distana r este mult mai mare dect dimensiunile domeniului de observare din jurul punctului M (Fig. III.2) amplitudinea undei poate fi considerat constant, iar unda sferic poate fi aproximat cu unda plan.

( ) rArA /=

Fig. III.2 Propagarea undei sferice. Unda cilindric se obine n cazul cnd sursa este liniar, iar mediul este ideal ceea ce conduce la suprafee de und cilindrice i vector de und radial ( krk =rr ; este raza suprafeei cilindrice). Unda armonic cilindric are forma:

( ) ([ 0exp, += ktiAtx )] (III.19)

Amplitudinea undei ( ) AA = scade cu radical din distana fa de surs.

- 46 -

III.3. Suprapunerea a dou unde ntr-un punct al unui mediu ideal (i deci liniar) n care ajung simultan mai multe unde de aceeai natur efectul ondulatoriu total se obine din suprapunerea undelor: i (III.20) =

ii

n funcie de caracteristicile undelor componente i de relaiile dintre acestea efectul suprapunerii undelor prezint forme i rezultate difereniate. Distingem dou cazuri generale: 1) suprapunerea undelor coerente (interferena) 2) suprapunerea undelor necoerente. 1) Suprapunerea undelor coerente (interferena) Prin definiie, dou sau mai multe unde sunt coerente dac diferena de faz dintre ele este constant n timp. n acest capitol ne referim numai la unde scalare sau la unde vectoriale paralele (la care direciile de oscilaie coincid). Fie dou unde armonice plane avnd aceeai frecven unghiular. ( ) ([ ]011111 exp, ) += kxtiAtx i ( ) ( )[ ]022222 exp, += kxtiAtx (III.21) unde i sunt distanele strbtute de cele dou unde de la sursele lor pn la punctul de suprapunere, iar 01 i 02 sunt fazele iniiale, constante n timp. Diferena de faz are expresia:

1x 2x

( ) 0020112 +=+= xkxxk (III.22) i este constant n timp (undele sunt coerente). Mrimile x i 0 sunt diferena de drum, respectiv diferena dintre fazele iniiale. Conform relaiei (III.20) unda rezultant este: ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]}expexp{exp,, 0222011121 +++= kxiAkxiAtitxx (III.23) avnd frecvena unghiular a undelor componente, iar amplitudinea A calculabil prin intermediul intensitii undei, adic folosind relaiile (III.10), (III.10) i (III.11). Pentru intensitate obinem: ( )[ ] ( )[ ]}exp{exp 00212221 +++++== xkixkiAAAAI =

= ( 02121 cos2 +++ xkIIII ) (III.24) iar pentru amplitudine:

- 47 -

( )02122212 cos2 +++= xkAAAAA (III.25) Amplitudinea undei rezultante depinde de: amplitudinile , ale undelor componente, de diferena de drum x i de diferena fazelor iniiale 0.

1A 2A

Maximul acestei amplitudini este 21max AAA += (corespunznd la 2121max 2 IIIII ++= ) i se obine din condiia:

zxk 20 =+ (unde z este numr ntreg) (III.26) Minimul acestei amplitudini este 21min AAA = (corespunznd la

2121min 2 IIIII += ) i se obine din condiia: ( ) 120 +=+ zxk (unde z este numr ntreg) (III.26') n cazul particular rezult: 021 AAA == 1max 2II = i 0min =I (minime nule). Condiiile (III.26) i (III.26') se mai pot scrie n funcie de diferena de drum x, avnd o form simpl dac 0 = 0 (surse n faz):

