Post on 08-Aug-2015
description
transcript
O X
A y
CAPITOLUL VI
CALCULUL VARIAŢIONAL
§ 1. EXTREMELE ŞI VARIAŢIA UNEI FUNCŢIONALE
1. Probleme de extremum clasice
a). Problema brahistocronei. Un punct material porneşte din O(0,0) fără viteză
iniţială şi se mişcă sub acţiunea gravităţii pe un arc de curbă OA cuprins într-un plan
vertical. Se cere arcul de curbă pe care mobilul ajunge din O în A(x1,y1) în timpul
cel mai scurt.
Considerând axa Oy dirijată după
verticală în jos, viteza mobilului în fiecare
punct al arcului OA este
yg2dtdsV ⋅⋅== ,
g fiind acceleraţia gravităţii. Timpul în
care mobilul descrie arcul OA va fi dat de integrala curbilinie
∫∫ ==OA OA gy2
dsVdsT . (1)
Fie
y = y(x), x∈[0,x1] ,
ecuaţia a arcului OA. Integrala (1) se mai poate scrie
∫+
= 1x
0
2
dxgy2
'y1T . (1’)
Avem de determinat arcul OA, cu extremităţile date, pe care integrala (1) este
minimă. Cu alte cuvinte se cere funcţia y(x) care satisface condiţiile
y(0) = 0, y(x1) = y1
138 Calculul variaţional -6
Γ
∆
şi care minimalizează integrala (1’).
b). Problema geodezicelor. Dintre toate arcele de curbă trasate pe o suprafaţă S
care unesc două puncte A şi B de pe suprafaţă, să se determine arcul care are lungimea
minimă.
Fie
F(x,y,z) = 0 (2)
ecuaţia suprafeţei S şi A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2) cele două puncte de pe suprafaţă. Dacă
y = y(x), z = z(x); x ∈[x1,x2]
sunt ecuaţiile unui arc de curbă trasat pe suprafaţă care uneşte cele două puncte A şi B,
funcţiile y(x), z(x) verifică ecuaţia suprafeţei şi satisfac condiţiile
y(x1) = y1 , y(x2) = y2 ; z(x1) = z1 , z(x2) = z2. (3)
Lungimea arcului AB este
∫ ′+′+= 2
1
x
x
22 dxzy1L . (4)
Problema se poate formula astfel: Se cer funcţiile y(x) şi z(x), legate prin relaţia
(2), care satisfac condiţiile la limită (3) şi minimalizează integrala (4).
c). Problema suprafeţelor minime (Plateau). Dată fiind o curbă simplă închisă C,
situată în spaţiul cu trei dimensiuni, se cere să se determine suprafaţa deschisă S
mărginită de această curbă care are aria minimă.
Să presupunem că proiecţia Γ a curbei C pe
planul xOy este tot o curbă simplă de ecuaţie
ϕ(x,y) = 0 şi că domeniul mărginit ∆ din planul xOy,
având frontiera Γ , este proiecţia suprafeţei S pe acest
plan.
Fie
z = z(x,y);
M(x,y) ∈∆ ,
6.1 Extremele şi variaţia unei funcţionale 139 ecuaţia suprafeţei S şi
==ϕ
)y,x(zz,0)y,x(
ecuaţiile curbei C.
Aria suprafeţei S este dată de integrala
∫∫∆
∂∂
+
∂∂
+=
22
dydxyz
xz1A . (5)
Avem deci de determinat funcţia z = z(x,y) care face minimă integrala (5) şi ia
valorile )y,x(zz = pe curba Γ , frontiera domeniului ∆ .
d). Problema izoperimetrică. Se cere curba plană închisă, de lungime dată l ,
care delimitează un domeniu mărginit de arie maximă.
Fie
x = x(t) , y = y(t) ; t ∈[t1,t2] , (6)
ecuaţiile parametrice ale unei curbe C. Curba C fiind închisă avem
x(t1) = x(t2) , y(t1) = y(t2). (7)
Condiţia ca lungimea curbei C să fie l se scrie
l=′+′∫2
1
t
t
22 dtyx . (8)
Aria mărginită de acestă curbă este dată de integrala
( )∫ ′−′= 2
1
t
t dtyxxy
21A , (9)
în ipoteza că pentru t crescător, punctul M[x(t),y(t)] descrie curba C în sens
trigonometric.
Avem deci de determinat funcţiile (6), supuse condiţiilor (7), care verifică
egalitatea (8) şi maximizează integrala (9).
140 Calculul variaţional -6
2. Funcţională. Variaţia argumentului, vecinătate
În cele patru exemple s-a pus problema extremelor unei integrale care depinde
de funcţiile care intervin sub semnul de integrare. Astfel, în primul exemplu am avut o
integrală de forma
∫ ′= 2
1
x
x dx)y,y,x(F]y[I , (10)
în al doilea o integrală
∫ ′′= 2
1
x
x dx)z,y,z,y,x(F]z,y[I , (11)
ale cărei valori depind de două funcţii y(x), z(x) legate într-o ecuaţie f(x,y,z) = 0, în al
treilea o integrală
∫∫
∂∂
∂∂
=D
dydxyz,
xz,z,y,xf]z[I , (12)
ale cărei valori depind de o funcţie de două variabile.
