Post on 06-Mar-2016
description
transcript
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 1/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Prof. Dr. Vladimir BALAN
ALGEBR Ă LINIAR Ă,GEOMETRIE ANALITICĂ
= edi ţ ia a III-a revă zut ă şi ad ăugit ă =
BUCUREŞTI - 2005
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 2/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Referenţi ştiinţifici: Prof. Dr. Constantin DrăguşinProf. Dr. Constantin Radu
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 3/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Prefaţă
Acest curs reprezintă un ghid practic, care include noţiunile,rezultatele teoretice de bază, precum şi tipurile de probleme care apar încadrul disciplinei "algebr ă liniar ă şi geometrie analitică" predată îninstituţiile de învăţământ superior universitar tehnic şi economic.
În lucrare sunt expuse clar şi cu multe exemple instructive, elementede algebr ă liniar ă (structuri algebrice, spaţii vectoriale, transformăriliniare, forme pătratice) şi de geometrie analitică (vectori liberi, dreapta şi
planul în spaţiu, conice, cuadrice).Deşi cartea are un pronunţat caracter teoretic, atât exemplificările ce
însoţesc definiţiile şi rezultatele, precum şi exerciţiile propuse la sfâr şit decapitol urmate de r ăspunsuri sau rezolvări succinte, fac din acest curs uninstrument util de seminarizare.
În plus, volumul include un index de noţiuni, deci poate fi utilizat şica memento, iar referinţele bibliografice reprezintă un punct de plecare
pentru un studiu extins al materialului.Lucrarea este utilă în special studenţilor de la facultăţile tehnice,
inginerilor, cercetătorilor şi cadrelor didactice din învăţământul mediu şi
superior, putând fi consultată şi de elevii de liceu din anii terminali.Parcurgerea căr ţii presupune cunoaşterea noţiunilor şi rezultatelor dealgebr ă, analiză matematică şi geometrie predate în învăţământul liceal.
19 noiembrie 2004,Bucureşti.
Autorul.
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 4/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Cuprins
Algebră liniară
Capitolul 1. Spaţii vectoriale#1. Grupuri şi corpuri ..................................................…............. 1#2. Spaţii vectoriale. Subspaţii vectoriale..................................… 3#3. Dependenţă şi independenţă liniar ă ........................................ 9#4. Bază şi dimensiune .............................................................…. 10#5. Spaţii vectoriale euclidiene ..................................................... 18#6. Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt... 22#7. Probleme propuse.................................................................... 29
Capitolul 2. Transformări liniare #1. Transformări liniare…………………………….................... 39#2. Nucleu şi imagine .................................................................. 42#3. Matricea unei transformări liniare ......................................... 46#4. Endomorfisme particulare ..................................................... 49#5. Transformări liniare pe spaţii euclidiene ............................... 52#6. Izometrii ................................................................................ 56#7. Probleme propuse.................................................................. 58
Capitolul 3. Valori şi vectori proprii #1. Valori şi vectori proprii ........................................................ 64#2. Polinomul caracteristic al unui endomorfism........................ 65#3. Forma diagonală a unui endomorfism................................... 69#4. Forma canonică Jordan ......................................................... 74#5. Spectrul endomorfismelor pe spaţii euclidiene ..................... 79#6. Polinoame de matrice. Funcţii de matrice ............................. 82#7. Probleme propuse.................................................................. 86
Capitolul 4. Forme biliniare şi pătratice #1. Forme biliniare. Forme pătratice…......................................... 91
#2. Reducerea formelor pătratice la expresia canonică ...........…. 96#3. Signatura unei forme pătratice reale ....................................... 103#4. Probleme propuse................................................................... 105
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 5/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Geometrie analitică în E 3
Capitolul 5. Vectori liberi
#1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi……. ......................... 108#2. Coliniaritate şi coplanaritate ........................................… 112#3. Proiecţii ortogonale……………….......................………. 114#4. Produs scalar ..................................................................... 116
#5. Produs vectorial .............................................................… 118#6. Produs mixt ........................................................................ 121#7. Probleme propuse............................................................... 123
Capitolul 6. Dreapta şi planul în spaţiu #1. Reper cartezian ................................................................... 126#2. Ecuaţiile dreptei în spaţiu ................................................... 127#3. Ecuaţiile planului în spaţiu ................................................. 129#4. Unghiuri în spaţiu ............................................................... 134#5. Distanţe în spaţiu ................................................................ 136
#6. Probleme propuse................................................................ 140
Capitolul 7. Schimbări de repere în spaţiu #1. Translaţia şi rotaţia reperului cartezian .............................. 146#2. Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric ........... 151#3. Trecerea de la reperul cartezian la reperul polar în plan.... 153#4 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic ............… 154#5. Probleme propuse................................................................ 156
Capitolul 8. Conice #1. Generalităţi ........................................................................ 158#2. Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei conice ......... 170#3. Intersecţia dintre o dreaptă şi o conică ...........................… 176
#4. Pol şi polar ă ....................................................................... 178#5. Diametru conjugat cu o direcţie dată ................................. 180#6. Axele unei conice .............................................................. 182#7. Probleme propuse.............................................................. 183
Capitolul 9. Cuadrice #1. Sfera ……………............................................................. 185#2. Elipsoidul ......................................................................... 188#3. Hiperboloizii .................................................................... 190#4. Paraboloizii....................................................................... 193#5. Alte tipuri de cuadrice………........................................... 195#6. Cuadrice riglate .......................................................……. 196#7. Cuadrice descrise prin ecuaţia generală ........................... 197
#8. Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei cuadrice ..... 200#9. Intersecţia unei cuadrice cu o dreaptă sau cu un plan ...... 202#10. Probleme propuse........................................................... 205
Index de noţiuni
Algebr ă liniar ă………………....................................…..……... 208Geometrie analitică…………….............................….....……… 211
Bibliografie ....................................……………………..……………… 214
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 6/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
ALGEBR Ă LINIAR Ă
Capitolul 1
SPAŢII VECTORIALE
#1. Grupuri şi corpuri
Vom reaminti întâi noţiunile de grup şi de corp comutativ, structuri cunoscutedin manualul de algebr ă de liceu de clasa a XII-a.
1.1. Definiţie. Un grup reprezintă o mulţime împreună cu ooperaţie binar ă internă
( , )G ∗ G
∗ ∈ × → ∗ ∈: ) G G g g 1 2
( ,g g 1 2
G , care satisface
următoarele condiţii:(asociativitate) (1)321321321 )()(,,, g g g g g g G g g g ∗∗=∗∗∈∀
, (element neutru) (2),, g e g g eG g Ge =∗=∗∈∀∈∃ (element simetric). (3)e g g g g G g G g =∗′=′∗∈′∃∈∀ ,,
Dacă operaţia * satisface condiţia suplimentar ă , (comutativitate) (4)122121 ,, g g g g G g g ∗=∗∈∀
atunci grupul G se numeşte grup comutativ ( sau abelian).
Observaţii 1. Elementul e din axioma (2) este unic determinat de proprietateadată (temă, verificaţi) şi se numeşte element neutru; elementul g care satisface
axioma (3) este unic determinat de g şi se numeşte simetricul lui g .
′
2. În grupurile uzuale, operaţia de grup se notează fie aditiv, fie multiplicativ. Înfiecare din cele două cazuri apar următoarele notaţii şi denumiri:♦ Într-un grup aditiv, notat prin ( , elementul neutru e se notează cu 0 şi se
numeşte zero, iar elementul simetric g al unui element g se notează cu − şi senumeşte opusul lui g . Diferenţa se defineşte ca fiind suma .
, )G +′
g 1 2
− g
g g g 1 2
+ −( )♦ Într-un grup multiplicativ, notat prin ( , elementul neutru e se notează cu 1 şi senumeşte unitate, iar ′ se notează cu g şi se numeşte inversul lui g .
,)G ⋅−1
g
1.2. Exemple de grupuri.
1. Grupurile aditive (C,+), (R ,+), (Q,+), (Z,+). 2. Grupurile multiplicative (C* = C \ {0},⋅), (R * = R \ {0},⋅), (Q* = Q \ {0},⋅).
3. ( , ,unde G , iar este înmulţirea
matricelor.
)G ∗ =
−
−
−
−
1 0
0 1
0 1
1 0
1 0
0 1
0 1
1 0, , , ∗
4. Grupurile ( ,⋅); (ZC⊂−−= },1,,1{ iiG 4 ,+).
Algebr ă liniar ă 1
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 7/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
5. Mulţimea bijecţiilor definite pe o mulţime şi cu valori în formează gruprelativ la compunerea funcţiilor.
A A
1.3. Definiţie. Fie ( un grup. Se numeşte subgrup al grupului G
o submulţime nevidă care satisface proprietatea
, )G ∗
G H ⊂∀ ∈ ∗ ′ ∈g g H g g H 1 2 1 2, , . (5)
În acest caz notăm ( , .) ( , )H G ∗ ⊂ ∗
Observaţii. 1. este un subgrup al grupului ( dacă şi numai dacă
este grup în raport cu operaţia indusă de .
H , )G ∗ H
∗2. Condiţia (5) este echivalentă cu condiţiile
H g g H g g ∈∗∈∀ 2121 ,, ; H g H g ∈′∈∀ , .
1.4. Exemple de subgrupuri. 1. ;),(),(),(),( +⊂+⊂+⊂+ CR QZ
2. ; ),(),(),( *** ⋅⊂⋅⊂⋅ CR Q
3. ;),(),(),( *** ⋅⊂⋅⊂⋅ +++ CR Q
4. Grupul permutărilor de n obiecte ( n );*N∈5. , unde e este elementul neutru al grupului G. Aceste
subgrupuri se numesc subgrupuri improprii ale grupului G.
),(),();,()},({ ∗⊂∗∗⊂∗ GGGe
1.5. Definiţii.a) Fie ( , şi două grupuri. Se numeşte omomorfism de grupuri o
funcţie ϕ care satisface relaţia .
)G ∗G
),( G′
:G → G g g g g g g ∈∀ϕϕ=∗ϕ 212121 ,),()()(
b) Un omomorfism bijectiv se numeşte izomorfism. c) Dacă G G = şi ∗ ≡ o, omomorfismul mai poartă numele de endomorfism,
iar izomorfismul, pe cel de automorfism.
Exemple de grupuri izomorfe.1. Grupurile din exemplele 1.2.3 şi 1.2.4 sunt izomorfe;2. Grupurile (Z n ,+) şi }1{ =∈= n
n z z U C( , sunt izomorfe prin aplicaţia
nn U →ϕ Z: , 1,0,sincos)ˆ( −=+= nmn
mi
n
mm
π π ϕ .
1.6. Definiţii. a) Se numeşte corp un triplet ( K , +, ⋅ ) format dintr-o mulţime K împreună cu două aplicaţii binare notate prin +, ⋅ ale lui K în K (numiterespectiv adunare şi înmul ţ ire), care satisfac condiţiile:
K ×
♦ adunarea determină pe K o structur ă de grup comutativ,♦ înmulţirea determină pe K \{0} o structur ă de grup,♦ înmulţirea este distributivă faţă de adunare.
b) Se numeşte câmp (corp comutativ), un corp pentru care şi înmulţirea este
comutativă.
Cap.I. Spaţii vectoriale2
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 8/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
În cele ce urmează, vom nota un corp ( , prin K , iar corpurile utilizatevor fi câmpurile ( , şi ( , .
, K + ⋅),)R + ⋅ ,)C + ⋅
1.7. Exemple de corpuri.
1. Tripletele ( , , ( , , ( , sunt corpuri comutative; operaţiile deadunare şi înmulţire sunt cele obişnuite.
) ,)R + ⋅Q ,+ ⋅ ,)C + ⋅
2. Tripletul ( , unde p este un număr prim, este corp comutativ.),, ⋅+ pZ
#2. Spaţii vectoriale. Subspaţii vectoriale
Pe lângă diverse structuri algebrice precum cele de monoid, algebr ă, inel, saumodul, în studiul disciplinelor aplicate intervine cu prioritate structura de spaţiu
vectorial. Această structur ă constă dintr-un grup aditiv comutativ V , şi o operaţie deînmulţire externă definită pe cu valori în V care satisface patru axiome, unde K este un câmp. Vom nota elementele spaţiului vectorial V (numite vectori) prin
K V ×
u v w , , ,.. , iar cele ale corpului K (numite scalari), prin a sau α β,...,;,,, l k cb … , ,.. .
2.1. Definiţie. Se numeşte spa ţ iu vectorial peste corpul K un triplet (V ,+,⋅ = f ),
în carek
1. V este o mulţime - ale cărei elemente se numesc vectori;2. operaţia “+” (numită de adunare a vectorilor ) determină o structur ă de grup
comutativ pe V , notată aditiv, ( , ) ;v w v w ∈ × → + ∈V V V 3. operaţia “⋅ ” (numită de înmul ţ ire cu scalari), dată de o funcţie f
k
,),(,: kvvk f f =→× V V K
ce satisface proprietăţile
(asoc. înmulţirii cu scalari), (1)V K ∈∀∈∀= vl k vkl lvk ,,,)()( (distrib. faţă de adunarea din K ), (2)V K ∈∀∈∀+=+ vl k lvkvvl k ,,,)( (distrib. faţă de adunarea din V ) , (3)V K ∈∀∈∀+=+ wvk kwkvwvk ,,,)( 1 (4)V ∈∀= vvv ,
Elementele lui K se numesc scalari, iar aplicaţia f se numeşte înmulţirea cu scalari.În cazul K = R , spaţiul vectorial se numeşte spa ţ iu vectorial real , iar dacă K = C,
spaţiul vectorial se numeşte spa ţ iu vectorial complex.
Un spaţiu vectorial (V ,+,⋅ ), se va nota uneori, pe scurt, prin V . În cele ce urmează,
prin corpul K vom înţelege unul din câmpurile R sau C.k
2.2. Teoremă. Dacă V este un spa ţ iu vectorial peste corpul K , atunci
∀ ∈ şi ∀ au loc următoarele propriet ăţ i:u v w , , V ∈k l, K
Algebr ă liniar ă 3
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 9/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
(i) 0 0v = ,
(ii) k ,0 0=(iii) ( )− = −1v v ,
(iv) ,uwuvwv =⇒+=+(v) kv lv = şi l k v =⇒≠ 0 ,
unde elementul 0 din stânga egalit ăţ ii (i) reprezint ă elementul neutru fa ţă de adunareal corpului K , iar elementul din membrul drept reprezint ă vectorul nul
(elementul neutru al grupului abelian (V ,+) ).V ∈0
Demonstraţie. i). .vvvvv 0000)00(0 =⇒+=+=ii) .00)00(0 ⋅+⋅=+⋅=⋅ k k k k 00 ⋅=⇒ k
iii) v vvvvvvv −=−⇒==−+=−+=−+ )1(00)1(1()1(1)1( .
iv) v u =+ w wuwuvvwvvuv =⇒+=+⇒++−=++−⇒+ 00 .v) (în caz contrar, înmulţind cu ( , rezultă
, contradicţie)
0)( =−⇒= vl k lvkv
0
l k =⇒ 1)−− l k
=v
Corolar. În orice spaţiu vectorial V peste corpul K , pentru,∀ au loc relaţiile:∀ ∈k l, K ∈v w , V
a) ,)()()( vk vk kv −=−=− b) ,lvkvlvkvvl kvvl k −=−+=−+=− )()()(c) kwkvkwkvwk kvwvk wvk −=−+=−+=−+=− )()(])1([)( .
Demonstraţie. Ar ătăm, spre exemplu, proprietăţile a). Pe de o parte avem
)()1()1()( vk vk vk vk
iii
−⋅=−⋅=⋅−=− .Pe de altă parte, din egalităţile rezultă,folosind implicaţia (iv), egalitatea .
(3)
( ) ( ) 0 ( )k v kv k k v v kv kv− + = − + = ⋅ = − +)() kvvk −=−(
Exemple de spaţii vectoriale.
În fiecare din exemplele următoare, vom preciza mulţimile V şi K , adunarea din V şiînmulţirea vectorilor cu scalari.
1. Spa ţ iul vectorial K peste corpul K . În acest caz, V = K =corp, adunarea şi î nmulţirea cu scalari este înmulţirea din corpul K .
2. Spa ţ iul vectorial C peste corpul R . În acest caz, V = C (mulţimeanumerelor complexe), (mulţimea numerelor reale), adunarea este cea din C, î nmulţirea cu scalari este cea uzuală dintre un număr real şi un număr complex.
R = K
3. Spa ţ iul vectorial aritmetic cu n dimensiuni. , K = corpcomutativ; adunarea şi î nmulţirea cu scalari definite prin:
n K V =
K K ∈∀∈==∀
=
+++=+k y y y y x x x x
kxkxkxkx
y x y x y x y xn
nn
n
nn ,),...,,(),,...,,(, ),,...,,(
),...,,(2121
21
2211
4. Spa ţ iul vectorial al vectorilor liberi. V = , K = R , adunarea vectorilor
liberi prin regula paralelogramului, înmulţirea dintre un număr real şi un vector liber(vezi cap.V, # 1).
V 3
Cap.I. Spaţii vectoriale 4
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 10/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
5. Spa ţ iul vectorial al matricelor de tipul m n× . V = , K = câmp,
adunarea matricelor, înmulţirea dintre un scalar şi o matrice.
)( K nm M ×
6. Spa ţ iul vectorial al solu ţ iilor unui sistem algebric liniar omogen. V =mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen de m ecuaţii cu n necunoscute privite ca
elemente din (n-uple), cu coeficienţi din K , , adunarea dinînmulţirea dintre un scalar şi un element din .
K n
},{ CR ∈ K K n
,K
n
Spre exemplu, familia V a soluţiilor sistemului este familia
tripletelor de numere reale de forma ( , ; V formează spaţiu
vectorial cu operaţiile definite î n exemplul 3.
x y z
x z
+ − =
+ =
0
2 0
), ∈λ λ R , ) ( , ,x y z = − −λ λ3 2
7. Spa ţ iul vectorial al func ţ iilor cu valori într-un spa ţ iu vectorial dat . Înacest caz avem V = W S →: f f
},{ CR ∈ K
{ }, unde S mulţime nevidă iar W este un spaţiu
vectorial peste câmpul , iar operaţiile sunt cele de adunare a funcţiilor şi
înmulţire a acestora cu scalari din corpul K .8. Spa ţ iul vectorial al solu ţ iilor unei ecua ţ ii diferen ţ iale liniare şi omogene.
În acest caz, V = mulţimea soluţiilor unei ecuaţii diferenţiale ordinare, liniare şiomogene, K = R, adunarea funcţiilor, înmulţirea unei funcţii cu un scalar. Spreexemplu, pentru ,R ∈λ
},)({}0,,:{ R ∈===λ−′=→= λ aae x f f y y f y f f xnot
R RV
formează un asemenea spaţiu vectorial.9. Spa ţ iul vectorial al tuturor şirurilor reale sau complexe. În acest caz, V =
mulţimea tuturor şirurilor reale sau complexe, , iar operaţiile sunt:},{ CR ∈ K
,
=
++=+
,...},...,{
,...},...,{
1
11
n
nn
kxkxkx
y x y x y x
K V ∈∀∈==∀ k y y y x x x nn ,,...},...,{,...},,...,{ 11 .
2.3. Dat fiind un K -spaţiu vectorial, vom studia în cele ce urmează subspaţiile vectoriale ale spaţiului vectorial V , submulţimile acestuia care sunt eleînsele spaţii vectoriale relativ la operaţiile induse din V .
Definiţie. Se numeşte subspa ţ iu vectorial al lui V o submulţime nevidă W a
lui V , astfel încât au loc proprietăţile; (5)W W ∈+∈∀ vuvu ,,
W W K ∈∈∀∈∀ kuuk ,, . (6)
Observaţii. 1. Aceste condiţii sunt echivalente cu proprietateaW K W ∈+∈∀∈∀ lvkul k vu ,,,, ;
2. Adunarea şi înmulţirea cu scalari pe W sunt restricţiile la W ale operaţiilorde pe V ; de aceea următoarele afirmaţii sunt echivalente :
♦ W este un subspaţiu vectorial al lui V ;
♦ W este un spaţiu vectorial peste K în raport cu operaţiile induse din V .
Algebr ă liniar ă 5
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 11/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Exemple de subspaţii vectoriale
1. Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K . Mulţimile {0} şi V sunt subspaţii
vectoriale ale lui V . Acestea se numesc subspaţii improprii; oricare alt subspaţiu al lui
V se numeşte subspaţiu propriu.
2. MulţimeaW
a n-uplelor de forma ( , , este unsubspaţiu vectorial al lui . Se observă că are loc egalitatea
,..., )0 2x x n ∀x x n2,..., K
∈K
n
W K = = ∈ ={ ( , ,..., ) }x x x x x n
n
1 2 1 0
şi că W formează un subspaţiu vectorial în , de tipul spaţiilor vectoriale descrise în
exemplul 2.2.6.
K n
3. Mulţimea funcţiilor impare şi mulţimea funcţiilor pare sunt respectiv
subspaţii ale spaţiului vectorial real al funcţiilor reale definite pe ( ,
.
,−a a)
}{∞∪∈ +*
R a
4. Fie continuă pe [a,b]}.V = = →C a b f f a b f 0[ , ] { :[ , ] ,R
Submulţimea este un subspaţiu vectorial în V .W = ∈ ={ [ , ] ( ) ( }f C a b f a f b0
)5. Fie V . Dreptele şi planele care conţin originea sunt subspaţii
vectoriale ale lui . Coordonatele punctelor lor (triplete din ) sunt familii de
soluţii ale unor sisteme lineare şi omogene de ecuaţii cu trei necunoscute.
3R =
3R
3R
2.4. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi S o submulţime
nevidă a lui V . Se numeşte combina ţ ie liniar ă finit ă de elemente din S un vector
de formav ∈V
pik S vvk v p
i
iiii ,1,, ,
1
=∈∈= ∑=
K unde .
Teoremă. Dacă S este o submul ţ ime nevid ă a lui V , atunci mul ţ imea tuturor
combina ţ iilor liniare finite formate cu vectori din S, este un subspa ţ iu vectorial al
lui V .
Acest subspaţiu se numeşte subspa ţ iul generat de submul ţ imea S sau
acoperirea liniar ă a lui S şi se notează cu L(S ). Dacă S este mulţimea vidă, atunci prin
definiţie L(S )={0}.
Observaţie Diferite submulţimi de vectori dinV
pot să genereze acelaşisubspaţiu vectorial. De exemplu, pentru a b , oricare din mulţimilea, ,∈ ≠ K 0
{, , ,..., }, ,!,!,...,
!,{,( ),( ) ,...,( )1 1
1 21
2
2
2t t t
t t t
nat b at b at b
n
n
n
+ + + }
generează spaţiul vectorial al funcţiilor polinomiale în nedeterminata t care au cel
mult gradul n, notat în cele ce urmează cu K n[t ], iar oricare din mulţimile
{,, ,..., ,...}, ,!,!,...,
!,...,{,( ),( ) ,...,( ) ,...}1 1
1 21
2
2
2t t t
t t t
nat b at b at b
n
n
n
+ + +
generează spaţiul vectorial al tuturor funcţiilor polinomiale în nedeterminata t , notat
cu K [t ]. Observăm că W = K n[t ] este subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial V = K [t ].
Cap.I. Spaţii vectoriale6
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 12/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
2.5. Teoremă. Dacă şi sunt două subspa ţ ii ale spa ţ iului vectorial V ,
atunci
U W
1) suma dintre U şi W , mul ţ imea
},{ 2121 W W ∈∈+==+ vvvvv U U
este un subspa ţ iu vectorial al lui V ;2) intersec ţ ia este un subspa ţ iu vectorial al lui V ; mai mult, intersec ţ ia
unui număr arbitrar de subspa ţ ii vectoriale ale lui V este tot un subspa ţ iu
vectorial.
U ∩W
3) reuniunea este un subspa ţ iu vectorial al lui V dacă şi numai dacă
sau (deci
U UW
⊆U
U ⊆W
W U UW nu este în general subspa ţ iu vectorial al lui V ).
Demonstraţie. 1) Adunarea este o operaţie internă; într-adevăr, avem
⇔+∈′ W U vv, v u w v u w = + = +, ' ' ,
cu u u ,w w ; atunci rezultă u u ,w w , şi deci, '∈U , '∈W + ∈' U + ∈' W ∈′++′+=′+ )()( wwuuvv U +W .
Pentru proprietatea (6), consider ăm . Avemk ∈ K
ku∈U , .⇒∈W kw ∈+= )()( kwkukv U +W
2) Din , rezultă , . Cum U şi sunt subspaţii
vectoriale, rezultă
v v , '∈ ∩U W v v , '∈U v v , '∈W W
kv lv + ∈' U , kv , .lv + ∈' W ⇒∈∀ K l k , kv lv + ∈ ∩' U W
3) Presupunem că nu are loc nici una dintre incluziunile . Fie deci
, . Rezultă (altfel şi ,
contradicţie) şi analog . Prin urmare u w , deciU nu este
subspaţiu vectorial. Dacă , atunci , şi deci este subspaţiu
vectorial (subspaţiul total) al spaţiului vectorial V . Cazul se
demonstrează analog.
U U ⊆⊆ W W ,
U + ∈ u U
U UW V ∪
W W ⊆W = W
u∈U \W w ∈W \U U ∉+ wu
V
U U
u v
+ ∉v U ∈ ⇒ ∈
⊆U
u w+ ∉
U ⊆W W W =
Exemple. 1. Dacă şi sunt două subspaţii ale spaţiului vectorial V ,
atunci acoperirea liniar ă a mulţimii este exact subspaţiul vectorial
(temă, verificaţi).
U
(U
W
)L UW U UW
U W + 2. Fie U U .= = = = ⊂L v L v ( (,)), ( ( ,)); ,
1 2
210 01W W R
Atunci ={0}, U (deci suma este întregul spaţiu vectorial) iar
reuniunea U nu este subspaţiu vectorial în , deoarece
U ∩W
∪
+ = ⊂W R R 2 2
W 2R
}0),{(,, 2121 ==∪∉+∈∈ xy y xvvvv W W U U .
3. Fie subspaţiile U generate respectiv de vectorii2R ⊂W ,
)0,2(),2,1(),4,1( 321 =−== uuu şi w w w 1 2 3
15 2 10 315= = − − =(,), ( , ), (, )
)
din . Determinăm subspaţiile U + W şi . Subspaţiul sumă este
acoperirea liniar ă a mulţimii de vectori { ,
2R U W ∩
,,, 13 wwu
U W +},, 3221 wuu
U W + = L u u u w w w ({ , , , , , }1 2 3 1 2 3
,
adică orice vector v este de forma∈ +U W
K ∈+++++=654321362514332211
,,,,,; k k k k k k uk uk uk wk wk wk v .
Algebr ă liniar ă 7
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 13/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Subspaţiul conţine acei vectori care admit scrierea simultană U W ∩v = α α .α β β β
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3w w w u u+ + = + + u
Folosind operaţiile cu vectori din obţinem prin înlocuire şi identificare pecomponente, sistemul
R 2
β+β=α+α−αβ+β−β=α+α−α
.2415105232
21321
321321
Rangul matricei sistemului este unu, iar compatibilitatea este asigurată de anulareadeterminantului caracteristic β . Obţinem0107 321 =β+β−
R ∈µλµ=βλ=βµ−λ=β ,,,,107 321 .
Atunci vectorii spaţiului sunt de formaU W ∩ ,R ∈µλµ−λ=µ−λµ−λ=µ+λ+µ−λ ,),5,1)(86()4030,86()107( 321 uuu
şi deci .U W ∩ = =L v ({ ' (,)})15
2.6. Teoremă. Fie U , subspa ţ ii vectoriale. Următoarele afirma ţ ii sunt
echivalente:
W
(i) pentru orice vector v , exist ă o unică descompunere∈ +U W
v ;W U ∈∈+= 2121 ,, vvvv
(ii) . U W ∩ = { }0
Demonstraţie. (ii)⇒(i). Fie v v . , ⇒
} ⇒ . Reciproc, prin absurd, dacă
are loc (i), dar U W , fie w . Atunci
reprezintă două descompuneri simultane ale lui w, în care. Din unicitatea descompunerii, rezultă w=0, contradicţie.
v v v = + = ′ + ′1 2 1
0 v v v 1 1 2
= ′ =,
∩ ≠ { }0
2
v ′v v 1 1, ′ ∈ U
∈ ∩U W \{
v v 2 2, ′ ∈ W
≠ ∅=′−= 11 vvu
=+= 0 wwU ∈ ww ,0;,0
{22 =∩∈−′ W U vv
W U +∈+ 0W ∈
2
}0
w
2.7. Definiţii. Fie U şi W două subspaţii vectoriale ale lui V .a) Dacă , atunci suma se numeşte sumă direct ă şi se notează U W ∩ = { }0 W U +
W U W U +=⊕ . b) Dacă suma este directă şi avem în plus , atunci şi se
numesc subspa ţ ii suplementare. Noţiunile de sumă şi sumă directă se pot extindeîn mod natural la cazul unui număr finit de subspaţii vectoriale.
U W + V W U =+ U W
Exemple. 1. Subspaţiile }),0{(},)0,{( R R ∈=∈= y y x x W U
}0{)}0,0{( 2R ==
au suma
şi intersecţia , deci sunt suplementare în R 2.U W + = R 2 ∩W U
Într-adevăr, descompunerea unui vector din R 2 după cele două subspaţii este unică:
2),( R ∈∀ y x , .W U +∈+= ),0()0,(),( y x y x
2. Subspaţiul funcţiilor pare U = → = − ∀ ∈{ : ( ) ( ), }f I f x f x x IR
şi respectiv impare W = → = − − ∀ ∈{ : ( ) ( ), }f I f x f x x IR ,
Cap.I. Spaţii vectoriale8
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 14/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
unde I =(-a,a) este un interval simetric real, sunt suplementare în spaţiul vectorial realV al funcţiilor reale definite pe I , întrucât intersecţia conţine numai funcţia constantă nulă şi are loc descompunerea
I x x f x f x f x f
x f ∈∀−−
+−+
= ,
2
)()(
2
)()()( ,
deci orice funcţie este suma dintre o funcţie par ă şi una impar ă, ceea
ce probează incluziunea nebanală V .
f a a:( , )− → R
W U +⊂
#3. Dependenţă şi independenţă liniară
3.1. Definiţii. Fie S o submulţime de vectori din K -spaţiul vectorial V ,unde .},{ CR ∈ K
a) Spunem că mulţimea S este liniar dependent ă dacă există o familie finită devectori distincţi din S, spre exemplu v v şi scalarii
, cu cel puţin unul nenul, astfel încât să aibă loc relaţia (numită
rela ţ ie de dependen ţă liniar ă):
v S p1 2
, ,..., ∈k k k
p1 2, ,..., ∈ K
k v k v k v
p p1 1 2 2 0+ + + =... .
b) Spunem că mulţimea S este liniar independent ă dacă nu este liniar dependentă,
adică dacă ∀ ∈ =v S ii , ,1 p ( p arbitrar, ), p ∈ N pik i ,1, =∈∀ K , are loc
implicaţia
k v k v k v p p1 1 2 2 0+ + + =... ⇒ k i . pi = =0 1, ,
Notaţii. În cazul dependenţei liniare a familiei S , vom nota dep(S ); în cazcontrar, ind(S ).
Observaţii. 1. Mulţimea S din definiţie poate fi o mulţime finită sau infinită.2. Deşi liniar dependenţa şi liniar independenţa sunt proprietăţi specifice unei
familii de vectori, vom spune despre vectorii familiei că sunt vectori liniar
dependen ţ i, respectiv vectori liniar independen ţ i.
Exemple. 1. Mulţimea S = {v}, pentru v arbitrar fixat, este finită,
liniar independentă.
∈V \{0}
2. Mulţimea }{ K ∈λλ= vS , pentru arbitrar fixat, este infinită,
liniar dependentă.
v ∈V \{0}
3. Mulţimea S = {0} este finită, liniar dependentă, căci are loc relaţia 1 ,(relaţie de dependenţă în care intervine coeficientul nenul 1).
⋅ =0 0
4. Dacă 0 , atunci mulţimea S este liniar dependentă.∈ S
5. Dacă în S există un vector care se poate exprima ca un multiplu scalar alunui alt vector, atunci S este liniar dependentă.
6. Fie , unde)(},,{321
R ∞⊂= C vvvS
2)()(,2ch)(,)( 321 / -eet t veet t vet v -t t t t t ≡=+≡== sh)/( -
.
Algebr ă liniar ă 9
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 15/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Deoarece 1 , mulţimea { , este liniar dependentă.01ch1 =⋅−⋅−⋅ t t e t sh , }v v v
1 2 3
7. Mulţimea este infinită, linear
independentă.
][},,...,,,{ 12531 X X X X X S k R ⊂= +
…
3.2. Teoremă. Fie L(S) acoperirea liniar ă a mul ţ imii liniar independente , . Atunci orice familie de vectori din L(S) este
liniar dependent ă.
S v v v p
= { , ,..., }1 2
V ⊂ p ∈ N p+1
Demonstraţie. Fie p+1 vectori arbitrari din L(S ), a căror descompunere după bazaeste1{ , } pv v…
w a v i pi ij
j
p
j= =
=∑1
1 1, , + .