2

2 zzx == (maxim) i ( )2

12 += zx (minim) (III.27) Observaie: Dac 0 = (surse n opoziie de faz) condiiile de maxim, respectiv minim se inverseaz ntre ele. n cazul suprapunerii a dou fascicule de unde coerente interferena se produce n ntreg domeniul de intersecie a fasciculelor. Pentru fascicule luminoase, pe un ecran plasat n acest domeniu se obine o figur de interferen, adic o anumit distribuie a intensitii rezultante, avnd maxime alternnd cu minime deoarece poziia pe ecran a punctului de suprapunere a undelor condiioneaz diferena de drum. Exemplu: lucrarea de laborator: "Studiul interferenei luminii. Dispozitivul Young". 2) Suprapunerea undelor necoerente Presupunem c n expresile (III.21) fazele iniiale ale celor dou unde depind de timp i anume ntr-un mod aleatoriu. Aceast situaie se ntlnete des n practic deoarece emisiile celor dou unde (n surse) sunt procese independente, necorelate ntre ele. Diferena de faz ( )txk 0 += nu este constant n timp (unde necoerente). Intensitatea undei rezultante are expresia (III.24) cu deosebirea, esenial, c depinde aleatoriu de timp. Ceea ce observm este media n timp a intensitii undei. Deoarece media unui numr mare de valori aleatoare ale funciei cos[kx+0(t)] este, n mod evident, nul, rezult:

- 48 -

21 III += (III.28)

roprietate valabil i pentru n unde).

nde staionare

sunt limitate de o suprafa bine efinit care le separ de exterior. n medii limitate se formeaz unde staionare.

adic suprapunerea undelor necoerente se reduce la simpla nsumare a intensitilor (p III.4. Ecuaia atemporal a undelor. U n general, mediile n care se propag undele d Pentru ecuaia unidimensional a undelor:

222 1 = (22 tvx III.29)

soluia, n cazul undei armonice, poate fi:

( ) ( ) tiexftx = , (III.30)

ai de coordonata x. Dorim s eterm ) entru un mediu limitat. Din relaiile (III.29) i (III.30) rezult:

unde f(x) este o funcie care depinde num d inm f(xp

0222

=+ ffd (2 vdx III.31)

u

0222

=+ fkdx

fd sa (III.31')

nde

vk =u este modulul vectorului de und. Relaia (III.31') reprezint ecuaia

oral ate:

atemp undelor n cazul unidimensional i, totodat o ecuaie cu valori proprii. Soluia ei es ( ) ( ) ( )kxBkxAxf cossin += , (III.32)

deplineasc condiiile la frontier (la limit). Aceste condiii sunt specifice fiecrui caz.

unde A i B sunt constante. Pentru a fi univoc determinat, aceast funcie trebuie s n

Fie cazul particular al unei coarde elastice, de lungime l , fixat la ambele capete. Condiiile la limit sunt:

( ) 00 =f i ( ) 0=lf . (III.33) Din prima obinem B = ar din a

0, i doua rezult: nk =l , cu n = 1, 2, 3,... din care:

- 49 -

lnk = , cu n = 1, 2, 3,.... (III.34n )

n ale malori proprii.

frecven (n):

Valorile k odulului vectorului de und formeaz un ir discret i se numesc

vn mod corespunztor, obinem valori discrete pentru lungimea de und (n),

pulsaie (n) i

nnl2= ; l

vnn

= ; l2nv= n (III.34')

Soluia X(x) este, de fapt, un cret de funcii numite func .

ir dis ii proprii

( ) = xnAxf sin , cu n = 1, 2, 3,... ln (III.35)

Funciile de und corespunztoare alctuiesc i ele un ir discret de forma:

( ) ( )tiAtx nn = expsin, l , cu n = 1, 2, 3,... xn (III.36)

nde

( )

= lxnAxfn

sinu este amplitudinea, dependent de x, a funciei de und. tudinea prezint

max

Ampli maxime (numite ventre) i minime (numite noduri).