Definiţie. Fie F o mulţime de funcţii. Dacă fiecărei funcţii f ∈F facem să-i
corespundă un număr real, vom spune că avem o funcţională I[f] definită pe mulţimea
F cu valori în R.
Elementul arbitrar f ∈F se numeşte funcţia argument al funcţionalei, iar
mulţimea F se numeşte domeniul de definiţie al funcţionalei I[f]. Funcţionala I[f] este
ansamblul format din mulţimea F , mulţimea R a numerelor reale şi corespondenţa
]f[If → de la F la R.
Se mai spune că funcţionala I[f] este o aplicaţie a mulţimii F în mulţimea R a
numerelor reale.
Să considerăm o mulţime F de funcţii f(x) definite pe un interval [a,b],
f ∈ Co [a,b].
Definiţie. Se numeşte vecinătate de ordinul zero a funcţiei fo ∈ F, mulţimea
funcţiilor f ∈ F care verifică inegalitatea
6.1 Extremele şi variaţia unei funcţionale 141
ε<− )x(f)x(f 0 , x ∈[a,b] , (13)
ε fiind un număr strict pozitiv dat.
Inegalitatea trebuie să fie satisfăcută pentru toate valorile lui x din intervalul
[a,b].
Evident, dând lui ε diverse valori, se obţin diverse vecinătăţi.
Se numeşte vecinătatea de ordinul n a funcţiei fo ∈ F, mulţimea funcţiilor f ∈ F
care pentru orice x ∈ [a,b] verifică inegalităţile
ε<− )x(f)x(f 0 ,
ε<′−′ )x(f)x(f 0 , (14)
……………………..
ε<− )x(f)x(f )n(0
)n( ,
unde ε este un număr strict pozitiv dat.
Diferenţa
)x(f)x(f)x(f 00 −=δ , x ∈[a,b] ,
se numeşte variaţia argumentului funcţionalei I[f] când se trece de la funcţia fo ∈ F la
funcţia f ∈ F.
Noţiunile de vecinătate şi de variaţie se extind în mod natural şi în cazul când
elementele mulţimii F sunt funcţii de mai multe variabile.
3. Extremele unei funcţionale, funcţii admisibile.
Extreme absolute, extreme relative
Se numesc funcţii admisibile într-o problemă de extremum a unei funcţionale
I[f], f ∈ F, acele funcţii din F care satisfac condiţiile suplimentare impuse de problema
respectivă.
Fie I[f] o funcţională definită pe mulţimea F şi G mulţimea funcţiilor admisibile
într-o problemă de extremum a funcţionalei I[f]. Evident G ⊂ F.
142 Calculul variaţional -6
Se spune că I[f] admite un maxim absolut pentru f0 ∈ G dacă pentru orice
funcţie f ∈ G avem
I[f0] ≥ I[f].
Dacă pentru orice funcţie f ∈ G avem
I[f0] ≤ I[f],
atunci se spune că f0 realizează un minim absolut al funcţionalei I[f].
Ca şi pentru extremele unei funcţii, uneori ne interesează nu extremele absolute
ale unei funcţionale, ci extremele relative în care noţiunea de vecinătate joacă un rol
important.
Se spune că funcţionala I[f] admite un maxim relativ tare pentru f0 ∈ G dacă
există o vecinătate de ordinul zero a funcţionalei f0 astfel încât, pentru orice funcţie
f ∈ G conţinută în această vecinătate ,
I[f0] ≥ I[f].
Dacă această inegalitate are loc numai pentru funcţiile f ∈ G situate într-o
vecinătate de ordinul întâi a funcţiei f0, se spune că I[f] admite pentru f0 un maxim
relativ slab.
Analog se definesc minimele relative tari şi slabe ale funcţionalei I[f].
Maximele şi minimele unei funcţionale se numesc extremele acelei funcţionale.
Evident, oricare extremum absolut al unei funcţionale este şi extremum relativ
tare. De asemenea, orice extremum relativ tare îndeplineşte şi condiţiile unui extremum
relativ slab.
În cele ce urmează vom determina condiţiile necesare de extremum relativ slab,
acestea fiind condiţiile necesare şi pentru un extremum relativ tare sau pentru un
extremum absolut.
Prezentăm două leme, care se demonstrează simplu prin reducere la absurd.
Lema 1. Fie f(x) o funcţie continuă pe intervalul [x1, x2]. Dacă
0dx)x()x(f2
1
x
x =η⋅∫
pentru orice funcţie η(x) din clasa C2 [x1,x2] care se anulează la capetele intervalului,
6.1 Extremele şi variaţia unei funcţionale 143
η(x1) = 0 , η (x2) = 0 ,
atunci 0)x(f ≡ pe [x1,x2] .
Lema 2. Fie D un domeniu mărginit, dintr-un spaţiu euclidian cu n dimensiuni,
şi Σ frontiera sa. Fie f(P) o funcţie continuă pe Σ∪=∆ D .