Consider ăm relaţia
k w k w k w p p1 1 2 2 1 1 0+ + + =+ +... .Înlocuind expresiile vectorilor relativ la vectorii din S, în relaţie, avem121 ,..., + pwww
001
1
1
1
1 1
=
⇔=
∑ ∑∑ ∑
=
+
=
+
= = j
p
j
p
i
iji
p
i
p
j
jiji vak vak ;
Dar vectorii v j fiind liniar independenţi, rezultă anularea tuturor
coeficienţilor combinaţiei liniare nule, deci rezultă relaţiile
pj, ,=1
p jak ak ak j p p j j ,1,0... 112211 ==+++ ++ .
Acestea formează un sistem liniar omogen cu p ecuaţii şi 1 necunoscute, deci
admite şi soluţii nebanale k k . , care înlocuite în relaţia iniţială, otransformă într-o relaţie de dependenţă liniar ă, şi deci vectorii
p+
k p1 2 1, ,..., + ∈ K
w i pi, ,= +1 1 sunt
liniar dependenţi.
#4. Bază şi dimensiune
4.1. Definiţii. Fie V un K -spaţiu vectorial, .},{ CR ∈ K
a) O submulţime de vectori se numeşte baz ă pentru V dacă B este liniar
independentă şi generează pe V - deci, pe scurt, B satisface condiţiile ind( B) şi L( B)=V .
V B ⊂
b) Spaţiul vectorial V se numeşte finit dimensional dacă admite o bază finită saudacă . În caz contrar, V se numeşte infinit dimensional .V = { }0
Observaţie. Utilizând axioma alegerii se poate demonstra că orice spaţiu
vectorial diferit de spaţiul vectorial nul {0} admite o bază.
4.2. Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial finit dimensional. Oricare două baze
B , ale lui V au acela şi număr de elemente.′B
Cap.I. Spaţii vectoriale10
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 16/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Demonstraţie. Fie n numărul de vectori din B şi n numărul de vectori din B . Dar Beste liniar independentă şi generează spaţiul V . Dacă prin absurd B ar avea
mai multe elemente decât , deci dacă , atunci conform teoremei 3.2 arrezulta linear dependenţa familiei B - contradicţie, deoarece B este o bază.
În concluzie . Un raţionament similar aplicat mulţimii liniar independenteconduce la ; deci n ′.
′= L
n′
′)( B′
n >
n
′ B
n′nn ′≤)( BV B L=⊂′ n≤ =
Definiţii. a) se numeşte dimensiunea spa ţ iului vectorial finit-dimensional V ,
număruldacă admite o bază formată din vectori (deci {0}) ,
dim0 dacă {0}.
n n− ≠=
−
V V V
V =
b) Un spaţiu vectorial de dimensiune n finită spunem că este n-dimensional şi îlnotăm cu V .n
Exemple. 1. Fie spaţiul vectorial aritmetic n-dimensional. Vectorii K
n
e e en
n
1 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1= = =( , , , ... , ), ( , , , ... , ), ... , ( , , ... , , ) K ∈
0
determină o bază a spaţiului . Într-adevăr, B este liniar
independentă, deoarece
B = { , ,..., }e e en1 2 K n
)0,...,0,0(),...,,(0... 212211 =⇔=+++ nnn k k k ek ek ek ,
de unde rezultă . Pe de altă parte ∀ , avem...21 ==== nk k k n
n x x x x K ∈= ),...,,( 21
x x e x e x e Ln n= + + + ∈1 1 2 2 ... ( ) B ,
deci ; incluziunea inversă este banală, deci B generează pe V = .)(B Ln ⊂ K n
K
2. Spaţiul vectorial }grad][{][ n p X p X n ≤∈= K K
+},...,, 21 n X X X
al tuturor polinoamelorde grad cel mult (inclusiv) n, are dimensiunea n 1. Într-adevăr, observăm că familiade polinoame este liniar independentă, deoarece,1{ 0 X ≡=B
k k X k X k X k k k k n
n
n0 1 2
2
0 1 20 0+ + + + = ⇒ = = = = =... ...
şi orice polinom de grad mai mic sau egal cu n este o combinaţie liniar ă finită demonoamele mulţimii B.
3. Spaţiul vectorial al tuturor polinoamelor în nedeterminata X esteinfinit dimensional şi admite baza { .
K [ X ]
,
, , ,..., ,...}1 2 X X X n
4. Spaţiul vectorial al matricelor dreptunghiulare cu m linii şi n
coloane şi coeficienţi în corpul K are dimensiunea mn, admiţând baza
)( K nm M ×
B = ≤ ≤ ≤ ≤{ , , } E i m j nij 1 1
E ij fiind matricea care are coeficientul 1 la intersecţia liniei i cu coloana j, iar
ceilalţi coeficienţi sunt nuli.5. Dacă V este un C-spaţiu vectorial, atunci spaţiul vectorial real R care
coincide cu V ca grup aditiv şi cu înmulţirea cu numere reale definită exact ca în V ,se numeşte trecerea în real a spaţiului V . În particular, trecând în real spaţiulvectorial complex n-dimensional , se obţine R-spaţiul vectorial ,de dimensiune 2n. O bază a acestuia este { , obţinută
prin trecerea în real a bazei { .
V
n ≡nC=V
ne ⊂},...,
n2R CR
nCnn ieieieeee R ⊂},...,,,,...,, 2121
nCee , 21
Algebr ă liniar ă 11
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 17/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
4.3. Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial n-dimensional. Atunci au loc
afirma ţ iile:
n
1) O mul ţ ime liniar independent ă din V n este o submul ţ ime a unei baze din V .n
2) Fie S v o mul ţ ime format ă din n vectori din V .v vn= { , ,..., }1 2 V n⊂ n
Atunci următoarele afirma ţ ii sunt echivalente:(i) S este baz ă în V ;n
(ii) S este familie liniar independent ă (ind(S));
(iii) S este sistem de generatori pentru V ( L(S)= V ). n n
Demonstraţie. 1) Dată fiind o mulţime liniar independentă din V ,
avem următoarele situaţii: fie L(S ) = V şi deci S este o bază, fie L(S ) este osubmulţime proprie a lui V . În al doilea caz există măcar un vector , şi
atunci S S
S v v v p= { , ,..., }1 2
\ Lv nV ∈
n
n
n )(S
v' { }= ∪
n
este linear independentă (temă, verificaţi). Dacă , atunci
este o bază ce conţine pe S (deci baza căutată), iar dacă este o submulţime proprie a lui V , atunci se reia acelaşi raţionament pentru S:=S' . După un număr finit
de paşi (căci numărul de vectori dintr-o familie linear independentă nu poate fi maimare decât n), obţinem o bază ce conţine familia S . În concluzie, orice
familie linear independentă S poate fi prelungită sau completată până la o bază aspaţiului vectorial V .
nS L V =′)(
L S ( )′′S
nV ⊂B
n
2) Implicaţiile (i)⇒ (ii), (i) (iii) sunt evidente. Demonstr ăm implicaţia (ii) (i).Avem ind(S ) S bază în L(S ) ⇒ dim L(S ) = n = dim V . Dar , deci L(S )
= V ; rezultă S bază în V .
⇒ ⇒⇒ n nS L V ⊆)(
n n
Demonstr ăm implicaţia (iii) ⇒ (i). Fie L(S ) = V ; dacă avem prin absurd dep(S ),atunci ar rezulta că orice bază a spaţiului L(S ) are < n vectori, deci n = dim V = dim
L(S ) < n, contradicţie.
n
n
Exemplu. Familia de vectori este liniar
independentă. Cum S are 2 vectori, iar dim , rezultă conform teoremei că S este bază în .
221 )}1,1(),1,1({ R ⊂−=== vvS
22 =R 2R
4.4. Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial n-dimensional şi fie
o baz ă în acest spa ţ iu. Atunci orice vector x admite oexprimare unică de forma
n
B
= { , , ... , }e e en1 2 n∈V
x x e x ii ii
n
i= ∈=∑
1
1, K, = ,n
e
(*)
(numit ă descompunerea lui x după vectorii bazei B ).
Demonstraţie. Deoarece V = L( B), orice vector x poate fi scris ca o combinaţie
liniar ă de vectorii bazei, adică x , iar această descompunere este unică.
∈V
xi ii
n
==∑
1
Cap.I. Spaţii vectoriale12
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 18/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Într-adevăr, dacă vectorul x ar admite şi descompunerea x , atunci prin
scădere ar rezulta combinaţia linear ă nulă 0 . Dar B fiind bază, este
formată din vectori linear independenţi, deci rezultă anularea coeficienţilorcombinaţiei,
xi ii
n
= ′=∑
1
)
e
1
= − ′=∑( x x ei ii
n
i
ni x xni x x iiii ,1,,1,0 =′=⇒==′− ,
deci descompunerea este unică.
Definiţie. a) Se numesc coordonatele vectorului x în raport cu baza B ,numerele , asociate vectorului x prin descompunerea (*).n x x ,,1 … n∈ V
b) Se numeşte sistem de coordonate pe V asociat bazei B , bijecţian
n
n
n
n x x x x f f K K V
∈=→ ),...,,()(,: 21 .
În cele ce urmează vom identifica un vector cu coordonatele sale relativ la o bază fixată. Atunci, pentru , operaţiile
spaţiului vectorial se rescriu pe componente
n
nnn y y y y x x x x K V ≡∈≡≡ ),...,,(),,...,,( 2121
∈∀≡
+++≡+
K.k knkxkxkx
y x y x y x y x
n
nn
),,...,,(
),...,,(
21
2211
Exemplu. Aflăm coordonatele vectorului v relativ la baza2)0,1( R ∈=2
21 )}1,1(),1,1({ R ⊂−=== vvS
din exemplul precedent. Relaţia conduce la α , decicoordonatele vectorului v relativ la baza S sunt
21 vvv β+α=2/1
2/1=β=)2/1;( .
În ceea ce priveşte posibilitatea de a completa o familie de vectori liniar
independenţi la un sistem de generatori folosind un sistem prescris de generatori,avem următoarea
Teoremă (teorema înlocuirii, Steinitz).
Fie V un K -spaţiu vectorial,n
nnvvS V ⊂= },...,{ 1
un sistem de generatori ai spaţiului V , şi fien
)0(,},...,{ 10 ≥⊂= r wwS nr V
un sistem de vectori liniar independenţi.Atunci are loc inegalitatea şi există familia de vectori S care
conţine vectori astfel încât să fie sistem de generatori pentru V .
nr ≤∪ S S 0
S ⊂+
r n − + n
Algebr ă liniar ă 13
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 19/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
Se observă ca în urma teoremei 3.2, avem cu necesitate .nm ≥
Un rezultat deosebit de util în cazul unui spaţiu vectorial de dimensiunearbitrar ă, care face posibilă completarea la o bază a unei familii liniar independente,
folosind vectorii unei baze cunoscute, este
Teorema completării. Dacă este un sistem liniar independent în K -
spa ţ iul vectorial V , atunci se poate completa la o baz ă a lui V .
V ⊂0S
0S
Corolar. Fie o bază în K -spaţiul vectorial , şi fienneeS V ⊂== },...,{ 1B V
n
)0(,},...,{ 10 ≥⊂= r wwS nr V
un sistem liniar independent de vectori din . Atunci şi se poate completa
cu vectori ai unei subfamilii la o altă bază a spaţiului .
V n
nr ≤
=′B
0S
∪r n − B⊂+
S +
S S 0 V n
Exemplu. Completaţi familia de vectori
)}1,1,1,1(),1,1,1,1({ 210 −−=== wwS
la o bază a spaţiului vectorial V .4R =
Soluţie. Familia este liniar independentă (temă, verificaţi). Consider ăm
baza canonică 0S
44321 )}1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1({ R B ⊂====== eeeeS ,
şi observăm că din cele selecţii ordonate de 2 vectori din B putem
alege, spre exemplu, vectorii , iar vectorii familiei
123424 =⋅= A
},{ 31 eeS =+
},,,{ 32110 ewewS S =∪=′+
B
sunt liniar independenţi, şi sunt în număr de 4 în spaţiul (a cărui dimensiune estetot 4), deci conform teoremei 4.3 rezultă că este o bază. În plus, prin construcţie,
baza conţine familia şi vectori din familia S.
4R
B′
B′ 0S
4.5. Teoremă (Grassmann).
Dacă U şi W sunt două subspa ţ ii de dimensiuni finite ale spa ţ iului vectorial
V , atunci are loc rela ţ ia
)dim()dim(dimdim W +U W U W U +∩=+ .
Corolar. Dacă U şi W sunt două subspa ţ ii suplementare de dimensiuni finite
ale spa ţ iului vectorial V , atunci are loc rela ţ ia
V W U dimdimdim =+ .
Cap.I. Spaţii vectoriale14
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 20/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Matricea asociată unei familii de vectori relativ la o bază dată. Fie un K -spaţiu vectorial şi o bază în . Considerând
un sistem de p vectori v v , atunci aceştia se descompun relativ la baza
B, după cum urmează
V n
B = { , ,..., }e e en1 2
n
V n
v p1 2
, ,..., ∈ V
v a e v a e v ai i
i
n
ii
n
i p pi
n
i1 11
2 21 1
= = == = =∑ ∑ ∑, ,..., .e
i
n
Vectorilor li se ataşează matricea formată din coeficienţii celor p
descompuneri, aşezaţi succesiv pe coloane:
v v v p1 2
, ,...,
=
npnn
p
p
aaa
aaa
aaa
A
…
…
…
21
22221
11211
,
numită matricea asociat ă familiei de vectori S relativ la o baza B. Vectorii
pot fi identificaţi cu coloanele matricei A şi notăm această matrice cuv v v p1 2, ,...,
B B],...,,[][ 21 pvvvS A == .
4.6. Teoremă. Fie o baz ă a lui , o
familie de p vectori din şi matricea asociat ă acestei familii.
},...,,{ 21 neee=B
A S= [ ] B
V n
S v v v p
= { , ,..., }1 2
V n
Fie rang A = , şi fie indicii coloanelor unui
minor care d ă rangul matricii A. Atunci au loc următoarele afirma ţ ii:
min( , )m p≤ piii m ≤<<<≤ ...1 21
(i) familia de vectori este baz ă a subspa ţ iului L(S ) (deci avem},...,{'1 mii vvS =
i şi ); în particular, rang .nd S( ') L S L S( ) ( ')= )(dim S L A =
(ii) v L , pentru oriceSj
∈ ( ') },,...,,{\,1 21 miii p j ∈ .
Exemplu. Pentru subspaţiile date în exemplul 3 al teoremei 2.5., dimensiuneasubspaţiului U coincide cu rangul matriceiW +
,
=
−
−−
02415105
211321],,,,,[ 321321 uuuwww
deci di . Un vector oarecare din subspaţiul U m( )U W + = 2 W ∩ este de forma
( , ) ( ) ', ,6 8 30 40 6 8λ µ λ µ λ µ λ µ− − = − ∈v v R , '= (1,5),astfel încât ( 1. Se observă că avem relaţiiledimU V ∩ =)2R = W +U = U W U = W ⊂∩ .
Întrucât di = 1, di , teorema Grassmann se verifică, având loc egalitateam W m U = 2
)dim()dim(2112dimdim W +U W U W U +∩=+=+=+ .
Corolar. Fie o baz ă a lui şi fie},...,,{ 21 neee=B V n
},1 ,{1
∑=
==′=n
i
iij j n jeceS (*)
o familie de n vectori din . Atunci următoarele afirma ţ ii sunt echivalente:V n
Algebr ă liniar ă 15
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 21/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
(i) S este baz ă a lui ;V n
(ii) , undedet 0C ≠, 1,
( )ij i j nC c
== este dată de relaţiile (*).
Rezultă că o familie S ⊂ reprezintă o bază a spaţiului dacă matriceaa familiei S relativ la o bază B oarecare a spaţiului este pătratică şi
nesingular ă.
V n
V n
)(][ ijcS = B
Exemplu. Vectorii determină o bază a spaţiului
vectorial V , deoarece
)}1,1(),1,1({ −===′ vuB
)}1,0(),0,1({ 21 === ee),(22 == L BBR
02],[det11
11 ≠−=≡−
vu .
4.7. Schimbarea bazei într-un spaţiu vectorial . V n
Fie şi două baze distincte în spaţiulvectorial . Atunci vectorii bazei se pot exprima relativ la baza B prin relaţiile:
},...,,{ 21 neee=B
n
},...,,{ 21 neee ′′′=′B
B′V
′ = ==∑e c e j
j ij ii
n
, ,11
n
)
e
e
. (**)
Fie ( , respectiv ( ' coordonatele unui vector arbitrar
în raport cu baza B respectiv , deci au loc descompunerile x respectiv
j . Folosind relaţiile existente între vectorii celor două baze, obţinem
...,x x n1
e
,..., ')x x n1
B′
n x V ∈
x i i
i
n
==∑1
x x j
j
n
= ′ ′=
∑1
x x c e c x j
j
n
ij ii
n
ij jj
n
i
n
i= ′
= ′
= = ==∑ ∑ ∑∑1 1 11
.
Din unicitatea descompunerii vectorului x în raport cu baza B, prin identificareacoeficienţilor, rezultă relaţiile
x c x ii ij
j
n
j= ′ =
=∑1
1, ,n. (***)
Notând coordonatele vectorului x relativ la cele două baze respectiv prin, relaţiile (**) se scriu condensat sub formă
matriceală
X x x x t
n= ( , ,..., )
1 2 ′ = ′ ′ ′X x x x t
n( , ,..., )
1 2
X CX = ′. (**)
Definiţii. a) Matricea pătratică n jiijcC
,1,)(][
==′=
BB
B′
unic determinată
de relaţiile (**), ale cărei coloane sunt coordonatele vectorilor bazei B în raport cu baza B, se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza .
′
b) Relaţiile (***) descriu transformarea coordonatelor vectorului x la oschimbare a bazei B în baza B .′
Exemple. 1. Să se determine coeficienţii polinomului
relativ la baza .
][1 22 t t p R ∈−=
}1,1,{2
−+=′ t t B
Cap.I. Spaţii vectoriale16
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 22/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 23/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Pe de altă parte, generează W , căci T fiind surjectivă, avem că pentru orice
, există o combinaţie liniar ă astfel încâtT , şi deci
. În concluzie n = dim = dim W = m.
)B(T
)(BT
m
mw W ∈
1
vwn
i
= ∑=
∑=
∈=n
i
niievv1
V
)(BT
wv =)(
)(eT ii ∈ m
""⇐ . Fie şi . Sistemele de coordonate şi ,asociate unor baze arbitrar fixate în V , respectiv W , produc izomorfismul
V V = n W W = n f n
n:V K → g n
n:W K →
n m
nn f g T W V →= − :1o ,
deci cele două spaţii vectoriale sunt izomorfe.
Exemplu. Spaţiile vectoriale , şi sunt izomorfe, având
toate dimensiunea 6.
)(32 R x M ][5 X R 6
R
#5. Spaţii vectoriale euclidiene
În cele ce urmează, vom adăuga la structura de spaţiu vectorial o nouă operaţiecu vectori - cea de produs scalar, cu ajutorul căreia vom puta defini:◊ lungimea unui vector,◊ unghiul format de doi vectori, ortogonalitatea a doi vectori,◊ proiecţia unui vector pe un alt vector sau pe un subspaţiu vectorial, etc.
5.1. Definiţii. a) Fie V un C-spaţiu vectorial. Se numeşte produs scalar
(complex), sau încă, produs scalar hermitic pe V , o funcţie care, pentru , are proprietăţileC→×>⋅⋅< V V :,
V ∈∀ wvu ,, , C∈∀k
♦ ><>=< vwwv ,, (hermiticitate)
♦ (aditivitate/distributivitate)><+>>=<+< wuvuwvu ,,,
♦ (omog. în primul argument)>>=<< wkvwvk ,,
♦ . (pozitivitate)00,;0, =⇔>=<≥>< vvvvv
b) Un spaţiu vectorial complex pe care s-a definit un produs scalar se numeşte
spa ţ iu vectorial euclidian complex.
Observaţie Din aceste proprietăţi decurg relaţiile
♦ ><>= wvk kwv ,< , ,
♦ < ,><+>>=<+ wvwuwvu ,,,
♦ < R >∈vv, ,
♦ < , ∀ ,00,,00,0 >=>=<>=< uu C∈∀∈ k u,v,w ,V
deci un produs scalar hermitic nu este în general omogen în al doilea argument, şi esteaditiv în ambele argumente.
Cap.I. Spaţii vectoriale18
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 24/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
Teoremă. În orice spa ţ iu euclidian complex V este satisf ăcut ă inegalitateaCauchy-Schwartz
V ∈∀><⋅><≤>< wvwwvvwv , ,,,,2
;
rela ţ ia devine egalitate dacă şi numai dacă v şi w sunt liniar dependen ţ i.
Demonstraţie. Dacă 0 sau , relaţia este evidentă. Fie deci v şi
fie un scalar arbitrar. Folosind pozitivitatea produsului scalar, avem
=v 0=w {0}\, V ∈w
C∈α
)(,0 ααα E wvwv :>=−−≤< ,
şi . Pentruwv E αα ⇔= 0)( =><
><=
ww
wv
,
,α obţinem deci
0,
,,)(
2
≥><
><−>=<
ww
wvvv E α ,
de unde rezultă inegalitatea. De asemenea, 0)(,,,2
=α⇔>><=<>< E wwvvwv
><>=<α wwwvw ,/,,
,
cu α fixat ca mai sus, deci avem ; reciproc, dacă
, avem
α=v
wαv =22
,, α>=><< wwvv22 ,,, ><=>α<=>< wvvvvv .
5.2. Vom considera în continuare cazul când V este un spaţiu vectorial real.
Definiţii. a) Fie V un spaţiu vectorial real. Se numeşte produs scalar (real ) pe
V , o funcţie
R →×>⋅⋅< V V :,
care pentru , are proprietăţileR ∈∀∈∀
k wvu ,,, V ♦ (simetrie)>>=<< vwwv ,,
♦ (aditivitate/distributivitate)><+>>=<+< wuvuwvu ,,,
♦ (omog. în primul argument)>>=<< wkvwvk ,,
♦ . (pozitivitate)00,;0, =⇔>=<≥>< vvvvv
b) Un spaţiu vectorial real pe care s-a definit un produs scalar se numeşte
spa ţ iu vectorial euclidian real.
Observaţie. Din aceste proprietăţi decurg relaţiile (temă, verificaţi):
♦ < ><>= wvk kwv ,,♦ < ><+>>=<+ wvwuwvu ,,,
♦ < , ∀ ,00,,00,0 >=>=<>=< uu R ∈∀∈ k wvu V,,,
deci un produs scalar real este omogen şi aditiv în ambele argumente.
Teoremă . În orice spa ţ iu euclidian real V este satisf ăcut ă inegalitateaCauchy-Schwartz
V ∈∀>><<≤>< wvwwvvwv , ,,,, 2 .
Rela ţ ia devine egalitate dacă şi numai dacă v şi w sunt liniar dependen ţ i.
Algebr ă liniar ă 19
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 25/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Exemple de spaţii vectoriale euclidiene.
1. Funcţia cu valori reale definită pe spaţiul vectorial V = prinnR
n
nnnn y y y y x x x x y x y x y x y x R ∈==∀+++>=< ),...,,(),,...,,(,..., 21212211
este un produs scalar pe , determinând o structur ă de spaţiu euclidian real pe .nR
nR
2. Spaţiul vectorial complex V = este un spaţiu vectorial euclidiancomplex în raport cu produsul scalar
n
C
n
nnnn y y y y x x x x y x y x y x y x C∈==∀+++>=< ),...,,(),,...,,(,..., 212122110
3. Spaţiul euclidian real V = C a al tuturor funcţiilor cu valori reale,
continue pe un interval , cu produsul scalar dat de
b[ , ]
[ , ]a b ∫>=<b
adx x g x f g f .)()(,
4. Spaţiul euclidian complex V = C al tuturor funcţiilor cu valori
complexe, continue pe un interval cu produsul scalar dat de
)],,([0Cba
[ , ],a b
∫>=<b
adx x g x f g f .)()(,
5. Spaţiul euclidian real V al şirurilor reale cu
proprietatea că ∑ este serie convergent ă, cu produsul scalar
R ⊂= ,...},...,{ 1 n x x x
xii
2
1=
∞
V ∈∀=>< ∑∞
=
y x y x y xi
ii ,,,1
.
6. Spaţiul euclidian complex V al şirurilor complexe
cu proprietatea că
C⊂= ,...},...,{ 1 n x x x
xii
2
1=
∞
∑ este serie convergent ă , cu produsul scalar
V ∈∀>=< ∑
∞
= y x y x y x
iii ,,, 1 .
7. Spaţiul euclidian real V al matricilor pătratice , cu produsul
scalar
)(R nn M ×
)(,),(, R nn
t M B A B ATr B A ×∈∀>=< ,
unde am notat prin Tr urma unei matrici pătratice C :)(C
)()(,)(,1,2211 R nnn jiijnn M cC cccC Tr ×= ∈=∀+++= K .
5.4. Definiţie. Fie V un K -spaţiu vectorial euclidian. Se numeşte normă pe V ,
o aplicaţie +→ R V: care satisface relaţiilev v≥ ∀ ∈0, V şi v v= ⇔ =0 0 (pozitivitate)kv k v v k = ∀ ∈ ∀ ∈, ,V K (omogenitate)v w v w v w+ ≤ + ∀ ∈, , V (inegalitatea triunghiului).
Inegalitatea triunghiului devine egalitate doar v şi w sunt coliniari şi de acelaşi sens.
Teoremă. Fie V un K -spa ţ iu vectorial euclidian. Func ţ ia +→ R V: ,
definită prin
V ∈∀><= vvvv ,,
Cap.I. Spaţii vectoriale20
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 26/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
este o normă pe V . Norma definită în teoremă se numeşte norma euclidiană. Astfel, orice spaţiu
vectorial euclidian este în particular spaţiu vectorial normat.
Demonstraţie. Presupunem că V este un spaţiu vectorial complex. Inegalitateaimplică ( , )v v ≥ 0 v ≥ 0
∀v
, cu egalitate dacă şi numai dacă v este vectorul nul. Avem,de asemenea, pentru :C∈∀∈ k ,V
vk vvk vvk vvk k kvkvkv =><=><=><=><= ,,,,2
.
Inegalitatea triunghiului se demonstrează astfel:
., ,)(2
,,,,,
222
2
V ∈∀+=++≤
≤><+><+><+>>=<++=<+
wvwvwwvv
wwwvwvvvwvwvwv
unde am ţinut seama de inegalitatea Cauchy-Schwarz ( , )v w v w≤ , şi de
inegalitatea V ∈∀><>≤<=><+>< wvwvwvwvwv ,,,2,Re2,, .
Exemplu. Norma euclidiană canonică a spaţiului R este dată de3
V ∈=∀++=><= ),,(,, 222 z y xv z y xvvv .
Definiţii. a) Un spaţiu vectorial normat în care norma provine dintr-un produsscalar se numeşte spa ţ iu prehilbertian.
b) Un spaţiu prehilbertian complet (în sensul că orice şir Cauchy de elementedin spaţiu este un şir convergent) se numeşte spa ţ iu Hilbert.
Observaţii. 1. Primele două proprietăţi ale normei asigur ă că orice element v
din V \{0} poate fi scris în forma v undev e= , e are proprietateav
v=1
e = 1 şi se
numeşte versorul asociat vectorului nenul v. În general, un vector e cu proprietateae = 1 se numeşte versor .
2. Fie V un spaţiu vectorial euclidian real. Pentru v w, \ { }∈V 0 , inegalitatea
Cauchy-Schwarz, ,, wvwv ≤>< se poate rescrie sub forma
1
,
1 ≤
><
≤− wv
wv
,
dublă inegalitate care justifică următoarea definiţie a unghiului format de doi vectori.
Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial euclidian real , şi v doi vectori nenulidin V . Se numeşte unghiul dintre vectorii v şi w, numărul definit de
egalitatea
w,θ ∈ [ , ]0 π
wv
wv ><=θ
,cos .
Se observă că în definiţie este esenţial să avem .R = K
Algebr ă liniar ă 21
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 27/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
5.5. Definiţie. Fie M o mulţime. Se numeşte distan ţă (metrică ) pe M , oaplicaţie d , care pentru ∀ satisface relaţiile( , ):⋅ ⋅ × → + M M R M ∈wvu ,,
vuvud vud =⇔=≥ 0),(;0),( (pozitivitate)(simetrie)),(),( uvd vud =
(inegalitatea triunghiului)),(),(),( vwd wud vud +≤În acest caz spunem că mulţimea M are o structur ă de spa ţ iu metric.
Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial normat. Atunci func ţ ia real ă
definit ă prind ( , ):⋅ ⋅ × → +V V R
V ∈∀−= vuvuvud ,,),(
este o distan ţă pe V . Deci orice spaţiu vectorial normat este un spaţiu metric.Dacă norma este
normă euclidiană, atunci distanţa definită cu ajutorul ei se numeşte distan ţă
euclidiană.
Exemplu. Fie P spaţiul euclidian real al funcţiilor polinomiale reale de gradcel mult doi înzestrat cu produsul scalar <⋅,⋅>: ,
2
R →× 22 P P
2221100 ,,22, P ∈∀++>=< q pbababaq p ,
pentru . Fie vectorii2210
2210 )(,)( xb xbb xq xa xaa x p ++=++=
22
42
322
1 2)(,1)(,1)(,3)( P x x p x x x p x x p x x p ∈=−+=−=+= .
Aflaţi un vector echidistant faţă de cei patru vectori şi calculaţi distanţa comună. p0
Soluţie. Fie aflăm coeficienţii din condiţia ca
distanţele de la acest polinom la celelalte patru, să coincidă,
p x a bx cx0
2( ) ;= + + a b c, ,
p p p p p p p p1 0 2 0 3 0 4 0− = − = − = − ;
obţinem (temă, verificaţi)15 / 26, 14 / 26, 23/ 26a b c= = = ,
deci . Distanţa cerută este prin urmare26/)231415( 20 x x p ++=
3 0 3 0 3 0
2 2 229
26 26 26 26
15 14 1262,d p p p p p p − + − + =
= − = < − − > =
.
#6. Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt
6.1. Definiţii. Fie V un spaţiu vectorial euclidian.a) Doi vectori din V se numesc ortogonali dacă produsul lor scalar este nul.
b) O submulţime se numeşte ortogonal ă dacă vectorii săi suntortogonali doi câte doi, adică
S ⊂V
v< wvS wvw ≠∈∀>= ,,,0, .
c) O mulţime ortogonală se numeşte ortonormat ă dacă fiecare element al săuare norma egală cu unitatea.
Cap.I. Spaţii vectoriale22
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 28/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Teoremă. Fie V un K -spa ţ iu euclidian şi S o submul ţ ime din V format ă din
vectori nenuli. Atunci au loc următoarele afirma ţ ii:
1) Dacă S este mul ţ ime ortogonal ă , atunci este liniar independent ă.
2) Dacă n iar S con ţ ine exact n vectori, atunci S este o baz ă a lui V .=V dim
Demonstraţie. 1) Dacă este mulţime ortogonală, iar{ }S ⊂V \ 0
0...2211 =+++ p pvk vk vk ,
o combinaţie liniar ă finită nulă de elemente din S. Aplicând acestei egalităţi de vectori produsul scalar cu v , rezultă j
p jvvk vvk vvk j p p j j ,1,0,...,, 2211 ∈>=<++><+>< .
S fiind ortogonală, cele p relaţii obţinute devin egalităţile p jvvk j j j ,1,0, ∈>=< .
Dar vectorii v j sunt nenuli, deci p j , ,∈ 1
p jvvv j j j ,1,0, ∈≠>=<
,de unde rezultă k j , şi deci mulţimea S este liniar independentă. p
n
j = ∈0 1, ,
2) rezultă imediat din prima afirmaţie şi din teorema 4.3.
Observaţie. În spaţiile vectoriale euclidiene este comod să se exprime vectoriiîn raport cu baze ortonormate. Faptul că o bază este
ortonormată se poate rescrie
B V = ⊂{ , ,..., }e e en1 2
≠
==>=<
ji
jiee ij ji pentru,0
pentru,1, δ , i j ,n, ,= 1
unde simbolul δ se numeşte simbolul lui Kronecker.ij
Exemplu. În spaţiul vectorial euclidean real V al funcţiilor reale,
continue, definite pe intervalul [ , înzestrat cu produsul scalar
],0[0 π= C
]0 π
∫π
>=<0
)()(, dx x g x f g f ,
consider ăm următoarea submulţime de funcţii trigonometrice S f , cu f f = { , , ,...}0 1 2
.}
, (
1,2sin)(,2cos)({}1)({ 2120 ≥==∪== − nnx x f nx x f x f S xn
Mulţimea S este ortogonală, căci temă, verificaţi).