Condiia pentru ime este:

( )xfn1sin =

lxn , din care rezult poziiile ventrelor:

( )n

zxventru 212 l+= , cu z numr ntreg, astfel nct [ ]l,0vx (III.37)

dar: ( )

412 n

ventruz

x+=

nnl2= , deci: (III.37')

istana dintre dou ventre succesive este:

2n

vx=D (III.38)

ondiia pentru minime este:

0sin =

l

xnC , din care rezult poziiile nodurilor:

nzxnodl= , cu z numr ntreg, astfel nct [ ]l,0nodx (III.39)

- 50 -

dar: nnl2= , deci:

2n

nodz

x= (III.39')

istana dintre dou noduri succesive este:

2n

nodx

D = , aceeai ca i n cazul ventrelor. oduri de o la n Fig.III.3 sunt prezentate primele apte m scilaie ale coardei vibrante fixate

ambele capete.

III.3 Primele apte moduri de oscilaie ale coardei vibrante fixate la ambele capete; nnl2=Fig. cu n = {1,

27}.

Concluzii referitoare la undele staionare produse n coarda vibrant fixat la mbele capete:

1. La u)].

ete, determinate de numrul n = 1, 2, 3,....(se spune c sunt mrimi

an moment dat toate punctele coardei vibrante au aceeai faz, egal cu tn , pentru n

dat [relaia (III.362. Mrimile pulsaie, frecven, lungime de und i vector de und (n modul) au valori care formeaz iruri discrcuantificate); relaiile (III.34) i (III.34').

- 51 -

3. Amplitudinea undelor staionare ( )xX n este o funcie periodic de poziie, maximele i minimele ei avnd poziii constante n timp, pentru n dat [relaiile (III.37) i (III.39)], ceea ce justific denumirea de unde staionare.

4. Distana dintre dou ventre succesive sau dou noduri succesive este: 2

nx= .

Exemplu: lucrarea de laborator "Interferena undelor electromagnetice". Observaie: Soluia ecuaiei atemporale a undelor depinde esenial de condiiile pe care funcia de und trebuie s le ndeplineasc la frontier. Pentru coarda vibrant fixat numai

la un capt ele sunt: i ( ) 00 =X ( ) =lX maxim, adic: 0=

=lxdx

dX . Relaiile (III.34) -

(III.37) i (III.39) au alte forme, iar (III.38) este aceeai. III.5. Grupul de unde Presupunem o mulime nenumrabil de unde armonice plane a cror frecven unghiular variaz continuu ntr-un interval ngust + 00 , , unde 0

Notm: ( txddkxt ,

0

=

) (III.42) i integrm. Rezult:

( ) ( xktieatx 00sin2, )= (III.43)

Interpretare: Relaia (III.43) reprezint o und care nu mai este armonic deoarece amplitudinea ei:

( ) sin2, = atxA (III.44)

este modulat de factorul sin care depinde de coordonata x i de timp (t).

Din relaia (III.44) rezult: pentru 0 amplitudinea este maxim == aAA 20max , iar pentru n= cu amplitudinea este nul (Fig. III.4). Maximele secundare, obinute din ecuaia transcendent

Nn tg= , au valori mult mai mici (de ordinul 0,01A0).

Deci amplitudinea undei rezultante are valori semnificative numai n regiunea maximului central, adic pentru [ ] , . Perturbaia corespunztoare undei (III.43), la un moment dat (t0), exprimat prin: ( ) ( ) ( )xkttxAtxf c 00000 cos,,Re == (III.45)

reprezint un grup de unde unidimensional (Fig. III.5) care se mai numete pachet de unde sau tren de unde.

Fig. III.4 Amplitudinea grupului de unde n funcie de ( )

=

0

,ddkxttx ; ea are valori

semnificative numai n regiunea maximului central, adic pentru [ ] , .