Dacă
0d)P()P(fD
=ωη∫
pentru orice funcţie η(P) din clasa C2 pe Σ∪∆ , nulă în toate punctele frontierei Σ ,
atunci 0)P(f ≡ pe Σ∪∆ .
4. Ecuaţia lui Euler în cazul integralelor simple
Să considerăm funcţionala
∫ ′= 2
1
x
x dx)y,y,x(F]y[I , (15)
definită pe o mulţime F de funcţii y(x), x ∈ [x1,x2]. Vom determina o condiţie
necesară de extremum relativ considerând ca funcţii admisibile funcţiile y(x) ∈ F care
aparţin clasei C2 [x1,x2] şi care verifică în plus condiţiile la limită
y(x1) = y1 , y(x2) = y2 , (16)
y1 şi y2 fiind două numere date.
Fie y(x) funcţia care realizează un extremum relativ al funcţionalei. Considerăm
o funcţie arbitrară η(x) din clasa C2 [x1,x2] , cu proprietatea
0)x(,0)x( 21 =η=η . (17)
Funcţia
Y(x) = y(x) + )x(ηα , (18)
unde α este un parametru mic, este evident o funcţie admisibilă şi aparţine unei
vecinătăţi de ordinul întâi date a funcţiei y(x) pentru α suficient de mic. Înlocuind în
(15) pe y(x) cu Y(x) şi presupunând η(x) fixă, obţinem o integrală funcţie de
144 Calculul variaţional -6 parametrul α ,
[ ]∫ η′α+′ηα+=α 2
1
x
x dx)x()x(y),x()x(y,xF)(J .
Dacă y(x) realizează un extremum relativ al integralei în mulţimea tuturor
funcţiilor admisibile, acesta va trebui să fie un extremum relativ şi în mulţimea
funcţiilor Y(x) obţinute din (18) pentru diversele valori ale lui α . Rezultă că o
condiţie necesară de extremum este
0)0(J =′ .
Ne situăm în ipoteză că F(x,y′, y′ )∈C2 pentru ∈x [x1,x2].
Avem
] [[ ]{ }∫ η′′+η′=′ ′2
1
x
x yy dx)x()x(y),x(y,xF)x()x(y),x(y,xF)0(J ,
unde
yFF,
yFF yy ′∂
∂=
∂∂
= ′ .
Ultimul termen poate fi integrat prin părţi
[ ] ∫∫ ′η−η=η′′ ′2
1
2
1
2
1
x
x y
x
x'y
x
x 'y dx)y,y,x(Fdxd)x( )'y,y,x(F)x(dx)x()y,y,x(F .
Datorită condiţiilor (17), primul termen din membrul drept al acestei inegalităţi
este nul. Deci, condiţia 0)0(J =′ devine
0dx)x()]y,y,x(Fdxd)y,y,x(F[)0(J y
x
x y2
1
=η′−′=′ ∫ . (19)
în care y = y(x) este funcţia care realizează un extremum al integralei (15) , iar
)x(yy ′=′ este derivata sa.
Această egalitate are loc pentru orice η(x) din clasa C2 [x1,x2] supusă condiţiilor
(17). Ţinând seama de prima lemă deducem că funcţia y(x) verifică ecuaţia
0)y,y,x(Fdxd)y,y,x(F yy =′−′ ′ . (20)
6.1 Extremele şi variaţia unei funcţionale 145
Deoarece
( ) yFyFFy,y,xFdxd
yyyyyxy ′′′′+′′′+′′=′ ′′′′′
această ecuaţie, care se numeşte ecuaţia lui Euler corespunzătoare funcţionalei, se mai
poate scrie sub forma
0FFyFyF yyxyyyy =−+′+′′ ′′′′ . (20’)
Am obţinut astfel următorul rezultat :
Teoremă (Euler). Dacă )y,y,x(F ′ aparţine clasei C2 pentru x ∈ [x1,x2] şi
y,y ′ luând valori arbitrare şi dacă y(x) realizează un extremum relativ al integralei
(15) în mulţimea funcţiilor din clasa C2 x ∈ [x1,x2] care satisfac condiţiile la limită
(16), atunci y(x) verifică ecuaţia lui Euler (20), respectiv (20’).
În ipoteza că 0F yy ≠′′ pe intervalul [x1,x2] , soluţia generală a ecuaţiei lui Euler
depinde de două constante arbitrare care se determină folosind condiţiile la limită (16).
De remarcat că forma ecuaţiei lui Euler ataşată integralei (15) nu depinde de
extremităţile intervalului [x1,x2] şi nu depinde de condiţiile la limită (16). Însă, dat fiind
intervalul [x1,x2], ecuaţia lui Euler trebuie considerată numai pe acest interval.
Ecuaţia lui Euler este o condiţie necesară, dar nu suficientă pentru funcţia y(x)
care realizează un extremum al funcţionalei (15).
Orice curbă integrală a ecuaţiei lui Euler (20) se numeşte extremală a
funcţionalei (15), chiar dacă aceasta nu realizează un extremum al funcţionalei.