Deoarece S nu conţine elementul nul al spaţiului (funcţia identic nulă),rezultă conform teoremei de mai sus că S este liniar independentă. Însă S nu esteortonormată, căci normele vectorilor săi sunt diferite de 1, anume:
N∈≠∀>=< ji ji f f ji . ,,0
C0 0[ , ]π
∈π==
π==
π===
∫
∫
∫
π
π
−
π
*,2/2sin
,2/2cos
,,
0
22
0
212
0000
Nnnxdx f
nxdx f
dx f f f
n
n
Algebr ă liniar ă 23
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 29/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Împăr ţind fiecare funcţie prin norma sa, obţinem mulţimea ortonormată de mai jos:,...},, 210 g g { g
*,2sin)(,2cos)(,)(221
2120 N∈===πππ
−nnx x g nx x g x g nn .
6.2. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi un vector w ∈V \ { }0 .
a) Se numeşte proiec ţ ia vectorului v pe w, vectorul∈V
www
wvv pr
w><
><=
,
,.
b) Se numeşte mărimea algebrică a proiec ţ iei lui v pe w, numărul real∈V
w
wvv pr w
><=
,,
unde norma este cea euclidiană asociată produsului scalar considerat.
Teoremă . Fie spa ţ iul vectorial euclidian . Fie o
baz ă pentru V şi . Au loc următoarele afirma ţ ii:
nV V = B = { , ,..., }e e en1 2
x x ei ii
n
= ∈=
∑1
V
1) Dacă B este baz ă ortogonal ă atunci niee
e x x
ii
ii ,1,
,
,=
><
><= .
2) Dacă B este baz ă ortonormat ă , atunci nie x x ii ,1,, =>=< .
Demonstraţie. 1) Orice vector x se descompune relativ la baza B, deci
. Înmulţind scalar această relaţie cu vectorul
n∈V
x x j j j
n=
=
∑1
e e i , obţinemni , ,= 1
niee
e x xee xee xe x
ii
ii
n
j
iiii j ji ,1,,
,,,,
1
=><
><=⇒><>=<>=< ∑
=
.
2) Dacă baza { } este ortonormată, atunci,
ei i n=1nie x xee iiii ,1,,1, =>=<⇒>=< .
Observaţie. În cazul al doilea din teoremă, orice vector admite
reprezentarea unică . Coordonatele
x n∈V
∑=
><=n
i
ii ee x x1
, ne x x ii ,,=< i 1, => ale
vectorului x reprezintă exact mărimile algebrice ale proiecţiilor vectorului x (pe scurt, proiec ţ ii) pe versorii e şi se numesc coordonate euclidiene.i
6.3. Teoremă. Fie este un spa ţ iu vectorial euclidian complex şi
este o baz ă ortonormat ă în V ; atunci
nV
B = { , ,..., }e e en1 2 n
1) produsul scalar a doi vectori are expresianV y x, ∈
∑=
>=<n
j
j j y x y x1
, , unde n je y ye x x j j j j ,1,,,, =>=<>=< ;
2) norma satisface rela ţ ia x x . j j
n
2
2
1=
=∑
Cap.I. Spaţii vectoriale24
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 30/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Demonstraţie. 1) Baza fiind ortonormată, avem ; fieij ji ee δ >=< ,
∑=
=n
j
j j e x x1
, .n
n
j
j je y y V ∈= ∑=1
Folosind proprietăţile produsului scalar, obţinem
∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑= = == == =
=>=<=>=<n
j
n
k
n
j
j j jk k j
n
j
n
k
k jk j
n
j
n
k
k k j j y x y xee y xe ye x y x1 1 11 11 1
,,, δ .
2) Înlocuind în expresia produsului scalar, rezultă relaţia. x y =
6.4. Definiţii. Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi S o submulţime a sa.
a) Un vector din V se numeşte ortogonal lui S dacă este ortogonal pe fiecareelement din S .
b) Mulţimea tuturor vectorilor ortogonali relativ la submulţimea S se numeşte “S
ortogonal” şi se notează cu S . Se observă că S este un subspaţiu vectorial al lui V ,
indiferent dacă S este sau nu un subspaţiu al lui V .
⊥ ⊥
c) În cazul când S este un subspaţiu vectorial, subspaţiul vectorial S se numeştecomplementul ortogonal al lui S .
⊥
Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial euclidian şi un subspa ţ iu
vectorial n- dimensional al lui V ; atunci:
nW W =
1) Are loc descompunerea în sumă direct ă .⊥⊕W W V =
2) Fie . Atunci vectorul v satisface rela ţ ia
(numit ă şi teorema Pitagora )V ∈v , ⊥⊥
⊕=∈+= W W V wwv
v w w2 2 2= + ⊥ . Vectorul w din descompunerea de mai sus se numeşte proiec ţ ia vectorului
pe subspa ţ iul al lui V . În cazul când subspaţiul este finit-dimensional, acesta estedat de suma proiecţiilor sale pe vectorii unei baze ortogonale a subspaţiului.
V ∈v
W
Demonstraţie. 1) Fie o bază ortonormată a lui W şi fie B = { , ,..., }e e en1 2 n
∑=
><=n
i
ii eevw1
,
proiecţia vectorului v pe subspaţiul W . Notând w v rezultă ∈V n w⊥= −
>=<−><=>< ⊥ wwwvww ,,,
=><><−><= ∑ ∑∑= ==
n
i
n
j
j jii
n
i
ii eeveeveevv1 11
,,,,
∑ ∑∑= = =
>=><><<−><=n
i
n
i
n
j
jiiii eeevevev1 1 1
2 ,,,,
∑ ∑∑= = =
=δ>><<−><=n
i
n
i
n
j
ij jii evevev1 1 1
2 0,,,
şi deci . Exprimarea unică arată că ⊥⊥∈W w ⊥
+= wwv ⊥⊕W W V = .
2) Teorema Pitagora rezultă din următoarele egalităţi:
Algebr ă liniar ă 25
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 31/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
>=++>=<=< ⊥⊥ wwwwvvv ,,2
22,,2, ⊥⊥⊥⊥ +>=<+><+>=< wwwwwwww .
Fie în continuareV
un spaţiu vectorial euclidian. Vom ar ăta că din oricemulţime liniar independentă de vectori S din V se poate construi o mulţime
ortonormată S ' (mulţime ortogonală ai cărei vectori au norma egală cu 1) care să
genereze L(S ). Această mulţime ortonormată rezultă prin normarea vectorilor unei
mulţimi ortogonale S ". Modul de obţinere al mulţimii ortogonale S ", cunoscut sub
numele de procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt , este descris în cele ce
urmează.
6.5. Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial euclidian de dimensiune n , iar
o baz ă a lui V . Atunci exist ă o baz ă care are
următoarele propriet ăţ i:
},...,,{ 21 nvvv=B },...,,{ 21 neee=′B
a) baza esteB′ ortonormat ă ;
b) mul ţ imile { , şi { , ... , }v v vk 1 2 , ,..., }e e e
k 1 2 genereaz ă acela şi subspa ţ iu vectorial
W V k k
L v v v L e e e= =({ , ,..., }) ({ , ,..., })1 2 1 2 k ⊂
pentru fiecare k n. ∈ 1,
Demonstraţie. Mai întâi construim o mulţime ortogonală ce
satisface proprietatea b), şi apoi îi normăm elementele. Mulţimea ortogonală
se construieşte din { în felul următor:
}
1
,...,,{ 21 nwww=′′B
{ , ,..., }w w wn1 2 , ,..., }v v vn1 2
♦ Se consider ă w v .1 1=♦ Se alege w v . Vectorul w nu este zero deoarece ind( B) ⇒ . Se
determină k din condiţia ca w să fie ortogonal lui w , adică
kw2 2= + 2 ind{ , }v v1 2
2 1
><
><−=⇒
><
><−=>⇒+>=<=<
11
12
11
1211212
,
,
,
,,,0
ww
wvk
ww
wvk wkwvww
de unde rezultă
222 1v pr vw
w−= .
♦ Vectorul w este luat de forma w v ; el este nenul deoarece ind( B)
ind{ . Scalarii k sunt determinaţi din condiţiile ca w să fie ortogonallui w şi lui w ,
3
,1 2
k w k w3 3 1 1 2= + + 2
2⇒
, }v v v
3
1 2
k 1 , 3
><
><−=
><
><−=
⇒
><+>>==<
><+>>=<=<
22
232
11
131
2222323
1111313
,
,
,
,
,,(,0
,,,0
ww
wvk
ww
wvk
wwk wvww
wwk wvww
şi deci 2
22
231
11
1333
,
,
,
,w
ww
wvw
ww
wvvw
><
><−
><
><−= , adică 3333 21
v pr v pr vwww −−= .
Repetăm procedeul până obţinem o mulţime de n vectori ortogonali
},...,,{ 21 nwww=′′ B .
Cap.I. Spaţii vectoriale26
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 32/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 33/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Observaţie. O simplificare considerabilă a calculului, care conduce la o bază ortogonală cu proprietăţi similare, şi în final la baza ortonormată , esteurmătoarea: după ortogonalizare, deci după determinarea celor trei vectori ai bazei
, aceştia pot fi înlocuiţi prin multipli convenabili ai lor. Acest fapt nu influenţează
rezultatul, deoarece au loc următoarele proprietăţi:
B ′′ B′
B′
1. R =∈∀∈∀>=<⇒>=< K V k vukvuvu n ,,,0,0, ;
2. R =∈∀∈∀= K V l k vuku pr nlvv ,,,, ,u pr kl
adică, pe scurt, pentru un sistem ortogonal dat, orice alt sistem format din multiplinenuli ai vectorilor acestuia este tot ortogonal.
În cazul nostru putem înlocui, spre exemplu, prin amplificările indicate:
−=→−−=
=→=
−=→−=
−⋅
⋅
−⋅
)1,3,1()11/4;11/12;11/4(
)3,2,3( )2/3;1;2/3(
)1,0,1( )1,0,1(
3)4/11(
3
22
2
1
)1(
1
ww
ww
ww
Observăm că sistemul B conduce la baza ortonormată
, ce satisface proprietăţile teoremei 8.1.
},,{ 321 www=′′
},,{ 321 eee −−=′B
6.6. Considerând cazul infinit dimensional, generalizăm teorema 6.5 astfel:
Teoremă. Fie B={ , o mul ţ ime finit ă sau infinit ă în spa ţ iul
vectorial euclidian V şi fie L subspa ţ iul generat de primii k vectori ai
acestei mul ţ imi.
,...}v v 1 2
⊂V
( ,...,v v k1
)
Atunci exist ă o mul ţ ime B astfel încât:V ⊂=′ ,...},{ 21 ww
1) vectorul w este ortogonal pe ,∀ ∈ k L v v v k
( , ,..., )1 2 1− k N
2) ,∀ ∈ L L { ,..., } { ,..., }w w v v k k1 1
= k N
3) vectorii w w cu propriet ăţ ile 1) şi 2) sunt unic determina ţ i, abstrac ţ ie1 2, ,...
f ăcând de sens (de o posibil ă amplificare cu -1).
Observaţie Vectorii w w din teoremă sunt determinaţi recursiv prin
relaţiile:
wk 1 2, ,...,
1,1 ,,1
11111 −=−== ∑=
+++ k r v pr vwvwr
i
r wr r i
pentru . Din mulţimea ortogonală se poate obţine mulţimea
ortonormată
k ∈ N { , ,...}w w1 2
,...
2
2,
1
1
w
w
w
w
, ai cărei vectori au proprietăţile 1) şi 2) din teoremă, şi
sunt unic determinaţi, abstracţie f ăcând de semn.
Cap.I. Spaţii vectoriale28
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 34/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Exerciţiu. Fie V spaţiul vectorial euclidian al funcţiilor polinomiale realedefinite pe intervalul [ , cu produsul scalar dat de, ]−11
V ∈∀>=< ∫−wvdt t wt vwv ,,)()(,
1
1.
Aplicaţi procedeul Gram-Schmidt bazei canonice v t .V B ⊂= ∈Nnnv }{ , t nn
n() ,= ∈ N
Soluţie. Aplicând acestei baze, procedeul Gram-Schmidt, obţinem baza
ortogonală B' formată din polinoamele Legendre,= ∈{ }w n n N
,...)1()!2(
!)(,...,
5
3)(,
3
1)(,)(,1)( 23
32
210n
n
n
n t dt
d
n
nt wt t t wt t wt t wt w −=−=−===
#7. Probleme propuse
1. Fie mulţimea pe care definim operaţiile3R
(i) =+ y x ,3332211 ,),,,( R ∈∀+++ y x y x y x y x
(ii) x y ,x y x y x y x y + = + + − ∀ ∈( , , ), ,1 1 2 2 3 3
3R
(iii) (=kx ,331 ,),,0, R R ∈∀∈∀ xk kxkx
(iv) (=kx .3321 ,),,, R R ∈∀∈∀ xk kxkxkx
a) Formează un spaţiu vectorial real faţă de operaţiile (i) şi (iii)?3R
b) Dar faţă de (i) şi (iv) ?c) Dar faţă de (ii) şi (iv) ?
R: a) nu; b) da; c) nu.
2. Determinaţi dacă mulţimile următoare reprezintă spaţii vectoriale cuoperaţiile de adunare a vectorilor şi înmulţire cu scalari descrise alăturat
a) ( ,),,2 ⊗⊕= R V
∈∀∈∀⋅=⊗
⊕
.)()(),0()(
)()()(2
2121121
22112121
R R λ , ,y y , ,x x , x λ ,x x λ
|+|y ,x+y x= ,y y ,x x
b) ),},4][{( R R V ⋅+=∈= p grad X p .
c) ),},2][{][2 R R R V ⋅+≤∈≡= p grad X p X ( .
d) ,),(:{),(( 2 f ba f f baC R V →== derivabilă de 2 ori, continuă }, , f ′′ ), R ⋅+
∈λ∀∈∀∈∀λ=λ
+=+
R V,,),,(),())((
)()())((
g f ba x x f x f
x g x f x g f
R: a) nu, b) nu, c) da, d) da.
3. a) Să se arate că mulţimea tuturor şirurilor convergente cu termeni din K ( ) formează un spaţiu vectorial peste K relativ la adunarea a două şiruri şi
înmulţirea dintre un număr şi un şir.
K ∈ { , }R C
b) Să se stabilească dacă mulţimea V a tuturor funcţiilor reale de clasă C pe
este spaţiu vectorial real în raport cu adunarea funcţiilor şi înmulţirea dintreun număr şi o funcţie, descrise prin
k
U R ⊂ n
Algebr ă liniar ă 29
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 35/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ), , ,
f g x f x g x
kf x kf x k f g
+ = +
= ∀ ∈ ∀ R V ∈
∈
c) Ar ătaţi că mulţimea V a funcţiilor integrabile pe , este
un spaţiu vectorial real în raport cu operaţiile descrise mai sus.
R ∈< baba ],,[
R: b) da.
4. Fie V un spaţiu vectorial real. Pe definim operaţiileV V × ( , ) ( , ) ( , )u v x y u x v y + = + +
( ) .( , ) ( , ),a ib u v au bv bu av a ib u v x y + = − + ∀ + ∈ ∀C, , , , V
Să se arate că este un spaţiu vectorial peste C (acest spaţiu se numeştecomplexificatul lui V şi îl notăm cu C ).
V V ×
V
5. Să se verifice care dintre următoarele submulţimi W reprezintă subspaţii
vectoriale în spaţiile vectoriale specificate :a) 2
2121 }0),{( R ⊂=−+= a x x x xW ,
b) W ,][][ 42 X X R R ⊂=
c) toate polinoamele cu coeficienţi reali în
nedeterminata X .
≡⊂= ][][3 X X W R R
d) ][}0)1()1(][{ X p p X R p R ⊂=−+∈=W
e) ][}1)0(][ X p X R p R ⊂=∈{W = .
R. a) da , b) da, c) da, d) da, e) nu.0=⇔ a
6. Să se stabilească dacă mulţimile][][{ X q X p A nn R R ∈∃∈= , a.î. }),2()12()( R ∈∀−+= xq xq x p
B p X p x p x x n
= ∈ = + ∀ ∈{ [ ] ( ) ( ) ,R R 3 72
}
]
sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial R al polinoamelor cu coeficienţi
reali, de grad cel mult n .n
X [
R: a) da, b) nu.
7. Consider ăm subspaţiile vectoriale V (unde este o familie arbitrar ă
de indici) ale spaţiului vectorial V .
Λ∈ii , Λ
Să se arate că este subspaţiu vectorial al lui V .ii
V Λ∈
∩
8. Fie un interval real şi mulţimile:R ⊂= ),( ba I
i) Mulţimea funcţiilor continue pe I , f I f I C R →= :{)(0 continuă pe I },
ii) Mulţimea funcţiilor diferenţiabile de clasă pe I ( ),k C *N∈k
f I f I C k R →= :{)( derivabilă de k ori pe I , cu continuă pe I },)(k f
iii) Mulţimea funcţiilor diferenţiabile de clasă pe I ,∞C
f I f I C R →=∞
:{)( derivabilă de k ori pe I , }.N∈∀ k
Cap.I. Spaţii vectoriale30
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 36/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Ar ătaţi că:a) C şi C formează spaţii vectoriale reale cu operaţiile)(),(0 I C I k )( I ∞
.),())((),()())(( I x x f x f x g x f x g f ∈∀λ=λ+=+
b) este subspaţiu vectorial în)( I C ∞ N∈∀k I C k ),( ;
c) este subspaţiu vectorial în)( I C k N∈≥∀ l k I C l ),( ;d) .)()( I C I C k
k N∈
∞ ∩=
9. Fie două familii de vectori. Ar ătaţi că:V S S ⊂′,
a) ;)(S LS ⊂
b) ;)()()( S LS LS LS ′⊂⇒′⊂
c) Dacă S este subspaţiu vectorial al lui V , atunci ;S S L =)(
d) ;W S L
W V W S
subsp.vec.
)(⊂⊂
= ∩
e) ;)()()( S LS LS S L ′+=′∪f) Dacă , atunci ;S S ′⊂ )()( S ind S ind ⇒′
g) Dacă , atunci .S S ′⊂ )()( S depS dep ′⇒
10. Să se cerceteze dacă vectorul este o combinaţie liniar ă
a vectorilor u u
4)3,0,2,1( R ∈−=v
u3
1 2 121− = −,,, ), ( ,1 2
39 4 2 230= − − =( ,, , ), ( , .,)
3R: da, v u .u u= − +
1 23 2
11. Să se determine dacă următoarele familii de vectori sunt dependente sau
independente liniar. În cazul dependenţei liniare indicaţi o relaţie de dependenţă .a) v ,3
321 )2,0,1(),1,1,1(),0,2,1( R ∈−−=== vv
b) ,][][3,1,1 22
32
21 X X x x p x x p x p R R ⊂∈++=+−=+=
c) , unde)(exp,, 321 R ∞∈=== C f sh f ch f
f f f C ,:{)( R R R →≡∞ derivabilă de oricâte ori pe R },
d) ,)(11
11,
00
00,
10
11,
20
0124321 R M mmmm ∈
=
=
=
=
e) )(},cos)({ R N ∞⊂∈== C n x x f f S n
nn .
R. a) , b) ,321321 2},,,{ vvvvvvdep += p p p p p pdep 213321 2},,,{ += c) , f f f f f f dep 213321 },,,{ +=
d) , e) ind .00100},,,,{ 43214321 =⋅+⋅+⋅+⋅ mmmmmmmmdep S
12. Să se stabilească care dintre următoarele submulţimi ale spaţiului vectorialsunt liniar dependente / liniar independente:C
∞( )R
S x x S e e chx S e xe x ex x x x n x = = =− −
{,cos ,cos }, ' { , , }, " { , ,..., }1 2 2 1
.
x 0
R: dep(S ): − ⋅ ; dep(S’ ): 1 1 ; ind(S”).− ⋅ + ⋅ =1 1 1 2 2 02
cos cosx 2⋅ + ⋅ − ⋅ =−e e x
x x ch
Algebr ă liniar ă 31
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 37/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 38/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
BW
=
−
1 0 00 0 0
0 0 11 0 0
0 0 30 1 0, , .
17. Dându-se subspaţiile W şi U generate respectiv de vectorii w ,, , să se arate că
aceste subspaţii sunt suplimentare şi să se găsească descompunerea vectorului pe aceste subspaţii.
1 23115= ( ,, ,)
)1,1,1,0(),2,5,1,1( 32 == ww
v = ( ,,,)2003
)2,6,2,5(),4,3,1,1(),2,3,1,2( 321 === uuu
R: v u .u w w = + + − + ∈ +( ) ( )1 2 1 2
U W
18. Fie S f o mulţime de funcţii.f f C n
= ⊂ ∞{ , ,..., } ( )
1 2 R
Se numeşte wronskianul funcţiilor , determinantulf f f n1 2
, ,...,
w S f i nj
i( ) det[ ], ,
( )= =−11 ,
unde am notat f f jj j
( ),
01= ∀ = n, . Să se arate că:
a) dacă dep(S ) atunci w(S )=0 (echivalent, );S S w ind0)( ⇒≠ b) reciproca proprietăţii a) nu este adevărată;
19. Se dau subspaţiile vectoriale U şi W ale lui . În situaţiile de mai jos, să se determine câte o bază în subspaţiile U , W , U , U şi să se verificerelaţia
3R
∩W + W
dim U + dim W = dim (U ) + dim (U ),W + W ∩
a) ,)})1,1,0,1(),1,1,1,3(),2,1,2,1(({ 321 −−==−−== f f f LU
421 )})3,7,2,1(),5,6,5,2(({ R ⊂−−−=−−== g g LW ,
b) ,)})1,1,1,1(),0,1,2,1(({ 21 −=== f f LU
421 )})1,3,1,1(),1,0,1,2(({ R ⊂−=−−== g g LW ,
c) ,)})1,1,10(),0,0,1,1(({ 21 === f f LU
421 )})0,1,1,0(),1,1,0,0(({ R ⊂=== g g LW ,
d) }02),,{( =−+= z y x z y xU ,
3321 )})2,2,3(),0,0,1(),1,1,1(({ R ⊂==== www LW ,
R . a) U , 3+2=3+2. },,{},,{, 12121 f g g g g ====∩ +W U U W B B BW W
b) ,
2+2=1+3. c) U ; subspaţiile U şi W sunt suplementare; 2+2=0+4. d) ,
},,{},,{},,{)},4,3,2,5({ 1111 g f u g u f uu ===−−−== +∩ W U W U W U B B B B
42121 },,{},,{},0{ R =+===∩ W U B BW W U g g f f
)},0,1,1(),1,0,2({ 21 vv =−=== V U
B B },{ 21 ww
)}1,1,1({;},,,{ 3212 ===+= ∩+ wwwv
W U W U BW U B R , 2+2=3+1.
20. Să se găsească o bază a sumei şi o bază a intersecţiei subspaţiilorvectoriale U = şi W = , undeL u u u({ , , }
1 2 3 ) )L w w w ({ , , }
1 2 3
).2,0,6(),0,1,0(),1,3,3(
);0,2,1(),1,1,1(),1,1,2(
321
321
==−=
−==−=
www
uuu
R. .};{},,{},,{12121
w Bwwuu === ∩W U W U B B )(},,,{ 3
221
R =+=+ W U W U
wuu B
Algebr ă liniar ă 33
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 39/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
21. Să se completeze familia F de mai jos la o bază a spaţiului vectorial
corespunzător . Verificaţi în prealabil liniar independenţa sistemului F a) 3
21 )}1,1,0(),1,1,1({ R ⊂−=== vv F
b) .][}1,{ 33
22
1 X x p x x p F R ⊂−=−==R. a) B , b) B .)}0,0,1(,,{ 3213 == vvv
R },,,{ 2
43
321][3 x p x p p p X ===
R
22. Să se arate că dacă sunt subspaţii vectoriale în V , atunci
are loc relaţia U .
V U U U ⊂321 ,,
321 )( U U U ∩+=321 )( U U ∩+
23. Ar ătaţi că , unde b arbitrar fixat, iarba
aC U U ⊕⊕=
∈)(]1,0[0
R ]1,0[∈
]}1,0[,)(]1,0[{ 0 ∈∀=∈= xa x f C f aU , }0)(]1,0[{ 0 =∈= b f C f bU .
24. Fie un polinom fixat. Ar ătaţi că }0{\][0 X p R ∈
}divide][{}grad][{][ 0 p p X pn p X p X R R R ∈⊕≤∈= .
25. Fie spaţiul vectorial real al polinoamelor în coV 5
sx care au cel mult
gradul 4. Să se scrie transformarea de coordonate care permite trecerea de la bazala baza B şi să se
găsească inversa acestei transformări.
{ }B = 1 2 3 4,cos ,cos cos ,cosx ,x x x 4
2 .
{ }′ = 1 2 3,cos ,cos , ,cosx x x x cos
R: , unde C ; matricea transformării inverse este
C -1 iar .
X CX =
X C '=
−−
−
=
80000
04000
8020003010
10101
X −1
26. Să se arate că următoarele familii de vectori B si B sunt baze în spaţiul
vectorial specificat şi să se determine matricea de trecere de la baza la B (notată ) şi coordonatele vectorului v (exprimat în baza canonică) relativ la baza
′ ′′
B′ ′′
BB ′′′C B′
3
1 2 3
31 2 3
a) { (1,0,1), (1,0, 1), (1,1,0)}
{ (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} ; ( 1,3,7)
f f f
g g g v
′ = = = − = ⊂
′′ = = = = ⊂ = −
B R
B R
2
1 2 3 2
2 2 21 2 3 2
b) { 1 , 1 , 1} [ ]
{ 1 , , 1 } [ ]; 1
q x q x q X
r x x r x r x X v x x
′ = = + = − = ⊂
′′ = = + + = = + ⊂ = − +
B R
B R
R: a) ; [ .],,[],,,[, 3213211 g g g C f f f C C C C =′′=′′′′= −
′′′BB)7,3,1(] 1 −⋅′= −
′t C v
B
b) ; [ .1
1 1 1 1 0 1
0 0 1 0
1 0 1 1
, 1 , 0
0 1
C C C C C −′ ′′
−
′ ′′ ′ ′′= = =
B B
)1,1,1(] 1 −⋅′= −′
t C vB
Cap.I. Spaţii vectoriale34
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 40/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
27. Fie spaţiul vectorial complex n -dimensional C şi fie trecerea în reala lui C . Ştiind că oricărui vector z din C îicorespunde vectorul ( din , să se stabilească vectorul din
care este asociat lui iz .
n
ib+2
RC
ibn +
n
n a ib a a n= +( , ,..., )1 1 2
)bn n
R nC
n
, ,..., , , ,a a a b b1 2 1 2 ..., R nC
R:
( ., ,..., , , ,..., )− − −b b b a a an n1 2 1 2
28. Să se arate că aplicaţiile definite prin formuleleR R R →× ][][:)(, X X nn
a) >=< p ,∑=
n
k
k k baq0
,
b) ∑ ∑∑= ==
∈==∀>=<n
k
n
n
k
k
k
k
k
n
k
k k X X bq X a pbak
q p0 00
][,,!
1, R ,
sunt respectiv produse scalare. Pentru n , să se calculeze unghiul dintre polinoamele p şi q faţă de produsul scalar (1), respectiv (2), unde
≥ 2
p X q X X n= − + = − + ∈3 4 2 3 32 2, [R X ].R: a) , b) .6, >=< q p 0, >=< q p
29. Determinaţi dacă următoarele operaţii reprezintă produse scalare:a) < 2
2211 ,,, R ∈∀+>= y x yax y x y x
b) .221 ,,, C∈∀>=< vuvuvu
R: a) , b) nu.0>⇔ ada
30. Să se verifice că următoarele operaţii determină produse scalare pe spaţiile
vectoriale specificate:
a) < 3332211 ,,, R ∈∀++>= y x y x y x y x y x
b) 22211 ,,, C∈∀+>=< y x y x y x y x
c) f ba f f baC g f dt t g t f g f b
a,],[:{],[,,)()(, 0
R →=∈∀>= ∫< continuă }
d) ]1,1[][,,)()(, 022
1
1−⊂≡∈∀>=< ∫−
C P X q pdt t qt pq p R
][,,, e)
22
2102
210
221100
X xq xqqq x p x p p p
q pq pq pq p
R ∈++=++=∀++>=<
f) , unde)(,),(, 2 R M B A B ATr B A t ∈∀>=<)()(,)( ,,1,11 R nn jiijnn M cC ccC Tr ∈=∀++= = KK
31. Folosind produsele scalare canonice din exerciţiul precedent, pentrufiecare din cazurile următoare să se calculeze:
♦ normele celor doi vectori;♦ pentru punctele a, c, d, e, f , unghiul celor doi vectori;
Algebr ă liniar ă 35
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 41/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
♦ determinaţi dacă cei doi vectori sunt ortogonali;♦ aflaţi proiecţia celui de-al doilea vector pe primul.
a) u .3)1,3,1(),1,2,1( R ∈−=−= v
b)2
)2,1(),,1( C∈−=+= iviiu .c) .]1,0[,;)(,)( 0C g f e x g e x f x x ∈== −
d) .221,1 P xq x p ∈−=+=
e) .][1,1 22 X xq x p R ∈−=+=
f) .)(11
01,
11
012 R M B A ∈
−
=
=
R . Temă: b,c,d,e,f. a) 4,,11,6 >=<== vuvu , deci u nu este ortogonal pe v;
[ ]
−=π∈=∠≡ϕ
3
2,
3
4,
3
2;,0
66
4arccos),( v pr vu u .
32. Ortonormaţi următoarele familii de vectori folosind produsele scalarecanonice (sau cele indicate, după caz) ale spaţiilor vectoriale considerate:
a) ,3321 })1,0,0(,)1,0,1(),0,1,1({ R ⊂==== vvv F
b) , unde][},1,1{ 22
32
21 x x x p x p x p F R ⊂+=−=+==
]1,1[][,,)()(, 022
1
1
−⊂≡∈∀>=< ∫−
C P xq pdt t qt pq p R
c) .3321 i)}i,(0,(1,1,-i),i,0,1),(1{ C⊂==+== vvv F
R. Temă. b,c). a) În urma ortogonalizării (Gram-Schmidt) şi normării familiei F ,rezultă baza ortonormată:
−=−==
3
1,
3
1,
3
1,
6
2,
6
1,
6
1,0,
2
1,
2
1321 g g g .
33. Aflaţi o familie ortonormată de soluţii ale sistemului liniar
=−−+
=+−−
02
03
v z y x
v z y x
.
R. Se rezolvă sistemul,se află o bază în spaţiul soluţiilor, se ortogonalizează şi apoi senormează această bază. Spre exemplu, o asemenea bază ortonormată este
)17,8,12,1(),1,2,0,1(498
1
6
121 =−= vv .
34. Completaţi următorul sistem de vectori la o bază ortogonală, verificând în prealabil că aceasta este formată din vectori ortogonali
321 })1,1,1(),1,1,2({ R ⊂−−=−== vv F .
R. .}{\))1,1,0((},,,{ 3321 0B =∈∀=′ v Lvvvv
Cap.I. Spaţii vectoriale36
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 42/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
35. Fie spaţiul vectorial euclidian real V cu produsul scalar dat de= C 0 0 4[ , ]
V ∈∀>=< ∫ g f dx x g x f g f ,,)()(,4
0.
a) Să se scrie inegalitatea lui Cauchy-Schwarz pentru acest produs scalar. b) Să se calculeze d f g ( , ) şi g , unde
f x g x x x
x x( ) , ( )
, [
, ( ,= =
∈
− ∈
10 2
2 2
, ]
].4
)
R: a) ( ) ;( )( f x g x x f x x g x x( ) ( )d ( )d ( )d 0
4
0
4
0
4∫ ∫ ∫≤2
2 2
b) d f . g g ( , ) / ; /= =2 13 3 4 3
36. Determinaţi proiecţia ortogonală v pr vW
=′ a vectorului v pe subspaţiul W
precum şi componenta sa ortogonală a vectorului relativ la subspaţiul W , în
fiecare din următoarele cazuri:
⊥v
a) v ;3
21 )}1,1,0(),0,1,0(({),2,0,1( R ⊂==== ww LW
b) ,)(),1,1,1( S LW v =−=
;3321 )}2,2,3(),0,1,1(),2,0,1({ R ⊂−==−== wwwS
c) v ;][})1,1({,1 22
21 x x p x p LW x pnot
R ⊂−=−==+==
d) 3}0),,{(),1,1,1( R ⊂=−+=−= z y x z y xW v ;
e) v .421 )}0,3,1,1(),1,1,1,2(({),2,2,2,5( R ⊂=−==−= ww LW
R . Temă: a,c. b) ,56/45)5/45;(-23/45;==′ v pr v
W
11/45)-10/9;-(68/45;=′−=⊥ vvv . d) W ,,)}0,1,1(),1,0,1({( −= L
)}1,2,1(),1,0,1({ 21, −−=== ww B W ortog , deci)0,0,0(21
=+=′ v pr v pr v ww
)1,1,1(, −==⊥ ⊥ vvW v . e) v .)4,1,1,2(,)(3,1,-1,-2 −===′ ⊥vv pr W
37. Determinaţi complementul ortogonal W al subspaţiului vectorial W ,
unde W .
