C07-Valori si vectori proprii.pdf

transcript

Cursul 7

Vectori i valori propriip p

Valori proprii i vectori proprii

Fie un vector complex n-dimensional x

.n:1i,Cx,

Mul imea tuturor vectorilor complec i n -dimensionali va fi notat Cn. Evident, orice

vector x Cn poate fi scris, în mod unic, sub forma x=u+iv, u,v Rn,

I t d t l t iiIntroducem urm toarele nota ii:Cmxn - mul imea tuturor matricelor cu elemente complexe având m linii i n coloanecomplexe având m linii i n coloane

- conjugatul transpusului (i.e. conjugatul hermitic al) unui vector x Cn

hermitic al) unui vector x C

Definim produsul scalar al doi vectori x,y Cn prin num rul complex: <x,y>=yHxnum rul complex: <x,y> y x

Cu ajutorul produsului scalar putem defini conceptul y,xx,y

j p p pde ortogonalitate în Cn. Vom spune c doi vectori sunt ortogonali dac produsul lor scalar este nul, i e xHy=yHx=0i.e. x y=y x=0

Scalarul xHx este un num r real pozitiv oricare arScalarul xHx este un num r real pozitiv, oricare ar fi vectorul nenul x Cn, se poate defini urm toarea norm pe Cn:

numit norm euclidian .R l l t i l l i t i t j t î

xxx,RC: H

Rolul matricelor reale simetrice este jucat în Cnxnde matricele hermitice. O matrice A Cnxn se nume te hermitic dac AH=A.Dac A Cnxn este hermitic , atunci scalarul =xHAx este real, oricare ar fi x Cn, fapt care ne

permite definirea matricelor pozitiv definite în Cnxnpermite definirea matricelor pozitiv-definite în Cnxn. O matrice hermitic A Cnxn este pozitiv-definitdac xHAx>0 x Cn, x 0.

O matrice A Cnxn c este unitar dac areO matrice A C c este unitar dac are coloanele ortogonale i de norm euclidian unitar , respectiv dac QHQ=In.Fie A Cnxn. Un num r C se nume te valoare proprie a matricei A dac exist un vector nenulx Cn, numit vector propriu asociat valorii proprii, p p p p

C, astfel încât Ax= x sau(A E)·x=0.

Sistemul liniar omogen admite solu ii nenule dac iSistemul liniar omogen admite solu ii nenule dac i numai dac

p( )=det( I-A)=0Polinomul monic p( ) de gradul n se nume te polinom caracteristic al matricei A Cnxn , iar ecua ia p( )=0 se nume te ecua ie caracteristicp( )=0 se nume te ecua ie caracteristic .

În matematic un vector propriu al uneiÎn matematic , un vector propriu al unei transform ri liniare pe un spa iu vectorial este un vector nenul a c rui direc ie r mîne neschimbat de c tre acea transformareneschimbat de c tre acea transformare. Factorul prin care m rimea vectorului este scalat se nume te valoare proprie a acelui

tvector.Mul imea vectorilor proprii ce au asociat aceea i valoare proprie constituie un subspa iuaceea i valoare proprie constituie un subspa iu vectorial al spa iului transform rii, numit spa iu propriu al transform rii, asociat valorii proprii respectiverespective.Deseori, o transformare este descris complet cu ajutorul vectorilor i valorilor sale proprii.j p p

Valori proprii i vectori propriiAceste concepte au un rol major în mai multe ramuri ale p jmatematicii pure i a celei aplicate. Ele apar în special în algebra liniar , în analiza func ional i în diverse situa ii neliniare.Vectorii proprii ai unei matrice sau ai unui operator diferen ial au adesea semnifica ie fizic important în matematica aplicat i în fizic . În mecanica clasic , vectorii proprii ai ecua iilor de traiectorie corespund în mod obi nuit modurilor naturale de vibra ie a unui corp, iar valorile proprii frecven elor de p p pvibra ie respective.În mecanica cuantic , operatorii corespund variabilelor observabile; vectorii proprii mai sunt numi i i st ri proprii,observabile; vectorii proprii mai sunt numi i i st ri proprii, iar valorile proprii ale operatorului reprezint acele valori ale respectivei variabile care au probabilitate nenul de apari ie.p