5. Generalizări
Rezultatele referitoare la integrala (15) pot fi extinse pentru cazul când F
depinde şi de derivate de ordin superior ale lui y(x) sau pentru cazul când funcţionala
depinde de mai multe argumente.
Teoremă (Poisson). Fie )n(y,...,y,y,y,x(F ′′′ ) o funcţie din clasa Cn+1 pentru
146 Calculul variaţional -6 x ∈ [x1,x2] şi )n(y,...y,y,y ′′′ , luând valori arbitrare.
Dacă y(x) realizează un extremum relativ al funcţionalei
∫ ′′′= 2
1
x
x
)n( dxy,...,y,y,y,x(F]y[I (21)
în mulţimea funcţiilor din clasa C2n [x1,x2] care satisfac condiţiile
=′=′=
=′=′=−−
−−
,y)x(y,...y)x(y,y)x(y
,y)x(y,...y)x(y,y)x(y)1n(
22)1n(
2222
)1n(11
)1n(1111 (22)
unde )1n(222
)1n(111 y,...y,y,y,...y,y −− ′′ sunt 2n constante date, atunci y(x) este soluţia
ecuaţiei diferenţiale
.0dx
Fd)1(...
dxFd
dxdF
F ny
nn
2y
2y
y
)n(
=−+−+− ′′′ (23)
Această ecuaţie este de ordinul 2n şi se numeşte ecuaţia lui Euler–Poisson
corespunzătoare funcţionalei (21).
Mulţimea funcţiilor admisibile în această problemă de extremum este mulţimea
funcţiilor y(x) din clasa C2n [x1,x2] care verifică egalităţile (22).
Demonstraţia ecestei teoreme este analoagă cu cea a teoremei precedente.
Orice soluţie a ecuaţiei (23) se numeşte extremală a funcţionalei (21) chiar dacă
nu realizează un extremum al funcţionalei. O anumită extremală este determinată prin
condiţiile la limită (22).
Să considerăm acum o integrală care depinde de mai multe funcţii de o singură
variabilă t. Fie acestea
x1(t), x2(t), …, xn(t) .
Notăm derivatele lor cu
)t(x,...,)t(x,)t(x n21 &&&
aşa cum se obişnuieşte în mecanică în cazul când t reprezintă timpul.
Teorema lui Lagrange. Fie )x,x,...,x,x,x,x,t( nn2211 &&& o funcţie din clasa C2
pentru t ∈ [t1,t2] şi nn2211 x,x,...,x,x,x,x &&& luând valori arbitrare.
6.1 Extremele şi variaţia unei funcţionale 147
Dacă sistemul de funcţii {x1(t), x2(t), …, xn(t)} realizează un extremum relativ al
funcţionalei
∫=2
1
t
t nn2211n21 dt)x,x,...,x,x,x,x,t(F]x,...,x,x[I &&& (24)
în mulţimea sistemelor de funcţii din clasa C2 t ∈ [t1,t2] care satisfac condiţiile la
limită
2k2k
1k1k x)t(x,x)t(x == ; k = 1, 2, …, n, (25)
unde 2k
1k x,x sunt 2n numere date, atunci sistemul {x1(t), x2(t), …, xn(t)} este o soluţie
a sistemului de ecuaţii diferenţiale
0dt
dFF k
k
xx =− & ; k = 1, 2, …, n. (26)
Acest sistem de ecuaţii se numeşte sistemul lui Euler–Lagrange corespunzător
funcţionalei (24).
În ecuaţiile (26) intervin funcţiile xk împreună cu derivatele lor de primele două
ordine kx& şi kx&& .
Mulţimea sistemelor de funcţii admisibile este mulţimea sistemelor de funcţii
din clasa C2 [t1,t2] care verifică condiţiile (25).
Dacă F )x,x,...,x,x,x,x,t( nn2211 &&& este o funcţie din clasa C2 pentru t ∈ [t1,t2]
şi xk, kx& oarecare şi dacă sistemul de funcţii {x1(t), x2(t), …, xn(t)} realizează un
extremum relativ slab al integralei (24) în mulţimea sistemelor de funcţii admisibile
==
∈2k2n
1k1k
211
k
x)t(x,x)t(x
]t,t[C)t(x ; k = 1, 2, …, n ,
atunci sistemul de funcţii {x1(t), x2(t), …, xn(t)} verifică sistemul lui Euler–Lagrange
(26), iar derivatele secunde kx&& (t) există şi sunt continue în orice punct t ∈ [t1,t2]
pentru care determinantul funcţional
0xx
F
ji
2
≠∂∂
∂=∆
&&.
148 Calculul variaţional -6
6. Cazul integralelor multiple. Ecuaţia lui Euler–Ostrogradski
Pentru uşurinţa expunerii vom considera funcţionala definită printr-o integrală
dublă
∫∫=D yx dydx)u,u,u,y,x(F]u[I , (27)
unde ux,uy sunt derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei u(x,y).