⊥
421 )}1,1,1,1(),0,0,1,1(({ R ⊂−=== ww L
R. W .)}1,1,0,0(),0,2,1,1({( −−=⊥ L
38. Se dă familia de vectori B = { , din spaţiul vectorial euclidian
canonic cu trei dimensiuni R , }v v v1 2 3
1 22 0= =, ), (3, unde v v .v31 0 1 1 11 0− = −( , , , ), ( , , )
a) Ar ătaţi că B este o bază a spaţiului R 3 . b) Să se ortonormeze baza B.
R: b) Se obţine baza ortonormată
′′′=′
−=′
−=′=′
11
2,
22
3,
22
33,
11
3,
11
1,
11
12,0,
2
1,
2
11},,,{ 321 eeeeeeB .
Algebr ă liniar ă 37
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 43/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
39. Fie spaţiul vectorial euclidian V al funcţiilor polinomiale definite pe
intervalul [ , cu produsul scalar definit prin aplicaţia,−11]
∫−>=<1
1d)()(, x xq x pq p .
Ortogonalizând mulţimea S x x x
n
= { , , ,..., ,...}1 2
se obţine familia a polinoamelorLegendre. Să se afle primele cinci polinoame ale acestei familii.
S ′
R: S x x x x x x x x x ′⊂
+−+−−−21
5
9
10,
35
3
7
6,
5
3,
3
1,,1 352432 .
40. Fie V un spaţiu vectorial euclidean real şi doi vectori . Să se
verifice următoarele proprietăţi:
V ∈ y x,
a)222
y x y x y x +=+⇔⊥ ,
b) )()( y x y x y x −⊥+⇒= .
c)2222
2 y x y x y x +=−++ .
41. Fie V un spaţiu vectorial euclidean complex şi doi vectori . Să se
verifice următoarele proprietăţi:
V ∈ y x,
a) C∈∀+=+⇔⊥ babyaxbyax y x ,,222
,
b)2222
,4 iy xiiy xi y x y x y x −−++−−+>=< .
42. Fie V un spaţiu vectorial euclidean real şi o familie de
vectori. Să se arate că:
V ⊂},{ 1 nvv …
a) Dacă reprezintă familia obţinută din { în urma
aplicării procesului de ortogonalizare Gram-Schmidt, atunci au loc relaţiile
V ⊂},{ 1 nww … },1 nvv …
niwv ii ,1, =∀≥ ;
b) Au loc relaţiile şi),(),( 11 nn wwGvvG …… =22
11 ),( nn vvvvG ⋅⋅≤ …… ,
unde prinn ji ji vv
,1,),(
=><nvv1 det),( =…
},1 nvv …
G am notat determinantul Gram al familiei
de vectori { .R. a) Pentru i , avem1= 1111 wvw =⇒=
iW ii v pr w +=
v . Pentru i , se aplică teorema lui
Pitagora vectorului sumă v , unde W .
2≥
, 1−iw… )( 1= w L
b) Pentru prima relaţie, se demonstrează succesiv egalităţile
),(),,,(),,,(),,,( 1321321321 nnnn wwGvvwwGvvvwGvvvvG …………… ==== ,
folosind operaţii cu determinanţi şi expresiile care leagă cele două familii de vectori.
Pentru a doua relaţie, aplicăm punctul a) şi prima relaţie, observând că
22
1111 )),,,,(det(),( nnnn wwwwwwdiag wwG ⋅⋅=><><= ……… .
Cap.I. Spaţii vectoriale38
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 44/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
CAPITOLUL 2
TRANSFORMĂRI LINIARE
#1.Transformări liniare
1.1. Definiţii. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste corpul K .a) Se numeşte transformare liniar ă de la V la W (sau încă, operator liniar sau
morfism de spa ţ ii vectoriale), o funcţie care satisface proprietăţileW V →:T
V,∈∀+=+ y x yT xT y xT ,),()()( (1)(2)V K ∈∀∈∀= xk xkT kxT ,),()(
b) Se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale, orice transformare liniar ă bijectivă.c) Se numeşte endomorfism al spa ţ iului liniar V ,orice aplicaţie liniar ă V V →:T .
d) Se numeşte automorfism al spa ţ iului liniar V ,orice endomorfism bijectiv.e) Se numeşte formă liniar ă, o transformare liniar ă (unde este
considerat ca spaţiu vectorial cu o dimensiune peste K ).
K V →:T 1 K K =
Observaţie. Cele două condiţii, (1) şi (2), din definiţia unei transformări
liniare sunt echivalente cu condiţia. (3)V K ∈∀∈∀+=+ y xl k ylT xkT lykxT ,,,),()()(
Într-adevăr, dacă este liniar ă, atunci conform definiţiei avemW V →:T
V K ∈∀∈∀+=+=+ y xl k ylT xkT lyT kxT lykxT ,,,),()()()()( .
Reciproc, condiţia (3), pentru 1 implică (1), iar pentru implică (2).k l = = l = 0
Notaţii.
♦ Vom nota prin mulţimea tuturor transformărilor liniare definite pe V cu
valori în W .
)( W V, L
♦ Vom nota prin mulţimea endomorfismelor spaţiului vectorial V .)(V End
♦ Vom nota prin mulţimea automorfismelor spaţiului vectorial V .)(V Aut
♦ Uneori în loc de vom scrie, pe scurt, .)( xT Tx
Exemple de transformări liniare.
1. Aplicaţia , unde a∈R , este liniar ă.ax xT LT =∈ )(),,( R R
2. Aplicaţia nulă, este transformare liniar ă.V W V ∈∀=∈ x xT , LT ,0)(),(
3. Aplicaţia de incluziune unde U este subspaţiu
vectorial în V (privit ca spaţiu vectorial cu structura indusă din V ), este aplicaţieliniar ă. Ca un caz particular, aplicaţia identitate
U V U ∈∀=∈ x x xT LT ,)(,),( ,
V V ∈∀=∈ x x x J End J ,)(),( ,
este aplicaţie liniar ă.
Algebr ă liniar ă 39
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 45/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
4. Aplicaţia , unde matricea
A∈ M
n
n
t mn x x x Ax xT LT R R R ∈=∀=∈ ),,(,)(),,( 1 K
m× n(R ) este dată, este o transformare liniar ă. Spre exemplu, pentru m=2, n=3,aplicaţia
)3,,2(),(),,( 21212132 x x x x x xT LT +−=∈ R R
este de această formă,
)3,,2(),( 212121
3
2
1
2
1
13
10
02
x x x x x xT t
x
x
x
x
x+−=
= =− ,
abstracţie f ăcând de transpunerea vectorului imagine. T este transformare liniar ă,deoarece avem
221212121
21212121
22112211
22112121
),(),,( ),,(),(
)3,,2()3,,2(
))(3),(),(2(
),()),(),((
R ∈∀+=
=+−++−=
=++++−+=
=++=+
y y x x y yT x xT
y y y y x x x x
y x y x y x y x
y x y xT y y x xT
.),(),,(
)3,,2(
)3,,2(
),()),((
22121
2121
2121
2121
R R ∈∀∈∀=
=+−=
=+−=
==
x xk x xkT
x x x xk
kxkxkxkx
kxkxT x xk T
,
5. Aplicaţia , este liniar ă.),(,)()),,(),,(( 101 baC f f f T baC baC LT ∈∀′=∈
6. Aplicaţia , este liniar ă.],[,)()(),],,[( 00 baC f dt t f f T baC LT b
a∈∀=∈ ∫R
7. Aplicaţia T , este liniar ă.)(,)()),(),(( K K K nm
t
mnnm M A A AT M M L ××× ∈∀=∈
1.2. Teoremă. Orice transformare liniar ă are următoarele
propriet ăţ i:
),( W V LT ∈
1) .0)0( =T
2) Dacă U este un subspa ţ iu vectorial al lui V , atunci T este un subspa ţ iu
vectorial al lui W .
)(U
3) Dacă vectorii sunt liniar dependen ţ i, atunci şi vectorii x x xn1 2, , ... , ∈V
sunt de asemenea liniar dependen ţ i.W ∈)(),...,(),( 21 n xT xT xT
4) Da ţ i fiind vectorii x x , dacă vectorii suntliniar independen ţ i, atunci şi vectorii sunt liniar independen ţ i.
xn1 2, , ... , ∈V W ∈)(),...,(),( 21 n xT xT xT n x x x ,...,, 21
Demonstraţie. 1) Avem .0)0()0()0()00()0( =⇒+=+= T T T T T
2) Fie u şi k l . Atunci avemV U ∈∈== y xT yT v xT ,cu),()(),( , , ∈ K
)()()()( U T lykxT ylT xkT lvku ∈+=+=+ deci este un subspaţiu vectorial al lui W . 3) Aplicând transformarea T unei
relaţii de dependenţă şi folosind proprietatea de liniaritate
(3) a transformarii T , rezultă relaţia de dependenţă
)(U T
k x k x k xn n1 1 2 2 0+ + + =...V
W 0)(...)()( 2211 =+++nn xT k xT k xT k .
Cap.II. Transformări liniare40
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 46/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
4) Procedând ca în cazul 3., rezultă anularea coeficienţilor , deci
independenţa vectorilor . nk k k ,...,, 21
n x x x ,...,, 21
1.3. Observaţie. Dacă V şi W sunt două spaţii vectoriale peste corpul K ,
putem defini adunarea şi înmul ţ irea cu scalari pe mulţimea de transformăriliniare , ca şi în cazul spaţiilor vectoriale care au funcţii drept vectori. Maiexact, pentru , avem
)( W V, L
S,T K W V, ∈∈ k L ),(
∈∀=
+=
.),())((
),()())((
V x xkS xkS
xT xS xS+T
În raport cu aceste operaţii mulţimea este un spaţiu vectorial peste corpul K .Spaţiul vectorial se numeşte dualul lui V , iar vectorii săi se numesc forme
liniare definite pe V cu valori în corpul K .
)( W V, L
)( K V, L
1.4. Teoremă. Fie şi W două spa ţ ii vectoriale peste corpul K , fieo baz ă a lui , iar w w o familie de vectori din W .
V n
V B = { , ,..., }e e en1 2 n wn1 2, ,...,
1) Exist ă o unică transformare astfel încât),( W V n LT ∈ niwe ii ,1,)( ==T .
2) Dacă avem ind{w w }, atunci aceast ă transformare este injectivă.wn1 2, ,...,
Demonstraţie. 1) Fie x x . Asocierea
defineşte o funcţie , cu proprietatea
ei ii
n
n= ∈=∑
1
V
W →
W V ∈=→∈ ∑=
n
i
ii w x xT x1
)(
V nT : niwi ,1, ==eT i )( . Asocierea T este
o transformare liniar ă, deoarece pentru
∑∑∑===
∈+=+∈∈==n
i
niiin
n
i
ii
n
i
ii elykxlykxl k e y ye x x111
)(,,,, V K V ,
obţinem .∑ ∑ ∑= = =
+=+=+=+n
i
n
i
n
i
iiiiiii ylT xkT w yl w xk wlykxlykxT 1 1 1
)()()()(
Pentru a verifica unicitatea transformării liniare T astfel determinate,
fie satisf ăcând de asemenea relaţiile)( W ,V n LS ∈ niweS ii ,1,)( == .
Atunci, pentru orice x x , avemei ii
n
n= ∈=∑
1
V
)
∈
()()()()()(1111
xT e xT eT xeS xe xS xS
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii ===== ∑∑∑∑ ====
2) Fie . Folosind relaţiile x x e y y ei ii
n
i ii
n
n= == =∑ ∑
1 1
, V niweT ii ,1,)( == şi liniar
independenţa vectorilor w w , avemwn1 2, ,...,
y xni y xw y x yT xT ii
n
i
iii =⇒==⇒=−⇒= ∑=
,1,0)()()(1
.
Observaţii. 1. Compunerea a două transformări liniare, definită ca şi în cazulfuncţiilor obişnuite, se numeşte înmul ţ ire (produs) şi produce tot o transformare
liniar ă. Evident compunerea nu este în general comutativă, dar este asociativă.
Algebr ă liniar ă 41
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 47/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
2. Fie A,B,C transformări liniare . Dacă au sens A+B, AC şi BC , atunci K ∈∀ l k lBC kAC C lBkA ,,)( +=+ ,
iar dacă au sens A+B, CA şi CB, atunci K ∈∀ l k lCBkCAlBkAC ,)( ,+=+ .
3. Fie . Puterile naturale ale lui T
se definesc inductiv:)(V
End T ∈ 1,10 ≥== − nTT T J T nn, ,
unde J este transformarea identică.4. Fie o transformare liniar ă bijectivă (inversabil ă ). Atunci
inversa este tot o transformare liniar ă.
),( V U LT ∈
),( U V L1T ∈−
Într-adevăr, pentru , obţinem2211 , TvwTvw ==
21
11
21211
211
211 )()()( wlT wkT lvkvlvkvT T lTvkTvT lwkwT −−−−− +=+=+=+=+ .
5. Dacă şi sunt transformări liniare bijective,
atunci
) )( W V , LS ∈,( V U LT ∈
♦ este o transformare liniar ă bijectivă;),( W U LT S ∈o
♦ are loc relaţia .111)( −−− = S T T S oo
#2. Nucleul şi imaginea unei transformări liniare
Fie V şi W două K -spaţii vectoriale şi ) . Vom studia în cele ce
urmează
( W V, LT ∈
• mulţimea soluţiilor ecuaţiei şiV ∈= x xT ,0)(
• mulţimea valorilor transformării, })({ V W ∈∈= x xT y .
•0W
→(T ) →
W V
Im T
Ker T
2.1. Definiţii. a) Se numeşte nucleul transformării liniare ,)( W V, LT ∈
mulţimea { } V V ⊂=∈= 0)(, xT x x KerT .
b) Se numeşte imaginea lui V prin T (sau imaginea transformării liniare T ),
mulţimea .W V ⊂= )(T T Im
Cap.II. Transformări liniare42
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 48/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
2.2. Teoremă. Fie o transformare liniar ă. )( W V, LT ∈
1) Nucleul transformării T este un subspa ţ iu vectorial al lui V .
2) Imaginea lui V prin T este un subspa ţ iu vectorial al lui W.
3) Solu ţ ia general ă a ecua ţ iei (pentru w arbitrar fixat în ImT ⊂W ),
este suma dintre solu ţ ia general ă a ecua ţ iei şi o solu ţ ie particular ă aecua ţ iei .
wvT =)(
0)( =vT wvT =)(
Demonstraţie. 1.Avem . Liniaritatea lui T implică 0)()(Ker , ==⇒∈ yT xT T y x
,0)( =+ lykxT .⇒∈∀ K l k , K ∈∀∈+ l k KerT lykx ,,
2. Se aplică teorema 1.2, punctul 2, pentru U = V .
3. Se arată prin dublă incluziune că T −1(w)= Ker T+{v0}, unde v0 este o soluţie arbitrar ă
fixată a ecuaţiei . wvT =)(
Exemplu. Pentru T obţinem)3,,2(),(, 212121
32
x x x x x xT +−=→ R R :)}0,0{()}0,0,0()3,,2(),{( 2121
2
21 ==+−∈= x x x x x xT R Ker ,
==+−∈∃∈= )},,()3,,2(,),(),,{(Im 3212121
2
21
3
321 y y y x x x x x x y y yT R R
=
∈
+==−−∈= R R 3232
32321
3
321 ,,,3
22}0223),,{( y y y y
y y y y y y y y
{ } { }( ) .)1,0;3/2(),0,1;3/2(,)1,0;3/2()0,1;3/2( 3
3232 R R ⊂=∈+= L y y y y
Se observă că T este injectivă (temă, verificaţi), dar nu este surjectivă.
2.3. Teoremă. Dacă este o transformare liniar ă , atunci
următoarele afirma ţ ii sunt echivalente.
)( W V, LT ∈
(i) T este injectivă.
(ii) Aplica ţ ia T supusă restric ţ iei de codomeniu este inversabil ă.)(: V V T T →
(iii) .}0{= KerT
Demonstraţie. Echivalenţa dintre (i) şi (ii) este evidentă. Ar ătăm că (i) este
echivalentă cu (iii). Fie . Avem}0{= KerT
y x y xT y x
y xT yT xT yT xT
=⇒=−⇒=∈−⇒
⇒=−⇒=−⇒=
0}0{Ker
0)(0)()()()(
deci T este injectivă, şi astfel (iii) ⇒ (i). Reciproc, presupunem (i), deci că T este
injectivă. Atunci ceea ce implică
. Cum T , deci incluziunea inversa are loc, rezultă
proprietatea (iii).
0)0()(0)(inj
=⇒=⇔=⇔∈ xT xT xT KerT xT
KerT ∈⇒= 00)0(}0{Ker ⊂T
Observaţie. Nucleul şi imaginea unei transformări liniare nu determină
transformarea liniar ă. Spre exemplu, orice automorfism are nucleul nul,
(fiind injectiv) iar imaginea sa este întregul spaţiu vectorial
(fiind surjectiv).
)(V Aut T ∈
}0{= KerT V =T Im
Algebr ă liniar ă 43
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 49/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Definiţii . a) Dimensiunea nucleului lui T se numeşte defectul lui T .
b) Dimensiunea imaginii lui V prin transformarea liniar ă T se numeşte rangul lui T .
2.4. Teoremă (teorema rangului pentru transformări liniare).
Dacă V , W sunt spa ţ ii vectoriale, spa ţ iul vectorial V este finit dimensional şi , atunci şi spa ţ iul vectorial este finit dimensional şi are loc rela ţ ia)( W V, LT ∈ T Im
V dimImdimKer dim =+ T T .
Deci suma dintre defectul şi rangul transformării T este egal ă cu dimensiunea
domeniului.
Demonstraţie. Fie n şi . Dacă , atunci
, deci T injectivă ⇒ aplicaţia este
inversabilă, deci izomorfism de spaţii vectoriale ⇒ dim ImT = dim V , care este exact
relaţia dorită, căci . Dacă , alegem o bază { în , pe
care o extindem la o bază B = { a întregului spaţiu vectorial V .
Pentru orice există un x x astfel încât ; cum însă
, rezultă
= dimV
}0{=T
0Ker =T
nT p ≤= Kerdim
p ≥ 1
, ,..., }e e p p n1+
ei i= ∈V 1
p = 0
T →
}e
)( x
⇒= 0Kerdim T
y ∈
)(...)( 1 == peT eT
Ker
dim
T Im
0=
)(: V V T
..., p
T Ker
T =
,e1
y
,...,
i
e e1
n
=∑
∑∑=
++ ++==
==
n
i
nn p piiii eT xeT xeT xe xT xT y1
11 )(...)()()(n
1=i
.
Deci generează pe . Aceşti vectori sunt liniar independenţi,
deoarece avem , de unde
; deci
)(),...,( 1 n p eT eT +
(1+ p T k
ek nn p Ker...1 ∈+++
T Im
)( =ne 0)...(0...) 111 =++⇒++ +++ nn p pn p ek ek T T k e
T ek p 1+
0............ 11111111 =−−−++⇒++=++ ++++ p pnn p p p pnn p p ek ek ek ek ek ek ek ek ;
folosind liniar independenţa bazei din V rezultă k k .k k p p n1 1 0= = = = = =+... ...
Deci este bază în , spaţiul vectorial este finit
dimensional (cu dimensiunea n- p) şi avem relaţia: dim Im T = dim V − dim Ker T .
)}(),...,({ 1 n p eT eT + T Im T Im
Exerciţiu. Determinaţi nucleul şi imaginea endomorfismului ,33: R R →T
),,(),363,242,2()( 321321321321 x x x x x x x x x x x x x xT =−+−+−+= .
Soluţie. Pentru a determina nucleul, rezolvăm sistemul liniar ;
aceasta se reduce la ecuaţia , şi deci vectorii sunt de forma
0)( = xT
02 321 =−+ x x x T x Ker∈
x x x x x x x= + = +( , , ) ( , , ) ( , ,1 2 1 2 1 22 1 0 1 0 1 2) .
Vectorii e şi e sunt liniar independenţi şi generează pe Ker T , deci
aceştia determină o bază în . Spaţiul este generat de
vectorii , linear dependenţi, din
care extragem - folosind teorema privind rangul matricii unui sistem de vectori,
baza , şi deci dim Im = 1. Dimensiunile nucleului şi
imaginii satisfac relaţia din teoremă: (2+1=3).
1 1 0 1= ( , , )
()({ 1 =eT
({ == T wT
2 0 1 2= ( , , )
T Ker
)(),3,2 2 =eT
)}3,2,1(=
2dim =⇒ T Ker
,1()(),6,4,2( 3 −−=eT
T
dimdim +T Ker
T Im
3
dim R
)}3,2,1 −
)1e
Im =T
B Im
Cap.II. Transformări liniare44
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 50/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
2.5. Teoremă. Fie , . Atunci următoarele afirma ţ ii
sunt echivalente.
)( W V, LT ∈ dim V = n
(i) T este injectivă.
(ii) Dacă e e ( p ≤ n) este o familie de vectori liniar independent ă , p1 ,..., ∈V atunci şi familia de este liniar independent ă.W V ⊂∈ )()(),...,( 1 T eT eT p
(iii) .nT =)(dim V
(iv) Dacă { , este baz ă pentru V , atunci ste... , }e en1 )}(),...,({ 1 neT eT e
baz ă pentru )(V T .
Demonstraţie. Demonstr ăm echivalenţele ciclic: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i).
(i)⇒(ii). Fie T injectivă şi { astfel încât să avem ind(S ). AtunciS e e p= 1 , ... , } V ⊂
0)...(,1,,0)(...)( 1111 =++⇒=∈=++ p pi p p ek ek T pik eT k eT k K ,
deci, conform teoremei 2.3,
0...0...}0{Ker... 11111 ===⇒=++⇒=∈++ p p p p p k k ek ek T ek ek .
(ii)⇒(iii). Fie (ii) adevărată ∀ ≤ şi fie B={ o bază în V ; deoarece ind{ B},
pentru p = n rezultă ind , deci ; pe de altă parte din
teorema 2.4 avem , deci , deci (iii).
p
),...,( 1e
n≤
n , ... , }e en1
T dim
n=)(V
)}({ neT T
)V dim
n≥)(V
T (dim T
(iii)⇒(iv). Fie (iii) şi = o bază în V . Pentru orice există
astfel încât ; deci .
B { , ..., }e en1
== xT y )(
)(y V T ∈
(),...,( 1 eT e x x ei ii
n
= ∈=∑ V
1∑
=
n
i
ii eT x1
)( )}){()( nT LT =V
Cum însă , rezultă că este o bază a lui T , deci(iv). (iv)⇒(i). Fie (iv), deci dim ImT = dim V = n; folosind relaţia din teorema 2.4
rezultă dim KerT =0, deci conform teoremei 2.3, T este injectivă, deci (i).
nT =)(dim
V )}(),...,({ 1 neT eT )(
V
Observaţie. Coloanele matricii sunt formate din coeficienţii
vectorilor care generează subspaţiul ImT .
)](),...,([ 1 neT eT
2.6. Teoremă. Fie transformarea liniar ă T :V n → W n , între spa ţ ii vectoriale
de aceea şi dimensiune. Atunci următoarele afirma ţ ii sunt echivalente:
(i) T este injectivă;(ii) T este surjectivă;
(iii) T este bijectivă.
Demonstraţie. Evident (iii)⇒(i), (iii)⇒(ii). Ar ătăm (i)⇒(iii). T este injectivă ⇒
0 ; cu teorema 2.4, rezultă
Dar , deci , adică T este şi surjectivă. Ar ătăm (ii)⇒(iii). T este
surjectivă ⇒ deci ; cu teorema 2.4,
rezultă , deci cu teorema 2.3, T este şi injectivă.
⇒= }0{Ker T
nW ⊂T Im
Kerdim T
Kerdim =T
nT W =Im
nW =T Im ,
{Ker0 =⇒ T
nT =Imdim .
nnT V dimImdim ==
}0=
Algebr ă liniar ă 45
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 51/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Observaţie. Teorema este aplicabilă şi în cazul particular al endomorfismelor pe spaţii vectoriale finit dimensionale. În acest caz, se observă că un endomorfismeste bijectiv (deci este automorfism, deci inversabil) dacă şi numai dacă matricea sarelativ la o bază a spaţiului V este pătratică (deci W ) şi nesingular ă.n nn V =
Exemplu. Fie transformarea liniar ă ,33: R R →T
3321133221 ),,(),,,()( R ∈=+++= x x x x x x x x x x xT .
Vom ar ăta că această transformare este bijectivă, şi îi vom calcula inversa.Într-adevăr, T fiind endomorfism iar spaţiul vectorial fiind finit-
dimensional, este suficient să ar ătăm că T este injectivă. Ecuaţia este
echivalentă cu sistemul liniar şi omogen
3R
T 0)( = x
x x
x x
x x
x
x
x
x
1 2
2 3
3 1
1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
+ =
+ =
+ =
⇔
=
=
=
⇔ = .
Deci , T injectivă. Conform teoremei 2.6, T rezultă bijectivă, deci
inversabilă. Putem determina acest lucru altfel , folosind observaţia de mai sus, şiconstatarea (verificaţi !) că matricea transformării este nesingular ă,
}0{Ker =T
.02det,][101
110
011
≠=
== AT A
B
Se observă că surjectivitatea transformării T asigur ă existenţa unei soluţii pentrusistemul , iar injectivitatea asigur ă unicitatea acestei soluţii. Pentru adetermina transformarea inversă rezolvăm ecuaţia , unde
, echivalentă cu sistemul liniar
y xT =)(
y y, )3
3
R
y xT =)(
y y= ( ,1 2 ∈
x x y
x x y
x x y
x y y y
x y y y
x y y y
1 2 1
2 3 2
3 1 3
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
2
2
2
+ =
+ =
+ =
⇔
= − +
= + −
= − + +
( )
( )
( )
/
/
/
,
deci .( )2/)(,2/)(,2/)()( 3213213211 y y y y y y y y y xT ++−−++−=−
#3. Matricea unei transformări liniare
Fie şi două K -spaţii vectoriale de dimensiune n respectiv m, şi fieo transformare liniar ă. Dacă B={ , este o bază fixată a lui
, iar B’={ este o bază fixată a lui W , atunci avem descompunerile
V n
mW
W m
,...,
),( LT V n
∈
V n ,w w
,..., }v v vn1 2
m}wm1 2
n jwt vT m
i
iij j ,1,)(1
== ∑=
. (1)
Coeficienţiin jmiijt
,1,,1)(
== definesc o matrice unică )()(
,1,,1 K nmn jmiij M t A ×==
∈= cu
elemente din K . Vectorii imagine determină unic transformarea liniar ă T ,
şi prin urmare, considerând fixate bazele B şi B ', matricea A determină unic
transformarea liniar ă T .
m jvT W ∈)(
Cap.II. Transformări liniare46
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 52/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Definiţie. Matricea A ai cărei coeficienţi sunt daţi de relaţia (1) se numeştematricea asociat ă transformării liniare T în raport cu perechea de baze considerate.
Notaţii. Vom scrie ., sau, atunci când bazele B şi B' se subânţeleg,
. Dacă T este endomorfism al spaţiului şi B’ = B, notăm sau,atunci când baza B se subânţelege, .
B B, ′= ][T A
A =][T A = V n B][T A =
][T
3.1. Teoremă. Dacă are imaginea , atunci au
loc rela ţ iile dintre coeficien ţ ii vectorului x şi cei ai vectorului imagine :
x x j j j
n
==∑
1
e ∑=
==m
i
ii w y y xT 1
)(
y=T )( x
y t x ii ij ji
n
= ==∑
1
1, ,m
∈
∑=1
. (2)
Notând rela ţ ia (2) se rescrie matriceal X x x x Y y y yt
n
t
m= =( , ,..., ), ( , ,..., )1 2 1 2
Y . (3) AX =
Demonstraţie. Fie . Aplicând acestei egalităţi transformarea T şi
folosind relaţiile (2), rezultă
x x v j j j
n
==∑
1
V
∑ ∑∑ ∑= == =
=
==
n
j
m
i
i
n
j
jij
n
j
m
i
iij j j j w xt wt xvT x xT 1 11 1
)()( .
Cu notaţiile din enunţ avem deci, din unicitatea descompunerii
relativ la baza B’, obţinem
∑=
=m
i
ii w y xT 1
,)(
. y t x ii ij i j
n
= ==∑1
1, ,m
)
Observaţii. 1. Fie mulţimea tuturor transformărilor liniare de la
la şi mulţimea tuturor matricelor de tipul m cu elemente din
K . Fixăm bazele B în şi B’ în . Funcţia care asociază fiecărei transformări
lineare T matricea sa relativ la bazele fixate,
),( mn L W V
W
V n W m )( K nm M ×
V
n×
n m
(),(: K B, nmmn B M L ×′ →µ W V
definită prin
B B, B B, ′′ ==µ ][)( T AT este un izomorfism de spa ţ ii vectoriale. Drept consecinţă, spaţiul vectorial
are dimensiunea mn, egală cu cea a spaţiului vectorial .
),( mn L W V
)( K nm M ×
2. Izomorfismul µ are proprietăţile:
♦ [ , dacă compunerea ST are sens;]][[] T S ST =♦ Endomorfismul este inversabil dacă şi numai dacă matricea [
este matrice inversabilă şi, în acest caz, [ .nnS V V →: ]S
11 ][] −− = S S
Algebr ă liniar ă 47
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 53/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Fie în cele ce urmează un K -spaţiu vectorial n-dimensional şiun endomorfism. Fixând baze diferite în , endomorfismului T i se
asociază matrice pătratice diferite. Relaţia dintre aceste matrici este dată de
următoarea
V n
)( n End T V ∈ V n
3.2. Teoremă. Matricele A şi , pătratice de ordinul n, cu elemente din K ,
reprezint ă aceea şi transformare liniar ă relativ la bazele
dacă şi numai dacă exist ă o matrice nesingular ă C astfel încât are loc rela ţ ia
A′)( n End T V ∈ nV B B ⊂′.
A C AC '= −1 . (4)În acest caz, matricea C este exact matricea de trecere de la baza veche B la
baza nouă B' unde B B ′=′= ][,][ T AT A .
Demonstraţie. Fie B={ şi B'={ , două baze în , iarmatricea de trecere de la prima bază la a doua, adică
, ,..., }e e en1 2 ,..., }′ ′ ′e e e1 2 3 V n
C cij= [ ] ′ = ==∑ e j ij ii
n
,1
e c . Fie j 1 n,
]nnT V V →: o transformare liniar ă. Fie matricea lui T relativ la prima bază
B, adică au loc relaţiile
A aij= [
∑=
==n
i
iij j n jeaeT 1
,1,)( ,
şi matricea lui T relativ la a doua bază B', adică A a ij' [ '= ]
∑=
=′′=′n
i
iij j n jeaeT
1
,1,)( .
Ţinând cont de relaţiile de mai sus, imaginile vectorilor din a doua bază admiturmătoarele expresii
∑ ∑∑ ∑= == =
′=
′=′′=′
n
i
k
n
k
n
i
ijki
n
i
n
k
k kiijiij j eacecaeaeT 1 11 1
,)( ∑=1
∑ ∑ ∑ ∑∑∑= = = ==
=
==
=′
n
i
n
i
k
n
k
n
i
ijki
n
k
k kiijiiji j ecaeaceT ceT eT 1 1 1 11
)()n
1=i
ij c ( ,
din care, prin egalarea coeficienţilor descompunerilor relativ la baza B, obţinem
,c a a cki ij ki iji
n
i
n
' ===∑∑
11
sau, în scriere matriceală, CA , de unde rezultă . AC '= A C AC '= −1
Exemplu. Se dau endomorfismele , )(, 3
21 R End T T ∈
)23,81520,55()( 3213213211 x x x x x x x x x xT +−+−−−= ,3
3213213212 ),,(),555,0,101010()( R∈=∀+−+−= x x x x x x x x x x xT .
Să se afle matricea sumei celor două endomorfisme relativ la baza21 T T T +=3
321 )}2,2,1(),1,4,3(),1,3,2({ R⊂====′ vvv B .
Soluţie. Prin sumarea celor două expresii analitice, obţinem
).678,81520,51115(
)()()()()(
321321321
2121 x x x x x x x x x
xT xT xT T xT
+−+−+−=
=+=+=
Cap.II. Transformări liniare48
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 54/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Rezultă că imaginea bazei canonice B = {e e }e1 2 31 0 0 0 1 0 0 0 1= = =( , , ), ( , , ), ( , , ),
a spaţiului vectorial prin T esteR 3
)6,8,5()(),7,15,11()(),8,20,15()( 321 =−−−== eT eT eT ,
deci matricea lui relativ la această bază este21T T T +=
===
−
−
−
678
81520
51115
)](),(),([][ 321 B BeT eT eT T A .
Matricea de trecere de la baza canonică B la baza }3,1,{ ==′ ivi B este
C v v v= = =
[ ' ] [ , , ] B
B B1 2 3
2 3 13 4 21 1 2
,
deci rezultă conform teoremei 3.2 că matricea transformării , relativ la baza B' este
21 T T T +=
===′ −′
300
020
0001][ AC C T A
B.
Se poate verifica uşor (temă) că avem , unde .21 A A A ′+′=′ B B T AT A ′′ =′=′ ][,][ 2211
Definiţie. Două matrici se numesc asemenea dacă există o
matrice nesingular ă )C astfel încât să aibă loc relaţia .