- 53 -

Fig. III.5 Funcia de und pentru grupul de unde unidimensional (pachet de unde). Viteza de faz i viteza de grup. Relaia Rayleigh Din relaia (III.43) rezult c, pe lng suprafaa de und (echifaz)

.00 consttxk =+ care se propag cu viteza de faz v, se poate defini i o suprafa de egal amplitudine (suprafa echiamplitudine) ca fiind locul geometric al punctelor din spaiu care au, la un moment dat, aceeai amplitudine. Suprafaa echiamplitudine se deplaseaz cu o vitez vg numit vitez de grup care este, n majoritatea cazurilor, diferit de viteza de faz. Pentru a stabili relaia dintre aceste viteze pornim de la definiia suprafeei echiamplitudine: ( ) ., consttxA = care conduce la:

.0

constddkxt =

(III.46)

Relaia (III.46) reprezint ecuaia suprafeei de egal amplitudine. Prin diferenierea ei obinem modulul vitezei de grup:

0

=

== dk

ddtdxv

constAg (III.47)

Vectorial: kg udkdv rr

0

= (III.47') Prelucrm relaia (III.47): ( )

0000

+=

+=

+=

=ddvkvv

dkd

ddvkv

dkdvkv

dkkvdvg (III.48)

- 54 -

Rezult: 0

+=ddvvvg (III.48')

n funcie de lungimea de und, folosind relaia (III.14"), obinem:

000

2

=

=

+=ddvv

ddv

kv

dkd

ddvkvvg (III.48")

Relaiile (III.48), (III.48') i (III.48") sunt forme ale relaiei Rayleigh. Distingem dou cazuri:

a) vvddvsau

ddv

g === 00 (mediul se numete nedispersiv) (III.49) b) vv

ddvsau

ddv

g 00 (mediul se numete dispersiv) (III.49') Observaii: 1. ntr-un mediu puternic dispersiv grupul de unde se destram repede deoarece diferitele unde care l compun se propag cu viteze diferite. 2. Viteza care se poate msura experimental este viteza de grup deoarece detecia undelor se realizeaz prin efecte energetice, iar fluxul energetic este proporional cu ptratul amplitudinii, deci legat de propagarea suprafeei echiamplitudine. Viteza de faz se obine numai prin calcul. Relaiile de incertitudine ale grupului de unde Grupul de unde ocup, n general, o regiune mic din spaiu, amplitudinea avnd valori semnificative doar pentru maximul central.

a) Folosind relaia (III.42) scriem valorile mrimii ntr-un punct de coordonat x, la momente diferite:

( )

= 0111

,ddkxttx i ( )

= 0222

,ddkxttx (III.50)

Considerm pentru diferena 21 numai intervalul [-, ] n care se obine maximul central, adic: 221 . Din (III.50): ( ) == ttt 2121 . Rezult: (III.51) 2t Interpretare: Relaia (III.51) este o relaie de imprecizie reprezentnd legtura dintre lrgimea a domeniului de frecvene unghiulare pentru undele armonice dintr-un grup de unde i durata a perturbaiei care produce grupul respectiv. Pentru o und riguros monocromatic , ceea ce corespunde la

t 0 t . n realitate durata perturbaiei

- 55 -

este finit, iar , deci nu exist und riguros monocromatic. Pentru a obine un

interval ngust de frecvene durata perturbaiei trebuie s fie relativ mare (

0

2t ).

De asemenea, dac t

s-ar obine o und ntins n tot spaiul, situaie infirmat de experien. Relaia (III.51) mai arat c mrimile i t nu se pot msura simultan, cu aceeai precizie.

b) Scriem acum valorile mrimii la acelai moment t, n dou puncte diferite, i relum raionamentul de mai sus. Obinem a doua relaie de imprecizie a grupului de unde: (III.52) 2kx Interpretare: Relaia (III.52) arat c modulul vectorului de und i poziia x a grupului de unde nu pot fi stabilite simultan, cu aceeai precizie. Concluzii asupra grupului de unde: 1. Undele reale nu sunt armonice (riguros monocromatice), ci grupuri de unde. 2. Orice proces periodic poate fi reprezentat ca o suprapunere (sum Fourier sau integral Fourier) de funcii de und armonice. 3. Viteza de grup coincide cu viteza de faz numai n mediile nedispersive. 4. Mrimile i t, respectiv x i k, nu se pot msura simultan, cu aceeai precizie. III.6. Difracia undelor III. 6.1. Principiul Huygens-Fresnel