Se pune problema extremelor acestei funcţionale în mulţimea funcţiilor u(x,y)
care fac parte din clasa C2 pe domeniul D şi iau valori date pe frontiera C a domeniului
D,
)y,x(f)y,x(uC= . (28)
Teorema lui Ostrogradski. Dacă F este o funcţie din clasa C2 pentru (x,y) ∈ D
şi u,ux,uy luând valori arbitrare, iar funcţia u(x,y) realizează un extremum relativ al
funcţionalei (27) în mulţimea funcţiilor din clasa C2 pe domeniul D care verifică
egalitatea (28), atunci u(x,y) este soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale
0FFy
Fx uuu yx
=−∂∂
+∂∂
. (29)
Pentru demonstraţie se consideră mulţimea funcţiilor
U(x,y) = u(x,y) + ηα (x,y) , (30)
unde u(x,y) este funcţia pentru care integrala (27) admite un extremum, η(x,y) este o
funcţie fixă arbitrară din clasa C2 pe domeniul D şi care pe frontiera C verifică condiţia
0)y,x(C=η , (31)
iar α este un parametru care ia valori mici în modul.
Dacă u(x,y) realizează un extremum în mulţimea funcţiilor admisibile, aceeaşi
proprietate o va avea şi în mulţimea funcţiilor (30). Pentru aceasta este necesar ca
integrala
∫∫ αη+αη+αη+=αD yyxx dydx)u,u,u,y,x(F)(J
6.1 Extremele şi variaţia unei funcţionale 149 să admită un extremum pentru α = 0. Condiţia 0)0(J =′ se scrie dezvoltat
( ) 0dydxFFF)0(JD uyuxu yx
=η+η+η=′ ∫∫ .
Integrala referitoare la ultimii doi termeni se mai poate scrie
( )
( ) ( ) .dydxy
F
xF
dydxFy
Fx
dydxFF
D
uu
D uu
D uyux
yx
yx
yx
∫∫∫∫
∫∫
∂
∂+
∂
∂η−
η
∂∂
+η∂∂
=
=η+η
Folosind formula lui Green, prima integrală din membrul drept se poate
transforma într-o integrală pe frontiera C a domeniului D şi avem
( )
( ) .dydxy
F
xF
dxFdyF
dydxFF
D
uu
C uu
D uyux
yx
yx
yx
∫∫∫
∫∫
∂
∂+
∂
∂η−−η=
=η+η
Datorită condiţiei (31), integrala curbilinie este nulă şi condiţia 0)0(J =′ devine
∫∫ =η
∂
∂−
∂
∂−=′
D
uuu 0dydx)y,x(
y
F
xF
F)0(J yx .
De aici rezultă ecuaţia (29) şi teorema este demonstrată.
Ecuaţia (29) se numeşte ecuaţia lui Euler–Ostrogradski corespunzătoare
funcţionalei (27).
Orice soluţie a ecuaţiei (29) se numeşte extremală a funcţionalei (27) chiar dacă
acea funcţie nu realizează efectiv un extremum al funcţionalei. Adăugând la ecuaţia
(29) o condiţie la limită de forma (28) se obţine o extremală particulară.
§ 2. DETERMINAREA EXTREMELOR UNEI FUNCŢIONALE
1. Metode directe
a). Dacă F nu conţine pe y, ecuaţia lui Euler se reduce la
150 Calculul variaţional -6
0)y,x(Fdxd
y =′′
şi această integrală admite integrala primă
C)y,x(Fy =′′ .
Exemplu. Să determinăm geodezicele sferei
ϕθ= cossinx , ϕθ= sinsiny , θ= cosz .
Elementul de arc al unei curbe trasate pe sferă este
222 dsindds ϕθ+θ= .
Un arc de curbă de pe sferă
21,)( θ<θ<θθϕ=ϕ
va avea lungimea
∫θ
θθθϕ′+=ϕ 2
1
22 dsin1][L
În acest caz, ),,(F ϕ′ϕθ nu depinde de ϕ şi avem integrala primă
Csin1
sin22
2
=θϕ′+
θϕ′
Pentru C = 0, obţinem 0=ϕ′ . Curbele k=ϕ , unde k este o constantă, sunt
meridianele care trec prin polii π=θ=θ ,0 . Cum poli ai sferei pot fi oarecare două
puncte diametral opuse, rezultă că toate cercurile mari ale sferei sunt geodezice ale
sferei.
b). Dacă F nu conţine pe x, se constată că ecuaţia lui Euler admite integrala
primă
CFyF y =′− ′
Într-adevăr, derivând în raport cu x această egalitate, avem
( ) 0yFyFyFyyFyF yyyyyyy =′′+′′−′′−′′+′ ′′′′′ ,
care se reduce la
6.2 Determinarea extremelor unei funcţionale 151
( ) 0yFyFFy yyyyy =′′−′−′ ′′′ .
Cum 0y ≠′ , rezultă ecuaţia pentru cazul particular când F nu conţine pe x.
Exemplu. În problema brahistocronei am obţinut funcţionala (1’) în care F nu
conţine pe x. Ecuaţia lui Euler corespunzătoare admite integrala primă
Cy1gy2
yygy2y1
2
2
=′+
′′−
′+.