)(, K nn M B A ×∈
( K nn M ×∈ B C AC = −1
Observaţii. 1. Asemănarea matricelor este o relaţie de echivalenţă pe spaţiul
vectorial . Fiecare clasă de echivalenţă corespunde unui endomorfismşi conţine toate matricile asociate endomorfismului T relativ la bazele
spaţiului vectorial .
)( K nn M ×
)nV
V
( End T ∈
n
2. Matricile asemenea au următoarele proprietăţi:♦ Deoarece C este nesingular ă, matricele şi A au acelaşi rang; acestnumăr se mai numeşte rangul endomorfismului T şi este asociat clasei de asemănarea matricii A.
B C AC = −1
♦ Deoarece , toate matricele unei clase deechivalenţă au acelaşi determinant. Astfel, putem defini determinantul unui
endomorfism al spaţiului , ca fiind determinantul matricei asociateendomorfismului relativ la o bază dată.
AC AC B det)det(det)det(det 1 =⋅⋅= −
V
n
#4. Endomorfisme particulare
Fie V un K -spaţiu vectorial şi mulţimea endomorfismelor lui V .Observăm că mulţimea End se poate structura simultan ca:
End ( )V
( )V
♦ spaţiu vectorial peste corpul K , relativ la adunarea endomorfismelor şiînmulţirea dintre un scalar şi un endomorfism;
♦ inel, relativ la adunarea şi compunerea endomorfismelor.
Algebr ă liniar ă 49
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 55/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
4.1. Definiţii. Fie V un K -spaţiu vectorial. Endomorfismul senumeşte
)(V End T ∈
a) automorfism, dacă este bijectiv; b) proiec ţ ie, dacă satisface relaţia ;T T =2 c) involu ţ ie (sau structur ă produs) dacă unde este
transformarea identitate; J T =2 , )(V End J ∈
d) structur ă complexă, dacă J T −=2 ;e) endomorfism nilpotent de indice p, dacă ( p ), unde O este
morfismul nul;O = pT ≥ 2
f) structur ă tangent ă, dacă T este un endomorfism nilpotent de indice doi şi derang maxim.
Observaţie. Automorfismele ale spaţiului vectorial V formează osubmulţime în , notată şi prin . Această submulţime nu reprezintă un
subspaţiu al spaţiului vectorial , deoarece adunarea nu este operaţie internă,dar formează grup relativ la compunerea automorfismelor, numit grupul liniar
general.
)(V Aut
)(V GL
( )V
End ( )V
End
Exemplu. Orice structur ă aproape produs este automorfism.)(V End T ∈
Într-adevăr fixând o bază în V , matricea asociată transformării T este nesingular ă:0]det[1])(det[]det[]det[][][][][ 22222 ≠⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= T T J T J T J T J T ,
deci folosind 3.1-observaţia 2, rezultă T inversabilă, deci automorfism.
4.2. Teoremă. Pentru orice proiec ţ ie , are loc descompunerea)(V End T ∈
T T ImKer ⊕=V .
Ker T
T
↓ v
u
w
ImT
J-T
←
Demonstraţie. Fie . NotândT vT v Im)(, ∈∈V
V ∈−= )(vT vw , avem
0)()())( 2 =− vT vT v =()( −= T vT wT
Imu vT ∃⇒∈
u
,adică . Deci .T w Ker∈ T T ImKer +=V
Pe de altă parte, pentru u , rezultă T T ImKer ∩∈)(= vT u ,V ∈ ;
dar u ,uvT vT T uT T ==⇒∈ )())(()(=0Ker =
deci . }0{ImKer =∩ T T
Observaţii. 1. Numele de proiec ţ ie provine din interpretarea geometrică a
relaţieiT T ImKer ⊕=V .
Dat fiind vectorul v , sunt unic determinaţi termenii descompunerii v w :∈V = +♦ - vector de-a lungul căruia se face proiecţia - satisface relaţia ,T w Ker∈ 0)( =wT
♦ - rezultatul proiecţiei - satisface relaţia .T u Im∈ uvT =)(Deci (vezi figura), T proiectează vectorul v pe subspaţiul de-a
lungul subspaţiului∈V T Im
T Ker .
Cap.II. Transformări liniare50
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 56/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
2. Dacă T este o proiecţie, atunci şi este o proiecţie, unde J este
transformarea identică a spa ţ iului vectorial V . În plus au loc relaţiileT J −
T T J T T J KerKer =−=− )Im(,Im)( ,
de unde rezultă KerT KerT T T J T J J T =−= )(,ImIm
.
Corolar. Dacă piT i ,1, =→V V : sunt proiec ţ ii astfel încât au loc rela ţ iile
şi1
J T p
i
i =∑=
,,1,, p ji jiT T ji =≠∀= 0,
atunci are loc descompunerea . pT T Im...Im 1 ⊕⊕=V
Exemplu. În spaţiul V , proiecţiile3R =
3321332211 ),,(),,0,0()(),0,,0()(),0,0,()( R ∈=∀=== x x x x x xT x xT x xT ,
conduc la descompunerea în sumă directă
)})1,0,0({()})0,1,0({()})0,0,1({(3
L L L ⊕⊕=R .
4.3. Teoremă. Dacă este un endomorfism nilpotent de indice p
şi astfel încât , atunci vectorii { sunt
liniar independen ţ i.
)(V End T ∈
0)( 01 ≠− x p
x 0
0∈V \{ } T )}(),...,(, 01
00 xT xT x p−
Demonstraţie. Consider ăm relaţia 1,0,,0)(1
10 −=∈=∑
−
=
pik xT k i
p
i
i
i K
p−
0)(),..., 0
10 xT p−
. Aplicând
succesiv acestei egalităţi endomorfismul T de 1 ori şi folosind proprietăţile
, rezultă ; folosind din nou relaţiile obţinute, rezultă , deci vectorii sunt liniar independenţi.
OT p
= ,k1 = =...
O xT p
≠−
)( 0
1
k p 1
0=−
k0 =(, xT 0 x
Observaţie. Fie cu proprietăţile din teoremă şi L(S ) acoperirea
liniar ă a mulţimii . Atunci se poate ar ăta că există un
subspaţiu , invariant faţă de T , astfel încât are loc descompunerea în sumă directă .
x 0
0∈V \{ }
),...,({ 00 xT x , )}(= 01 xT S p−
L S( )
U V ⊂V =U ⊕
4.4. Teoremă. Pentru orice endomorfism , exist ă două
subspa ţ ii vectoriale , invariante fa ţă de T astfel încât
)( n End T V ∈
U,W V ⊂ n
1)
O
V =U W n
⊕ ,2) restricţia este nilpotent ă,U/T
3) restricţia este inversabil ă, dacă .U/T W ≠ { }0
Exemple. 1. Endomorfismul definit prin matricea)( 3R End T ∈
−−−
=
121
332
574
][T
este un endomorfism nilpotent de indice 3, deoarece [ ] (temă, verificaţi).3T =
Algebr ă liniar ă 51
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 57/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
2. Endomorfismul dat de derivarea funcţiilor polinomiale de grad cel mult n,][,)(]),[( X p p p D X End D nn R R ∈∀′=∈ ,
unde ′ este derivata polinomului p, este un endomorfism nilpotent de indice n 1,
deoarece derivata de ordinul n 1 a unui polinom p (care are gradul cel mult n) este
polinomul nul.
p +
+
4.5. Teoremă. Un spa ţ iu vectorial real finit dimensional V admite o structur ă
complexă dacă şi numai dacă dimensiunea sa este par ă.
Exemplu. Spaţiul vectorial real admite structura complexă n2R
)( 2n End T R ∈ , T .n
nnnn x x x x x x x x 221121 ),,(),,,,,,()( R ∈=∀−−= + KKK
Se constată uşor că are loc relaţia (temă, verificaţi) [ .n I T 22] −=
#5. Transformări liniare pe spaţii euclidiene
5.1. Definiţii. Fie V şi W două spaţii vectoriale euclidiene complexe. Vom notaîn acelaşi mod produsele scalare (şi normele induse de acestea) ale celor două spaţii.
a) Fie → o transformare liniar ă. Transformarea liniar ă ,
definită prin relaţia
W V :T V W →∗:T
V W ∈∀∈∀>>=<< ∗ y , x y xT Ty x ,,,
se numeşte adjuncta transformării liniare T .
b) Un endomorfism se numeşte hermitian dacă )(V End T ∈ ∗
= T T ..c) Un endomorfism se numeşte antihermitian dacă )(V End T ∈ ∗−= T T
5.2. Teoremă. Endomorfismul este hermitian dacă şi numai dacă
produsul scalar este real .
)(V End T ∈
∀ ∈ x V >< Tx x,
Demonstraţie. Dacă , atunci∗= T T ><>=>=<< Tx x xTxTx x ,,,V ∈∀>∈ x,R
(bara înseamnândconjugare complexă), deci . Reciproc, dacă este real,
atunci
< Tx x, >< Tx x,
V ∈−>⇒<<>=< ∗T T x xTx x )(,, .∀>= x x ,0=<>< ∗∗ xT x x xT ,,=>Tx,
Notând şi înlocuind pe x cu , (α ∈∗− T S=T y x α+ ∈C, y V arbitrare ), rezultă 2Re( 0,= ∀ ∈ C
,< Sx y V ∈
, ) x Syα < >
0>= y x,
α . Înlocuind şi în relaţia obţinută, obţinem
, ∀ . Punând rezultă .
1α =
Sx
iα =
⇔∈∀ x,0 V Sx y = ∗⇔= T=T S 0=
Exemplu. Ar ătăm că următorul endomorfism este hermitian)( 2
C End T ∈2
212121 ),(),3)1(,)1(2()( C∈=∀+−++= x x x x xi xi x xT .
Într-adevăr, folosind proprietăţile produsului scalar complex, obţinem
=+−+++>= 221121 )3)1(())1(2(, x x xi x xi x xTx<
=+−+++2
22112
2
1 3)1()1(2 x x xi x xi x=
Cap.II. Transformări liniare52
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 58/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
= + .+ + + +2 1 1 31
2
2 1 2 1 2
2
x i x x i x x( ) (( ) ) x
Deoarece ∀ avemC ∈ z R∈+ z z , rezultă .2, ,Tx x x< >∈ ∀ ∈R C
5.3. Teoremă. Fie endomorfismele hermitiene şi scalarul)(V End T,S ∈ R ∈k .
1. Endomorfismul este hermitian.S kT + 2. Dacă este inversabil, atunci şi endomorfismul este hermitian.T 1 −T
3. Endomorfismul este hermitian dacă şi numai dacă .TS ST TS =
Demonstraţie. Prima afirmaţie rezultă din proprietăţile şi
, iar a doua rezultă din ( .
∗∗∗ S T T+S +=)(∗∗ = kT kT )( 11 )() −∗∗− = T T
3. Folosind relaţia , au loc echivalenţele: este hermitian ⇔
.
ST T S TS =∗∗∗ =)(
ST
TS
TS TS (TS) =⇔=∗
5.4. Definiţie. Se numeşte transformare (liniar ă) unitar ă, o transformare liniar ă care păstrează produsul scalar, adică ),( W V LT ∈
V ∈∀>>=<< y x y xTyTx ,,,, .
Teoremă . 1) O transformare liniar ă este unitar ă dacă şi numai
dacă pă streaz ă norma, adică
),( W V LT ∈
V ∈∀ x xTx ,= .
2) Orice transformare unitar ă T este injectivă.W V →:
Demonstraţie. 1) Dacă este unitar ă, atunci < în
particular pentru
T V ∈∀>>=< y x y xTyTx ,,,, ;
y x= avem adică ,,, >>=<< x xTxTx 22 = xTx şi deci xTx = .
Reciproc, dacă presupunem că are loc relaţia V ∈∀ x xTx ,= , folosind egalitatea
4/}{,2222
iy xiiy xi y x y x y x −−++−−+=><
rezultă
><=−−++−−+>=< y xiy xT iiy xT i y xT y xT TyTx ,4/)()()()(,2222
.
2) Fie transformare unitar ă. Folosind proprietăţile normei euclidiene şi proprietateade la punctul anterior, avem
T
000 =⇔==⇔=⇔∈ x xTxTxT Ker x ; rezultă
, deci este injectivă.
}0Ker T {= T
Observaţii. 1. Din teoremă rezultă uşor faptul că orice endomorfism unitar
pe un spaţiu euclidian complex finit dimensional, este izomorfism.)( n End T V ∈
2. Condiţia ca un endomorfism să fie unitar, < ,
este echivalentă cu , unde J este transformarea identică pe V .
T V ∈∀>>=< y x y xTyTx ,,,,
n J T T TT =∗∗ =
Algebr ă liniar ă 53
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 59/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
5.6. Definiţii. Presupunem că V şi W sunt spaţii euclidiene complexe n-dimensionale şi că în fiecare s-a fixat o bază ortonormată. Relativ la aceste baze,ataşăm transformării liniare matricea asociată A.),( W V LT ∈
a) Matricea A A t =∗ ataşată lui se numeşte adjuncta matricei A.∗T
b) Dacă A A t = , atunci matricea pătratică A se numeşte hermitică.
c) Dacă A A t −= , atunci matricea pătratică A se numeşte antihermitică.d) Dacă I A At = , ( I fiind matricea unitate), atunci matricea A se numeşte unitar ă.
Teoremă. Un endomorfism este hermitian dacă şi numai dacă
matricea sa relativ la o baz ă ortonormat ă este hermitică.
)( n End V ∈T
Demonstraţie. Fie B={ o baza ortonormată şi, ... , }e en1 ⊂V n n jiijt T A
,1,)(][
===
B
i
matricea lui relativ la aceasta. " . Fie hermitian. Înmulţind scalar cu e relaţia
, care dă descompunerea vectorilor din imaginea bazei, obţinem
T
k e
"⇒ T
∑==
n
k
kj j t eT 1
∑=
>=<>=<n
k
ijik kji j t eet eTe1
,, ;
analog rezultă (temă, verificaţi) . Deci avem∗∗ >=< iji j t eeT ,
ji jii ji jij t eeT eT eeeT t =><>=>=<< ∗∗ ,,,= ,
şi cum rezultă A A =∗ t adică t
ij ji= A A t = . " . Fie"⇐ A A t = ; atunci
>=<>=<>=>=< ∑∑∑∑====
n
k j
jk k jk
n
k j
jk j
n
k
k k
n
j
j j eeT x xeT e x xe xe xTx x
1,1,11
),()(,,,<
∑∑==
><=⋅=⋅n
k j
kjk j
n
k j
jk k j Tx xt x xt x x1,1,
, .
adică şi deci este hermitian. R ∈>< Tx x, T
În continuare prezentăm un exemplu care arată că pentru verificarea
hermiticităţii folosind matricea asociată transformării relativ la o bază, este esenţial ca baza să fie ortonormată.
Exemplu. Fie endomorfismul , a cărui matrice relativ la bazaeste . Deoarece
)(
2
C End T ∈
−=′
32
01 A
221 )}1,1(),0,1({ C⊂===′ vv B A A ′≠
−=′
32
01
22 )}1,0(),0, C⊂=e
2 C1
10
11 −
=
t
matricea A’ nu este hermitică şi totuşi endomorfismul este hermitian. Ar ătăm că matricea lui relativ la baza canonică a spaţiului
(bază ortonormată relativ la produsul scalar canonic al spaţiului vectorial !) este
hermitică. Din relaţiile , obţinem matricea de trecere C de
la baza B’ la B. Rezultă că matricea lui relativ la baza canonică va fi
T
= BT
v e1 1,
1 1({ =e
v2= = e e1 2+
T
AC AC A t =
=′= −
12 211 (deci matrice hermitică), ceea ce probează afirmaţia.
Cap.II. Transformări liniare54
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 60/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Observaţii. Analog cu teorema de mai sus, putem ar ăta că:
1. Un endomorfism este unitar dacă şi numai dacă matricea lui
în raport cu o bază ortonormată a spaţiului este unitar ă.
)( n End T V ∈
2. Un endomorfism este antihermitic dacă şi numai dacă
matricea lui în raport cu o bază ortonormată a spaţiului este antihermitică.
)( n End T V ∈
Exemplu. Ar ătaţi că endomorfismul ,22: CC →T
]2,0[),,(),cossin,sincos()( 212121 π∈α=α+αα−α= x x x x x x x xT
este un endomorfism unitar.
Soluţie. Matricea endomorfismului relativ la baza canonică ortonormată
B={e } este . Această matrice este unitar ă,
căci şi deci .
T
α
α
10
e1 21 0 0 1= =( , ), ( , )
α−
αα=∗
cossin sincos A
α
α−==
cossin
sincos][ B
T A
I AA = =∗
01
α
5.7. În cele ce urmează, presupunem că V şi W sunt două spaţii vectoriale
euclidiene reale, ale căror produse scalare (respectiv norme asociate) le notăm la fel.Fie o transformare liniar ă.),( W V LT ∈
Definiţii. a) Transformarea liniar ă definită prin relaţiaV W →∗:T
V W ∈∀∈∀>>=<< ∗ y x x yT Ty x ,,,,
se numeşte transpusa transformării liniare T
. b) Un endomorfism se numeşte simetric dacă .)(V End T ∈ ∗T T =
c) Un endomorfism se numeşte antisimetric dacă .)(V End T ∈ ∗T T -=
d) Transformarea liniar ă se numeşte ortogonal ă dacă păstrează produsul scalar, deci dacă satisface relaţia <
),( W V LT ∈
V ∈∀>>=< y x y xTyTx ,,,, .
Observaţii. 1. Păstrarea produsului scalar este echivalentă cu conservarea
normei, adică ) este transformare ortogonală dacă şi numai dacă satisface
relaţia (temă, verificaţi):
(V End T ∈
V ∈∀= x xTx , .
2. Dacă spaţiile vectoriale V şi W sunt finit dimensionale şi dacă în fiecare s-afixat o bază ortonormată, atunci transformării i se ataşează matricea A, iar
transpusei , matricea At . Prin urmare, relativ la o bază ortonormată
W V →:T ∗T
♦ unui endomorfism simetric îi corespunde o matrice simetrică,
♦ unui endomorfism antisimetric îi corespunde o matrice antisimetrică,
♦ unui endomorfism ortogonal îi corespunde o matrice ortogonală.
3. Transformările simetrice / antisimetrice/ ortogonale au proprietăţi analoage proprietăţilor transformărilor hermitiene / antihermitiene / unitare.
Algebr ă liniar ă 55
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 61/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
#6. Izometrii
S-a văzut că transformările ortogonale ale unui spaţiu vectorial euclidian realV păstrează distanţa euclidiană şi au drept punct fix originea (duc vectorul nul în
vectorul nul, fiind transformări liniare). Vom introduce o altă funcţie pe V care păstrează distanţa euclidiană, dar nu este linear ă.
6.1. Definiţie. Funcţia definită prin:aT →V V
V ∈∀+= xa x xT a ,)( ,
unde este un vector arbitrar fixat, se numeşte transla ţ ia de vector a.V ∈a
Teoremă. Au loc următoarele propriet ăţ i:
1) T ;V ∈∀+ baT T T T baabba ,,== oo
2) T ; V J =0
3) ∀ este transformare inversabil ă , şi avem ,aT a V,∈ V ∈∀= −− aT T aa ,)( 1
unde prin am notat transformarea identică a spa ţ iului vectorial V .V
J
Demonstraţie. 1) Translaţiile comută; într-adevăr, avem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a a b b b aT T x T x b x a b T x b x a T x a T T x++ + + = + + = +o o= = = = ,
V ∈∀ ba, . 2) . Prin calcul direct se obţine:)(0)(0 x J x x xT ==+=
3) T . V∈∀=−+===+−= −− x xT T aa x x J xaa x xT aaaa ),()()()()( oo
Observaţie. Rezultă că produsul (compunerea) defineşte pe mulţimea Tr (V ) a
tuturor translaţiilor lui V o structur ă de grup comutativ (Tr (V ), ° ) numit grupul
transla ţ iilor. Acest grup este izomorf cu grupul abelian aditiv (V ,+), prinizomorfismul V V V ∈∀=ϕ→ϕ aT aTr a ,)(),(: .
6.3. Teoremă. Orice transla ţ ie T T pă streaz ă distan ţ a euclidiană ,
adică satisface rela ţ ia:
,a a ∈ V=
V y x y xd yT xT d ∈∀= ,),,())(),(( .
Demonstraţie. V ∈∀=−=+−+= y x y xd x ya xa y yT xT d ,),,()()())(),(( .
Definiţie. O funcţie surjectivă care păstrează distanţa euclidiană, adică V V →: F
V ∈∀= y x y xd y F x F d ,),,())(),(( ,se numeşte izometrie. Notăm mulţimea izometriilor spaţiului vectorial V prin Iz (V ).
Observaţii. 1. Orice izometrie este injectivă (temă, verificaţi) şi deci bijectivă.2. Transformările ortogonale şi translaţiile sunt izometrii.3. Compunerea a două izometrii este o izometrie.4. Izometriile unui spaţiu vectorial V formează grup cu compunerea, ( Iz (V ), °).
Cap.II. Transformări liniare56
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 62/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
5. Grupul transformărilor ortogonale (O(V ), °) ale spaţiului vectorial V şi grupultranslaţiilor (Tr (V ),°) sunt subgrupuri ale grupului izometriilor ( Iz (V ), °).
6.4. Teoremă. O izometrie cu proprietatea ste o
transformare ortogonal ă.
R →:V V 0)0( = R e
Deci izometriile care păstrează originea sunt exact transformările ortogonale.
Demonstraţie. Izometria R păstrează norma, deoarece avem:V ∈∀=−====−= x x R x R x Rd x R Rd xd x x ,)(0)())(,0())(),0((),0(0 .
Utilizând acest rezultat rezultă că R pă streaz ă produsul scalar :⇔−=−⇔= x y x R y R y xd y R x Rd )()(),())(),((
< >⇔−−>=<−− x y x y x R y R x R y R ,)()(),()(V ∈∀>>=<< y x y x y R x R ,,,)(),(
şi deci este o transformare liniar ă, deoarece
>=<>=<>=>=<<⇒>>=<< )(),(,,)(),(,)(),( y R x Rk y xk ykx y Rkx R y x y R x R R ∈∀∈∀>=−>⇒<=< k , y R y R xkRkx R y R xkR V )(,0)(),()()(),( .
Înlocuind şi folosind pozitivitatea produsului scalar, rezultă )()()( xkRkx R y R −=,0)()( =− xkRkx R
deci R este omogenă. Pe de altă parte avem>=<+>>=<<+>>=<+>=<+< )(),()(),(,,,)(),( z R y R z R x R z y z x z y x z R y x R
V V =∈=∀>=−−+>⇒<+=< )()(,0)(),()()()(),()( Ru z R z R y R x R y x R z R y R x R
Deci , deci R este aditivă. Fiind liniar ă şi păstrând produsul scalar, R este ortogonal ă.
0)()()( =−−+ y R x R y x R
6.5. Teoremă. Dacă J este o izometrie, atunci exist ă o transla ţ ie
şi o transformare ortogonal ă O astfel încât .V ∈aT T a ,= OT J oa
=
Deci orice izometrie este compunere dintre o transformare ortogonală şi o translaţie.
Demonstraţie. Fie T translaţia prin vectorul şi translaţia
prin . Funcţia este o izometrie care păstrează pe 0. Conform
teoremei 6.5, izometria este o transformare ortogonală O . Decisau .
V ∈aT a ,=
T 1 −
J T o1 −
)0( J a = 1 −T
T
)0( J a −=−
OT J o=
J o
O J =o1−
Observaţii. 1. Presupunem . Dacă B={ , este o bază ortonormată şi O este o transformare ortogonală pe V , atunci şi B'={
este o bază ortonormată. Reciproc, dacă în V sunt date două baze ortonormate B şi B',atunci există o singur ă transformare ortogonală O care duce B în B'; matriceaacesteia relativ la baza B este [ .
dimV = n
BB ]'
... , }e en1
O )}(),...,( 1 neOe
B [] =O
2. Fie ({ )}, Im( ) { , 0} KerT L a T v v a= = <
⇒= ][][] I OO t 1]det[ ±=O
[det O
>= o izometrie pe spaţiul n-
dimensional V . Avem [ . Dacă , atunci J senumeşte izometrie pozitivă (congruen ţă), iar dacă 1, atunci J se numeşte
izometrie negativă.
1][det +=O
−] =
Algebr ă liniar ă 57
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 63/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Exemplu. Fie locul geometric al punctelor din plan care raportatela reperul cartezian Ox
),,( z y x M
yz verifică ecuaţia
.01162842),,( 222 =+−+−−+= z y x z y x z y x g
Determinăm ecuaţia verificată de coordonatele ( , , )′ ′ ′ x y z ale acestor puncte
faţă de reperul O x′ ′ ′ ′ y z ,2(′O obţinut din cel iniţial printr-o translaţie ce duce origineaO(0,0,0) în punctul , deci având vectorul de translaţie)2,1 −−
)2,1,2(),,( ''' −−=−−−= OOOOOO z z y y x xa .
Deoarece formulele care dau translaţia sunt înlocuindîn ecuaţia dată găsim ecuaţia locului geometric relativ la reperul translatat,
,2,1,2 −′=−′=+′= z z y y x x
.0842 222 =+′−′+′ z y x
#7. Probleme propuse
1. Să se studieze care din funcţiile definite prin3 T →R R :3
≠
a) 3 ( ) , , fixatT x a a= ∈ R
b)T a x x +=)(c) ( ) ,T x xλ λ = ∈ R
d) ),,(),,,()( 3212321 x x x x x x x xT ==
e) ),,()( 213 x x x xT =
f) 3 1 2( ) ( , , ), , 0T x x x x k k k = + ∈ R
g) )874,33,32()( 321321321 x x x x x x x x x xT +++−−+=
sunt transformări liniare.
R. a) da , b) da , c) da, d) nu, e) da, f) nu, g) da.0=⇔ a 0=⇔ a
2. Să se determine dacă urmă toarele aplicaţ ii sunt sau nu
transformă ri liniare:a) 2
21212
222 ),(),,()(,: R R R ∈=∀+=→ x xv x x xvT T
b) .][,)()(],[][: 2
1
032 x pdt t p x p xp pT x xT R R R ∈∀+−=→ ∫ R . nu (T nu este nici aditivă, nici omogenă); b) da.
3. a) Fie spaţiul vectorial real al polinoamelor de grad ≤ . Să se aratecă funcţia
][ X nR n
[ ] [ ]n nT X →R R : X ( ) (2 3) 2 '( ) (10),T p x p x p x p x= + − − ∀ ∈ R ,
este o transformare liniar ă.
b) Fie spaţiul vectorial al funcţiilor continue pe intervalul [a,b], f ba f f ba R,C =V
0 →= ],[:{],[ continuă}.
Să se arate că transformarea ce asociază fiecărei funcţii primitiva acesteia,
P :V V → , ,∫ ∈∀== x
aba xdt t f x g g f P ],[)(,)()( ,)(
este o transformare liniar ă.
Cap.II. Transformări liniare58
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 64/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
4. Pe spaţiul vectorial real al funcţiilor polinomiale de grad cel mult n,
se defineşte funcţia T n P
nn P P →: ,1
0( ( )) ( ) , ,nT p x x tp t dt p P x= ∀ ∈∫ R ∀ ∈ .
Să se arate că T
este o transformare liniar ă şi să se determine şi .T Ker T Im
R. 0, 0,
Ker 0 , Im ({ })2
k k k
k n k n
aT p a x T L x
k = =
= = = =
+ ∑ ∑
R
6
.
5. În se consider ă vectorii .3R )2,0,1(),1,2,1(),1,2,3( 321 =−=−= vvv
a) Să se arate că există o singur ă formă liniar ă T astfel încât3: →R
T .)(,0)(,8)( 321 ==−= vT vT v
b) Să se determine o bază a subspaţiului .T Ker
R. a) T , b) .)4,1,2(,,)( −=>=< aavv )}1,4,0(),0,2,1{( −= LT Ker
6. Fie funcţia ,33: V V →T =×= aavvT ,)( vector fixat, nenul .
a) Să se arate că T este o transformare liniar ă. b) Să se găsească şi Im şi să se arate că Ker .T Ker T 3Im V =⊕ T T
R. b) }0,{Im)},({ >=<== avvT a L KerT .
7. Se dau urmă toarele transformă ri:a) ∈ End T . 3
3211221
3 ),,(),26,0,3()(),( R R ∈=∀−−= x x x x x x x x xT
b) :T R . ][,)(2)(],[][ 2
1
012 x pdt t p x p pT x x R R ∈∀−′=→ ∫ c) 3: R T . 3
321313212 ),,(),()(, R R ∈=∀++−=→ x x x x x x , x x x xT
d) :T R . ][),0()()(],[][ 221
0
332 x p p p xdt t p x pT x x R R ∈∀+′−=→ ∫
În fiecare din cele patru cazuri să se determine urmă toarele chestiuni:1. Verificaţ i că transformarea T este liniară ; 2. Determinaţ i nucleul transformă rii liniare T ( Ker T ); 3. Determinaţ i imaginea transformă rii liniare T ( Im T ); 4. Aflaţ i matricea transformă rii liniare 3 relativ la bazele canonice ale
domeniului Dom T ş i codomeniului Codom T ; 5. Determinaţ i dacă transformarea T este injectivă sau surjectivă ; 6. Verificaţ i relaţ ia: dim Ker T + dim Im T = dim Dom T .
R . Temă: b,c,d. a) , T nu
este injectivă ( 0 ), nici surjectivă ( ); [ , 2+1=3.
( ) ( ){ }( ) )})2,0,1(({,1,0,0,0,1,3 21 −===== v L ImT vv L KerT
≠ 3R ≠ ImT
=
−
−
062
000
031
]T KerT
b) 2
2
{1, , },{1, }
0201111 32
({3 11}); Im ({ ,2 ( / 2)});[ ] x x x
KerT L x T L x x T −− = + = − − =
][1 x ImT R =
.
T nu este injectivă, dar este surjectivă ( ); 1+2=3.
Algebr ă liniar ă 59
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 65/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
8. Se dau transformările liniare:
a) ∈ End T .3
321322131
3 ),,(),2,,2()(),( R R ∈=∀−−−= x x x x x x x x x x xT
b) ∈ End T .3
321133221
3 ),,(),,,()(),( R R ∈=∀+++= x x x x x x x x x x xT
Pentru fiecare dintre cele două transformări, determinaţi:
♦ şi . Sunt şi subspaţii suplementare în R ? KerT ImT KerT ImT 3
♦ Este T injectivă ? Dar surjectivă ? Dacă T
este inversabilă, determinaţi inversa
acesteia.
R . Temă b). a) ; nucleul şi
imaginea formează subspaţii suplementare î n , deoarece ,
; T nu este nici injectivă, nici surjectivă (deci nu este inversabilă).
)})1,1,0(),0,1,1({()}),1,2,2(({ 1 −=== L ImΤ v L Ker Τ 3
R ∩ Ker Τ }0{= ImΤ 3
R =+ ImΤ Ker Τ
9. Să se determine matricea asociată transformării liniare, în raport cu bazele
canonice ale spaţiilor, în cazurile
a) C →T : .CC ∈∀
−
−=× x
xix
xix xT M ,)(),(22
b) R 3
3213121
33 ),,(),,)1(,()(,: R C ∈=−+−=→ x x x xix xi xix xT T
c) . A AT M M T t =→ ×× )(),()(: 2222 K K
R. a) , unde e [ .},,,{ 22211211)(22eeee M =
× CB ;)( 2,1, =δδ= l k ljkiij )1,,1,(] iiT t −−=
b) [ ; c) .
=
−
−−
i
i
i
T
00
011
00
]
==
×
1000
0010
01000001
][},,,,{ 22211211)(22T eeee M R
B
10. Ar ătaţi că în spaţiul vectorial real V al funcţiilor reale, fiecare dintre
mulţimile2 2{cos ,sin }, { sin 5 , cos5 }, {3,1 ,1 2 } x xS x x S e x e x S x x e′ ′′= = = − − x+
este liniar independentă şi generează un subspaţiu W finit dimensional. Utilizând
mulţimile date ca baze pentru subspaţiul W , să se găsească în fiecare caz matricea
ataşată operatorului de derivare .W W →: D
R. [ .
=
=
= −
−−−
− ′′′
100
100
110
25
52
01
10][][,] S S S D D D
11. Să se determine matricele transformărilor liniare în raport cu
baza formată din vectorii v cunoscând că matricele
acestora în raport cu baza canonică a spaţiului sunt respectiv
33: R R →T
)1,1,1(),3,1,2(),3,2,1( 321 === vv
3
R
Cap.II. Transformări liniare60
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 66/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
=
=
=
−
−
−
−−
−−
−−
−
422
633
211
622
622
321
000
001
023
321 c); b);)a A A A .
R. , unde . AC C A 1−=′ },,{],,,[ 321321 A A A AvvvC ∈=
12. Fie V un spaţiu vectorial real, C complexificatul său şi un
endomorfism. Funcţia definită prin sau altfel scris
se numeşte complexificatul endomorfismului T .