Propagarea undelor n medii neomogene prezint particulariti determinate de faptul c neomogenitile produc ntreruperea parial a suprafeei de und sau deformarea ei, ceea ce are drept consecin abaterea de la propagarea rectilinie a undei, fenomen numit difracie. Difracia este nsoit de o redistribuire a intensitii undei astfel nct, intersectnd fasciculul difractat cu un ecran, se obine o figur de difracie al crei aspect depinde att de caracteristicile neomogenitii (form i dimensiuni) ct i de caracteristicile undei (frecvena unghiular, forma suprafeei de und).

Propagarea undelor poate fi explicat pe baza principiului Huygens care afirm c: Orice punct atins de o und devine surs secundar de unde.

Conform acestui principiu, din suprafaa de und de la momentul t, considernd fiecare punct al ei ca surs secundar, se poate construi suprafaa de und la momentul ulterior t + ca nfurtoarea suprafeelor de und secundare (Fig. III.6).

- 56 -

Fig.III.6 Construirea suprafeei de und la momentul t + ca nfurtoarea suprafeelor de und secundare emise de sursele secundare ale suprafeei de und de la momentul t, pentru unda plan (stnga), respectiv sferic (dreapta).

Dar principiul Huygens nu furnizeaz nici o informaie asupra intensitii i a fazei undelor secundare. Completarea Fresnel a acestui principiu afirm: Undele secundare sunt coerente i au amplitudini ce pot fi calculate.

Pe baza principiului Huygens-Fresnel s-a elaborat metoda zonelor Fresnel care const n nlocuirea sursei primare printr-o distribuie continu de surse secundare de pe o suprafa de und. Suprafaa de und se mparte n poriuni numite zone Fresnel ale cror forme i arii sunt alese astfel nct ele s fie echivalente din punctul de vedere al emisiei undelor secundare. III.6.2. Difracia Fraunhofer pe o fant dreptunghiular

Fie o und plan care ntlnete un ecran n care este practicat o fant dreptunghiular a crei lime este mult mai mic dect lungimea L (aceasta din urm este considerat, n teorie, infinit). Pentru simplificarea calculelor considerm cazul incidenei normale (direcia de propagare a undei plane este perpendicular pe limea fantei; Fig. III.7). Zonele Fresnel se construiesc ducnd n planul fantei drepte echidistante, foarte apropiate, paralele cu latura mare a fantei, deci zonele au forma unor dreptunghiuri nguste, de arii egale. Considerm c fasciculul difractat se afl n acelai plan cu cel incident.

l

Unda provenit de la zona Fresnel M (situat la distana x de marginea inferioar P a fantei) are faza sinkxt = , unde xsin reprezint drumul MN parcurs de unda respectiv ntre sursa secundar M i planul PP'; se numete unghi de difracie.

Conform principiului Huygens-Fresnel amplitudinea undei secundare emise de o zon Fresnel depinde numai de aria acesteia (distana nu afecteaz amplitudinea undei plane). Amplitudinea undei emise de zona Fresnel de lime dx este dx, unde este un

- 57 -

factor de proporionalitate dimensional.Aadar, funcia de und pentru unda secundar emis n direcia de o singur zon Fresnel este:

( )[ ] sinexp kxtidxd = (III.53)

Fig.III.7 Difracia Fraunhofer pe o fant dreptunghiular, la inciden normal. Unda rezultant se obine prin nsumarea contribuiilor tuturor zonelor Fresnel, deci prin integrarea relaiei (III.53) pe limea l a fantei.