Aceasta se reduce la
Cy1gy2
12=
′+.
Dacă notăm g2Ck
1= , avem
( ) ky1y 2 =′+ .
Căutăm soluţia acestei ecuaţii diferenţiale sub forma parametrică punând
θ=′ ctgy .
Avem
θθ=θ=′
=θ= dsink2ctgydydx,sinky 22 ,
deci
( )θ−=+
θ−θ= 2cos1
2ky,k2sin
21kx 1 .
Notăm a2k= , k1 = b , t2 =θ şi avem ecuaţiile parametrice
x = a(t – sin t) + b , y = a(1 – cos t),
care reprezintă cicloide. Determinarea parametrilor a şi b se face punând condiţia ca
cicloida să trecă prin punctele date O(0,0), A(x1,y1).
c). Dacă F nu conţine pe 'y , ecuaţia lui Euler se reduce la egalitatea
Fy (x,y) = 0,
152 Calculul variaţional -6 care nu mai este o ecuaţie diferenţială. În general, condiţiile la limită nu vor putea fi
satisfăcute cu funcţiile y(x) determinate de acestă ecuaţie şi problema de extremum
pentru funcţionala (15) nu are soluţii.
d). Cazul cel mai important este cazul singular când
0F yy =′′ , (32)
caz în care ecuaţia lui Euler va fi o ecuaţie de ordinul întâi
0FFyF yyxyy =−+′ ′′ . (33)
Din (32) deducem că funcţia F este liniară în raport cu y′ ,
F = P(x, y) + Q(x, y) 'y .
Introducând în (33), ecuaţia lui Euler devine
0yP
xQ
=∂∂
−∂∂
. (34)
Dacă această egalitate nu se reduce la o identitate, în general nici una din
funcţiile y(x) determinate de această ecuaţie nu va satisface condiţiile la limită şi
problema extremelor funcţionalei (15) nu are soluţii.
Dacă egalitatea (34) este o identitate, funcţionala (15) se poate scrie
[ ] ∫∫ +=′+=AB
x
x dy)y,x(Qdx)y,x(Pdxy)y,x(Q)y,x(P]y[I 2
1
,
cu A(x1,y1), B(x2,y2). Funcţionala I[y] se reduce la o integrală curbilinie independentă
de drum, adică la o constantă.
În acest caz există o funcţie G(x,y) cu proprietatea
)y,x(PxG=
∂∂
, )y,x(QyG=
∂∂
şi funcţia F se poate scrie
dx
)y,x(dG)y,y,x(F =′ . (35)
Reciproc, dacă există o funcţie G(x,y) astfel ca să avem egalitatea (35), ecuaţia
lui Euler se reduce la o identitate şi funcţionala I[y] la o constantă. Astfel avem
6.2 Determinarea extremelor unei funcţionale 153 următorul rezultat:
Teoremă. O condiţie necesară şi suficientă pentru ca ecuaţia lui Euler să se
reducă la o identitate sau ca funcţionala (15) să se reducă la o constantă este ca funcţia
F )y,y,x( ′ să fie de forma (35).
Această proprietate se extinde şi pentru funcţionale de forma (21) sau (27).
Pentru funcţionala (21), condiţia (35) se înlocuieşte prin
)y,...,y,y,x(Gdxd)y,...,y,y,y,x(F )1n()n( −′=′′′ ,
iar pentru funcţionala (27) avem condiţia
)u,y,x(Hy
)u,y,x(Gx
)u,u,u,y,x(F yx ∂∂
+∂∂
= .
Dacă această ultimă egalitate este satisfăcută, se spune că funcţia F este de tip
divergentă.
2. Metode numerice
În cazul unei funcţii y(x), care satisface condiţiile la limită
( ) ( ) β=α= 1y,0y (1)
este avantajos să se efectueze schimbarea de funcţie
( ) ( ) ( )x1xxyxz −α−β−= (2)
care conduce la condiţiile la limită omogene
( ) 00z = , ( ) 01z = .
Dacă condiţiile se referă la abscisele ax = şi bx = este recomandat să se
efectueze schimbarea de variabilă
abaxt
−−
= , (3)
care transformă intervalul [ ]b,a în intervalul [ ]1,0 .
Prin aceste schimbări putem considera condiţiile la limită de forma omogenă
154 Calculul variaţional -6 particulară
( ) 00y = , ( ) 01y = (4)
Metoda lui Ritz constă în a căuta o soluţie aproximativă a problemei variaţionale
de forma
( ) ( )∑=
ϕ=n
1kkkn xC xy (5)
unde
( ) ( ) kk xx1x −=ϕ (6)
sau
( ) ( )x ksinxk π=ϕ , (7)
Se observă că funcţiile ( )xkϕ satisfac condiţiile la limită omogene (4). Relativ
la prima formă a funcţiei ( )xkϕ , ( )xyn primeşte forma
( ) ( )( )1n1-n10n xd...xddx1xxy −+++−= . (8)
Înlocuind ( )xyn dat de relaţia (5) cu ( )xkϕ de forma, de exemplu, (6), în
funcţionala (15), § 1, după integrare, că ea depinde de n constante arbitrare. Aceste
constante se determină rezolvând sistemul derivatelor parţiale în raport cu kC ,
n ..., ,2 ,1k = .