Vectorul marcat cu s geata ro ie este unVectorul marcat cu s geata ro ie este un vector propriu al transform rii, deoarece direc ia lui este p strat de transformaredirec ia lui este p strat de transformare. Deoarece lungimea lui nu se modific , valoarea proprie asociat este 1. a oa ea p op e asoc at esteOrice vector având aceea i direc ie este de asemenea nemodificat.de asemenea nemodificat. Ceilal i vectori, de exemplu cel marcat cu albastru sunt modifica i de transformarealbastru, sunt modifica i de transformare, deci nu sunt vectori proprii.

Valorile proprii ale unei matrice sunt zerourileValorile proprii ale unei matrice sunt zerourile polinomului caracteristic. Dac lu m în considerare multiplicit ile, num rul valorilor proprii este egal cu ordinul matricei. Mul imea

(A)={ 1, 2,…, n}a valorilor proprii ale matricei A poart numele dea valorilor proprii ale matricei A poart numele de spectrul (de valori proprii al) matricei A. Num rul real

iAmaxA

se nume te raza spectral a matricei A.Dac A este o matrice real atunci valorile proprii

complexe apar în perechi complex conjugate.Valorile proprii ale unei matrice satisfac rela iile:

A)ii(Ann

tr ,A)i,i(A1i1i

,Adetn

unde tr(A) este, prin defini ie, urma matricei A.Dac x Cn este un vector propriu asociat valorii

p pproprii (A) atunci oricare ar fi 0 C vectorul y= x este de asemenea un vector propriu al matricei A asociat aceleia i valori proprii În consecinA asociat aceleia i valori proprii. În consecin , vectorii proprii asocia i unei valori proprii nu sunt unic determina i decât ca direc ii. Mul imea vectorilor proprii asocia i unei valori proprii

(A) genereaz un subspa iu liniar E( ) Cn

numit subspa iul propriu al valorii proprii .

Subspa iile proprii sunt subspa ii A invariante înSubspa iile proprii sunt subspa ii A-invariante în sensul urm toarei defini ii. Un subspa iu liniar V Cn se nume te subspa iu -invariant al matricei A sau, pe scurt, subspa iu A-invariant dac

AV V, i.e. Ax V x V,O matrice A Cnxn care admite n vectori proprii liniar independen i se nume te simpl .

O matrice care are cele n valori proprii distincte este simpl , dar reciproca nu este, în general,

Cadev rat . Cei n vectori proprii liniar independen i ai unei matrice simple formeaz o baz a spa iului Cn, numit baza proprie asociat matricei A.

Ordinul de multiplicitate al r d cinii aOrdinul de multiplicitate ni al r d cinii i a polinomului caracteristic se nume te multiplicitate algebric a valorii proprii i (A). Dac ni=1

l i t i lvaloarea proprie se nume te simpl . Dimensiunea dim E( i) ( a subspa iului propriu al valorii proprii i (A) se nume te

Îmultiplicitatea geometric a valorii proprii i. În general, avemdim E( i) ni( i) i

Transform ri de asem nare. Forma JordanTransform rile de asem nare conserv spectrul de alori propriide valori proprii.Dou matrice A i B sunt asemenea dac exist o matrice nesingular T Cnxn astfel încât B=TAT-1

Transform ri de asem nare. Forma Jordan

Dac matricea de transformare T este unitar (înDac matricea de transformare T este unitar (în cazul real ortogonal ) atunci matricele A i B se numesc unitar (ortogonal) asemenea.Dac A,B Cnxn sunt asemenea atunci au acela i spectru de valori proprii (A)= (B)iar dac x Cn este un vector propriu al matricei Ap pasociat valorii proprii , atunci vectorul y Cn, definit de y=Tx este un vector propriu al matricei B asociat aceleia i valori proprii .p pValorile proprii ale unei matrice triunghiulare (în particular diagonale) sunt date de elementele sale diagonalediagonale.O matrice asemenea cu o matrice diagonal se nume te diagonalizabil .