(III.54) ([ dxkxti = l0

sinexp )]

Rezult: ( sin1sin likti

eik

e = ) (III.55) Intensitatea undei = I este:

( )[ ]

==2sinsin

sin4sincos1

sin2 2

22

2

22

2

ll k

kk

kI (III.56)

Calculnd integrala din relaia (III.54) pentru direcia normal = 0 obinem:

( ti ) expl= ; dar, pe de alt parte ( )tiA exp0= , deci: l0A= . Folosind acest

rezultat n relaia (III.56) i introducnd notaia:

2sin lk= (III.57)

- 58 -

obinem: 22

0sin

II = (III.58) unde . Relaia (III.58) i graficul din Fig. III.8 reprezint distribuia intensitii fasciculului difractat n funcie de sin.

200 AI =

Fig. III.8 Distribuia intensitii undelor difractate pe o fant dreptunghiular, la inciden normal. Maximele i minimele intensitii undelor difractate

Maximul central I0 se obine pentru = 0, adic pentru = 0. Minimele intensitii I se obin pentru sin = z, unde z = 1, 2, 3,....

Prelucrnd aceast condiie (folosind relaia (III.57) i k = 2/) obinem unghiurile de difracie pentru minimele intensitii:

l z=sin , cu z = 1, 2, 3,.... (III.59)

Maximele secundare ale intensitii se obin (ca i celelalte extreme ale acestei

funcii) din anularea derivatei nti a intensitii 0=ddI ; rezult condiia: =tg .

Soluiile acestei ecuaii transcendente (care se rezolv prin metoda grafic) sunt: 0 = 0 (corespunde maximului central I0), 1 = 1,43; 2 = 2,46 etc. corespund maximelor secundare. n funcie de , condiia pentru maximele secundare este:

- 59 -

l p=sin , unde p = 1,43; 2,46 etc. (III.60)

Amplitudinea maximelor secundare scade cu creterea lui sin. Exemplu: lucrarea

de laborator "Difracia radiaiei laser printr-o fant dreptunghiular". Observaie: Pentru o lungime de und dat, forma figurii de difracie depinde de limea a fantei (Fig. III.9) i anume: dac scade, primul set de minime se deplaseaz spre unghiuri mai mari, iar diferena dintre intensitile maximelor scade; cnd

ll

=l nu se mai produce nici un minim (primul set de minime corespunde acum la = 90); dac crete la valori egale cu zeci de , primele minime se apropie i maximul central devine foarte intens; dac

l

>>l , toat intensitatea undei se concentreaz practic n maximul central, iar minimele i maximele secundare nu se mai observ. n concluzie, efectele de difracie sunt semnificative n cazul unor fante cu dimensiuni comparabile cu lungimea de und, pn la aproximativ dou ordine de mrime.

Fig. III.9 Forma figurii de difracie depinde de limea a fantei dreptunghiulare (slit = fant; wide/narrow = larg/ngust).

l

III.6.3. Difracia Fraunhofer pe o reea unidimensional. Puterea de rezoluie

O reea unidimensional de difracie este un ansamblu de N fante identice, dreptunghiulare, nguste, paralele i echidistante. Notm cu limea unei fante (mult mai mic dect lungimea, aceasta din urm fiind considerat infinit) i cu b limea poriunii opace dintre dou fante succesive. Distana d = + b dintre dou fante succesive se

numete constanta reelei, iar

l

l

d1 este numrul de fante pe unitatea de lungime. Fie o und

plan a crei direcie de propagare este perpendicular pe reea, adic pe limile fantelor (Fig.III.10).

Pentru a obine unda rezultant difractat pe direcia fa de normala la reea integrm relaia (III.53) pe una din fante i nsumm efectul pentru N fante:

(III.61) ( ) ( ) ( =

=

++==

1

0

1

0

sinexpexpsinexpN

n

N

n

nd

nd

nd

nd

dxikxtidxikxtill

)

- 60 -

Fig.III.10. Schema celor N fante ale unei reele de difracie unidimensionale.