Aplicaţie. Să se determine minimul funcţionalei
( ) ( )dx xy2yyyI1
0
22∫ −−′=
pe mulţimea funcţiilor de clasă 1C care satisfac condiţiile
( ) ( ) 01y0y == .
Vom căuta soluţia aproximativă a acestei probleme variaţionale utilizând metoda
lui Ritz, de ordinul întâi, considerând
( ) ( )x1xCxy 11 −= .
Înlocuind această expresie în funcţională şi efectuând integrarea, rezultă
6.2 Determinarea extremelor unei funcţionale 155
( ) ( ) 1211
*11 C
61C
103CIyI −==
de unde
( )
121C
103
dCC dI
21
11
1*1 −= ,
iar această derivată se anulează pentru 185C1 = . În consecinţă, aproximanta de ordinul
unu este
( ) ( )x1x185xy1 −= .
În continuare rezolvăm aceeaşi problemă, determinând tot aproximanta de
ordinul I. Se caută o soluţie de forma
( ) ( )x1xxy1 −α=
unde α se stabileşte, aproximativ, funcţie de problema tehnologică. Într-un interval
vecin acestei valori a lui α, i se dau lui α o mulţime de valori, echidistante şi se
calculează de fiecare dată integrala. Intervalul care conţine valoarea minimă se împarte
iarăşi şi se calculează integrala în aceste valori, etc.
Procesul se poate opri dacă între limitele intervalului care conţine valoarea
minimă există o eroare, de exemplu, de 1010−=ε . Această valoare a integralei se
afişează.
Specificăm faptul că în Matlab, programul este mai lung pentru că scrierea
funcţiei de integrat este mai complicată.
§ 3. UTILIZAREA CALCULATOARELOR
ÎN CALCULUL VARIAŢIONAL
1. Să se determine minimul expresiei
156 Calculul variaţional -6
0
1
xxyd
d
2
y2 2 x. y. d
în mulţimea funcţiilor polinomiale de gradul 2 care se anulează în x = 0 şi x = 1.
Funcţia de pornire yord1 = alfa * x * (1 - x).
Parametrul alfa se determină prin minimalizarea integralei date.
Soluţia analitică de ord I este yord1anal = 5/18 * x * (1 - x).
5/18 = 0.2777777777777
Rezolvare.
Se întocmeşte un program în limbajul MathCAD
Se fixează la 1 toţi indicii
ORIGIN1
Se stabileşte de câte ori se va calcula integrala
n 6
Se apreciază limita inferioară a lui alfa, notată li
li .2
Se apreciază limita superioară a lui alfa, notata ls
ls .3
Lui i i se atribuie valorile 1, 2,,...n
i 1 n..
i
123456
Se stabilesc valorile intermediare ale lui alfa
alfi until i n li ls li
n 1i 1( ).,
6.3 Utilizarea calculatoarelor în calculul variaţional 157
alf
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
=
Se stabilesc valorile intermediare ale lui x
x 0 .001, 1..
Se defineşte funcţia y de variabila x şi parametru alfa
y alf x,( ) alf x. 1 x( ).
Se calculează integrala de n ori, pentru cele n valori ale lui alfa
inti until i n
0
1
xxy alfi x,d
d
2
y alfi x, 2 2 x. y alfi x,. d,
int
0.0213333
0.0221467
0.02272
0.0230533
0.0231467
0.023
=
Se stabileşte valoarea minimă a integralei
min int( ) 0.0231467=
Se afişează alăturat valorile integralelor şi valorile corespunzătoare ale lui alfa
int
0.0213333
0.0221467
0.02272
0.0230533
0.0231467
0.023
=
alf
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
=
Rezultă că valoarea minimă a integralei se atinge în intervalul 0.26 - 0.3.
158 Calculul variaţional -6
Se reia programul înlocuind li = .26 şi ls = .3.
Se reia programul de atâtea ori până când se obţine pentru alfa aproximaţia
dorită.
În cazul în care nu se cere afişarea rezultatelor intermediare, lui n i se poate da o
valoare mare.
2. Să se determine minimul expresiei
% integrala de la 0 la 1, din
% (y′^2 - y^2 – 2 * x * y) dx,
% în mulţimea funcţiilor polinomiale de gradul 2
% care se anulează în x = 0 şi x = 1.