V V V →:T
V V C C C →:T ),(),( TvTuvuT =C
,)( iTvTuivuT +=+C
a) Să se arate că este o transformare liniar ă care satisface proprietăţile:T C
;T S T S C C C ++ =)( T S ST C C C =)( ;
R ∈= k T k kT ,C C )( ; , dacă T este inversabilă.)()( 11 −− = T T C C
b) Fie o transformare liniar ă. Prin reprezentarea real ă a
transformării T înţelegem transformarea liniar ă real ă care coincide
punctual cu T , unde sunt trecerile în real ale spaţiilor şi .
mnT CC →:
nC
R ,
mnT CC R R R →:
nC
mC
R
]
mC
Se dă transformarea liniar ă 33: CC →T , T .3
32133121 ),,(),,,()( C∈=∀++= x x x xix x xix x x
Să se determine matricea reprezentării reale a lui T în baza { , unde},, 321 vvv
)2,2,1(),,0,0(),1,,0( 321 −=== viviv .
R. b) Trecerea în real a spaţiului vectorial complex este dată de identificarea63
332211
3
332211 ),,,,,(),,( R CC R ≡∈≡∈+++ y x y x y xiy xiy xiy x .
Matricea A a reprezentării reale a lui T relativ la baza canonică (vechea bază) a lui
, este . Noua bază este
.
63R C
R ≡
1,0,0(1
−≡t iv
=
−
−
010000
100000
100010
010001
000110
001001
A
,0,0,0,0(2
),1,0,0,0,0,0( −≡≡ t iv
t
,)0,1,1,0,0,0(1{ t
v ≡=′B
)}2,0,2,0,1,0(3
−≡t iv),0,2,0,2,0,1(
3),0,1
2),1,0,0, −≡t
vv
Matricea A' a reprezentării reale a lui T relativ la noua bază din este
dată de relaţia , cu matricea de trecere
,
B′ 63R C
R ≡ AC C A 1−=′
)(6 R ],,,,,[ 332211 M ivvivvivvC ∈=
13. Fie endomorfismul care transformă vectorii
în vectorii .
33: R R →T
)1,1,1(
),1,0,0(1 =v
)),1,1,0( 32 == vv ),1,2,1(1 =w 4,1,7(),2,1,3( 32 −== ww
Să se determine matricea lui (transpusa lui T ), în baza ortonormată ∗T
)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 321 === eee .
R. [ .[*][;],,][,,[][],,[],,][ 1321321321321 T T vvvwwwT wwwvvvT t ==⇒= −
Algebr ă liniar ă 61
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 67/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
14. Să se determine adjuncta (transpusa) T a transformării liniare*
3
321231
23 ),,(),32()(,: R R R ∈=∀−=→ x x x x x , x x xT T .
R . T .[ ] [T t
T y y y y y y y ==∈=∀−=
− 02
30
01
*;2
)
2
,
1
(),
1
2,
2
3,
1
()(* R ]
15. Să se arate că transformările liniare asociate matricelor
=
−−−
−−−
12812
211421
271827
1 A şi sunt proiecţii.2
1 0 0
0 0 0
0 0 1
A =
R. Se verifică faptul că pătratul fiecărei matrici asociate este ea însăşi.
16. Fie spaţiul vectorial al vectorilor legaţi în originea O, identificat cu
mulţimea punctelor din plan , şi fie transformarea liniar ă definită prin2
V
2 E 22: V V →T →→→→
== cbT baT )(,)( , unde punctele sunt necoliniare, iar un
punct oarecare din plan. Să se determine punctul C astfel încât
)0(),(),(rr
r
Ob Ba A )(cC r
a) T să fie o proiecţie;
b) T să fie o structur ă complexă.
R. a) , deci . b) ,
care are loc doar dacă
bccT bT bT
aT aT r
rr
rr
rr
==⇔
=
=)(
)()(
)()(
2
2
BC =
−=
−=⇔
−=
−=
bcT
ac
bbT
aaT r
r
rr
rr
rr
)()(
)(
2
2
OAOC −= .
17. Ar ătaţi că matricile următoare sunt nilpotente de ordinele doi (în cazul a)
şi respectiv trei (în cazurile b,c):
=
=
=
−
000
300
020
000
100
010
)c;) b;00
10)a A A A .
R. a) ; b), c) .2
2 O A = 3
3 O A =
18. Fie endomorfismul definit prin matricea [ în
baza canonică a spaţiului vectorial . Să se găsească matricile
hermitiene astfel încât să aibă loc relaţia .
22: CC →T
)(2
2 C End ∈
−+=
iiiT
311]
2
2 C
,1 T T 1 iT T T +=
R : .
−−
+=
−
+=
12/)1(
2/)1(1][,
32/)1(
2/)1(1][ 21
i
iT
i
iT
Cap.II. Transformări liniare62
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 68/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
19. Să se arate că endomorfismul definit prin matricea
(considerată relativ la baza canonică a lui ) este ortogonal.
33: R R →T
=
θθ
θθ−
sin0cos
010
cos0sin
A 3 R
R. .3 I A At
=
20. Să se arate că transformările liniare de mai jos au proprietăţile specificate
(spaţiile euclidiene considerate sunt înzestrate cu produsele scalare canonice).
a) End T ∈ , ()(,)()),(( 22 R R M A A AT M t ∈∀= , ( ))< >= ⋅ A B Tr A Bt
este involu ţ ie ) simetrică .( 2 Id T = ))(,),(( >>=<< BT A B AT
b) End T ∈ , unde T f .)(V ( ) ', f f = ∀ ∈V
),(],[:{ baC f ba f ∞∈→= R V , f continuă pe [ , ,, ]a b }),()( )()(N∈∀= k b f a f k
s
k
d
este antisimetrică ( < ), unde><−>= )(,),( g T f g f T
∫>=<
b
a
dt t g t f g f )()(, .
c) ∈ End T , este transformare liniar ă
ortogonal ă ( < ).
R R ∈α
=
αα
α−α,
cossin
sincos][),( 2 T
2,,,)(),( R ∈∀>>=< y x y x yT xT
d) Transformarea ∈ End T este transformare liniar ă
hermitică ( ).
[ ]
=
+
−
23
34),( 2
i
iT C
>)(, vT >=<< ),( uvuT
21. Fie matricea . Să se determine o matrice unitar ă
U astfel încât matricea U să fie triunghiular ă.
)(1
1122 C×∈
+−
+
= M ii
i A
AU 1−
R. Dacă , din condiţia
=
d c
baU 2 I U U t = (deci U t =−1U ) şi anularea
coeficientului din stânga jos al matricii
=
z
y x AU U
0
t , rezultă sistemul:
0)1)(()(;0,1,12222
=+++−=+=+=+ id bcd ibad bcad cba ;
obţinem
=
1
1
2
1
i
iU , care produce U .
=−
20
11
i AU
22. Să se determine izometria ştiind că duce punctele ,
respectiv în punctele .
22: R R → J
,1(1 −= B
)0,1(1 = A
)3−)1,2(),0,2( 32 == A A ,0(),3,1(),2 32 =−= B B
R . Relaţia formală şi
condiţiile impuse
0,1, 2222 =χδ+αβ=δ+β=χ+α
δχ
βα+
=
y
x
b
a
y
x J
3,1,) =∀= i B A ii( J , conduc la expresia analitică a transformării,
−
−+
−
=
y
x
y
x J
01
10
1
1.
Algebr ă liniar ă 63
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 69/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Capitolul 3
VECTORI ŞI VALORI PROPRII
#1. Vectori şi valori proprii
Definiţii. Fie V un K -spaţiu vectorial şi un endomorfism.)(V End T ∈
a) Se numeşte vector propriu al endomorfismului un vector nenul, astfel încât există cu proprietatea
T
}0{\V ∈ x λ ∈ K
xTx λ= .
Scalarul se numeşte în acest caz valoarea proprie a lui T corespunzătoarevectorului propriu x.
λ
b) Se numeşte spectrul endomorfismului T , şi se notează cu σ , mulţimea
tuturor valorilor proprii ale endomorfismului.
)(T
Observaţii. 1. Ecuaţia este echivalentă cu
, unde I este endomorfismul identitate.0, ≠λ= x xTx
0),( ≠λ−∈ xT x IKer
2. În particular pentru o transformare liniar ă neinjectivă, vectorii nenuli dinsunt vectori proprii ai lui T ataşaţi valorii proprii zero.T Ker
3. Dacă un vector este vector propriu al lui T , atunci pentru fiecare, vectorul kx este propriu.
}0{\V ∈ x
}0{\ K ∈k
1.1 Teoremă. Dacă V este un K -spaţiu vectorial şi , atunci)(V End T ∈
1) Fiecărui vector propriu al lui T îi corespunde o singur ă valoare proprie
.)(T σ∈λ
2) Vectorii proprii ce corespund la valori proprii distincte sunt liniar independen ţ i.
3) Fie λ o valoare proprie a endomorfismului T. Mul ţ imea
},{ V S ∈λ==λ x x xT x
este un subspa ţ iu vectorial al lui V, invariant fa ţă de T, adică are loc incluziunea
λλ ⊆ S S )(T .
Subspaţiul poate fi finit sau infinit dimensional şi se numeşte subspa ţ iul
propriu ataşat valorii proprii .λ S
λ
Demonstraţie. 1) Fie x un vector propriu asociat valorii proprii , deci
. Dacă ar exista o altă valoare proprie astfel încât, atunci am avea , dar deoarece ,
rezultă .
λ
0, ≠λ= x xTx
, ≠λ′= x x xT
λ′=λ
′ ∈λ K
00 ⇔λ′=λ x x )( =λ′−λ x 0≠ x
2) Fie vectorii proprii ai endomorfismului T , corespunzători valorilor proprii
distincte . Efectuăm după . Pentru 1, vectorul propriu este p x x ,...,1
,...,1
λ )(T p
σ∈λ p ∈ N p =
Cap.III. Vectori şi valori proprii64
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 70/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
diferit de vectorul nul, deci se constituie într-un sistem (de un singur vector) liniarindependent. Fie proprietatea adevărată pentru vectori. Aplicând T relaţiei p −1
k x p+
1−λ − p
k k
λ= y
2 , λ S
x2λ=
( K nn×
+
+
+
(...
..........
...)
...
2
2
a
x
x
k x k x k x p p p1 1 2 2 1 1 0+ + + =− −... (*)
rezultă şi deci, folosind linearitatea endomorfismului T şi
faptul că sunt vectori proprii ai lui T , obţinem k
0)...( 11 =++ p p xk xk T
,...,1 p x x .0111 =λ++λ p p p xk x K
Scăzând relaţia (*) amplificată cu , avem pλ
0)(...)( 11111 =λ++λ−λ −− p p p p xk xk
care, folosind ipoteza de inducţie, implică . Din (*) rezultă
şi, cum rezultă şi k , deci ind .
k p1 2 1 0= = = =−...
},,{ 1 p x x Kk x p p = 0 0≠ p x p = 0
3) Pentru orice şi k l avem∈ y x, λ S , ∈ K
⇒+λ+λ=+=+ )()()()( lykxl xk ylT xkT lykxT ,λ∈+ S lykx
deci este subspaţiu vectorial în V . Dacă , atunci Tx ,
adică .
λ S
(T
λ∈ S x λ∈λ= S x
λλ ⊆ S S )
1.2. Teoremă. Subspa ţ iile proprii corespunz ătoare la valori proprii
distincte , sunt disjuncte (deci au în comun doar vectorul nul ).1λ S
2121 ),(, λ≠λσ∈λλ A
Demonstraţie. Fie λ . Dacă prin absurd ar exista
, ar rezulta şi , deci ,
absurd. Rezultă .
2121 ),(, λ≠λσ∈λ A
xTx 1λ= Tx
}0{2
=λ
}0{\21 λλ∈ S S I x
1λ S
2121 0)( λ=λ⇒=λ−λ x
S I
#2. Polinom caracteristic al unui endomorfism
Definiţie. Fie o matrice pătratică de ordinul
n şi fie un vector coloană cu coeficienţi în corpul
. Dacă există un scalar λ ∈ astfel încât să aibă loc relaţia
)
1
111
nnn
n
M
aa
aa
A ∈
=
L
MOM
L
1( ) \{0}n X M ×= ∈ K
K
1
n
x
x
M
},{ CR ∈ K
AX X = λ , (1)atunci X se numeşte vector propriu al matricii A, iar λ se numeşte valoare proprie amatricii A şi notăm . Ecuaţia matriceală (1) se rescrie ( şi este
echivalentă cu sistemul liniar (numit sistem caracteristic al matricii A)
)( Aσ∈λ ) A I X − λ 0=
=λ−++
=+λ−+
=++λ−
0)
....................................
0(
0)(
2211
222121
112111
nnnnn
nn
nn
x xa xa
xaa xa
xaa xa
. (1')
Algebr ă liniar ă 65
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 71/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Fiind un sistem omogen, acesta are soluţii nebanale doar în cazul în care scalarulsatisface ecuaţia algebrică
λ
00)det()(
21
22212
11211
=
λ−
λ−
λ−
⇔=λ−=λ
nnnn
n
n
not
A
aaa
aaa
aaa
I A P
…
…
…
. (2)
2.1. Definiţii. a) Se numeşte polinomul caracteristic al matricei , polinomul A
)det()( I A P A λ−=λ .
b) Ecuaţia (2) este o ecuaţie algebrică de grad n în necunoscuta λ , şi senumeşte ecua ţ ia caracteristică a matricei A.
Observaţii. 1. Valorile proprii ale matricei A sunt soluţiile din K ale ecuaţieicaracteristice (2); mulţimea acestora formează spectrul matricii A, care se va nota prin
. Dacă notăm prin( ) Aσ ( ) Aσ mulţimea r ădăcinilor complexe ale polinomuluicaracteristic al matricii A, se observă că avem ( ) ( ) A Aσ σ = ∩ K .
2. Fie A o matrice pătratică reală de ordinul n şi ecuaţia ei
caracteristică. Deoarece nu orice ecuaţie algebrică admite soluţii în R , dar admitesoluţii în C, uneori valorile proprii ale lui A se definesc ca fiind elemente din C. Înacest caz vectorii proprii corespunzători apar ţin complexificatului lui notat C .
0)det( =λ− I A
nR
nR
Teoremă. 1) Fie )()(
,1, K nnn jiij M a A ×=
∈= . Polinomul caracteristic al
matricei A are expresia ))1(...()1()( 22
11 n
nnnnn P δ−+−λδ+λδ−λ−=λ −− , unde
♦ ( )1 2 11 1
Tr , , , m ( ), det , jj kk kj jk n jj n
j k n j n
A a a a a aδ δ δ δ −≤ < ≤ ≤ ≤
= = − = =∑ ∑… A
♦ se numeşte urma matricii A,nnij aaaaTr +++= …2211)(
♦ ) este minorul obţinut din matricea A prin eliminarea liniei şi coloanei a j-a,( jjam
♦ nk k ,1, =δ reprezint ă suma minorilor principali de ordinul k ai matricei . I A λ −
2) Matricele A şi A au acela şi polinom caracteristic.t
3) Două matrice asemenea au acela şi polinom caracteristic.
Demonstraţie. 1) Vom da demonstraţia pentru matricele de ordinul doi sau trei;obţinem prin calcul direct
22112
2221
1211 T,det)T()( aa Ar A Ar aa
aa P +=+λ−λ=
λ−
λ−=λ ;
iar pentru ordinul trei
,det)T()( 23
333231
232221
131211
A J Ar
aaa
aaa
aaa
P +λ−λ+λ−=
λ−
λ−
λ−
=λ
unde am folosit notaţiile
Cap.III. Vectori şi valori proprii66
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 72/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
3332
2322
3331
1311
2221
1211332211 ,T
aa
aa
aa
aa
aa
aa J aaa Ar ++=++= .
2) .)()det()(det)det()( λ=λ−=λ−=λ−=λ A
t t
A t P I A I A I A P
3) Fie A şi două matrice asemenea, adică , unde C este o matricenesingular ă. Atunci
' A AC C A 1' −=
=λ−=λ−=λ−=λ −− ])(det[)det()'det()( 11' C I AC I AC C I A P A
)()det(det)det()det( 1 λ=λ−=λ−= − A P I AC I AC
Pentru o matrice A reală (deci A coincide cu conjugata ei A ) şi simetrică ( ) putem da următoarea A A t =
2.3. Teoremă. Valorile proprii ale unei matrice reale şi simetrice sunt reale.
Demonstraţie. Conjugând relaţia (1) , rezultă (2)AX X = λ A X X = λ . În (1)
înmulţim la stânga cu tX , iar î n (2) înmulţim la stânga cu . Relaţiaimplică
tX A At=
t tX AX XA X = şi deci obţinem ( ) . Cum vectorul X este nenul,
avem
λ λ− t =X X 0
R ∈λ⇒λ=λ⇒≠ 0 X X t .
Exemple. 1. Aflaţi valorile şi vectorii proprii pentru matricea
=
−−
−
−
−
3112
1112
2420
1202
A .
Soluţie. Polinomul caracteristic are drept
r ădăcini valorile proprii ale matricii A, Sistemul caracteristic
(1) se scrie , şi este echivalent cu sistemul (1')
4)2()det()( −λ=λ−=λ I A P A
.2432 =λ=λ=λ=1λ
)4,,,(,2 321 x x x x X X AX t ==
=+−−
=−
02
02
4321
43
x x x x
x x
Obţinem . şi notâ nd şi soluţia se scrie34312 2,2 x x x x x =+= a x =1 b x =3
R ∈==+== bab xb xba xa x ,,2,,2, 4321 .
Rezultă , deci valorii proprii λ îicorespund doi vectori proprii liniar independenţi
)2,1,1,0()0,0,2,1()2,,2,( t t t babbbaa X +=+= 2=
)0,0,2,1(1t v = şi ,)2,1,1,0(2
t v =
bază a subspaţiului propriu . Se observă că .),( 211vv LS =λ
4dim42dim1
R =<=λS
2. Aflaţi valorile şi vectorii proprii pentru matricea .
=
−−
−−
363
033
066
A
Algebr ă liniar ă 67
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 73/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 74/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Exemplu. Aflaţi valorile şi vectorii proprii ai endomorfismului
descris de matricea .
)( 3R End T ∈
=
−
−
010
120
002
A
Soluţie. Polinomul caracteristic al endomorfismului T este)2()1()( 2 −λ+λ−=λ P ,
valorile proprii sunt λ ; doi vectori proprii asociaţi sunt (temă,
verificaţi):
1,2 321 −=λ=λ=
)1,1,0(),0,0,1( 21 == vv .
#3. Forma diagonală a unui endomorfism
Dat fiind un endomorfism , s-a văzut că matriceadepinde de alegerea bazei . Apare natural întrebarea dacă există o bază în V
relativ la care matricea endomorfismului să aibă o formă cât mai simplă (canonică),spre exemplu cu un număr cât mai mare de coeficienţi nuli exceptând diagonala. Cuajutorul valorilor şi vectorilor proprii ai endomorfismului T vom realiza acest lucru încele ce urmează.
)( n End T V ∈ B][T A =
nnVB ⊂
3.1. Definiţie. Un endomorfism se numeşte diagonalizabil dacă
există o bază } astfel încât matricea lui relativ la această bază
să fie o matrice diagonală (cu toţi coeficienţii din afara diagonalei, nuli).
)( n End T V ∈
,...,{ 1 nee=B B][T A =
Matricele din clasa de asemănare a matricii A care corespundeendomorfismului diagonalizabil T relativ la baza , se numesc matrice
diagonalizabile (asociate endomorfismului T ).nV ⊂B
3.2. Teoremă. Un endomorfism este diagonalizabil dacă şi
numai dacă exist ă o baz ă a spa ţ iului format ă din vectorii proprii ai
endomorfismului.
)( n End T V ∈
V n
Demonstraţie. Dacă T este diagonalizabil, atunci există o bază a
spaţiului faţă de care matricea lui T este diagonală, deci este de forma
},...,{ 1 nee=B
=
nna
a
a
A
K
MOMM
K
K
00
00
00
22
11
.
Deci au loc relaţiile nieaTe iiii ,1, == , adică vectorii nii ,1, =e sunt vectori proprii ai
endomorfismului T , asociaţi respectiv valorilor proprii niaii ,1, = .
Algebr ă liniar ă 69
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 75/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Reciproc, dacă }B este o bază în V , formată din vectori
proprii ai lui T , adică au loc relaţiile
,...,,{' 21 nvvv= n
nivii ,1, =λTvi = , atunci matricea lui T relativ
la această bază este
==
λ
λ
λ
n
T D
K
MOMM
K
K
00
020
001
'][ B ,
unde scalarii λ nu sunt neapărat distincţi. i
3.3. Definiţii. Fie λ o valoare proprie a endomorfismului T .)(T σ∈
a) Se numeşte multiplicitate algebrică a valorii proprii şi o notăm prin, ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ ca r ădăcină a polinomului
caracteristic asociat endomorfismului T .
λ( )am λ
b) Se numeşte multiplicitate geometrică a valorii proprii şi o notăm prin, dimensiunea subspaţiului vectorial asociat valorii proprii .
λ( ) g m λ λS λ
Teoremă. Dimensiunea unui subspa ţ iu propriu al endomorfismului
este cel mult egal ă cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii
corespunz ătoare subspa ţ iului .
0 λ S
)( n End T V ∈
)(0 Aσ∈λ0
λ S
Deci multiplicitatea geometrică a unei valori proprii este totdeauna cel multegală cu cea algebrică.
Demonstraţie. Fie λ o valoare proprie multiplă de ordinul m şi subspaţiul
propriu corespunzător. Avem ; fie o bază în
subspaţiul propriu . Distingem următoarele cazuri:
0
0λ
0 λ S
} pen p ≤=λ0 dim S ,...,,{ 21 ee=B
S
♦ Dacă , atunci ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ este n, căci relativ
la această bază matricea transformării liniare este diagonală
n p = 0
nn
P T A )()1()(][ 0
000
000
000
λ−λ−=λ⇒
==
λ
λ
λ
K
MOMM
K
K
B .
♦ Dacă , completăm această bază până la o bază în V de forman p < n
},...,;,...,{ 11 n p p eeee +=B .
Ţinând cont că vectorii piei ,1, = sunt vectori proprii asociaţi valorii proprii λ , au
loc descompunerile0
∑=
+===λ=n
k
k kj jii n p jeaeT pieeT 1
0 ,1,)(;,1,)( .
Matricea lui T faţă de baza B va fi deciCap.III. Vectori şi valori proprii70
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 76/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
==
+
+λ
+λ+λ
nnanp
a
pna pp
a
na
pa
na
pa
T A
KK
MOMOMM
KK
MMMOMM
KK
KK
10000
1000
02120
00
111000
][ B ,
şi deci polinomul caracteristic al lui T are forma
λ−+
λ−+=λλλ−λ=λ−=λ
nnanp
a
pna pp
a
QQ I A P p
K
MOM
K
1
1)(),()()det()( 0 .
Deoarece , rezultă că ordinul m al valorii proprii este cel puţin p,
deci .
)(|)( 0 λλ−λ P p
m p ≤
3.4. Teoremă. Fie endomorfismul . Atunci următoarele afirma ţ ii
sunt echivalente:
)( n End T V ∈
(i) T este diagonalizabil;
(ii) polinomul caracteristic al endomorfismului T are cele n r ăd ăcini în
corpul K şi dimensiunea fiecărui subspa ţ iu propriu este egal ă cu ordinul
de multiplicitate al valorii proprii corespunz ătoare (pe scurt, ( )T σ ⊂ K şi
, ) .)(T σ∈λ∀ ( ) ( )a g m mλ λ =
Demonstraţie. Fie diagonalizabil, deci există o bază în
, formată din vectori proprii pentru T , faţă de care matricea lui T este diagonală.
Descompunem polinomul caracteristic P deci
)( n End T V ∈ },...,{ 1 nee=B
p
m p( ) ,λ λ−
V n
m m( ) ( ) ( ) ...λ λ λ λ λ= − −1 2
1 2
pi ,1=i ,λ sunt valorile proprii ale lui T de multiplicităţi m care satisfac relaţiai
m nii
p
==
∑ .1
Făr ă a afecta generalitatea, admitem că primii m vectori din baza { , corespund lui λ , următorii lui λ etc. În concluzie, vectorii e apar ţin
subspaţiului propriu corespunzător valorii proprii λ , ceea ce înseamnă că numărul lor m este cel mult egal cu . Pe de altă parte, conform teoremei 3.3,
avem În concluzie . Analog, rezultă
1 ... , }e en1
em11
m≤
m2 2
dim
=
1 ,...,
1 λS 1
1
1 λ
1 λS
1dim λS .dim 1S 1m
pimS i λi,2,dim == .
Reciproc, fie pimS i λi,1,dim == . Consider ăm familia de vectori din V n
∑=
++ ==−
n
i
immmmm nmeeeeee p p
1111 },,...,,...,,...,,,...,{
1211B ,
Algebr ă liniar ă 71
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 77/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
aleasă astfel încât primii m vectori să constituie o bază în , următorii să
constituie o bază în , etc. Prin inducţie după p , se poate ar ăta că B este bază
în V . Relativ la această bază, matricea endomorfismului are forma
următoare
1 1 λS
nV :
m2
2 λS
n nT V →
==
λ
λ
λ
λ
λλ
p
O
p
p
O
T A
...000
............
0...0
0...00
0000
01...00
............
0...1000...01
][
M
M
KKOKK
M
M
B
deci o matrice diagonală. Prin urmare endomorfismul T este diagonalizabil.
Corolar. Dacă ) este diagonalizabil, atunci are loc descompunerea End T nV (∈
pS S S n λλλ ⊕⊕⊕= ...
21V .
Fie un K -spaţiu vectorial, iar un endomorfism al acestuia.
Pentru a obţine forma diagonală a lui T , putem da următorul algoritm.nV ) End T nV (∈
Algoritm de diagonalizare.
1. Fixăm o bază oarecare şi determinăm matriceanVB ⊂
n jiijaT A,1,
)(][=
== B a endomorfismului T în această bază.
2. Aflăm valorile proprii ale endomorfismului, soluţiile în corpul K aleecuaţiei . Dacă , atunci algoritmul stopează, iar endomorfismul T
nu este diagonalizabil.
0)( =λ A P K ⊄σ )(T
3. Dacă şi este format din valori proprii distincte
cu ordinele de multiplicitate respectiv m calculăm rangul fiecăreimatrice
K ⊂σ )(T p p n( ≤
m p1,..., ,
)
λλ1 ,..., p
p j ,1= I A j ,λ− . Dacă avem p jm Arang j ,1,( =λ−
λ− I A j
n I j ) −=
0) = X
, adică spaţiul
vectorial al soluţiilor sistemului omogen ( satisface condiţia
p jmS j j,1,dim ==λ
atunci (cf. teoremei 3.4) endomorfismul T este diagonalizabil şi se trece la pasul 4;altfel T nu este diagonalizabil, şi algoritmul stopează.
4. Se rezolvă cele p sisteme omogene
p j X I A j ,1,0)( ==λ− ,
Cap.III. Vectori şi valori proprii72
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 78/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
ale căror soluţii formează subspaţiile proprii p jS j
,1, =λ . Astfel obţinem practic câte
o bază formată din vectori proprii, pentru fiecare subspaţiu propriu jB jm
p,1 jS j, =λ .
5. Reunim cele p baze ale subspaţiilor proprii, formând o bază spaţiului vectorial pBBBB ∪∪∪= K21' a nV .
6. Relativ la această bază matricea este matrice diagonală, şiare pe diagonală valorile proprii λ λ fiecare dintre acestea
apărând de un număr de ori egal cu ordinul său de multiplicitate.
'B '][' BT A D ==
λ... ; ,..., p λ1 1,..., ; , p
1
1 3
7. Construim matricea diagonalizatoare (matricea modal ă) C , matricea detrecere de la baza B la B , C .' BB ]'[=
8. Verificăm corectitudinea calculelor, testând relaţia sub formaechivalentă .
AC C D 1−=
AC CD =
Exemple. 1. Determinaţi dacă endomorfismul , definit prin
matricea asociată relativ la baza canonică
)( 3R End T ∈
=
−−−
321
352
572
A
este diagonalizabil sau nu. Soluţie. Obţinem prin calcul polinomul caracteristic, o
singur ă valoare proprie distinctă, , r ădăcină triplă a polinomului caracteristic
(m ). Avem
;)2()( 3−λ=λ P
21 =λ
1 3=
31dim0332rang)2(rang 11 1
121
332
5-7-4-
=≠=⇒=−=−≠=
=− λ mS mn I A .
Deci endomorfismul T nu este diagonalizabil.2. Diagonalizaţi endomorfismul a cărui expresie analitică este)( 4
R End T ∈4
432143143241 ),,,(),32,2,,()( R ∈=∀+−−−−+−= x x x x x x x x x x x x x xT .
Soluţie. În raport cu baza canonică a lui , matricea lui T este R4
=
−
−−
−
−
3201
2100
0010 1001 A .
Obţinem polinomul caracteristic)4()1)(2()det()( 2 −λ+λ+λ=λ−=λ I A P
şi valorile proprii . Ordinele de multiplicitate ale
valorilor proprii sunt respectiv m m .
4,1,2 4321 =λ−=λ=λ−=λ
m1 2 31 2= =, , =
Deoarece , prin rezolvarea sistemului omogen
obţinem vectorul propriu generator .
rang( ) A I n m− = = − = − =λ1 13 4
,0)2( =+ X I A )1,2,0,1(1
−= t
vAlgebr ă liniar ă 73
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 79/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Analog, deci , iar vectorii proprii
corespunzători sunt .
rang( ) A I n m− = = − = −λ2 22 4
1,0,2(),0,0,1,0( 32t t vv ==
2 2dim2
=λS
)0,
Obţinem , deci vectorul propriu corespunzător valorii
proprii λ este v .34 3)(rang mn I A −==λ−
6 )5,2,0,1(4 −= t
4 =
Deci baza B a spaţiului relativ la care matricea endomorfismului T estediagonală, este . În concluzie endomorfismul T este diagonalizabil,
cu matricea diagonalizatoare C şi matricea diagonală D date respectiv de
'B
4 R
}4v,,,{' 321 vvv=
==−
−
5001
2102
0010
1201
],,,[ 4321 vvvvC , .
==−
−
−
−
4000
0100
0010
0002
1 AC C D
#4. Forma canonică Jordan
Fie un K -spaţiu vectorial şi un endomorfism al acestuia.
Matricea A a lui T depinde de alegerea bazei în . Condiţiile în care matricea A se
poate diagonaliza au fost date în teoremele 3.2 şi 3.4. În cazul în care aceste condiţiinu sunt toate satisf ăcute, deci când diagonalizarea nu este posibilă, se poate testa dacă endomorfismul admite o formă canonică mai generală, numită forma Jordan.
V n )( n End T V ∈
V n
4.1.Definiţii. a) Fie . Se numeşte celulă Jordan de ordinul m ataşată
scalarului , şi se notează prin , matricea
λ ∈ K
m J λ
)()(
00
100
010
01
K mxmm M J ∈
=λ
λ
λ
λ
KK
KK
MM
K
KK
Spre exemplu, avem următoarele celule Jordan
)()1( 333
100
110
011
C x M i J
i
i
i
∈
=+
+
+
+
,
)(30
13)3( 222 R x M J ∈
= , şi .)()7()7( 111 R x M J ∈=
b) Endomorfismul T se numeşte jordanizabil dacă există o bază
în faţă de care matricea endomorfismului să fie de forma
)( n End V ∈
V n
=
p J
J
J
J
K
MOMM
K
K
00
020
001
Cap.III. Vectori şi valori proprii74
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 80/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
( forma canonică Jordan) , unde J sunt celule Jordan ataşate valorilor proprii λ , i i
pi ,1= ale endomorfismului T .
O celulă Jordan de ordinul s ataşată unei valori proprii multiplă de
ordinul corespunde vectorilor liniar independenţi care satisfac
următoarele relaţii
)(T σ∈λ
see ,...,2 sm ≥ e ,1
+λ=
+λ=
λ=
− .
,
1
122
11
s s eeTe
eeTe
eTe
s
K
După cum se observă din prima ecuaţie, vectorul e este propriu; vectorii se
numesc vectori principali.
1 see ,...,2
Observaţii. 1. Există endomorfisme ale spaţiilor vectoriale reale care nu admit
formă Jordan, şi anume acelea pentru care corpul K este R (deci K nu este corp
algebric închis) iar ecuaţia caracteristică nu are toate cele n r ădăcini în R
( ). Spre exemplu, endomorfismul T ,R K =⊄σ )(T )( 2R End ∈
2
2112 ),(),,()( R ∈=∀−= x x x x x xT ,
are drept valori proprii numerele complexe imaginare .R ∉± i
2. Endomorfismele spaţiilor complexe admit totdeauna la forma Jordan,
deoarece orice ecuaţie algebrică de gradul n cu coeficienţi complecşi are toate cele n
r ădăcini în corpul .CK =3. Forma diagonală a unui endomorfism diagonalizabil este un caz particular
de formă canonică Jordan, anume cazul când toate celulele Jordan sunt de ordinul
unu.
4. Forma canonică Jordan asociată unui endomorfism dat nu este unic
determinată. Doar numărul celulelor Jordan (care este egal cu numărul maximal de
vectori proprii liniar independenţi ai lui T ) precum şi structura internă a celulelor
Jordan sunt unice. Ceea ce nu este unic determinat este ordinea celulelor Jordan pe
"diagonala" matricii canonice Jordan. Această ordine depinde de ordinea vectorilor
din baza B - formată din vectori proprii şi princpali ai endomorfismului T .'