I t l i d di liImportan a procesului de diagonalizare

Dac se poate g si o transformare careDac se poate g si o transformare care diagonalizeaz matricea:• valorile proprii se afl pe diagonala principal a matricei transformate;• vectorii proprii corespunz tori sunt coloanele matricii transform riimatricii transform rii.

Dac pentru toate valorile proprii distincte ale uneiDac pentru toate valorile proprii distincte ale unei matrice date A Cnxn avemdim E( i)=nii i

atunci matricea A este diagonalizabil , respectiv exist o matrice nesingular T=X-1 Cnxn astfel încât X-1AX= =diag( )încât X 1AX= =diag( 1, 2,…, n)Într-un astfel de caz matricea A este simpl , coloanele matricei de transformare X formeaz un set de n vectori proprii liniar independen i ai matricei A. În ca l general cea mai simpl str ct r careÎn cazul general, cea mai simpl structur care poate fi ob inut prin transform ri de asem nare este a a numita form canonic Jordan:

Teorem Oricare ar fi matricea A Cnxn exist oTeorem Oricare ar fi matricea A C exist omatrice nesingular X Cnxn astfel încâtX-1AX=diag(J1,J2,…,Jq)

i C1000

cu (A) i

cu i (A) iMatricele Ji se numesc blocuri Jordan.

Num rul i dimensiunile blocurilor Jordan asociateNum rul i dimensiunile blocurilor Jordan asociate fiec rei valori proprii distincte din spectrul matricei A sunt unice, dar ordonarea blocurilor poate fi arbitrararbitrar .Forma canonic Jordan con ine maximul de informa ie structural privitoare la o matrice dat . Structura Jordan (respectiv num rul i dimensiunile blocurilor) este foarte sensibil la perturba iile numerice în elementele matricei i, din acest motiv, calculul numeric al formei canonice Jordan întâmpin dificult i serioase i nu este recomandat pentru calculul valorilor pproprii într-o aritmetic aproximativ .

Localizarea valorilor proprii. Cercurile lui Gershgorin

Spectrul de valori proprii al unei matrice A CnxnSpectrul de valori proprii al unei matrice A C

satisface condi ia : unde Di sunt discurile (sau cercurile) lui Gershgorin

i ( ) gdefinite de:

Fie (A) i x un vector propriu asociat lui

.aazCzD

Fie (A) i x un vector propriu asociat lui . Fie xi componenta de modul maxim a lui x, i.e.|xj|/|xi| 1 pentru to i j 1:n.|xj|/|xi| 1 pentru to i j 1:n.

Localizarea valorilor proprii. Cercurile lui Gershgorin

Atunci linia i a rela iei de defini ie Ax= x se poate scrie sub forma:sub forma:

,xax)a(n

jijiii

de unde rezult imediat inegalit ile:

Se poate ar ta c dac unul din discurile lui Gershgorin

ij1j i

Se poate ar ta c dac unul din discurile lui Gershgorin este izolat de celelalte, atunci el con ine o valoare proprie a matricei A i numai una, oferind un mijloc de separare a valorilor propriiseparare a valorilor proprii.

Algoritmul Jacobi

Fie A o matrice simetric . Metoda Jacobi const în efectuarea unei suite de transform ri de similitudine ale matricei A utilizând cele mai simple matrice ortogonalematricei A utilizând cele mai simple matrice ortogonale netriviale (matricele de rota ie).Folosind transform rile similare ortogonale, o matrice simetrice se transform într-o matrice diagonalgFie A M n,n (R) o matrice simetric .O rota ie plan în planul (p,q) e definit de matricea

Algoritmul Jacobi

O asemenea matrice este ortogonalRpq( )TRpq( )=I si deci Rpq( )-1=Rpq( )T.Rpq( ) Rpq( ) I si deci Rpq( ) Rpq( ) .