% Funcţia de pornire yord1 = alfa * x * (1 - x), unde
% alfa se determină prin minimalizarea integralei date
% Soluţia exactă este y = sin(x)/sin(1) - x
% Soluţia analitică de ord I este yord1anal = 5/18 * x * (1 - x)
% 5/18 = 0.27777777777778
% Se întocmeşte un program în Matlab.
clc, % ştergere fereastra de lucru
clear, % ştergere variabile şi funcţii
format compact, % afişare compactă a rezultatelor
format long % format de afişare cu 15 cifre
% xinit = [0 x2 1] % x2 se alege din domeniul tehnologic
% yinit = [0 y2 0] % y2 se alege din domeniul tehnologic
x2 = .5; y2 = .2; % valori aproximative
alfaaprox = y2/x2/(1 - x2) % valoare aproximativă a lui alfa
x = 0 : .0001 : 1; % domeniul de integrare
% xinit = 0, xfin = 1, pas = .0001
limi = alfaaprox - 1; % limita inf. de variaţie a lui alfa
lims = alfaaprox + 1; % limita sup. de variaţie a lui alfa
6.3 Utilizarea calculatoarelor în calculul variaţional 159
pas = (lims - limi)/20; % pasul
if limi <= 0,
limi = 10^(-10); % din consideraţii tehnologice alfa > 0
end
while abs(lims - limi) > 10^(-10) % până când
alf = limi : pas : lims;
% alf ia valorile între limi şi lims cu pasul pas
lim_de_var_ale_alfa = [limi,lims] % afişează limitele lui alf
0 for i = 1 : length(alf) % length(alf) = lung. vect. alf
t1 = [1 0]; t2 = [-1 1]; % t1 = 1 * x + 0, t2 = -1 * x + 1
coef = alf(i) * conv(t1,t2); % coef. polin. y = alf * t1 * t2
deriv = polyder(coef); % derivata lui y
fint1 = conv(deriv,deriv); % yprim^2
fi1 = [0 0 fint1(1) fint1(2) fint1(3) ]; % coef. pol. yprim
fi2 = conv(coef,coef); % coef. pol. y^2
fint3 = 2 * conv([1 0], coef); % coef. lui 2 * x * y de grad 3
fi3 = [0 fint3(1) fint3(2) fint3(3) fint3(4)];% coef. lui 2 * x * y de grad 4
fpar = fi1 - fi2 - fi3; % expresia de sub integrală
vfpar = polyval(fpar,x); % calculul pol. în punctele x
intpar(i) = trapz(x,vfpar); % calculul integ. pentru alf(i)
end
[centru,rang] = min(intpar); % calculul valorii minime şi rangul corespunzător
figure,
plot (alf,intpar), % grafic, intpar = intpar(alf)
title ('GRAFICUL INTEGRALEI FUNCŢIE DE ALFA')
xlabel ('alfa'), ylabel ('Valoarea integralei') % precizarea etichetelor axelor
grid on % trasarea unei reţele pe grafic
% se aleg noi limite de variaţie ale lui alf în vecinătatea
% valorii de minim aproximativ, în funcţie de rang
160 Calculul variaţional -6
limi = (alf(rang - 1)); % se schimbă limita inferioară
lims = (alf(rang + 1)); % se schimbă limita superioară
pas = (lims - limi)/20; % se schimbă pasul
alf = limi : pas : lims; % se schimbă interv. pentru alf
end
alfafinal = (limi + lims)/2
valoareaintegralei = intpar(length(intpar))
% verificare
coef = alfafinal * conv(t1,t2);
xnod = [0 1/4 1/2 3/4 1]; % abscisele nodurilor
disp ('Valorile funcţiei yord1 şi sin(x)/sin(1) - x') % afişează
[xnod; polyval(coef,xnod); sin(xnod)/sin(1) - xnod]
% afişează valorile nodurilor,
% valorile aproximative şi valorile exacte
figure, plot(x,polyval(coef,x)), grid on,
hold on % suprapune figurile
plot(x,sin(x)/sin(1) - x), grid on
title ('GRAFICUL SOLUŢIEI EXACTE ŞI APROXIMATIVE')
xlabel('X'), ylabel('yexact. şi yord1'), grid on
text(.06,.065, 'y = alfa * x * (1 - x)')
alfaaprox = 0.80000000000000
lim_de_var_ale_alfa = 0.00000000010000 1.80000000000000
lim_de_var_ale_alfa = 0.20000000010000 0.40000000010000
lim_de_var_ale_alfa = 0.27000000010000 0.29000000010000
lim_de_var_ale_alfa = 0.27700000010000 0.27900000010000
lim_de_var_ale_alfa = 0.27770000010000 0.27790000010000
lim_de_var_ale_alfa = 0.27777000010000 0.27779000010000
lim_de_var_ale_alfa = 0.27777700010000 0.27777900010000
lim_de_var_ale_alfa = 0.27777770010000 0.27777790010000
6.3 Utilizarea calculatoarelor în calculul variaţional 161
lim_de_var_ale_alfa = 0.27777776010000 0.27777778010000
lim_de_var_ale_alfa = 0.27777777110000 0.27777777310000
lim_de_var_ale_alfa = 0.27777777160000 0.27777777180000
alfafinal = 0.27777777171000
valoarea integralei = -0.02314814717078
Valorile functiei yord1 şi sin(x)/sin(1) - x
ans =
Columns 1 through 5
0 0.25000000000000 0.50000000000000 0.75000000000000 1
0 0.05208333219563 0.06944444292750 0.05208333219563 0
0 0.04401365432820 0.06974696366227 0.06005616632040 0
162 Calculul variaţional -6