5. Se poate ar ăta că pentru un un endomorfism T al K -spaţiului
vectorial , ce are valorile proprii distincte λ de multiplicităţi respectiv
(∑ ), există p subspaţii vectoriale
)( n End V ∈
λ pV n
pm,
1 ,...,
mm ,, 21 K
=
= p
k
k nm1
p j j ,1, =⊂V V , astfel încât
sunt satisf ăcute următoarele proprietăţi:
♦ p jm j j ,1, ==V dim ;
♦ subspaţiile V sunt invariante faţă de T; j
Algebr ă liniar ă 75
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 81/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
♦ p j I N j j m j j ,1,/ =λ+=VT , cu endomorfism nilpotent de ordin cel mult ; j N jm
♦ are loc descompunerea în sumă directă
pn V V V V 21 ⊕⊕⊕= … .
Pe baza acestui rezultat, se poate demonstra următoarea teoremă:
Teorema Jordan. Fie un K - spa ţ iu vectorial n-dimensional. Dacă
endomorfismul are valorile proprii în corpul K , atunci exist ă o baz ă în
(numit ă bază Jordan) fa ţă de care matricea lui T are forma Jordan..
V n
)( n End T V ∈
V n
Algoritm pentru găsirea unei baze Jordan
1. Se fixează o bază în şi se determină matricea A ataşată endomorfismului.
V n
)( n End T V ∈
2. Prin rezolvarea ecuaţiei caracteristice ; se determină
valorile proprii distincte λ , multiple de ordinul respectiv
0)det()( =λ−≡λ I A P A
j p jm j ,1, = . Algoritmul
continuă doar dacă p j ,1, ∈∀K j ∈λ (sau, echivalent, ), altfel
endomorfismul nu este jordanizabil.
∑=
p
j
jm1
= n
3. Se află vectorii proprii liniar independenţi corespunzători fiecărei valori
proprii . jλ
4. Se calculează numărul de celule Jordan, pentru fiecare valoare propriedistinctă în parte, număr egal cu dim . jλ )(rangdim I AS jn j
λ−−=λ V
5. Se rezolvă sistemul ( ) , pentru fiecare A I X j
m j− λ 0= p j ,1= .
Pentru p j ,1∈ fixat, soluţiile vectori nenuli generează subspaţiul . Practic, se
determină întâi forma vectorilor proprii v ce generează prin rezolvarea sistemului j
S λ
jS λ
0)( =λ− v I A j .
Distingem cazurile:
♦ , caz în care se determină o bază a subspaţiului formată din vectori proprii (soluţiile fundamentale ale sistemului de mai sus).
jmS j =λdim jm
jB j jS V =λ
♦ , caz în care avem jmS j
≤λdim j j j jS S V V ≠⊂ λλ , .
În acest caz se determină forma generală v a vectorilor proprii din , se calculează
numărul de vectori principali asociaţi, şi se află aceşti vectori,
rezolvând succesiv sistemele liniare
jS λ
jS m j λ− dim
12 )(,,)( −=λ−=λ− s s ww I Avw I A … .
La fiecare sistem în parte se verifică compatibilitatea acestuia, şi ţinând cont şi de
condiţiile sistemelor anterioare se obţin informaţii relativ la vectorul propriu generic v Cap.III. Vectori şi valori proprii76
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 82/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
căruia i se asociază aceşti vectori principali; apoi, în caz că acesta sistemul estecompatibil, se rezolvă.Se determină în acest mod un număr de seturi de vectori, ce conţin
fiecare câte un vector propriu v din baza spaţiului şi vectori principali asociaţi
acestuia (în cazul în care sistemele ce produc vectori principali asociaţi lui v suntcompatibile).
jS n j λ= dim
jS λ
Familia ordonată a acestor seturi corespunde la o familie de celule Jordan
aşezate pe diagonala matricii formei canonice Jordan, şi determină o bază în
subspaţiul invariant asociat valorii proprii λ .
jn jn
jB
jV j
6. Se reunesc cele p baze ale subspaţiilor invariante , formând o bază jV
pBBBB ∪∪∪= …21'
a spaţiului vectorial nV .
7. Relativ la această bază ' matricea este matrice în formă canonică Jordan, şi are pe diagonală celulele Jordan asociate valorilor proprii
, dispuse în ordinea în care apar în baza B seturile de vectori (formate din
căte un vector propriu urmat, eventual, de vectorii principali asociaţi (daca aceştiaexistă).
B '][' BT A J ==
' pλλ ,...,1
Celulele Jordan au ordinul egal cu numarul de vectori din setul corespunzător, şiconţin valoarea proprie ataşată setului de vectori.
8. Se construieşte matricea jordanizatoare C , adică matricea C de
trecere de la baza B la B .BB ]'[=
'
9. Se verifică corectitudinea calculelor, testând relaţia AC C J 1−=
sub forma echivalentă . AC CJ =
Exemplu. Să se afle forma canonică Jordan a endomorfismului T ,)( 4
R End ∈
)617,7,24,2()( 432143212121 x x x x x x x x x x x x xT −−−−+++−−+= ,4
4321 ),,,( R ∈=∀ x x x x x .
Soluţia I. Matricea endomorfismului T relativ la baza canonică a spaţiuluivectorial este4
R
=
−−−−
−−
11617
1117
00240012
A .
Ecuaţia caracteristică 0 are soluţia multiplă de ordin .
Avem ra
4 =λ λ==λ 01 41 =m
ng( ) A I − =λ 2 , deci numărul celulelor Jordan este egal cu224dim)(rang =−==λ−− λS I An .
Ordinele celor două celule Jordan pot fi: ambele de ordin 2, sau una de ordin 3 şicealaltă de ordin 1.
Algebr ă liniar ă 77
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 83/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Determinăm situaţia în care ne aflăm, folosind indicele de nilpotenţă al restricţiei; pentru aceasta aflăm subspaţiul . Deoarece
11/1 V Id T N λ−=
V
41 )(Ker Id T λ−=V
44
2
2
11617
1117
0024
0012
)( xO I A =
−−−−
−−
=λ− ,
obţinem,
41
4
32
)(
)()()(
R =V =V =λ−=
=λ−=λ−⊂λ−=λ
Id T
Id T Id T Id T S
Ker
Ker Ker Ker
unde am notat prin Id transformarea idantică a spaţiului vectorial . Rezultă că indicele de nilpotenţă h al restricţiei este egal cu 2.
4R
1 N
Deoarece şi , rezultă că
numărul celulelor Jordan de tip hxh=2x2 este egal cu
4)(Ker dim 2 =λ− I T 2dim)(Ker dim ==λ− λS I T
224)(Kerdim)(Kerdim 2 =−=λ−−λ− J T J T .
Prin urmare forma Jordan este , unde .
=
20
01 J
J J
=
λ
λ==
00
10
0
121 J J
Soluţia II. Deoarece , rezultă că valorii
proprii îi corespund doi vectori proprii liniar independenţi pe care-ideterminăm rezolvând sistemul omogen dublu nedeterminat
2dim2)(rang =⇒=λ− λS I A
0=λ
=−−−−
=+++=−−
=+
⇔==λ−
.0617
07024
02
),,,(,0)(
4321
4321
21
21
4321
x x x x
x x x x
x x
x x
x x x xvv I A t
Notând obţinem , deci soluţia generală
a sistemului are forma , sau .
x a x3 4= =, b
)
d
5/)(2,5/)( 21 ba xba x +=+−=
( )bababa ,,5/)(2,5/) ++ ba −≠vt (−= 0≠b
Deci există maximum doi vectori proprii liniar independenţi.Deoarece diferenţa dintre multiplicitatea algebrică şi cea geometrică a valorii
proprii este , vom determina 2 vectori principali, precum si vectorii proprii
cărora aceştia le corespund. Fie un vector principal; acestasatisface sistemul neomogen
224 =−
( 43212 ,,, uuuuw
t
=
=−−−−
=+++
+=−−
+−=+
⇔=λ−
.617
7
5/)(224
5/)(2
)(
4321
4321
21
21
2
buuuu
auuuu
bauu
bauu
vw I A
Notând obţinem soluţia sistemului (care este compatibil nedeterminat, verificaţi !),
u c u3 4= =,
R ∈∀ ba,
++−−−−+= d c
d cbad cbaw
t
,,25
1010717,
25
5562
.
Cap.III. Vectori şi valori proprii78
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 84/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 85/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
R ∈λ⇒λ=><
><=
><
><=
><
><=λ
x x
xTx
x x
Tx x
x x
xTx
,
,
,
,
,
,.
2) Fie λ valori proprii ale lui T şi vectori proprii corespunzători.
Atunci avem
21 λ≠ V , ∈21 vv
,><λ>=λ>=<< 21121121 ,,, vvvvvTv
><λ>=<λ>=λ>=<>=<< 2122122212121 ,,,,, vvvvvvTvvvTv .
Prin scădere rezultă ; dar întrucât λ , avem
, deci cei doi vectori proprii sunt ortogonali.
0
T a
,)( 2121 >=<λ−λ vv 21 λ≠
0, 21 >=< vv
Observaţii. 1. Pentru un endomorfism antihermitic valorile proprii sunt pur
imaginare sau nule, iar vectorii proprii corespunzători au aceleaşi proprietăţi ca şi în
cazul hermitic.
2. Pe spaţiile euclidiene reale, toate r ădăcinile complexe ale polinomului
caracteristic ale unui endomorfism simetric sunt reale, iar valorile proprii (reale, încaz că acestea există) ale unui endomorfism antisimetric sunt nule. Dacă este un
spaţiu euclidian real n- dimensional, iar este simetric, atunci T posedă n
vectori proprii care constituie o bază ortogonală a lui . Această proprietate nu este
adevărată pentru un endomorfism antisimetric.
V n
)(V End T ∈
V n
Corolar. Fie un K -spaţiu vectorial n-dimensional, iar T un
endomorfism simetric ( pentru cazul K =R ), sau hermitic ( pentru cazul K =C).
nV )(n
V End ∈
Atunci exist ă o baz ă ortonormată astfel încât matricea [
endomorfismului T relativ la baza este matrice diagonal ă (deci endomorfismul T
este diagonalizabil).
nV ⊂'B ']B
'B
Exemplu. Ar ătaţi că endomorfismul T al spaţiului vectorial
euclidian complex dat prin matricea A este hermitic, apoi diagonalizaţi, unde
)( 3C End ∈
3 C
)(
400
03
03
3 C M i
i
A ∈
−
= .
Soluţie. T este endomorfism hermitic, deoarece baza canonică 3
321 )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({ CB ⊂==== eee este ortonormată, iar matricea asociată endomorfismului relativ la această bază
este matrice hermitică (satisface relaţiaB][T A = A A t = ). Determinăm o bază
faţă de care matricea endomorfismului să aibă forma diagonală. Valorile
proprii sunt reale: λ λ , iar vectorii proprii corespunzători sunt
pentru λ = şi , pentru λ = , şi sunt ortogonali
doi câte doi. Normând vectorii proprii obţinem baza ortonormată
3CB ⊂′
0,,1(1 = iv
λ1 2 32= = =,
) 4 v
4
1,0,0(), 2 =v )0,1,(3 i= 2
=
==
=== 23
3
32
1
11 ,0,
2
1,
2,0,
2,
2
1' vu
i
v
vu
i
v
vuB .
Cap.III. Vectori şi valori proprii80
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 86/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Matricea de trecere de la baza canonică la baza şi matricea diagonală
asociată sunt deci
'B
1/ 2 / 2 0
/ 2 1/ 2 0
0 0
i
C i
=
1
, .
=== −
400
020
0041
'][ AC C D B A
5.2. Teoremă. Fie V un spa ţ iu euclidian complex/real şi un
endomorfism unitar ( pentru K =C), sau ortogonal ( pentru K =R ). Atunci:
V)( End T ∈
1) Valorile proprii ale endomorfismului T au modulul 1.
2) La valori proprii distincte ale lui T corespund vectori proprii ortogonali.
3) Dacă V este spa ţ iu vectorial complex n-dimensional, atunci T posed ă n
vectori proprii ortogonali doi câte doi.
Demonstraţie. Demonstr ăm proprietăţile 1) şi 2). 1) Fie T un morfism unitar, λ ∈
o valoare proprie a acestuia, şi un vector propriu corespunzător lui λ .
Rezultă relaţiile
C
}0{\V ∈ x
,,,
,,,,
>>=<<
><λλ>=λλ>=<<
x x xT xT
x x x x xT xT
unde λ este conjugatul complex al lui λ . Prin scădere rezultă 0,)1( >=<−λλ x x .
Deoarece < , rezultă 0, >≠ x x λλ sau− =1 0 λ2
=1, adică λ =1.
2) Fie valorile proprii λ şi vectori proprii asociaţi respectiv celor două
valori proprii. Atunci
λ1 ≠ 2 2 x x
1,
>>=<< 2121 ,, x x xT xT şi ><λλ>=λλ>=<< 2121221121 ,,, x x x x xT xT .
Prin scăderea acestor relaţii, rezultă
0,)1( 2121 >=<−λλ x x .
Deoarece valorile proprii au modulul unu şi sunt distincte, rezultă 0121 ≠−λλ ,
deci , şi deci vectorii şi sunt ortogonali. 0, 21 >=< x x x1 x2
Exemplu. Să se aplice teorema de mai sus endomorfismului T dat
prin matricea .
)( 3R End ∈
})12{(\,
cos0sin
010
sin0cos
π+∈
=∈
−
−
k t Ak
t t
t t
Z
R ∪
Soluţie. Matricea A a endomorfismului relativ la baza canonică este matrice
ortogonală ( A A ), iar baza canonică este ortonormată relativ la produsul scalar
canonic (temă, verificaţi); deci endomorfismul T este ortogonal.
I t =
Verificăm că valorile proprii ale endomorfismului au modulul egal
cu unitatea şi că vectorii proprii (cu coeficienţi complecşi) corespunzători sunt
ortogonali. Valorile proprii ale lui , adică soluţiile ecuaţiei det( , sunt
33: R R C C C →T
T C 0) =λ− I A
t it t it sincos,sincos,1 321 −=λ+=λ−=λ .
Algebr ă liniar ă 81
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 87/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Se observă că 1321 =λ=λ=λ . Vectorii proprii corespunzători sunt, după normare
3
321 )1,0,(2
1),1,0,(
2
1),0,1,0( C∈=−== ivivv .
Se verifică usor relaţiile de ortogonalitate în 3C
0,,0,,0, 133221 >=<>=<>=< vvvvvv ,
deci este o bază ortonormată (verificaţi !) complexă, relativ la
care transformarea liniar ă este diagonalizabilă, cu matricea
diagonală asociată
3
321 },,{' CB ⊂= vvv
)( 3R C End T ∈C
==
−
+
−
t it
t it T D
sincos00
0sincos0
001
'][ B
C .
Se mai observă că deşi T nu este diagonalizabilă ca endomorfism al spaţiului
(deoarece ), putem ataşa vectorilor v şi vectorii reali (care nu sunt
vectori proprii pentru endomorfismul T ):
3R
R ⊄σ )(T 2 3v
)0,0,1(2
1)Im()Im();1,0,0(
2
1)Re()Re( 323322 −=−===== vvuvvu ,
iar aceştia verifică condiţiile de ortogonalitate
0,,0,,0, 323121 >=<>=<>=< uuuvuv ,
deci am obţinut baza ortogonală care nu este formată din
vectori proprii, produsă de baza ortogonală din C .
3
321 },,{ R B ⊂=′′ uuv
,,{' 321 vvv=B } 3
#6. Polinoame de matrice. Funcţii de matrice
Fie End ∈ un endomorfism al K -spaţiului vectorial n-dimensional
şi
)(n
V T V n
))( ija A = (,1,
K nnn ji M ×=
∈ matricea acestuia relativ la o bază a lui .V n
6.1. Definiţie. Oricărui polinom cu coeficienţi din corpul K ,
][)( 01
1
1 t at at at at Q m
m
m
m K ∈++++= −− … ,
îi putem asocia polinomul de endomorfisme
)()( 01
1
1 n
m
m
m
m End J aT aT aT aT Q V ∈++++= −
− …
,şi polinomul de matrice
,)()( 01
1
1 K nn
m
m
m
m M I a Aa Aa Aa AQ ×−
− ∈++++= …
unde este endomorfismul identic, iar este matricea
identitate de ordinul n .
)( n End J V ∈ )( K nn M I ×∈
Observaţie. Studiul polinoamelor de endomorfisme se reduce la studiul
polinoamelor de matrice; puterile de matrice se pot calcula relativ uşor, f ăcând uz de
forma canonică a matricilor respective, după cum urmează:
♦ dacă matricea A este similar ă cu o matrice diagonală D, atunci11221 ,,, −−− === C CD AC CD ACDC A mm
… ;
Cap.III. Vectori şi valori proprii82
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 88/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
♦ dacă matricea A este similar ă cu o matrice Jordan J , atunci11221 ,,, −−− === C CJ AC CJ ACJC A mm
… .
6.2. Teorema Cayley-Hamilton. Fie o matrice şi polinomul
caracteristic al matricii A. Atunci are loc relaţia , unde O este matriceanulă de ordinul n.
)(K nn M A ×∈
O A P =)(
A P
n n
Demonstraţie. Pentru o matrice arbitrar ă )C , are loc relaţia( K nn M ×∈
I C C C )(det=⋅ + , (*)
unde C este reciproca matricii C . Fie şi polinomul
său caracteristic. Considerând , unde I este matricea unitate de ordinul n,
egalitatea ( devine
+ )( K nn M A ×∈
I λ
P A( ) det( )λ = − I λ
AC −=)∗
I P I A I A )())(( λ=λ−λ− + . (**)
Prin construcţie este o matrice de polinoame de grad n 1, deci are forma+
λ− )( I A −0
2
2
1
1)( B B B I A n
n
n
n ++λ+λ=λ− −−
−−
+… ,
unde ,)(M K nni B ×∈ 1,0 −= ni . Fie polinomul caracteristic al matricii A:
nk aaaa P k
n
n
n
n ,0,,)( 0
1
1 ∈∀∈++λ+λ=λ −− K … ;
atunci egalitatea ( se rescrie)∗∗
I aaa B B B B I A n
n
n
n
n
n
n
n )())(( 0
1
101
2
2
1
1 ++λ+λ=+λ++λ+λλ− −−
−−
−− …… ,
sau, grupând după puterile lui λ ,
=+λ−++λ−+λ− −−−− 001
1
211 )()()( AB B AB B AB B n
nn
n
n …
I a I a I an
n 01 )()( +λ++λ= …
Prin identificare obţinem relaţiile
I a AB I a B AB I a B AB I a B nnnn 0010112101 ,,,, ==−=−=− −−−− … .
Amplificând aceste relaţii la stânga respectiv cu şi apoi adunându-le
membru cu membru, obţinem
I A A A nn ,,,, 1…
−
=++++= −− I a Aa Aa Aa A P nn
nn
1
1
10)( …
0002
1
2
1
11 =++−+−+−= −−
−−
−− AB AB B A B A B A B A n
n
n
n
n
n
n
n…
Corolar. Dacă este un endomorfism, iar este polinomul
său caracteristic, atunci are loc egalitatea de polinoame de endomorfisme
.
)( nV
End T ∈ )(λ P
OT P =)(
Exemple. 1. Calculaţi polinomul de matrice , unde)( AQ
496)( 23 −+−= t t t t Q , .)(
211
121
112
33 R x M A ∈
=
Algebr ă liniar ă 83
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 89/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Soluţie. Polinomul caracteristic al matricei A este)496()4()1()det()( 232 −λ+λ−λ−=−λ−λ=λ−=λ I A P A
şi deci, în baza teoremei Cayley-Hamilton avem ; f ăcând uz de aceasta,
prin calcul direct rezultă Q
O A P A =)(
O A P A A =−= )()( .
2. Se dă matricea . Calculaţi matricea inversă folosind
teorema Cayley-Hamilton.
=
200
120
012
A A−1
Soluţie. Polinomul caracteristic al matricii este
3)2()( λ−=λ A P .
Se observă că termenul liber al polinomului (care este egal cu determinantul matricii)
este 8, deci nenul, şi prin urmare matricea A este inversabilă. Aplicând teoremaCayley-Hamilton, avem , adică 0)( = A P A
081260)2( 233 =−+−⇔=− I A A A I A ,
sau încă, I A I A A I A A A =⋅+−≡+−⋅ 8/)126(8/)126( 22
de unde, prin amplificare cu , rezultă 1− A
−
−
=+−=−
2/100
4/12/10
8/14/12/1
8/)126( 21 I A A A .
6.3. Teoremă. Fie o matrice de ordin n. Atunci orice polinom
în A de grad cel pu ţ in n, poate fi exprimat printr-un polinom de gradul n 1.
)(K nn M A ×∈
− Demonstraţie. Polinomul caracteristic ataşat matricei A este
))1(()1()( 11 n
nnnn P δ−++λδ−λ−=λ −… ;
aplicând teorema Cayley-Hamilton, rezultă că puterea maximă a matricii A înare expresia
n A
)( A P
.)1(
11
1 I A A n
nnn
δ−+−δ=
+−…
Observaţii. 1. Se observă că prin recurenţă toate puterile ale
matricii A de ordin n se exprimă cu ajutorul puterilor .
A pn p+ ∈, N
I A An ,,,1…
−
2. Fie un K - spaţiu vectorial şi o serie de puteri
Această serie are sens pentru (spre exemplu numere reale, numere complexe,matrice pătratice, funcţii, polinoame, endomorfisme etc.) dacă putem defini puterea
. În cele ce urmează vom presupune cunoscute rezultatele din analiza matematică privind convergenţa seriilor de puteri.
V K ∈= ∑ m
m
m
m at at f ,)( .
V ∈t
tm
Cap.III. Vectori şi valori proprii84
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 90/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
6.4. Definiţii. Fie un endomorfism arbitrar şi A matricea
pătratică de ordinul n asociată lui T relativ la o bază din .
)(n
V End T ∈
V n
a) Se numeşte serie de matrice, iar suma acesteia se numeşte func ţ ie de
matrice, o serie de forma
N∈∀∈∑∞
=
ma Aa m
m
m ,,0
K m .
b) Se numeşte serie de endomorfism, iar suma acesteia se numeşte func ţ ie de
endomorfism, o serie de forma
N∈∀∈∑∞
=
maT a m
m
m ,,0
K m .
Observaţii. 1. Pe spaţiile finit dimensionale, studiul seriilor de endomorfisme
se reduce la studiul seriilor de matrice.
2. Conform consecinţei teoremei Cayley-Hamilton, funcţia de matricese reduce la un polinom Q A de gradul n 1 în A, unde n este
ordinul matricei A. Dacă este convergentă, atunci coeficienţii polinomului
sunt serii convergente.
m
m
m Aa A f ∑∈
=N
)(
Q A( )
( ) −
a Am
m
m ∑
3. În cazul când A admite valorile proprii distincte, , polinomul de
gradul n 1 ataşat seriei ∑ se poate scrie în forma Lagrangenλλ ,,1 …
− a Am
m
m
)()())(()(
)())(()()(
1 111
111 j
n
j n j j j j j j
n j j f
I A I A I A I A A f λ
λ−λλ−λλ−λλ−λ
λ−λ−λ−λ−= ∑
= +−
+−
……
……
,
sau sub forma
f A Z f j j
j
n
( ) ( ),==
∑ λ1
(1)
unde nu depind de funcţia f şi deci pot fi determinate prin
particularizarea funcţiei f . În cazul valorilor proprii multiple se arată că
)(K nn j M Z ×∈
∑ ∑=
−
=
λ= p
k
m
j
k
j
kj
k
f Z A f 1
1
0
)( )()( ,
unde sunt valorile derivatei de ordinul j a lui f , iar Z sunt
matrice independente de funcţia f .
f j( )(.)
kj n n∈ ×M ( )K
4. În particular putem defini următoarele funcţii de matrice
∑∑∑ ∞
=
∞
=
+∞
=
−=+
−==0
2
0
12
0 )!2()1(cos,
)!12()1(sin,
! m
mm
m
mm
m
m A
m
A A
m
A A
m
Ae .
Seriile din membrul drept având raza de convergenţă . Funcţia de matrice e senumeşte matricea exponen ţ ial ă. Deseori, în loc de e vom utiliza funcţia de matrice
(de exemplu, în teoria sistemelor diferenţiale liniare cu coeficienţi
constanţi).
∞ A
A
e tAt, ∈ R
Algebr ă liniar ă 85
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 91/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Exemplu. Calculaţi funcţia de matrice e , unde .At
= −
400
130
322
A
Soluţie. Valorile proprii distincte ale matricii A sunt4,3,2 321 =λ=λ=λ ;
prin înlocuire în relaţia (1) obţinem
321 )4()3()2()( Z f Z f Z f A f ++= . (2)
Matricele Z j nu depind de f ; le aflăm particularizând funcţia f succesiv:j, ,,=12 3
32122
321
321
1694)()(
543)(1)(
321)(1)(
Z Z Z A A f z z f
Z Z Z I A A f z z f
Z Z Z I A A f z z f
++=≡⇒=
++=+≡⇒+=
⋅+⋅+⋅=−≡⇒−=
de unde obţinem sistemul matriceal
=++
+=++−=++
2321
321
321
1694
54332
A Z Z Z
I A Z Z Z
I A Z Z Z
,
care admite soluţia
)65(2
1,86),127(
2
1 23
22
21 I A A Z I A A Z I A A Z +−=−+−=+−= .
Pentru , prin înlocuirea funcţiei f şi a soluţiei în relaţia (2),
obţinem
f A eAt
( )= 321 ,, Z Z Z
])65()86(2)127[(2
1 423222 t t t At e I A Ae I A Ae I A Ae +−+−+−++−= .
#7. Probleme propuse
1. Fie V spaţiul vectorial al funcţiilor reale de clasă pe intervalul deschis. Aflaţi valorile proprii şi vectorii proprii ai endomorfismului
C ∞
( ,)01
: , ( ) , unde ( ) ( ), (0,1)T T f g g x xf x x′→ = = ∀ ∈V V .
R : { }( ) ; ( ), ( ) , (0,1),T T S f f x cx xλ σ λ σ
λ = ∀ ∈ = = ∀ ∈ ∈R R c .
2. Diagonalizaţi matricea A. Formulări echivalente :
♦ să se determine o bază formată din vectori proprii ai transformării liniare T a căreimatrice asociată relativ la baza canonică este A, T ; AT End =∈ BR ][),( 3
♦ să se determine o bază în care transformarea T are matricea asociata diagonală;♦ să se afle valorile proprii şi vectorii proprii ai transformării liniare T ai matricei A.
a) , b) , c) ,
=
−−
−
−
444
174
147
A
=
−−
−−
163
053
064
A
=
−100
002
023
A
Cap.III. Vectori şi valori proprii86
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 92/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
d) , e) , f)
=
−
−
−
422
633
211
A
=
−−− 122
020
021
A
=
−−−
221
342
573
A
R . a) σ( A)={3,3,12}, b) σ ( A)={1,1,-2}, c) σ ( A)={-1,-1,4}, d) σ ( A)={2,0,0},
e) σ (A)={-1 ,1, 2}.Vectorii proprii - temă a,c,d,f . b) B ,
.
)}1,1,1(),1,0,0(),0,1,2({ 321 −==−==′ t t t vvv
−
=′200
010
001
B
=
−−
=′= ][,
110
101
102
][B
B T DC
e) B , C .)}2,1,2(3),1,0,1(2),1,0,0(1{ −=−===′ t v
t v
t v
−
=
−−
=
200
010
001
,
211
100
210
D
3. Să se determine polinomul caracteristic al matricei Frobenius
=
−
0100
0000
0001121
…
…
…
… nn p p p p
A , unde .R ∈n p p …,1
R. .)()1()()( 12
22
21
11
nnn
nnnn
A p p p p p P +λ+λ++λ+λ−+λ−=λ −−−−−
…
4. Fie V spaţiul vectorial al funcţiilor reale continue pe intervalul. Aflaţi valorile proprii şi vectorii proprii pentru endomorfismul
0[0,1]C =]1,0[
1
0: ( ) , unde ( ) ( ) , [0,1]T , T f g g x x f t dt x→ = = ∀ ∈∫V V .
R : { } { }1
0 102
1( ) 0, ; ( ) 0 , ( ) ,
2T S f f t dt S f f x cx c
λ λ
σ ==
= = ∈ = = ∈ =
∫ R V V ∈ .
5. Să se studieze dacă matricea poate fi diagonalizată. În
caz afirmativ aflaţi matricea modală (diagonalizatoare) C .
=
−−62012200
0020
1002
A
R. Da. .
=
==λ=λ=λ=σ−
−
5100
2201
0010
1102
7000
0100
0020
0002
,},7,1,2{)( 432,1 C D A
6. Date fiind matricile care satisfac relaţia pentru
un scalar , să se arate că polinoamele caracteristice ale acestora satisfac relaţia
)(, R nn M B A ×∈ nbI A B −=
R ∈b)()( b P P A B +λ=λ .
Algebr ă liniar ă 87
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 93/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 94/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
deoarece A este matrice simetrică, transformarea T este diagonalizabilă; vectorii
bazei ortonormate căutate sunt coloanele matricii modale C .
b) A este matrice simetrică, deci diagonalizabilă; se obţine:
=′−−=σ
−0,
5
1,
5
2,,0,
5
2,
5
1)1,0,0(},4,1,1{)( B A .
11. Să se verifice următoarele afirmaţii:
a) Matricea este hermitică (
=
−
400
03
03
i
i
A At = A ). Transformarea liniar ă
asociată T este diagonalizabilă; determinaţi o bază ortonormată în C
formată din vectori proprii ai transformării T .
)3C( End ∈ 3
b) Matricea este unitar ă (
=
−
−
100
001
010
A A A I A t t =⇔= −1 A ), iar
transformarea liniar ă asociată T este unitar ă şi orice valoare proprie a sa
are modulul egal cu unu .
)3C( End ∈
12. a) Să se determine valorile proprii şi vectorii proprii şi apoi să se
diagonalizeze matricea ortogonală .)(3
cos0sin
010
sin0cos
C M A ∈
=
θθ
θθ−
b) matricea simetrică .)(3
021
200
100
R M A ∈
=
−−
−
−
R. a) Matricea transformării este diagonală, , relativ la baza
diagonalizatoare B ;
−
=
100
010
001
D
(sin),0,1,0( 3 θ=v )}1cos,0,),1cos,0,(sin{ 21 −θ=+θθ==′ vv
b) 1 2 3
0 0 00 5 0
0 0 5
{ ( 2,1,0), ( 1, 2, 5), ( 1, 2, 5)},v v v D
−
′ = = − = − − = − − − =
B .
13. Fie V un spaţiu euclidian complex şi un endomorfism
hermitian. Să se arate că e , reprezintă un endomorfism unitar.
V V →:T
1, 2 −=iiT
R. Notând şi folosind relaţiile][],[ iT e BT A == A Ae B t iA == , , rezultă
I eeeeeee B B O A AiiA AiiA AiiA Ait t t t t
====== −+−−− )()( .
Algebr ă liniar ă 89
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 95/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
14. Se dau următoarele matrici diagonalizabile
.
−
−
=
−−
−−=
402
000
201
c) ,
42-2
63-3
21-1
= b) ,
163
053
064
)a A A A
Să se calculeze şi , folosind relaţia existentă între matricea A şi forma
sa canonică diagonală D, , unde C este matricea de trecere de la baza
canonică la noua bază, relativ la care se realizează forma diagonală.
1999 A
D
Ae
C 1− AC =
R . Temă b, c. a) C , de unde rezultă 1,
2-00
010
001
,
110
101
102−==
−
−
−
=
CDC A D
1
2
00
01
e0
001
e
;1
1999
2-00
010
001119991999 −
−=
−=
−=
C
e
C A
eC C C CD A .
15. Folosind teorema Cayley – Hamilton pentru matricile următoare
a) ; b) , să se determine:
−=
20
21 A
−
−
=
110
012
121
A
♦ polinomul de matrice , unde ;)( AQ 2)( 24 +−= t t t Q
♦ dacă matricea A este inversabilă; în caz afirmativ să se calculeze inversa acesteia.
R . Temă b). a)
.
−=−=⇒=+−⇒+λ−λ=λ
140
2421012)(02323)( 22
22 I A AQ I A A P A
Cum are termenul liber nenul, A este inversabilă; din relaţia dată de teoremă,
rezultă
A P
=+−=
−⇒=+−
2/10
112
2
3
2
1122
2
3
2
1 I A A I I A A .
16. Folosind teorema Cayley – Hamilton aflaţi şi pentru matricile1− A n A
a) ; b) .