Algoritmul Jacobi

Aplicând matricei A transformarea similar ortogonal prin Rpq( ), ob inem:ortogonal prin Rpq( ), ob inem:

În continuare, determin m elementele matriciei A , dup care punem condi ia ca elementele a pq

i a qp s se anuleze.

Algoritmul Jacobi

Elementele matriciei A se calculeaza din elementele matricei A si unghiul :

Restul elementeler, care nu sunt pe liniile si coloanele p si q raman neschimbate.

Algoritmul Jacobi

Întrucât scopul rota iei în planul (p,q) este de anulare a elementelor din pozi iile (p,q) i (q, p), dinanulare a elementelor din pozi iile (p,q) i (q, p), din rela iile precedente se ob ine:

Dac app = aqq , rezult c = /4 si se calculeaza elementele matricei A .D /4 idDac /4 se consider :

de unde tg2 =b/c.

Algoritmul Jacobi

Folosind formulele trigonometrice:

Algoritmul Jacobi

Elementul pq a se nume te pivot. În concluzie, pentru realizarea transform rii prin rota iapîn planul (p,q), parcurgem urm toarele etape:

i) calcularea lui b i c,ii) calcularea lui cos ,iii) calcularea lui sin ,iv) Calcularea elementelor matricei Aiv) Calcularea elementelor matricei A .

Se define te irul de matrice similare

unde efectul fiec rei transform ri este anulareaunde efectul fiec rei transform ri este anularea elementului corespunz tor pivotului i a simetricului s u fa de diagonala principal .

Algoritmul Jacobi

Dac pentru fiecare transformare RTkAkRk pivotul este

elementul cu cel mai mare modul dintre elementele din afara diagonalei principale a lui A atunci pentru k >∞ are locdiagonalei principale a lui Ak, atunci pentru k->∞ are loc limita Ak -> = diag( n). Cum toate matricele A1,A2,Ak sunt similare, ele au acela i sistem de valori propriisistem de valori proprii n.Din punct de vedere practic, irul de itera ii continu pân când suma p tratelor elementelor din afara diagonalei principale a matricei A este mai mic decât unprincipale a matricei Ak+1 este mai mic decât un>0.

Când aceast condi ie este îndeplinit , atunci elementele de di l i i l i d t l d bi l ilpe diagonala principal aproximeaz destul de bine valorile

proprii ale matricei A. De i viteza de convergen a metodelor de tip Jacobi este i f i lt t d t t i t t i d di i iinferioar altor metode, totu i pentru matrice de dimensiuni nu prea mari se pot dovedi atractive datorit simplit ii lor.

Exemplu:

Folosind algoritmul Jacobi sa se calculeze valorile proprii ale matricei

3 1 11 3 1A 1 3 11 1 3

Rezolvare:Rezolvare:

Elementul maxim de deasupra diagonalei principale este a1,2=1d idecip=1, q=2

3 3 > /4 2 2ia1,1=3 a2,2=3 => /4 sin , cos2 2

2 2 02 2

Rezolvare:Rezolvare:2 0 0

Se calculeaza 1 1 1 0 4 2

TA R A R

Elementul maxim de deasupra diagonalei i i l t 1 2principale este

p=2, q=3 231 2a

2 1 2 2 2 221 1 3 4 1

atga a

2 2, 1b c

1/ 21 1 2Se calculeaza 1 1 2cos 12 34 2 1

2 2 12 2 1sin2 32 33

2 103 3

Se calculeaza

2 2 1 2

2 0 00 5 00 0 2

TA R A R

V l il ii tValorile proprii sunt:

1=2, 2=5, 3=2,

C07-Valori si vectori proprii.pdf

Documents