Folosind notaiile: 2sin =lk ; 2sin =kd (III.62) i calculele pentru (III.61) obinem intensitatea undei = I :

( )

2

2

2

2

0 sinsinsin NII = . (III.63)

Factorul dependent de variaz mult mai repede dect cel dependent de , acesta

din urm moduleaz intensitatea undei difractate. Fenomenele care au loc la trecerea undei prin reeaua de difracie sunt: difracia pe fiecare fant (studiat n paragraful III.6.1) i interferena multipl (suprapunerea a N unde coerente i anume undele difractate de cele N fante).

Extremele funciei I = I()

Se obin minime nule (I = 0) dac sunt ndeplinite simultan condiiile: sin(N) = 0 i sin 0, adic pentru N = p, unde { }nNNNZp ,...2,,0 . Din prelucrarea ultimei relaii (folosind (III.62) i k = 2/) rezult unghiurile de difracie pentru minime:

Ndp =sin cu { }nNNNZp ,...2,,0 (III.64)

- 61 -

Pentru p = 0, N, 2N,...nN, adic pentru = n cu n = 0, 1, 2,... rezult: ( ) 222

sinsinlim NN =

, intensitatea prezentnd maxime numite maxime principale. Unghiurile de difracie pentru aceste maxime sunt:

dn =sin , cu n = 0, 1, 2,... (III.65)

Numrul n se numete ordin de difracie. Intensitatea maximelor principale este modulat

de factorul 22sin

(Fig.III.11):

2

2

02

maxsin

INI = . (III.66)

Fig. III.11 Distribuia intensitii undelor difractate pe o reea unidimensional, la inciden normal.

Din anularea derivatei nti a intensitii, 0=ddI , mai rezult:

( ) NtgNtg = . (III.67) Soluiile acestei ecuaii transcendente (care se rezolv prin metoda grafic)

corespund maximelor secundare de difracie ale cror intensiti sunt foarte mici.

Observaie: Deoarece condiia (III.65) pentru maximele principale de difracie depinde de lungimea de und, se obin, n cazul folosirii unei surse luminoase complexe, maxime de culori diferite la unghiuri diferite, deci reeaua de difracie se poate utiliza ca aparat spectral (pentru analiza lungimilor de und ale radiaiilor emise de o surs complex).

- 62 -

Exemple: lucrarea de laborator "Determinarea lungimii de und a unei radiaii luminoase cu

reeaua de difracie" (Fig. III.12).

a) b) Fig. III. 12. a) Difracia luminii albe prin reeaua de difracie unidimensional; b) comparaie ntre figura de difracie pentru o und luminoas monocromatic (verde) i pentru lumina alb.

Difracia luminii albe pe suprafaa unui CD; microcanalele (trsturile) de pe un CD acioneaz ca o reea de difracie ducnd la separarea componentelor luminii albe (Fig. III. 13). Distana dintre dou trsturi pe CD (constanta reelei) este de 1,6 m i corespunde la 625 trsturi/mm. Pentru radiaia roie primul maxim de difracie se produce la un unghi de aprox. 22.

Fig. III. 13. Microcanalele (trsturile) de pe un CD acioneaz ca o reea de difracie ducnd la separarea componentelor luminii albe. Puterea de rezoluie a unui aparat spectral

Fie dou radiaii cu lungimi de und foarte apropiate 1 i 2. Folosind media lor aritmetic,

221 += , i diferena lor, 12 = , rezult: 21

= ;

22 += , cu

Capacitatea unui aparat spectral de a distinge dou linii spectrale avnd lungimi de und foarte apropiate se numete putere de rezoluie i se definete prin:

= (III.68)

Pentru a deduce formula puterii de rezoluie pentru reeaua de difracie se folosete

criteriul Rayleigh: Dou linii spectrale se consider distincte dac distana dintre ele este cel puin egal cu cea n care maximul uneia coincide cu minimul celeilalte (Fig. III.14).

Fig. III.14. Ilustrarea criteriului Rayleigh. n cazul reelei de difracie:

2sin nd = (maxim de difracie) (III.69)

Nnd 11sin

+= (minim de difracie) (III.70) Rezult: N = 1/N; apoi: nN = 1/; dar: 1 deoarece