−
−=
11
01 A
=
210
020
003
A
R. a) ; conduce la , de unde
.
b)
1
2
1 02
1 1 A A I − −
= − − = − −
1 12 2n n n n x x x x+ − += − − ⇒ +
1
1
( 1)0
1 ( 1)
n
n
n
n n
x
y x
+
−
= −⇒
= − = − −
2
n
n n A x A y I = +
1 1n n x x −+ = ⇒ =
1)n −( 1)
n n⇒ = −
1
1
2n n
n n
x x
y x
+
+
= − +
= −
1) ( 1)n n nb− 1 11,
2,
x y
x y
= −
2
( 1)
( 1)(1 )
n
n
nn I
−− =
n y
0 (n x a− +
(
a
b
=
= −
1( 1) A nA
+ + −
2 2
0
1
= =⇒
= −
1
0
( 1)n n−
− −
)167(12
1
3
21 I A A +−= A
A− , .
=− nn
n
n
n
n 220020
003
1
Cap.III. Vectori şi valori proprii90
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 96/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 97/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
Expresia din membrul drept se numeşte expresia analitică a formei biliniare faţă de baza considerată B.
Matricea ( A = de elemente se numeşte
matricea formei biliniare în raport cu baza . Notăm . Dacă introducem
matricele coloană
)() ,...,1, K nnn jiij M a×= ∈
A
),( jiij eea A =
B][ A = AB
),(1 K ×∈ nn M )( == j jt y),()( 1,1 K ×= ∈= nn j jt M x X ,1Y formate dincoeficienţii vectorilor x şi y, atunci expresia analitică (2) a formei biliniare poate fiscrisă sub forma matriceală
Y A X y x t =),( A . (3)
Observaţie. Aplicaţia care asociază fiecărei forme biliniare
matricea ei în raport cu o bază dată a spaţiului este un izomorfism între spaţiulvectorial şi spaţiul vectorial . Drept urmare
K V V →× nn: A
V n
))( K ,V n B (K nn M ×
2)(dim)(dim n M Bnnn
==×K K ,V .
Teoremă. O formă biliniar ă este simetrică / antisimetrică
dacă şi numai dacă matricea formei într-o baz ă arbitrar ă fixat ă a spa ţ iului este
simetrică /antisimetrică.
)( K ,V n B∈ A
nV
Demonstraţie. Admitem că este o formă simetrică; dacă este
matricea formei într-o bază , avem
A
= {n jiija A ,...,1,)(
==
nnee V ⊂},,1 …B
jii j jiij aeeeea == ),(),( A A =
deci . Reciproc, admitem că există o bază a spaţiuluiastfel încât matricea este simetrică. Atunci ∀ avem
A t= A nnee V ⊂= },,{ 1…
B
∈x y , V n jiija A ,...,1,)( =
=
. ),()(),( y x XAY AY X X AY x y t t t t t A A ====
1.3. Teoremă. Dacă )()(]'[
,1,K nnn jiij M cC
×= ∈== BB
nV ⊂} },,{' 1 nee ′′= …
este matricea de
trecere de la baza B la baza B din , iarnee= ,,{ 1 … V n
n jiijn jiij a Aa A,1,',1,
)'(][',)(][==
==== BB A A
sunt respectiv matricele unei forme biliniare fa ţă de cele două baze,
atunci are loc rela ţ ia
)( K ,V n B∈ A
.' CAC A t =
Demonstraţie. Fie descompunerile a doi vectori
arbitrari relativ la baza . Notând
n
n
j
j j
n
i
ii y xe y ye x x V ∈′′=′′= ∑∑==
,,,11
},,{' 1 nee ′′= …Bn j j
t
n j j
t yY x X ,1,1
)(,)(==
′=′′=′ şi
n jiija A,1,
)'('=
= , unde n jieea jiij ,1,),,(' =′′= A
Y A X y x t ′′= '),( A
Y CAC X Y C A X C t t t ′′=′′= )()()(
este matricea formei biliniare faţă
de baza B , atunci . Pe de altă parte, matricele coloană X,Y şi
ale lui x şi y relativ la cele două baze satisfac relaţiile ′, deci
avem . Rezultă
A
CY
'
y x,
′X Y , ′ X CX Y = ′ =,
XAY t =)( A
Cap.IV. Forme biliniare şi pătratice92
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 98/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d
e n t W
e b C o p
y
n
n
t t t M Y X Y CAC X Y B X R R ≡∈′′∀′′=′′×
)(,,)( 1 ,
de unde, prin identificare obţinem .' CAC A t =
1.4. Definiţii. Fie şi matricea formei biliniare
relativ la o bază B .
)( K ,V n B∈ A B][ A = A A
nV ⊂
a) Dacă A este nesingular ă/singular ă, atunci forma biliniar ă se numeştenedegenerat ă /degenerat ă. Rangul matricei A se numeşte rangul formei biliniare .
A
A
b) Fie o formă biliniar ă simetrică. Mulţimea)( K V, B∈ A
},0),({ V V ∈∀=∈= y y x x A A Ker
se numeşte nucleul formei biliniare . A
Observaţie. este un subspaţiu vectorial al lui V . A Ker
Într-adevăr, pentru avem . Pentru, rezultă .
A Ker , ∈vu+ ,(), wvl w A
V ∈∀== wwvwu ,0),(,0),( A A
A Ker 0),( ∈+⇒=+ lvkuwlvkuk l, ∈ K ⇔= 0)(uk A A
Teoremă (teorema rangului). Fie o formă biliniar ă. Atunci
are loc rela ţ ia
)( K ,V n B∈ A
.)Kerdim(rang A A −= n
1.5. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi o formă biliniar ă simetrică. Funcţia determină unic funcţia
)( K V, B∈ A
, A K V →:Q
V ∈∀= x x x xQ ),,()( A ,
care se numeşte formă pătratică (asociat ă formei biliniare ). A
Observaţie. Cunoaşterea formei pătratice Q permite recuperarea formei biliniare simetrice . Într-adevăr, relaţiile A
V ∈∀++=
=+++=++=+
y x y y y x x x
y y x y y x x x y x y x y xQ
,),,(),(2),(
),(),(),(),(),()(
A A A
A A A A A
şi proprietatea de simetrie implică V ∈∀= y x x y y x ,),,(),( A A
V ∈∀−−+= y x yQ xQ y xQ y x ,)},()()({21),( A .
Forma biliniar ă simetrică asociată formei pătratice Q se numeşte forma polar ă
sau forma dedublat ă a formei pătratice Q .
A
Exemplu. Forma pătratică corespunzătoare produsului scalar real (care este o
formă biliniar ă simetrică) este pătratul normei euclidiene:
V ∈∀>==< x x x x xQ ,,)(2
.
Algebr ă liniar ă 93
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 99/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 100/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
avem ; deci . Reciproc, dacă rezultă aşa încât
dim dim dimU U + =⊥
}0{=⊥U U I
V U U V ⊕ =⊥V U U =⊕ ⊥ ,
U A
)( xQ3
R
este nedegenerată.
2221 4 x x x +−=
213 02 =− x x
22 ,2 x y x =−
)( y =
=U
U ⊥
{ 3∈ y R=U
23U )( y yQ =
)0,1,2(),1,0,0( 21 == uu
A
),( = y x A
2,0 213 =−= y y y
A
R ∈a,0
U
∈ A
.0),( == x x A
∈ A
ee= ,,{ 21B
13 ix x ±=
Exemplu. Ar ătaţi că forma pătratică
23 este nedegenerată pe spaţiul V = , dar restricţia acesteia la subspaţiul
3}{ R R ⊂∈ x
este degenerată având rangul egal cu unitatea. Aflaţi complementul ortogonalrelativ la Q al subspaţiului vectorial U .
Soluţie. Efectuăm schimbarea de coordonate sugerată de ecuaţia subspaţiuluiU ,
33211 , x y x y == .
În noile coordonate, forma pătratică devine Q , iar subspaţiul U
este descris prin
2321
21 4 y y y y ++
}01 = y . Se observă că restricţia formei pătratice la
acest subspaţiu, are rangul unu.
Pentru a obţine complementul ortogonal , consider ăm o bază în U formată dinvectorii şi impunem condiţiile
U ⊥
,0),(,0),( 21 == yu yu A
care determină forma vectorilor y din subspaţiul , unde forma polar ă asociată
lui Q, obţinută prin dedublare are expresia
⊥U
3332211 ,,4 R ∈∀+− y x y x y x y x .Rezultă 0 cu soluţia generală , deci=== ya ya y ,2, 321
3)})0,2,1({(})0,2,({ R R ⊂=∈=⊥ Laaa .
1.7. Definiţie. Un vector x se numeşte izotrop în raport cu o formă biliniar ă simetrică ) (sau în raport cu forma pătratică asociată Q) dacă
Observăm că vectorul nul 0 al spaţiului este totdeauna izotrop.
∈V
( K V, B
)( xQ
Exemplu. Se dă forma biliniar ă
33311
3 ,,),(,),( CCC ∈∀+= y x y x y x y x B A .
Forma pătratică asociată este . Din rezultă , deci
vectorii izotropi ai formei sunt şi cu .
23
21)( x x xQ +=
),,( 121 ix x x (
0)( = xQ
), 1ix− x, 21 x x C∈21 , x
1.8. Definiţie. Fie o formă biliniar ă simetrică. Se numeşte baz ă
ortogonal ă în raport cu forma biliniar ă (sau în raport cu forma pătratică asociată Q), o bază cu proprietatea
)( K ,V n
B∈ A
nne V ⊂} A
,K
n ji jiee ji ,1,,,0),( =≠∀= A ,
adică vectorii acesteia sunt ortogonali doi câte doi relativ la forma . A
Algebr ă liniar ă 95
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 101/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Observaţie. În raport cu o bază ortogonală matricea formei este diagonală
(temă, verificaţi),
==
nna
a
a
A
K
OMMK
K
00
000
00
22
11
][ B A .
Atunci, notând niaiii ,1, ==a , expresiile analitice ale formei biliniare şi ale
formei pătratice asociate Q devin expresii canonice, fiind de forma
A
∑∑==
==n
i
iiii
n
i
i xa xQ y xa y x1
2
1
.)(,),( A
#2. Reducerea formelor pătratice la expresia canonică
Fie un K -spaţiu vectorial, şi fie o formă pătratică pe V
exprimată prin matricea simetrică relativ la o bază fixată a
spaţiului V , şi având expresia analitică
V n },{ CR ∈ K
B][Qn
A = },,{ 1 nee K=B
n
),,(,,)( 111 n
t
nnn
t x x X e xe xv XAX vQ KK =∈++=∀= V .
O schimbare a bazei în V induce schimbarea de coordonate'BB a n
X C X X X ′=,'a ,
unde este matricea de schimbare de bază. Deci relativ la noile coordonate
expresia analitică a formei pătratice Q este ' , iar matricea asociată B
B ]'[=C
'')( X A X vQ t =
CAC Q A t == '][' B ,
este tot o matrice simetrică (!). Prin urmare matricea unei forme pătratice relativ la o
baz ă poate fi în particular matrice diagonal ă , dar nu poate fi niciodat ă matrice
Jordan cu celule de ordin mai mare decât 1.
În cele ce urmează, vom prezenta trei metode de obţinere a unei bazerelativ la care matricea a formei pătratice Q este diagonală, deci relativ la care
forma pătratică Q are o expresie canonică.
'B
' A
2.1. Teoremă (metoda Gauss). Dacă este o formă pătratică ,
atunci exist ă o baz ă în V care este ortogonal ă în raport cu Q (deci relativ la care Q
are o expresie canonică).
K V →nQ:
n
Demonstraţie. Inducţie după dimensiunea n a spaţiului vectorial. .Fie
o bază a spaţiului V şi expresia analitică asociată formei Q relativ la această bază,
},,{ 1 nee K=B
n
nnn ji
n
i
n
j
ij e xe xv x xavQ V ∈++=∀= ∑∑= =K11
1 1,)(
Cap.IV. Forme biliniare şi pătratice96
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 102/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Dacă niaii ,1,0 ==
0
iar Q nu este identic nulă, atunci există cel puţin un element
cu iaij ≠ j≠ ; atunci, prin transformarea de coordonate
∈′=
′−′=
′+′=
}{\1 i,j ,nk ,k
xk
x
j xi x j x
j x
i x
i x
expresia formei pătratice devine ,în care cel puţin unul din
elementele diagonale
ji
n
ji
ij x xavQ ′′′= ∑=1,
)(
niaii ,1, =′ este nenul, căci x x . x xi j′ − ′2 2
i j =
Notăm cu baza lui V faţă de care coordonatele lui x sunt
. Admiţând că i , matricea de trecere de la baza B la este
}',,'{ 11 n f f F K=
j<n
ni xi ,,1, K=′ 1 F
1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
i
j
C
i j
← =
− ←
↑ ↑
L L L
L L L
M M O M L M L M
L L L
M M L M O M L M
L L L
M M L M L M O M
L L L
Făr ă a micşora generalitatea, putem admite că a ; atunci putem scrie′ ≠11 0
ji
n
ji
ijk
k
k x xa x xa xavQ ′′′+′′′+′′= ∑∑≠= 1,
12
12
111 2)( .
Adăugăm şi scădem termenii necesari pentru a obţine pătratul formei liniare,1212111 nn xa xa xa ′′++′′+′′ K
în expresia formei pătratice Q; rezultă ,)(
1)(
2,
21212111
11 ji
n
ji
ijnn x xa xa xa xaa
vQ ′′′′+′′++′′+′′′
= ∑=
K
unde nu conţine pe ′. Fie baza din V faţă de
care coordonatele şi ale vectorului v să satisfacă egalităţile
′′ ′ ′=
∑a x xiji j
n
i j,
,2
x1 }'',,'',''{ 212 n f f f F K= n
' x '' x
=′=
′′++′′+′′=
.,2,''
'' 122121111
n j x x
xa xa xa x
j j
nK
Algebr ă liniar ă 97
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 103/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 104/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
=
−=
−
100
110
001
100
110
0011
3C
Coloanele acesteia furnizează noua bază, B ,
relativ la care obţinem prin înlocuire expresia formei Q, .
},,{' 32322113 eeeeeee F ′′+′′=′′′′′=′′′′′=′′′==
22
21)( x xvQ ′′′−′′′=
Această expresie reprezintă o expresie canonică a formei pătratice Q, fiind o sumă
algebrică de pătrate. Matriceal, are loc relaţia de unde rezultă
matricea C de trecere de la baza naturală (iniţială) a spaţiului
1 2 3 X C C C X CX ′′′ ′′′= ≡
321][ C C C =′=B
B3
R
)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({ 321 ==== eeeB
la baza descrisă mai sus, relativ la care Q are o expresie canonică.3' F =B
2. Folosind metoda Gauss, aflaţi expresia canonică şi baza în care se
realizează aceasta, pentru forma pătratică 3 2 2 2 3
3 2 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3: , ( ) 4 6 9 12 10 2 , ( , , )Q Q v x x x x x x x x x x x x x→ = + + + − − ∀ =R R R∈ ,
exprimată analitic în baza canonică a lui .3 R
Soluţie. Fie . Restrîngând succesiv pătratele ce
conţin variabilele în expresia lui Q, obţinem
3
1 1 2 2 3 3v x e x e x e= + + ∈ R
32 , x x1 , x
2 2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 2 3 3
1 36 25 20 ( ) (9 6 5 ) 6 4 2
9 9 9 3
1 14 11(9 6 5 ) 2
9 3 9
Q x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
= + − − − + + + −
= + − + + + =
=
22 2
1 2 3 2 3 3 3
1 1 7 49(9 6 5 ) 2
9 2 3 18 x x x x x x x
= + − + + − + =
211
9
2
2 2 2
1 2 3 2 3 3 1 2
1 1 7 3 1 1(9 6 5 ) 2 ,
9 2 3 2 9 2 x x x x x x y y y
= + − + + − = + −
2 2
3
3
2
unde am notat 333223211 ,3
72,569 x y x x y x x x y =+=−+=
},,{ 321 eee ′′′=′
)}1,0,0(),0,1,0( 32 == eB B′
, iar sunt
coordonatele vectorului v relativ la baza B ortogonală relativ la forma
pătratică Q, în care expresia formei este canonică. Ţinând cont de formulele de
schimbare de coordonate de mai sus, obţinem matricea de trecere de la baza canonică la baza ,
1 2 3( , , ) y y y
),0,0,1({ 1 == ee
19 6 5 1/ 9 1/ 3 4 / 3
0 2 7 / 3 0 1/ 2 7 / 6
0 0 1 0 0 1
[ ]C
−− −
= −
′≡ =
BB
.
Examinând coloanele acestei matrici, rezultă că baza este formată din vectoriiB′
1 1 2 1 2 3 1 2
1 1 1 4 7, ,
9 3 2 3 6e e e e e e e e e
′ ′ ′ ′= = = − + = − +
B 3,
iar matricea formei Q relativ la această bază este . '
1/ 9 0 0
' [ ] 0 1/ 2 0
0 0 3/ 2
B A Q
= =
−
Algebr ă liniar ă 99
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 105/112
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 106/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
Dar, prin construcţie, pentru0),( =′ ji ee A j i< , deci pentru0=′
ija j i< . De
asemenea, datorită simetriei formei biliniare rezult ă 0 şi pentru A =′ija j i> . Deci
pentru i0=′ija j≠ , iar pentru j i= avem
.,1,),(),(),(
),(),(
111,11
11
niceeceeceec
ececeeea
i
iiiiiiiiiiiii
iiiiiiiii
=∆
∆==′+′++′=
=++′=′′=′
−−− A A A
A A
K
K
Deci în baza forma pătratică are o expresie canonic ă,B′
2
1
1
1,
)( i
n
i i
in
ji
jiij x x xb xQ ′∆
∆=′′= ∑∑
=
−
=
,
iar matricea asociată acesteia este
∆∆
∆∆
=′==′
−
=′
nn
n jijaQ A
1
10
,,1,1
0
0/
)(][
K
MOM
K
KB .
Exemplu. Folosind metoda Jacobi, aflaţi expresia canonică şi baza în care se
realizează aceasta, pentru forma p ătratică 3
321313221
2
3
2
2
2
1 ),,(,16887)( R ∈=−−−++= x x x x x x x x x x x x x xQ .
Soluţie. Matricea formei p ătratice relativ la baza canonică a spa ţiului este3 R
=
−−
−−
−−
148
474
841
A .
Minorii principali { ai acesteia sunt3,2,1} =∆ ii
729det,974
41,1 32111 −==∆−=
−
−=∆==∆ Aa .
Folosind formula (*), rezultă expresia canonic ă a formei p ătratice,
2 2
1 2
1 1 ( )
9 81Q x x x x′ ′= − + 2
3′ ,
Prin dedublare obţinem forma biliniar ă asociat ă
1 1 2 2 3 3
1 1
( , ) 9 81 x y x y x y x y′ ′ ′ ′ ′ ′= − + A
.
Noua bază } se ob ţine rezolvând succesiv sistemele ce furnizează
coeficienţii descompunerii vectorilor relativ la baza iniţială, după cum
urmează:
,,{ 321 eee ′′′=′B
321 ,, eee ′′′
111111 11),(; eeaeeeae =′⇒=⋅=′⋅=′ A ;
212
22
12
2129
1
9
4
174),(
041),(; eee
baee
baeeebeae +−=′⇒
=+−=′
=−⋅=′⋅+⋅=′
A
A ;
Algebr ă liniar ă 101
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 107/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
3 1
3 1 2 3 3 2 3 1 2
3 3
( , ) 1 4 8 08 4 1
; ( , ) 4 7 4 081 81 81
( , ) 8 4 1
e e a b c
e a e b e c e e e a b c e e e e
e e a b c
′ = ⋅ − − =
′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + − = ⇒ = − − + ′ = − − + =
A
A
A
3
deci în final obţinem
}81
1
81
4
81
8
,9
1
9
4
,{ 321321211 eeeeeeeee +−−=′+−=′=′=′
B ,
cu
matricea de trecere de la baza canonică la noua baz ă B ' de coeficien ţi
−
−−
=
81/100
81/49/10
81/89/41
C .
2.3. Teoremă (Metoda valorilor proprii). Fie un spa ţ iu vectorial real
euclidian şi o formă pătratică real ă. Atunci exist ă o baz ă ortonormat ă
a spa ţ iului vectorial relativ la care expresia canonică a
formei este
V n
RV →nQ :
},,n
e′K,{21
ee ′′=′B V n
∑=
′⋅λ=n
i
ii xvQ1
2 ,)(
unde sunt valorile proprii ale matricei formei pătratice relativ la o
baz ă ortonormat ă B ( fiecare valoare proprie fiind inclusă în sumă de at tea ori cτ
multiplicitatea sa), iar sunt coordonatele vectorului v relativ la baza .
nλλλ ,,, 21 K
),,( 1 n x x ′′ K B′
Demonstra ie. Fie A matricea asociată lui Q într-o baz ă ini ţială B a lui . Ca
matrice reală şi simetrică, matricea are n valori proprii reale(unele pot fi egale) şi se poate diagonaliza. Baza formată
din vectori proprii ortonormaţi ai matricei A determină matricea diagonalizatoare C
care este ortogonală ) . Q are relativ la aceast ă baz ă o expresie canonic ă
deoarece matricea ei relativ la această baz ă este
V n
B][Q A =nλλ ,,1 K },,{ 1 nee ′′=′ KB
( 1−= C C t
λ
λ
λ
==== −′
n
t CAC AC C Q D
K
MOMM
K
K
00
00
00
][2
1
1
B .
Exemplu. Folosind metoda valorilor proprii, afla ţi expresia canonică şi baza
în care se realizează aceasta, pentru forma p ătratică din exemplul anterior,
,),,(,81687)( 3
321323121
2
3
2
2
2
1 R ∈≡−−−++= x x xv x x x x x x x x xvQ
exprimată relativ la baza canonic ă a lui ,3 R
Soluţie. Matricea asociat ă formei p ătratice relativ la baza canonică
)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({ 321 ==== eeeB ,
este ortonormată fa ţă de produsul scalar canonic, şi are coeficienţii
Cap.IV. Forme biliniare şi pătratice102
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 108/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
=
−−
−−
−−
148
474
841
A .
Valorile proprii ale acestei matrici sunt λ (temă – verificaţi !), iar
vectorii proprii ortonormaţi corespunzători valorilor proprii sunt
9,9 321 =λ=λ−=
−=′−=′=′
53
4,
53
2,
53
5
3,
5
1,
5
2,0
2,
3
2,
3
1,
3
2
1eee ,
deci matricea de trecere la noua bază B este},,{ 321 eee ′′′=′
⋅=′′′= −
−
4352
265
5052
53],,[ 321 eeeC
Efectuând schimbarea de coordonate asociată schimbării de bază, rezultă
expresia canonică a formei pătratice Q,
X CX = ′
2
3
2
2
2
1 999)( x x xvQ ′+′+′−= .
Comparaţia celor trei metode
1) Metoda Gauss reprezintă un algoritm elementar de aducere la forma
canonică, dar nu furnizează direct noua bază, ci schimbarea de coordonate pe baza
căreia se determină noua bază.
2) Metoda Jacobi este utilă când se cere determinarea rapidă a formei canonice
(de exemplu în aprecierea naturii punctelor de extrem ale unei funcţii reale), f ăr ă a fi
interesaţi şi de baza corespunzătoare (care se obţine printr-un calcul mai laborios).
Metoda prezintă dezavantajul că presupune neanularea tuturor minorilor { .nii ,,1}K=∆
3) Metoda vectorilor proprii este eficace, producând o formă canonică şi o
bază canonică ortonormată faţă de produsul scalar preexistent. Dezavantajul acestei
metode este că include calculul r ădăcinilor polinomului caracteristic al matricii
asociate formei pătratice, r ădăcini care pot fi iraţionale (şi deci aflarea lor necesitând
tehnici de calcul de analiză numerică).
#3. Signatura unei forme pătratice reale
Există formele pătratice reale care iau totdeauna valori pozitive (cum ar fi,
spre exemplu, pătratul unei norme ce provine dintr-un produs scalar); în cele ce
urmează vom detalia noţiunile ce conduc la stabilirea semnului valorilor pe care le
poate lua o formă pătratică.
3.1. Definiţii. a) O formă pătratică se numeşte pozitiv / negativR →V :Q
semidefinit ă dacă / , pentru orice v .0)( ≥vQ 0)( ≤vQ V ∈
b) Forma pătratică Q se numeşte pozitiv definit ă / negativ definit ă dacă
/ , pentru orice .0)( >vQ 0)( <vQ }0{\V ∈v
Algebr ă liniar ă 103
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 109/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
c) Dacă există aşa încât şi aşa încât spunem
că forma pătratică Q este nedefinit ă.
V ∈v 0)( >vQ V ∈w 0)( <wQ
d) O formă biliniar ă simetrică se numeşte pozitiv definit ă (respectiv
negativ definit ă , pozitiv semidefinit ă , negativ semidefinit ă) dacă forma
pătratică asociată Q are proprietatea corespunzătoare.
),( R V B∈ A
Exemplu. Produsul scalar definit pe un spaţiu vectorial real este o formă
biliniar ă simetrică şi pozitiv definită.
Reducerea la expresia canonică prin metoda lui Jacobi permite obţinerea unei
condiţii necesare şi suficiente pentru ca o formă pătratică să fie pozitiv
definită (respectiv, negativ definită), după cum rezultă din următoarea
R →nQ V :
Teoremă (criteriul lui Sylvester, teorema inerţiei). Se d ă forma pătratică . Dacă sunt îndeplinite condi ţ iile teoremei
Jacobi, atunci au loc următoarele afirma ţ ii:
R →nQ V :
1) Q este pozitiv definit ă dacă şi numai dacă nii ,1,0 =>∆ ;
2) Q este negativ definit ă dacă şi numai dacă nk k
k ,1,0)1( =>∆− .
3.2. Definiţie. Fie o expresie canonică a formei pătratice
. Se numeşte signatura formei pătratice Q tripletul de numere reale
, în care:
2
1
)( i
n
i
i xavQ ∑=
=
R →nQ V :
( , , ) p q d
p = numărul de coeficienţi din setul { care sunt strict pozitivi, numit
indicele pozitiv de iner ţ ie al lui Q;
},,1 naa K
q = numărul de coeficienţi strict negativi, numit indicele negativ de iner ţ ie al lui Q;
d n p q= − +( ) = numărul de coeficienţi nuli.
Teoremă (legea de inerţie, Sylvester). Signatura unei forme pătratice Q este
aceea şi în orice expresie canonică a lui Q.
Observaţii. 1. Legea de iner ţie arată că urmând oricare din cele 3 metode deobţinere a expresiei canonice (care poate să difere), signatura formei pătratice
(dedusă din expresia canonică obţinută) este totdeauna aceea şi.
2. Dată fiind o formă pătratică şi matricea A asociată acesteia
relativ la o bază a spaţiului , Q este pozitiv definit ă dacă şi numai dacă oricare din
următoarele condiţii este îndeplinită.
R →nQ V :
nV
• forma pătratică Q are signatura ( , ,, )n 0 0
• determinanţii nii ,1, =∆ calculaţi conform metodei Jacobi sunt strict pozitivi,
• valorile proprii ale matricei A sunt strict pozitive.
Cap.IV. Forme biliniare şi pătratice104
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 110/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
#4. Probleme propuse
1. Se dă aplicaţia ,),( 3R R B∈ A
3
321321331221 ),,(),,,(,322),( R ∈==∀−+= y y y y x x x x y x y x y x y x A
Să se determine următoarele :1. Ar ătaţi că A este formă biliniar ă.
2. Ar ătaţi că A este formă biliniar ă simetrică.
3. Determinaţi matricea relativ la baza canonică B.B][ A = A
4. Aflaţi forma pătratică Q asociat ă formei bilineare simetrice A .
5. Verificaţi relaţiile .3,][,][,)(,),( R BB ∈∀==∀== y x , yY x X XAX xQ XAY y x t t A
6. Determinaţi matricea , relativ la bazaB′=′ ][ A A
1 2 3{ ' (1,1,0), ' (1,0,1, ), ' (0,1,1)}e e e′ = = = =B .
R . Matricea formei pătratice date este , expresia analitică este
−
=
300
002
020
A
2
321 34)( x x x xQ −= ,
cu matricea de schimbare la noua bază C , iar matricea formei pătratice relativ la baza
B' de la punctul 6, A', unde , şi .
=′=
110
101
011
][ BBC
−−
−−==′
312
132
224
CAC A t
2. Se dă funcţia ,),( 4R R B∈ A
+−+−+−= 144113311221),( y x y x y x y x y x y x y x A
4
344324422332 ,, R ∈∀−+−+−+ y x y x y x y x y x y x y x
1. Să se arate că este o formă biliniar ă antisimetrică. A
2. Să se determine matricea corespunzătoare formei biliniare relativ la baza A
)}1,1,0,1(),1,0,1,1(),1,1,1,0(),0,1,1,1({' 4321 =′=′=′=′= eeeeB .
R : .
===′
== ′
−−−
−−
−
1110
1011
0111
1101
0111
1011
1101
1110
,][,][ C CAC A A t
BB A A
3. Fie spaţiul vectorial al funcţiilor polinomiale reale de grad cel mult doi
şi fie produsul scalar
2 P
2
1
0
1
022 ,,)()(),(,: P wvdtds swt vwv P P ∫ ∫ ∈∀=→× A A R .
Algebr ă liniar ă 105
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 111/112
S t u
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
1) Să se arate că este o formă biliniar ă simetrică pozitiv semidefinită, dar
nu este pozitiv definită.
A
2) Să se determine matricea formei biliniare relativ la baza canonică a
spaţiului , B şi relativ la baza .
A
,1 t 2 P },,1{ 2t t = },1{ 2 t t −−=′B
R : .
===′
== −
−′
100
110011
9/16/13/1
6/14/12/13/12/11
,][,][ C CAC A A t
BB A A
4. Determinaţi valoarea parametrului astfel ca vectorii şi
să fie ortogonali în raport cu forma pătratică
R∈λ )1,1(−= x
),2( λ= y2
221
2
1
2 2)(,: x x x x xQQ +−=→ R R
R : .202
11
11)1,1( =λ⇒=
λ−
−−
5. Se dau următoarele forme pătratice:
a) Q ;32 ),,(,32)( R ∈=∀+−= cbavcbcacv
b) .42 ),,,(,32)( R ∈=∀++−= v z y xw xvv zv xywQ
1) Determinaţi forma polar ă asociată formei pătratice Q prin dedublare. A
2) Aflaţi matricea formei pătratice Q relativ la baza naturală.
R. . Temă a). Soluţia la punctul b):
4
1 2 2 1 3 4 4 3 4 4 1 4 4 1
1 1 3( , ) ( ) ( ) 2 ( ), ,
2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y= + − + + + + ∀ ∈R A ,
==
−
−
22/102/3
2/1000
0002/1
2/302/10
][][ A Q .
6. Se dau următoarele forme pătratice
a) 3 2 2 21: , ( ) 8 16 7 8 , ( , , )
2v x xy xz y yz z v x y z → = − − + − + ∀ = ∈R R R
3Q Q ;
b) ;[ ]
=→−−
−−
−−
324
262
423
,: 3 QQ R R
c) Q ;3
321
2
332
2
231
2
1 ),,(,546)( R ∈=∀−+++−= x x x x x x x x x x x x
d) .322 ),,(,2)( R ∈=∀−−+= z y xv z yz y xyvQ
Determinaţi expresia canonică a acestor forme pătratice folosind metoda Gauss.
R. Temă a, b, c. d) ),,(][,,33
1)( 3222 z y xvv z y xv ′′′=∈∀′−′−′= ′B
R Q ,
11
100
6/13/10
001
100
010
2/123
100
011
011
][
−−
=′= −
−−
−B
BC .
Cap.IV. Forme biliniare şi pătratice106
7/21/2019 Algebra Liniara
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 112/112
d e n t W e
b C o p y
S t u d e n t W
E B C o p y
7. Determinaţi expresia canonică a formelor pătratice din exerciţiul precedent
folosind metoda Jacobi şi metoda valorilor proprii.
R. Temă a, c, d. Soluţie la punctul b) Prin metoda Jacobi, [ ] .
Prin metoda valorilor proprii,
=
−
′
7/100
014/30
003/1
BQ
[ ] [ ] [ ]
=
=′′′=′ −−
−
′
0
0
7
3/23/50
3/153/25/2
3/253/45/1
,,, 321 BBBB Qeee
− 20
07
00
.
8. Utilizând metoda Gauss, metoda lui Jacobi şi respectiv metoda valorilor
proprii, să se aducă la expresii canonice forma pătratică ,R R →3:Q3
3213121
2
3
2
2
2
1 ),,(,44465)( R ∈≡∀−−++= x x xv x x x x x x xvQ
şi să se verifice teorema de iner ţie, determinând în fiecare caz signatura formei
pătratice.
R : Matricile asociate expresiei canonice în urma aplicării celor trei metode sunt,
respectiv:
800
050
002
40/1300
026/50
005/1
13/4000
026/50
005/1
,, ;
signatura este (3,0,0), deci forma pătratică este pozitiv definită.
9. Să se scrie forma pătratică corespunzătoare matricii ,
să se găsească expresia canonică şi să se verifice teorema de iner ţie.
=
−
−
−
−
1101
1110
0111
1011
A
R. Expresia analitică a formei pătratice este
43324121
2
4
2
3
2
2
2
1 2222)( x x x x x x x x x x x xvQ +−−++++= , ;4
4321 ),,,( R ∈≡∀ x x x xv